江苏省无锡市宜兴实验中学2016年中考数学一模试卷(解析版)
宜兴初三数学一模试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 2答案：C2. 已知方程 2x - 3 = 7，解得 x =（）A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A3. 一个等腰三角形的底边长为 6cm，腰长为 8cm，则该三角形的面积是（）A. 24cm²B. 32cm²C. 48cm²D. 36cm²答案：B4. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = |x|D. y = x²答案：D5. 若等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 2，S5 = 30，则公差 d =（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若a² - 3a + 2 = 0，则 a = _______。
答案：1 或 27. 在直角坐标系中，点 A(2,3) 关于 x 轴的对称点坐标为 _______。
答案：A(-2,3)8. 若 sin x = 1/2，且0 < x < π，则 x = _______。
答案：π/69. 若 a、b、c 是等差数列的三项，且 a + b + c = 15，则 b = _______。
答案：510. 若函数 y = -2x + 3 在点 (1,1) 处的切线斜率为 _______。
答案：-2三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 1\end{cases}\]答案：解得：\[\begin{cases}x = 2 \\y = 2\end{cases}\]12. （10分）已知函数y = x² - 4x + 3，求：（1）函数的顶点坐标；（2）函数在 x = 2 时的函数值。
答案：（1）顶点坐标为 (2, -1)；（2）函数值 y = -1。
江苏省无锡市宜兴实验中学2016-2017学年八年级(上)第二次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市宜兴实验中学八年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）1．的值是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．6252．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列各数是无理数的是（）A．﹣0.101001 B．C．D．04．如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D5．若m是任意实数，则点A（m2+1，﹣4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．下图中，分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（）A． B．C．D．7．已知一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．28．在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx．且y的值随x值的增大而减小的图象是（）A．B．C．D．9．已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），x、y的部分对应值如下表：当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＞﹣2 D．x＜﹣210．在平面直角坐标系中，已知A（1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PAO 为等腰三角形，这样的P点有几个（）A．9 B．8 C．7 D．6二、填空题（本大题共8空，每空2分，共计16分）11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是．12．某街道总人口约为39480人，对这个数据精确到千位可以表示为．13．已知点A（x﹣4，x+2）在y轴上，则x的值等于．14．点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是．15．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=3x+2，且交y轴于点（0，﹣1），则其函数表达式是．16．如图，已知函数y1=2x﹣1和y2=x﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式y1＞y2的解集是．17．如图，正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为．18．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．三、解答或证明题（本大题共计54分）19．求下列各式中的x的值或计算：（1）（x+1）2=16（2）|1﹣|+﹣（π﹣3.14）0．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出P的坐标．21．已知y与x﹣2成正比例，且当x=1时，y=﹣6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当x=﹣2时的函数值．22．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AD，CB=CD．求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）AC垂直平分BD．23．已知一次函数的图象a过点M（﹣1，﹣4.5），N（1，﹣1.5）（1）求此函数解析式，并画出图象；（2）若函数图象与x轴交于点A，直线a与b相交于点P（4，m），a、b与x 轴围成的△PAC的面积为3，求出点C的坐标．24．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来．25．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两地的距离；（2）求两车的速度；（3）求点C的坐标，并写出点C的实际意义．26．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．（1）求A、B、C三点坐标；（2）若在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则P点坐标是；（3）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴实验中学八年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）1．的值是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．625【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【解答】解：=5．故选：B．2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．3．下列各数是无理数的是（）A．﹣0.101001 B．C．D．0【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．【解答】解：A、﹣0.101001是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；B、是无理数，选项符合题意；C、是分数，是有理数，选项不符合题意得；D、0是整数，是有理数，选项不符合题意．故选B．4．如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．【解答】解：A、∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；B、∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2，∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；C、根据AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；D、∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；故选C．5．若m是任意实数，则点A（m2+1，﹣4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】利用非负数的性质得出横坐标的正负，即可作出判断．【解答】解：∵m2≥0，∴m2+1＞0，则点A（m2+1，﹣4）在第四象限，故选D6．下图中，分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（）A． B．C．D．【考点】函数的概念；函数的图象．【分析】函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D不正确．故选D．7．已知一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到k＞0，b＞0，然后对选项进行判断．【解答】解：∵一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，∴k＞0，b＞0．故选D．8．在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx．且y的值随x值的增大而减小的图象是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的性质；正比例函数的图象．【分析】利用正比例函数的性质可判断k＜0，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断．【解答】解：∵正比例函数y=kx，y随x的增大而减小，∴k＜0，∴直线y=kx经过原点和第二、四象限．故选C9．已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），x、y的部分对应值如下表：当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【考点】一次函数的性质．【分析】先把表中当x=0时，y=﹣4；当x=1时，y=﹣6代入一次函数的解析式，求出kb的值即可得到一次函数的解析式，再根据y＞0求出x的取值范围即可．【解答】解：∵由图表可知，当x=0时，y=﹣4；当x=1时，y=﹣6，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣4，∵y＞0，∴﹣2x﹣4＞0，解得x＜﹣2．故选D．10．在平面直角坐标系中，已知A（1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PAO 为等腰三角形，这样的P点有几个（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】建立平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．【解答】解：如图所示，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有8个．故选B．二、填空题（本大题共8空，每空2分，共计16分）11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．12．某街道总人口约为39480人，对这个数据精确到千位可以表示为 3.9×104．【考点】近似数和有效数字．【分析】先用科学计数法表示出来，再按精确度求出即可．【解答】解：39480=3.9480×104≈3.9×104，故答案为：3.9×104．13．已知点A（x﹣4，x+2）在y轴上，则x的值等于4．【考点】点的坐标．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．【解答】解：∵点A（x﹣4，x+2）在y轴上，∴x﹣4=0，解得x=4．故答案为：4．14．点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．15．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=3x+2，且交y轴于点（0，﹣1），则其函数表达式是y=3x﹣1．【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】根据平行直线的解析式求出k值，再把点的坐标代入解析式求出b值，即可得解．【解答】解：∵y=kx+b的图象平行于直线y=3x+2，∴k=3，又∵与y轴的交点坐标为（0，﹣1），∴b=﹣1，∴函数的表达式是y=3x﹣1．故答案为：y=3x﹣1．16．如图，已知函数y1=2x﹣1和y2=x﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式y1＞y2的解集是x＞﹣2．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．【解答】解：∵函数y1=2x﹣1和y2=x﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式y1＞y2的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．17．如图，正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为y=﹣0.5x+5．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC=OB，AD=AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y=ax+b，解出解析式即可．【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）经过点A（2，4）∴4=2k，解得：k=2，∴y=2x；∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，∴OB=2，AB=4，∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，∴DC=OB=2，AD=AB=4∴C（6，2）设直线AC的解析式为y=ax+b，把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，解得：，所以解析式为：y=﹣0.5x+518．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树4米才是安全的．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，在Rt△ABC中，AC===4米．即小孩至少离开这棵树4米才是安全的．故答案为：4．三、解答或证明题（本大题共计54分）19．求下列各式中的x的值或计算：（1）（x+1）2=16（2）|1﹣|+﹣（π﹣3.14）0．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）开方得：x+1=4或x+1=﹣4，解得：x=3或x=﹣5；（2）原式=﹣1+2﹣1=．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出P的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换；待定系数法求一次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）根据轴对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）连接A1C交y轴于P，连接AP，则点P即为所求，再根据C（3，4），A1（﹣1，1），求得直线A1C解析式为y=x+，最后令x=0，求得y的值，即可得到P 的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）连接A1C交y轴于P，连接AP，则点P即为所求．根据轴对称的性质可得，A1P=AP，∵A1P+CP=A1C（最短），∴AP+PC+AC最短，即△PAC的周长最小，∵C（3，4），A1（﹣1，1），∴直线A1C解析式为y=x+，∴当x=0时，y=，∴P（0，）．21．已知y与x﹣2成正比例，且当x=1时，y=﹣6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当x=﹣2时的函数值．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据y与x﹣2成正比例，设出一次函数的关系式，再把当x=1时，y=﹣6代入求出k的值即可；（2））把x=﹣2代入（1）中所求解析式即可求得y的值．【解答】解：（1）设y=k（x﹣2）（k≠0），将x=1时y=﹣6代入，得﹣6=k（1﹣2），解得k=6，所以y=6x﹣12；（2）把x=﹣2代入，得y=6×（﹣2）﹣12=﹣24．22．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AD，CB=CD．求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）AC垂直平分BD．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据SSS定理推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】证明：（1）∵在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，又∵AB=AD，∴AC垂直平分BD．23．已知一次函数的图象a过点M（﹣1，﹣4.5），N（1，﹣1.5）（1）求此函数解析式，并画出图象；（2）若函数图象与x轴交于点A，直线a与b相交于点P（4，m），a、b与x 轴围成的△PAC的面积为3，求出点C的坐标．【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）C的坐标是m，利用三角形的面积公式即可得到关于m的方程，即可求解．【解答】解：（1）设函数的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=1.5x﹣3；（2）在y=1.5x﹣3中，令x=4，解得：y=3，则P的坐标是：（4，3），设C的坐标是m，则|m﹣2|×3=3，解得：m=4或0．则C的坐标是：（4，0）或（0，0）．24．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）首先设甲店B型产品有（70﹣x），乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，列出不等式方程组求解即可；（2）由（1）的解析式和x的取值范围可得几种不同的分配方案．【解答】解：依题意，分配给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有{30﹣（40﹣x）}件，则（1）W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=20x+16800．由，解得10≤x≤40．（2）由W=20x+16800≥17560，∴x≥38．∴38≤x≤40，x=38，39，40．∴有三种不同的分配方案．方案一：x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；方案二：x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；方案三：x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．25．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两地的距离；（2）求两车的速度；（3）求点C的坐标，并写出点C的实际意义．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设线段AB的解析式为y=kx+b，将（2，150）和（3，0）代入，可求线段AB的解析式，根据线段AB的解析式求A点坐标，得出甲乙两地之间的距离；（2）设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时，根据相遇时：轿车路程+货车路程=甲乙两地距离，轿车路程﹣货车路程=90，列方程组求解即可．（3）根据两车相遇后继续前行，轿车到达乙地时，两车之间的距离为y（千米），即可得出点C的实际意义．【解答】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，由题意知直线AB过（2，150）和（3，0），，解得．∴直线AB的函数关系式为y=﹣150x+450；当x=0时，y=450，∴甲乙两地的距离为450千米．（2）设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时．根据题意得3V1+3V2=450.3V1﹣3V2=90．解得：V1=90，V2=60，故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时．（3）轿车到达乙地的时间为450÷90=5小时，此时两车间的距离为（90+60）×（5﹣3）=300千米，故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．26．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．（1）求A、B、C三点坐标；（2）若在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，则P点坐标是（0，6）或（0，）或（0，﹣）；（3）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）联立两直线解析式，解方程即可求得A点坐标，在y=﹣2x+7中分别令x=0和y=0，则可求得B、C的坐标；（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理可求得OA，且可用y表示出AP、OP 的长，分OA=AP和OA=OB两种情况可分别得到关于y的方程，可求得y的值，即可求得P点坐标；（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线=S△OAQ﹣S△OAC列出关于y的方上时，作QD⊥x轴于点D，则QD=﹣y，根据S△OCQ程解方程求得即可．【解答】解：（1）联立两直线解析式可得，解得得，∴A点坐标是（2，3），在y=﹣2x+7中，令x=0可得y=7，令y=0可得﹣2x+7=0，解得x=，∴B（0，7），C（，0）；（2）设P点坐标是（0，y），则PA==，PO=|y|，且AO==，∵△OAP是以OA为腰的等腰三角形，∴有PA=OA或PO=OA两种情况，①当PA=OA时，即=，解得y=0或y=6，当y=0时P与O重合，舍去，∴P（0，6）；②当PO=OA时，即|y|=，解得y=，∴P（0，）或（0，﹣），故答案为：（0，6）或（0，）或（0，﹣）；（3）存在；=××3=＜6，S△AOB=×7×2=7＞6，∵S△AOC∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x，=S△OAB﹣S△OAQ=7﹣6=1，∴S△OBQ∴OB•QD=1，即×7x=1，∴x=，把x=代入y=﹣2x+7，得y=，∴Q的坐标是（，），当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=﹣y，=S△OAQ﹣S△OAC=6﹣=，∴S△OCQ∴OC•QD=，即××（﹣y）=，∴y=﹣，把y=﹣代入y=﹣2x+7，解得x=，∴Q的坐标是（，﹣），综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为（，）或（，﹣）2017年3月8日。
江苏省无锡市2016年中考数学真题试题(含参考答案)
22．如图，OA=2，以点 A 为圆心，1 为半径画⊙A 与 OA 的延长线交于点 C，过点 A 画 OA 的垂线，垂线与 ⊙A 的一个交点为 B，连接 BC （1）线段 BC 的长等于 ； （2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题： ①以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，与射线 BA 交于点 D，使线段 OD 的长 等于 ②连 OD，在 OD 上画出点 P，使 OP 得长等于，请写出画法，并说明理由．
（1）求经销成本 p（万元）与销售额 y（万元）之间的函数关系式； （2）分别求该公司 3 月，4 月的利润； （3）问：把 3 月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额 比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200 万元？（利润=销售额﹣经销成本） 26．已知二次函数 y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD=2：3 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若 tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．
17．如图，已知▱OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x=1 和 x=4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为 ．
18．如图，△AOB 中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运 动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm/s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF，则当点 C 运动了 s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切．
宜兴初三数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\frac{1}{3}$C. $\pi$D. $\sqrt{3} + \sqrt{5}$2. 已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $x_1 +x_2$ 的值为（）A. 5B. 6C. 10D. 153. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若 $\angle BAC = 40^\circ$，则 $\angle B = \angle C = $（）A. $40^\circ$B. $50^\circ$C. $60^\circ$D. $70^\circ$4. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = x^2$D. $y =\frac{1}{x^2}$5. 若 $a > b$，则下列不等式中正确的是（）A. $a + 1 > b + 1$B. $a - 1 > b - 1$C. $a - 2 > b - 2$D. $a + 2 > b + 2$6. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（-2，3）关于直线 $y = x$ 对称的点的坐标是（）A.（2，1）B.（1，-2）C.（-2，3）D.（-3，2）7. 若 $a^2 + b^2 = 1$，则 $a^4 + b^4$ 的最大值为（）A. 1B. 2C. $\sqrt{2}$D. 38. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 等边三角形的边长都相等C. 对顶角相等D. 相等的角不一定是对顶角9. 已知 $a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $a^2 + b^2 > a^2b^2$B. $a^2 + b^2 \geq 2ab$C. $a^2 - b^2 \geq 0$D. $a^2 + b^2 \leq 2ab$10. 下列函数中，单调递减的是（）A. $y = x^2$B. $y = 2^x$C. $y = \log_2 x$D. $y = \sqrt{x}$二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 已知方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $x_1 \cdot x_2 = $______。
2016年中考数学模拟试卷(含答案解析) (12)
2016届九年级第一次模拟考试数学试题卷 (梁溪区） 2016.4本试卷分试题和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上． 考试时间为120分钟．试卷满分130分． 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、考试号等信息填写在答题卷的相应位置上，并仔细核对确保无误．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卷上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题．．卷．上相应的答案．．．．．．涂黑．） 1．－3的绝对值是…………………………………………………………………………（ ▲ ）A ．3B ．－3C ．13D ．－132．计算(－xy 3)2的结果是…………………………………………………………………（ ▲ ）A ．x 2y 6B ．－x 2y 6C ．x 2y 9D ．－x 2y 93．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40º，则∠ECD 的度数是………………（ ▲ ） A ．70º B ．60º C ．50º D ．40º4．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是………………（ ▲ ）5．下列调查中，适宜采用普查方式的是………………………………………………（ ▲ ） A ．了解一批圆珠笔的使用寿命 B ．了解全国九年级学生身高的现状C ．考察人们保护海洋的意识D ．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件6. 若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2是关于x 、y 的二元一次方程ax －3y ＝1的解，则a 的值为………………（ ▲ ）A. －5B. －1C. 2D. 77．直线y ＝2x ＋2沿y 轴向下平移6个单位后与y 轴的交点坐标是…………………（ ▲ ）（第3题）A. B. C. D.（第4题）（第9题）A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(0，4)D ．(0，－4)8．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别是6cm 、8cm ，AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE 的长是………………………………………………………………………（ ▲ ）A ．532 cmB ．25cmC ．485cmD ．245cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为……………（ ▲ ） A. 92 B. 133 C. 4313 D. 2 5 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE ⊥BC 于点E ，点P 是边BC 上的一个动点，AP 与CD 相交于点Q ．当AP ＋PD 的值最小时，AQ 与PQ 之间的数量关系是………………………………………………………………（ ▲ ）A ．AQ ＝5 2 PQ B ．AQ ＝3PQ C ．AQ ＝ 83PQ D ．AQ ＝4PQ二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题．．卷．相应位置．．．．上．） 11．函数y ＝x ＋2中自变量x 的取值范围是 ▲ . 12．因式分解ab 3－4ab ＝ ▲ .13．2016年我国大学毕业生将达到7650000人，该数据用科学记数法可表示为 ▲ . 14．已知扇形的圆心角为60º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 ▲ cm.15．已知反比例函数的图象经过点（m ，4）和点（8，－2），则m 的值为 ▲ ．16． 如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为 ▲ ．17．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点. 在点P 从点C 移动到点D 时，点M 运动的路径长度为 ▲ ．18．如图坐标系中，O (0，0) ，A (6，63)，B (12，0)．将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A恰好落在线段OB 上的点E 处，若OE ＝245，则CE :DE 的值是 ▲ ．ABC（第16题）（第17题）FEAB·M · ·（第10题）ACBDE Q（第8题）AEBC D三、解答题（本大题共10小题，共计84.）19．（8分）（1）计算：16－||－2＋2×(－3)；（2）化简：(1＋1a )20．（8分）（1）解方程：1＋3x x －2＝6x －2； （2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞2x ，12x ＋3≤－1.21．（8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 在AC 上，且∠ABE ＝∠CDF ，求证：BE ＝DF .22．（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）23．（8分）图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON ＝90º；（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）.24．（8分）某厂生产A 、B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次图1 图2A BCDFE单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图.并求得了A 产品三次单价的平均数和方差：—x A ＝5.9；s 2A ＝13[(6－5.9)2＋(5.2－5.9)2＋(6.5－5.9)2]＝43150.（1）补全图中B 产品单价变化的折线图. B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了 %； （2）求B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；（3）该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为6.5元/件，B 产品的单价比3元/件上调m %（m ＞0），使得A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的2倍少1， 求m 的值.25．（8分）某工厂接受了20天内生产1200台GH 型电子产品的总任务. 已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G 型装置或3个H 型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好全部配套组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G 型装置. 请问至少需要补充多少名新工人？26．（8分）已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线．．BC 上，且BE ＝2CE ，连结AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处． （1）如图1，若点E 在线段BC 上，求CF 的长； （2）求sin ∠DAB 1的值.ADAD27．（10分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2，3).（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.28．（10分）如图，Rt△ABC中，M为斜边AB上一点，且MB＝MC＝AC＝8cm，平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移，运动到经过点M时停止. 直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P，以DE为边向下作等边△DEF，设△DEF与△MBC重叠部分的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（秒）．（1）求边BC的长度；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t ，使得以点D 为圆心、BD 为半径的圆与直线EF相切？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．ABCM备用图ABC MPDEl。
江苏省无锡市宜兴市实验中学2016届九年级数学上学期第一次课堂检测试题(含解析)苏科版
江苏省无锡市宜兴市实验中学2016届九年级数学上学期第一次课堂检测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2+7x+a=0中，a＜0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定2．下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．过三点一定能作一个圆C．垂直于弦的直径一定平分这条弦D．三角形的外心到三边的距离相等3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）A．25° B．30° C．40° D．50°4．如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP 的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④5．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=0.5AC；④DE是⊙O的切线．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）7．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=10cm，则PQ的值（）A．5cm B． cm C．6cm D．8cm8．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70度．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③ =；④CE×AB=2BD2．其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④10．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题纸相对应的位置上．11．在半径为2cm的⊙O中有一长度为2cm的弦，则该弦所对的圆周角度数等于．12．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场日盈利可达到2100元．则可列方程为．13．已知Rt△ABC的两直角边分别是方程x2﹣6x+8=0的两根，则Rt△ABC的外接圆半径是．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为cm．15．已知⊙O的半径OA为1．弦AB的长为，若在⊙O上找一点C，使AC=，则∠BAC= °．16．如图，在三角形ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，则∠BOC= ．17．如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，P n，…，记纸板P n的面积为S n，试通过计算S1，S2，猜想得到S n﹣1﹣S n= （n≥2）．18．在RT△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心，r为半径，若要使⊙C与边AB 只有一个公共点，则r的取值范围是．三、解答题：19．解方程：（1）（2x+3）2﹣25=0；（2）3x（x﹣2）=x﹣2；（3）x2﹣2x﹣2=0．20．已知，如图AB是⊙O的直径且AB=10，AC是弦，∠A=30°，过C作⊙O的切线交AB延长线于点D，求BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，AC=BD，∠COD=60°．求证：（1）=；（2）△AOC是等边三角形；（3）OC∥BD．22．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？23．如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．24．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE 并延长交CE的延长线于点F．求：（1）⊙O的半径；（2）求CE•CF的值．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．26．如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．27．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市实验中学九年级（上）第一次课堂检测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2+7x+a=0中，a＜0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定【考点】根的判别式．【分析】先求出方程的根的判别式，再根据a的范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．【解答】解：方程的判别式为△=49﹣4a，因为a＜0，所以49﹣4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：B．2．下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．过三点一定能作一个圆C．垂直于弦的直径一定平分这条弦D．三角形的外心到三边的距离相等【考点】垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定．【分析】根据相关概念和定理判断．注意：①圆的切线和圆只有一个公共点即切点；②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．【解答】解：A、应为与圆只有一个交点的直线是圆的切线，错误；B、过不在同一直线上的三点才能作一个圆，错误；C、正确；D、到三角形三边距离相等的是三角形的内心，故错误；故选C．3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D 的度数（）A．25° B．30° C．40° D．50°【考点】切线的性质．【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=25°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．【解答】解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选C．4．如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP 的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据实际情况来分情况判断函数图象．【解答】解：点P顺时针旋转时，AP长度慢慢增大；当A，O，P在一条直线上时，AP为圆O的直径，此时最大；继续旋转，当P，0，B在一条直线上时，AP和一开始的位置相同；当和点A重合时，距离为0；继续旋转，回到点B，AP长也回到原来的长度．①对；同理，逆时针旋转时，有3次AP长是相等的，最后回到原来的位置，③对．故选B．5．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=0.5AC；④DE是⊙O的切线．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，在△ACD与△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC=AB，∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，∴ED是圆O的切线，故④正确；由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；∵点O是AB的中点，故③正确，故选D．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．7．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=10cm，则PQ的值（）A．5cm B． cm C．6cm D．8cm【考点】特殊角的三角函数值；圆周角定理；平行线分线段成比例；解直角三角形．【分析】连接AP、BQ，构造直角三角形，根据∠ACP的余弦值列出等式即可求解．【解答】解：连接AP、BQ．∵AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，∴∠APQ=∠BQC=90°．设BC=x，在Rt△BCQ中，cos∠ACP=cos30°===，∴QC=x．在Rt△APC中，cos∠ACP=cos30°===，解得PQ=5cm．故选B．8．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．【解答】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，∴点B的坐标为（0，﹣4），又∵点P的坐标为（0，﹣7），∴BP=3，①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，连接BC，在Rt△BCP中，CP==4；故CD=2CP=8，②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；所以，8≤CD≤10，综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．故选C．9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70度．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③ =；④CE×AB=2BD2．其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】根据圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定，采用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD、BE，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，AE⊥BE，∵CD=BD，∴AC=AB，所以②对．∴∠C=∠ABC=70°，∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠ABC=40°≠45°，所以①错．∵∠ABE=90°﹣∠BAC=50°≠40°，∴，所以③错．∵∠C=∠ABC，∠CEB=∠ADB=90°，∴△CEB∽△BDA，∴，∴CE•AB=CB•BD=2BD2，所以④对，故选C．10．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B． C． D．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】本题已知正方形的对角线长是a，就可求出正方形的边长，从而求解．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：对角线长为a的正方形桌面的边长EF=a，又∵四边形AEFD为矩形，∴AD=EF=a，又BC=a，∴AB==，则桌布下垂的最大长度为．故选C．二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题纸相对应的位置上．11．在半径为2cm的⊙O中有一长度为2cm的弦，则该弦所对的圆周角度数等于60°或120°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】首先根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，通过垂径定理，即可推出∠AOD 的度数，求得∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠AMB和∠ANB的度数．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OA=2cm，AB=2cm，∴AD=BD=2，∴AD：OA=：2，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AMB=60°，∴∠ANB=120°．故答案为：60°或120°．12．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场日盈利可达到2100元．则可列方程为（50﹣x）（30+2x）=2100 ．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．【解答】解：由于降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，故答案为：（50﹣x）（30+2x）=2100．13．已知Rt△ABC的两直角边分别是方程x2﹣6x+8=0的两根，则Rt△ABC的外接圆半径是．【考点】三角形的外接圆与外心；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．【分析】先求出两直角边的长，根据勾股定理求出斜边的长，进而可得出结论．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得，x1=2，x2=4，∵Rt△ABC的两直角边分别是方程x2﹣6x+8=0的两根，∴斜边的长==2，∴Rt△ABC的外接圆半径=．故答案为：．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为 2 cm．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，则AD=4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）【解答】解：作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2．15．已知⊙O的半径OA为1．弦AB的长为，若在⊙O上找一点C，使AC=，则∠BAC=75或15 °．【考点】圆周角定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值．【分析】画出图形，构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得∠BAO和∠CAO，再求出∠BAC的度数即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，∵AB=，AC=，∴由垂径定理得，AE=，AF=，∵OA=1，∴由勾股定理得OE=，OF=，∴∠BAO=45°，∴OF=OA，∴∠CAO=30°，∴∠BAC=75°，当AB、AC在半径OA同旁时，∠BAC=15°．故答案为：75°或15°．16．如图，在三角形ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，则∠BOC=125°．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据弦相等，则对应的弦心距相等，即O到△ABC的三边相等，则O是△ABC的内心，然后根据内心的性质求解．【解答】解：∵⊙O截△ABC的三边所得的弦相等，∴O到△ABC三边的距离相等，∴O在三角形的角的平分线上，即O是△ABC的内心．∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），又∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°．∴∠OBC+∠OCB=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案是：125°．17．如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，P n，…，记纸板P n的面积为S n，试通过计算S1，S2，猜想得到S n﹣1﹣S n= （）2n﹣1π．（n≥2）．【考点】扇形面积的计算．【分析】由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，得到S1=π×12=π，S2=π﹣π×（）2．同理可得S n﹣1=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣2]2，S n=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣2]2﹣π×[（）n﹣1]2，它们的差即可得到．【解答】解：根据题意得，n≥2．S1=π×12=π，S2=π﹣π×（）2，…S n﹣1=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣2]2，S n=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣2]2﹣π×[（）n﹣1]2，∴S n﹣1﹣S n=π×（）2n﹣2=（）2n﹣1π．故答案为（）2n﹣1π．18．在RT△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心，r为半径，若要使⊙C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是r=或6＜r≤8．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：如图，∵斜边AB=10，直角边AC=8，∴BC==6．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，r=CD==；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8．故答案为：r=或6＜r≤8．三、解答题：19．解方程：（1）（2x+3）2﹣25=0；（2）3x（x﹣2）=x﹣2；（3）x2﹣2x﹣2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（2x+3）2=25，开方得：2x+3=5或2x+3=﹣5，解得：x1=1，x2=﹣4；（2）方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣1）=0，解得：x1=2，x2=；（3）方程整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．20．已知，如图AB是⊙O的直径且AB=10，AC是弦，∠A=30°，过C作⊙O的切线交AB延长线于点D，求BD的长．【考点】切线的性质．【分析】连接OC，即可求得∠D=30°，从而求得OD的长，根据BD=OD﹣OB即可求解．【解答】解：连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠COB=60°，∵DC是切线，∴OC⊥DC，∴∠D=30°，∴OD=2OC=10，∴BD=OD﹣OB=10﹣5=5．21．如图，AB是⊙O的直径，AC=BD，∠COD=60°．求证：（1）=；（2）△AOC是等边三角形；（3）OC∥BD．【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定；等边三角形的判定．【分析】（1）由圆周角、弧、弦的关系进行证明即可；（2）欲证明△AOC是等边三角形，只需证得等腰△AOC的一内角为60度即可；（3）通过△OBD的等边三角形得到∠OBD=∠AOC=60°，则由“同位角相等，两直线平行”证得结论．【解答】证明：（1）如图，∵AC=BD，∴=，∴+=+，即=；（2）∵AC=BD，∴∠AOC=∠BOD∵∠COD=60°∴∠AOC=∠BOD=60°，又∵OC=OA∴△AOC是等边三角形；（3）由（2）知，∠AOC=∠BOD=60°，又∵OD=OB，∴△BOD是等边三角形，∴∠OBD=∠AOC=60°，∴OC∥BD．22．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．（2）假使矩形面积为320，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米．依题意，得x•（50﹣2x）=300，即，x2﹣25x+150=0，解此方程，得x1=15，x2=10．∵墙的长度不超过25m，∴x2=10不合题意，应舍去．∴垂直于墙的一边长AB为15米．（2）不能．因为由x•（50﹣2x）=320得x2﹣25x+160=0．又∵b2﹣4ac=（25）2﹣4×1×160=﹣15＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为320m2．23．如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．【考点】切线的性质．【分析】由于AM是切线，BD⊥AM，易得∠OAM=∠BDM=90°，从而可证OA∥BD，那么就有∠AOC=∠BCO，∠AOB+∠OBC=180°，而OB=OC，OC是∠AOB角平分线，易得∠AOB=2∠OBC，也就有2∠OBC+∠OBC=180°，从而可求∠B．【解答】解：如右图所示，∵AM是切线，∴OA⊥AM，∴∠OAM=90°，又∵BD⊥AM，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=∠BDM，∴AO∥BD，∴∠AOC=∠BCO，∠AOB+∠OBC=180°，又∵OB=OC，OC是∠AOB平分线，∴∠OBC=∠OCB，∠BOC=∠AOC，∴2∠OBC+∠OBC=180°，∴∠OBC=60°．答：∠B的度数是60°．24．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE 并延长交CE的延长线于点F．求：（1）⊙O的半径；（2）求CE•CF的值．【考点】垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM=AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根据勾股定理得BM=4k，则4k=4，解得k=1，于是得到圆O的半径为5；（2）连结AE，如图，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理计算出AC2=AM2+CM2=80，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF，易证得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根据比例性质得CE•CF=AC2=80．【解答】解：（1）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，∵直径CD⊥AB，∴BM=AM=AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，∴BM==4k，∴4k=4，解得k=1，∴圆O的半径为5；（2）连结AE，如图，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，∴AC2=AM2+CM2=16+64=80，∵直径CD⊥AB，∴∠AEC=∠CAF，又∵∠ACF=∠FCA，∴△CAE∽△CFA，∴AC：CF=CE：AC，∴CE•CF=AC2=80．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．【考点】切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则=，从而求得r；（2）由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B=∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE 是菱形．【解答】解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC．∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴=，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B．∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB．∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=60°．∵OD=OE．∴OD=DE．∵OD=OF，∴DE=OF．又∵DE∥OF，∴四边形OFDE是平行四边形．∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形．26．如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD；（2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°；（3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式的．【解答】解：（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．∵OA是半圆C的直径，∴∠APO=90°，即OP⊥AD．又∵OA=OD，∴AP=PD；（2）如图①，连接PC、OD．∵OD是半圆C的切线，∴∠AOD=90°．由（1）知，AP=PD．又∵AC=OC，∴PC∥OD，∴∠ACP=∠AOD=90°，∴的长==π；（3）分两种情况：①当点E落在OA上（即0＜x≤2时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED，∴=．∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴=，∴y=﹣x2+4（0＜x≤2）；②当点E落在线段OB上（即2＜x＜4）时，如图③，连接OP．同①可得，△APO∽△AED，∴=．∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴=，∴y=x2﹣4（2＜x＜4）．27．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围；（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OEFE、FA是⊙O的两条切线∴∠FAO=∠FEO=90°在Rt△OAF和Rt△OEF中，∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，∴∠AOF=∠ABE，∴OF∥BE，（2）解：过F作FQ⊥BC于Q∴PQ=BP﹣BQ=x﹣yPF=EF+EP=FA+BP=x+y∵在Rt△PFQ中∴FQ2+QP2=PF2∴22+（x﹣y）2=（x+y）2化简得：，（1＜x＜2）；（3）存在这样的P点，理由：∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，此时Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，∴∴当时，△EFO∽△EHG．。
中考数学一模试卷含答案解析5
江苏省无锡市宜兴市周铁学区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2B．0C．2D．42．科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（）A．3.5×10﹣6B．3.5×106C．3.5×10﹣5D．35×10﹣53．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9B．a2•a4=a8C．=±3D．=﹣24．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁185180185180平均数（cm）方差 3.6 3.67.48.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形8．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．29．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．分解因式：xy2﹣x=．13．方程=1的根是x=．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE 与△ABC的面积之比为．16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．17．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD=．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．计算：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）20．（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．21．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？23．在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是．（1）袋子中黄色小球有个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．24．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？25．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．27．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF 的长．28．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省无锡市宜兴市周铁学区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2B．0C．2D．4【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣2的相反数是2．故选C．2．科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（）A．3.5×10﹣6B．3.5×106C．3.5×10﹣5D．35×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000035=3.5×10﹣6，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9B．a2•a4=a8C．=±3D．=﹣2【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式．【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项．【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；B、a2•a4=a6，故错误；C、=3，故错误；D、=﹣2，故正确，故选D．4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁185180185180平均数（cm）方差 3.6 3.67.48.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【解答】解：∵=＞=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=＜＜，∴选择甲参赛，故选：A．5．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形【考点】矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；轴对称图形．【分析】由菱形的判定方法得出选项A错误；由全等三角形的判定方法得出选项B错误；由矩形的性质得出选项C正确；由平行四边形的性质得出选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC=2，BC=1，则tanα==．故选C．9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3【考点】三角形的面积．【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2=•AB•AC=×2×2=4，∵S△ABC=2，∴S△ADC∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，=•EF•BH=×2×=，∴S△BEF故选C．二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．12．分解因式：xy2﹣x=x（y﹣1）（y+1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，=x（y2﹣1），=x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．13．方程=1的根是x=﹣2．【考点】分式方程的解．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3，解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，故方程的解为x=﹣2，故答案为：﹣2．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是8π．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE 与△ABC的面积之比为1：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（AD：AB）2=1：9，故答案为：1：9．16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，∴BE=AE•tan60°=10（m），∴BC=CE+BE=10+1（m）．∴旗杆高BC为10+1m．故答案为：10+1．17．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD=．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∴CD=5，连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故答案为：．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QC PF，计算即可．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，即=，解得，FM=，由折叠的性质可知，FP=FC=1，∴PM=，故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．计算：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先算绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再相加即可求解；（2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：（1）﹣|﹣1|+•cos30°﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0=﹣1+2×﹣4+1=﹣1+3﹣4+1=﹣1；（2）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2=﹣xy+3y2．20．（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元一次不等式组．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：（1）x2+3x﹣2=0，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，x1=，x2=﹣；（2）∵解不等式①得：x≥4，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．21．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决．（2）用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可．（3）用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）设本次测试共调查了x名学生．由题意x•20%=10，x=50．∴本次测试共调查了50名学生．（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人．条形统计图如图所示，（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%，∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．23．在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是．（1）袋子中黄色小球有1个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）应先根据白球的个数及概率求得球的总数，减去白球和蓝球的个数即为黄球的个数；（2）用树状图列举出所有情况，看两次都摸出白球的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）黄球个数=2÷﹣2﹣1=1；（2）共有12种情况，两次都摸出白球的情况有2种，所以概率是．24．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80﹣x）名工人加工H型装置，利用每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成得出等式求出答案；（2）设招聘a名新工人加工G型装置，设x名工人加工G型装置，（80﹣x）名工人加工H型装置，进而利用每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH 型产品得出等式表示出x的值，进而利用不等式解法得出答案．【解答】解：（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80﹣x）名工人加工H型装置，根据题意，=，解得x=32，则80﹣32=48（套），答：每天能组装48套GH型电子产品；（2）设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80﹣x）名工人加工H型装置，根据题意，=，整理可得，x=，另外，注意到80﹣x≥，即x≤20，于是≤20，解得：a≥30，答：至少应招聘30名新工人，25．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．【解答】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m∴DS=+=2m．26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．27．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF 的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，∴PN=PM=2，PB=PA=4，∴AN=BM==2．∴b=AC=2AN=4，a=BC=4．故答案为4，4，如图2中，连接NM，，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，∴PN=，PM=，∴AN=，BM=，∴a=BC=2BM=，b=AC=2AN=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接MN．∵AM、BN是中线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴==，设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．28．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象①AB为平行四边形的边时，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM 与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=×6×=．（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+2，∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．2017年3月28日。
江苏省无锡市宜兴实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷
九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知a2=b5，则b−aa的值为（）A. 32B. 23C. 25D. 522.关于x的方程（m+1）xm2+1+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（）A. m1=−1，m2=1B. m=1C. m=−1D. 无解3.如果关于x的一元二次方程ax2+x-1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a>−14B. a≥−14C. a≥−14且a≠0D. a>14且a≠04.在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（）A. 12人B. 18人C. 9人D. 10人5.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A. x2−2x−99=0化为(x−1)2=100B. x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t2−7t−4=0化为(t−74)2=8116D. 3x2−4x−2=0化为(x−23)2=1096.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③8.如图，直线AB与▱MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D，则图中的相似三角形有（）.A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对9.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A. △PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC. △ABC∽△DBAD. △ABC∽△DCA10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A. 2B. 54C. 53D. 75二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.在比例尺为1：1 000 000的地图上，测得A、B两城市的距离是17.5cm，则A、B两城市的实际距离是______km．12.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是______．13.已知一元二次方程x2+mx-2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=______．14.已知线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=______（精确到0.01）15.方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为______．16.若关于x的一元二次方程（m2+1）x2-（2m+1）x+1=0有两实根，则m的取值范围是______．17.如果（x2+y2）（x2+y2-2）=3，则x2+y2的值是______．18.如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.解一元二次方程：（1）（2x-5）2=9（2）x2-4x=96（3）3x2+5x-2=0（4）2（x-3）2=-x（3-x）20.（1）计算：（-2）2-（2-3）0+2×12（2）化简：（1+1x−1）•1x．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）21.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=______；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．22.如图，在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）若DE=23，F为AD的中点，求BD的长度．23.端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出______只粽子，利润为______元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？24.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+m2-14=0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？25.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．26.已知：如图，已知△ABC中AB=6cm，AC=4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t（s），问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？27.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．28.再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB=______（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．29.如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8．点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．（1）当t=2时，求线段PQ的长；（2）求t为何值时，点P与N重合；（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：设=k，则a=2k，b=5k．则原式==．故选：A．设=k，则a=2k，b=5k，代入所求的式子求解即可．本题考查比例的性质，正确进行设未知数是本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由题意得：m2+1=2，m+1≠0，解得m=±1且m≠-1，所以m=1，故选：B．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0．3.【答案】C【解析】解：依题意列方程组，解得a≥-且a≠0．故选C．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足△=b2-4ac≥0．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4.【答案】C【解析】解：设参加这次会议的人数是x人，根据题意得x（x-1）=36，解之得x=9，或x=-8（舍去）故选：C．设参加这次会议的人数是x人每个人握手（x-1）次，则共有x（x-1）次，而每两个人只握手一次，因而共有次，根据“共握手36次”得x（x-1）=36，解方程并根据实际意义进行值的取舍可知参加这次会议的人数．根据题意找相等关系：每人需握手（x-1）次，一共握手x（x-1）次．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：A、∵x2-2x-99=0，∴x2-2x=99，∴x2-2x+1=99+1，∴（x-1）2=100，故A选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=-9，∴x2+8x+16=-9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．C、∵2t2-7t-4=0，∴2t2-7t=4，∴t2-t=2，∴t2-t+=2+，∴（t-）2=，故C选项正确．D、∵3x2-4x-2=0，∴3x2-4x=2，∴x2-x=，∴x2-x+=+，∴（x-）2=．故D选项正确．故选：B．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．8.【答案】C【解析】【分析】考查相似三角形的判定问题，只要两个对应角相等，即为相似三角形．熟练掌握三角形的判定及性质．【解答】解：由题意，AQ∥NP，MN∥BQ，∴△ACM∽△DCN，△CDN∽△BDP，△BPD∽△BQA，△ACM∽△ABQ，△DCN∽△ABQ，△ACM∽△DBP，所以图中共有六对相似三角形．故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，∴∴∴△ABC∽△DBA，故C正确．故选：C．根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．10.【答案】D【解析】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵•BC•AH=•AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE=DB=DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO=•BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故选：D．如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．11.【答案】175【解析】解：设A、B两城市的实际距离是x，则：1：1000000=17.5：x，∴x=17500000cm，∵17500000cm=175km，∴A、B两城市的实际距离是175km．根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．由比例尺的计算方法求解．注意单位的统一．12.【答案】100（1+x）2=160【解析】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2=160．故答案为：100（1+x）2=160．设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．13.【答案】-2【解析】解：∵一元二次方程x2+mx-2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==-2．故答案为-2．根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=即可得到答案．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．14.【答案】0.62【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC=AB，而AB=1，∴AC=×1≈0.62．故答案为：0.62．AC=AB，然后把AB=1代入计算即可．本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，难度适中．15.【答案】-3【解析】解：2x-4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=-3．故答案为：-3．先求出方程2x-4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．此题主要考查了一元二次方程的解，先求出x的值，再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键，是一道基础题．16.【答案】m≥34【解析】解：∵方程有两实根，∴△=b2-4ac≥0，即[-（2m+1）]2-4×（m2+1）×1≥0，解这个不等式得，m≥．本题是根的判别式的应用，若关于x的一元二次方程（m2+1）x2-（2m+1）x+1=0有两实根，则△=b2-4ac≥0，列出不等式，求解即可．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17.【答案】3解：设x2+y2=t（t≥0）．则原方程可化为：t（t-2）=3，即（t-3）（t+1）=0，∴t-3=0或t+1=0，解得t=3，或t=-1（不合题意，舍去）；故答案是：3．先设x2+y2=t，则方程即可变形为t（t-2）=3，解方程即可求得t即x2+y2的值．本题考查了换元法--解一元二次方程．解答该题时需注意条件：x2+y2=t且t≥0．18.【答案】2≤a+2b≤5【解析】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．19.【答案】解：（1）（2x-5）2=92x-5=±32x=±3+5x1=4，x2=1；（2）x2-4x=96（x+8）（x-12）=0x+8=0或x-12=0x1=-8，x2=12；（3）3x2+5x-2=0（x+2）（3x-1）=0x+2=0或3x-1=0x1=-2，x2=13；（4）2（x-3）2=-x（3-x）2（x-3）2-x（3-x）=0（x-3）（2x-6+x）=0x-3=0，3x-6=0x1=3，x2=6．【解析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用十字相乘法解方程；（3）利用十字相乘法解方程；（4）利用提公因式法解方程．本题考查的是一元二次方程的解法，掌握十字相乘法、提公因式法解方程的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解：（1）计算：（-2）2-（2-3）0+2×12=4-1+43=3+43（2）（1+1x−1）•1x=xx−1×1x=1x−1【解析】（1）根据整数指数幂、零指数幂，二次根式的性质化简即可；（2）先计算括号，再计算乘法即可；本题考查分式的化简求值、整数指数幂、令指数幂等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的法则，注意最后结果要化成最简分式或整式．21.【答案】135°22【解析】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC===2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∴==，==．∴△ABC∽△DEF．（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．22.【答案】证明：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC；（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴△FDE∽△CBE，∴DEBE=DFBC=12，由DE=23，得BE=43∴BD=63．【解析】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC；（2）由DF∥BC可知==，可求得BE，进一步可求出BD．本题主要考查相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．23.【答案】300+100×m0.1（1-m）（300+100×m0.1）【解析】解：（1）300+100×，（1-m）（300+100×）．（2）令（1-m）（300+100×）=420．化简得，100m2-70m+12=0．即，m2-0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．出的粽子更多．（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2-mx+m2-14=0的两个实数根，∴△=（-m）2-4×（m2-14）=（m-1）2=0，∴m=1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m=1时，原方程为x2-x+14=0，即（x-12）2=0，解得：x1=x2=12，∴菱形ABCD的边长是12．（2）把x=2代入原方程，得：4-2m+m2-14=0，解得：m=52．将m=52代入原方程，得：x2-52x+1=0，∴方程的另一根AD=1÷2=12，∴▱ABCD的周长是2×（2+12）=5．【解析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；（2）将x=2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m 的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．25.【答案】10000（1+3x）0.6（1-x）【解析】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1-x）；故答案为：10000（1+3x）；0.6（1-x）；（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1-x）=7020解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．则x=0.1，答：x的值为0.1；（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，500÷（24000-23000）=0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．26.【答案】解：根据题意得：BE=2t，AD=t，∴AE=6-2t，∵∠A=∠A，∴分两种情况：①当AEAB=ADAC时，即6−2t6=t4，解得：t=127；②当AEAC=ADAB时，即6−2t4=t6，解得：t=94；综上所述：当t=94或127时，△ADE与△ABC相似．【解析】根据题意得出BE=2t，AD=t，得出AE=6-2t，分两种情况：①当时，即，解方程即可；②当时，即，解方程即可．本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论．27.【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴AEAB=12，∵DF=12DC，∴DFDE=12，∴AEAB=DFDE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴EDCG=DFCF，又∵DF=14DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【解析】（1）由正方形的性质可得AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF；（2）由ED∥BG可得，根据DF=DC可得ED=2，CG=6，进而可得答案．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．28.【答案】5【解析】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，AB===，故答案为．理由：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD，∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=．AN=AC=1，CD=AD-AC=-1，∵BC=2，∴=，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵==，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④-1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH=-1，宽HE=3-．（1）理由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④-1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形；本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．29.【答案】解：（1）当t=2时，OM=2，在Rt△OPM中，∠POM=60°，在Rt△OMQ中，∠QOM=30°，∴QM=OM•tan30°=233，∴PQ=CN-QM=23-233=433．（2）由题意：8+（t-4）+2t=24，解得t=203．（3）①当0＜t＜4时，S=12•2t•43=43t．②当4≤t＜203时，S=12×[8-（t-4）-（2t-8）]×43=403-63t．③当203＜t＜8时．S=12×[（t-4）+（2t-8）-8]×43=63t-403．④当8≤t≤12时，S=S菱形ABCO-S△AON-S△ABP-S△PNC=323-12•（24-2t）•43-12•[8-（t-4）]•43-12•（t-4）•32•（2t-16）=-32t2+123t-563．【解析】（1）解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；（2）根据点P、N的路程之和=24，构建方程即可解决问题，；（3）分四种情形考虑问题即可解决问题；本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。
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江苏省无锡市宜兴实验中学2016年中考数学一模试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得﹣的相反数是：﹣（﹣）=．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥1【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（）亿元．A．0.845×104B．8.45×103C．8.45×104D．84.5×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于8450有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．【解答】解：8450=8.45×103．故选B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：2x=2，即x=1，①﹣②得：2y=4，即y=2，则方程组的解为．故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．若一次函数y=（m﹣3）x+5的函数值y随x的增大而增大，则（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3【分析】直接根据一次函数的性质可得m﹣3＞0，解不等式即可确定答案．【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+5中，y随着x的增大而增大，∴m﹣3＞0，解得：m＞3．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y 随x的增大而减小是解答此题的关键．6．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．7．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．8．七边形外角和为（）A．180° B．360° C．900° D．1260°【分析】根据多边形的外角和等于360度即可求解．【解答】解：七边形的外角和为360°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．9．）如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE==，④正确．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）11．9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的算术平方根是|±3|=3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．12．（）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），则当x=﹣2时，y=2．【分析】先把点A（﹣1，4）代入y=求得k的值，然后将x=﹣2代入，即可求出y的值．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4，∴反比例函数解析式为y=﹣，∴当x=﹣2时，y=﹣=2．故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．14．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为12πcm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×4=12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，EF与AC交于点O，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为2．【分析】先根据解直角三角形得到DF和CF的长，再根据勾股定理求得AC的长，并得出AO的长，然后利用勾股定理求得OF的长，最后根据等腰三角形的性质，求得EF的长等于OF长的2倍．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=CD=，∠D=90°∴DF=1，CF=2由折叠可得，AC被EF垂直平分∴AF=CF=2∴AD=2+1=3∴直角三角形ACD中，AC===∴AO=AC=∴直角三角形AOF中，OF==1又∵由折叠得∠AEO=∠CE0，由AD∥BC得∠AFO=∠CEO∴∠AFO=∠AEO，即AF=AE∵AO⊥EF∴EF=2FO=2故答案为：2【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．解题时注意：对应点的连线段被折痕垂直平分．此题也可以通过判定△AEF 为等边三角形进行求解．16．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD=1，则弦AB 的长是 6 ．【分析】连接AO ，得到直角三角形，再求出OD 的长，就可以利用勾股定理求解．【解答】解：连接AO ，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB 的长是6．【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO ，这是解题的关键．17．一组数据3，5，5，4，5，6的众数是 5 ．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．【解答】解：这组数据中出现次数最多的数据为：5．故众数为5．故答案为：5．【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．18．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，有1﹣t=0.5，解得：t=分钟；②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，∵t﹣1=0.5，解得：t=，∵×=6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷=分钟，=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，∴，解得：t=；③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，解得：t=，综上所述开始注入，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．三、解答题（本大题共10小题，满分84分）19．计算：（1）；（2）．【分析】结合二次根式的乘除法、分式的加减法和零指数幂的运算法则求解即可．【解答】解：（1）原式=3﹣1+4=6．（2）原式=﹣（x﹣3）=（x﹣1）﹣（x﹣3）=2．【点评】本题考查了二次根式的乘除法、分式的加减法和零指数幂的知识，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的运算法则．20．解方程：（1）x2﹣3x+2=0；（2）．【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤：①移项使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，即可得答案；（2）依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：（1）方程左边因式分解，得：（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x=1或x=2；（2）去分母，得：3（x+2）﹣x=0，去括号，得：3x+6﹣x=0，移项、合并，得：2x=﹣6，系数化为1，得：x=﹣3，经检验：x=﹣3是原分式方程的解，故该分式方程的解为x=﹣3．【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解方程的转化思想：分式方程转化为整式方程、一元二次方程因式分解转化为两个一元一次方程是解题的关键．21．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．【分析】（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B=∠DEF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB=∠DFE=90°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，=4π，S△AOE=8，∴S扇形AOE=4π﹣8．∴S阴影【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．23．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．请根据图表信息解答下列问题：（1）a=35；（2）补全条形统计图；（3）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？（4）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．【分析】（1）用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值；（2）由（1）中所求a的值得到C类别的人数，即可补全条形统计图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列，求出第50与第51个数的平均数得到中位数，进而求解即可；（4）用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）a=100﹣（5+20+30+10）=35．故答案为35；（2）补全条形统计图如下所示：（3）根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在C类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是1＜t≤1.5；（4）30×=22.5（万人）．即估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人．【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体．25．母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？（3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？【分析】（1）利用A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元，得出等式求出即可；（2）利用两种礼盒恰好用去9600元，结合（1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；（3）首先表示出店主获利，进而利用a，b关系得出符合题意的答案．【解答】解：（1）设A种礼盒单价为2x元，B种礼盒单价为3x元，依据题意得：2x+3x=200，解得：x=40，则2x=80，3x=120，答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：，解得：30≤a≤36，∵a，b的值均为整数，∴a的值为：30、33、36，∴共有三种方案；（3）设店主获利为w元，则w=10a+（18﹣m）b，由80a+120b=9600，得：a=120﹣b，则w=（3﹣m）b+1200，∵要使（2）中方案获利都相同，∴3﹣m=0，∴m=3，此时店主获利1200元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用和一元一次不等式的应用，根据题意结合得出正确等量关系是解题关键．26．（1）如图①，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上一点，DE∥BC，连接CD、BE，CD、BE交于点F，连接AF并延长，分别交DE、BC于点H、G．求证：①；②G是BC的中点．（2）运用（1）中的方法，在图②中，只用一把无刻度的直尺画出矩形ABCD的一条对称轴．（不写画法，保留画图痕迹）【分析】（1）①由DE∥BC，得到△ADH∽△ABG和△AHE∽△AGC，即可得到结论；②易证△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以证得，得到BG=CG即可；（2）①连接AC ，BD ，两线交于点O 1．②在矩形ABCD 外任取一点E ，连接EA ，EB ，分别交DC 于点G ，H ③连接BG ，AH ，两线交于点O 2．④作直线EO 2，交AB 于点M ．⑤作直线MO 1．直线MO 1就是矩形ABCD 的一条对称轴．【解答】（1）证明：①∵DE ∥BC ，∴△ADH ∽△ABG ，∴，同理：，∴； ②∵DE ∥BC∴△FDH ∽△FCG ，∴=，同理：，∴，∴，由（1）得：，∴，∴BG=CG ，即点G 是BC 的中点；（2）解：如图所示，直线MO 1即为所求．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，通过等量代换得到是解决问题的关键．27．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；②先画出反例图形，即可得出答案；（3）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；（2）①证明：如图1，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：小红的猜想不正确，如图：四边形ABCD是“等对角四边形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但是BC和CD不等，所以小红的猜想不正确；（3）解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=2，∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM=2，∵∠BCD=60°，∴CN=，∴BC=CN+BN=3，∴AC==2；综上所述：AC的长为2或2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．28．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得EF∥y轴，设F（m，﹣m2+m+），则E（m，m+1），从而得出（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐标；（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM==2；②根据勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根据三角形中位线定理即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），∴解得，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+x+，∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，∴顶点C的坐标为（1，2）；（2）如图1，作CH⊥x轴于H，∵A（﹣1，0），C（1，2），∴AH=CH=2，∴∠CAB=∠ACH=45°，∴直线AC的解析式为y=x+1，∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∴∠DEF=∠ACH，∴EF∥y轴，∵DE=AC=2，∴EF=4，设F（m，﹣m2+m+），则E（m，m+1），∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，解得m=3（舍）或m=﹣3，∴F（﹣3，﹣6）；（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，∴DF∥BC，∵DF=BC=AC，∴四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，∴EG=BC=AC=2，∵EN⊥EM，∴∠MEN=90°，∵∠CEG=90°，∴∠CEM=∠NEG，∴△ENG∽△EMC，∴=，∵F（﹣3，﹣6），EF=4，∴E（﹣3，﹣2），∵C（1，2），∴EC==4，∴==2，∴tan∠ENM==2；∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；②点P经过的路径是线段P1P2，如图3，∵四边形BCEG是矩形，GP2=CP2，∴EP2=BP2，∵△EGN∽△ECB，∴=，∵EC=4，EG=BC=2，∴EB=2，∴=，∴EN=，∵P1P2是△BEN的中位线，∴P1P2=EN=；∴点M到达点C时，点P经过的路线长为．。