对数函数及其性质(1)

对数函数及其性质（1）
（万宁中学吴刚）
一、教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教A版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标
1．知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特征及对应函数性质；
2．能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养；
3．情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。

五、教学重点与难点
教学重点：掌握对数函数的图象和性质；
教学难点：是底数对对数函数值变化的影响。

六、教学准备
教师：将整个教学内容用几何画板制成课件。

学生：2～4人分成一组；科学计算器。

七、教学过程设计
教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结
（一）创设问题情景，导入新课
问题1：我们在研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题。

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，写出1个这样的细胞分裂次数x 后，得到细胞个数y 与x 的函数解析式。

（*2()x y x N =∈）
问题2：如果要求这样的1个细胞经过多少次分裂，
大约可以得到细胞1万个，10万个 ……细胞，怎样用要得到的细胞个数y 来表示分裂次数x 呢？这样的表示是函数表示吗？
提示：210000210000x x log =⇔=，21000002100000x x log =⇔=，22x y x log y =⇔= （根据问题的实际意义，对于每一个要得到的细胞个数y ，通过对应关系2x log y =，都有唯一确定的分裂次数x 与它对应，所以x 是y 的函数。

）
一般我们习惯用x 表示自变量，y 表示函数，则这个函数就是2y log x =
像2y log x =，12
y log x =，3y log x =，13
y log x =，y lgx =，110
y log x =， ……这样的函数
就是我们今天要研究的对数函数。

引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：一般地，我们把函数(01)a y log x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：
2log (1)y x =-，32log y x = 都不是对数函数． ② 对数函数对底数的限制：0,1a a >≠且。

根据对数函数定义填空；
例1：(1)函数2log a y x =的定义域是___________ (其中01a a >≠且)
(2) 函数log (4)a y x =-的定义域是___________ (其中01a a >≠且) 说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。

因此，从设计问题入手，引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。

这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]
（二）尝试画图、形成感知 1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？ 学生1：对数函数的图象和性质。

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？ 学生2：先画图象，再根据图象得出性质。

教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生3：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图。

教师：在明确了探究方向后，下面，我们采用从特殊到一般的方法，先研究两个比较特殊且具有代表性的对数函数2y log x =与12
y log x =。

列表：
让学生观察列表发现当自变量x 一样时，函数
2y log x =与12
y log x =的函数值互为相反数，
从而得出这两个函数图象关于x 轴对称。

然后画出函数图象，再从函数图象上感知。

探究：选取对数函数(01)a y log x a a =>≠且的底数a 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的函数图象。

观察图象，你能发现它们有哪些共同特征吗？
教师用几何画板画出函数 2y log x =，12
y log x =，3y log x =，13
y log x =，y lgx =，
110
y log x =
的图象，有了这种看图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确(1)a y log x a =>、
(01)a y log x a =<< 的图象代表对数函数的两种情形。

学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y 轴右侧，向y 轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x 轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x 轴正向逐步下降；④图象关于原点和y 轴不对称。

（三）理性认识、发现性质 1．确定探究问题
教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。

同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？
学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质
2．学生探究成果 ：
[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。

为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。

教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成]
（四）性质应用
例2：比较下列各组数中两个值的大小。

(1) 23.4log 28.5log (2) 5.1a log 5.9a log (3) 3log π 20.8log (4) 3log π 4log π
独立思考：1、构造怎样的对数函数模型？2、运用怎样的函数性质？ 小组交流，教师用几何画板画出相应的函数图象给以配合。

师生合作总结出比较对数大小的方法： （1）同底数的利用单调性进行比较；
（2）底数不同、真数相同的利用“底数越接近1，对数函数图象越陡”的特点，结合函数图象进行比较；
（3）底数不同、真数也不同的找中间量0、1、-1进行比较。

练习2.比较下列各组数中两个值的大小。

(1) 0.31.8log 0.32.7log (2) ln 5.1 lg 5.1
[设计意图：发现规律，总结方法，熟练自如应用方法解决问题，从而加深对对数函数性质的理解。

]
（五）归纳小结、巩固新知 1．议一议：
（1）怎样的函数称为对数函数？
（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？ （3）对数函数有怎样的性质？
2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质
（六）作业布置、课后自评 作业：P[74] A 组 7、8 课后自评：
函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）。