2017-2018学年山西省运城市康杰中学高一(下)期中数学试卷
山西省运城市高一下学期数学期中考试试卷
山西省运城市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列各角中与330°角的终边相同的是（）A . 510°B . 150°C . －150°D . －390°2. （2分） (2019高一下·吉林月考) 若点是角终边上异于原点的任意一点，则的值是（）A .B .C .D .3. （2分）已知||=2, ||=1，，则向量在方向上的投影是（）A .B .C .D . 14. （2分）在中，角所对的边为，满足:,且．若的面积为，则值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高一下·滕州期末) 某扇形的圆心角的弧度数为1，周长为6，则该扇形的面积是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）设G为△ABC的重心，且，则B的大小为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·长安期中) 已知，则sin2x的值等于（）A .B .C . -D . ﹣8. （2分） (2017高三上·石景山期末) 下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A . y=e﹣xB . y=ln（﹣x）C . y=x3D .9. （2分）函数y=x2cosx（）的图象是（）A .B .C .D .10. （2分）若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两相异实根都在（﹣1，3）内，则k的取值范围是（）A . k≥3或k≤0B . k＜﹣1C . k＞0D . （﹣1，0）11. （2分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A . 右移个单位B . 右移个单位C . 左移个单位D . 左移个单位12. （2分）已知,是非零向量且满足，则与的夹角是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·汉中模拟) 已知向量，，若，则________．14. （1分） (2019高一上·山丹期中) 函数的定义域为________.15. （1分）(2017·吉林模拟) 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是________．16. （1分）若cosx=m，则等于________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·宁夏期末) 已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.18. （10分） (2018高一下·平顶山期末) 设向量 .（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值．19. （10分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.（1）求，；（2）若，求 .20. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. ，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，．求S△ABC ．21. （10分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）满足关系式P= （其中a为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨．（1）求a的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值．22. （10分） (2017高二上·清城期末) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
山西省康杰中学2017-2018学年高一5月月考数学试题(解析版)
康杰中学2017—2018学年度第二学期月考高一数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】B【解析】分析：由等差数列的定义和性质可得，再由的值，即可求解.详解：由等差数列的定义和性质可得，又由，所以，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的定义和性质的应用，其中熟记等差数列的通项公式和性质，以及前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 在中，若，则A＝A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150°【答案】D【解析】分析：利用正弦定理，可把变形为，从而求解，即可求解.详解：由正弦定理可得，即为，所以，又，所以或，故选D.点睛：本题主要考查了利用正弦定理解三角形，其中熟记三角形的正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与预算能力.3. 等比数列的各项均为正数，公比满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据题意求出，再用和分别表示出，即可得到答案.详解：由题意，因为，且数列的各项均为正数，所以，又由，故选A.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，着重考查了推理与运算能力.4. 在中，若，则的形状是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】，，则，为等腰三角形，选C.5. 已知数列满足：，点O是平面上不在直线l上的任意一点，l上有不重合的三点A，B，C 且，则＝A. 1010B. 1009C. 1004D. 1005【答案】B【解析】分析：首先由三点共线得，又因为，所以数列为等差数列，利用等差数列的前项和公式，即可求解.详解：因为三点共线，所以，所以，即，因为，所以，又因为，所以数列为等差数列，所以，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式的应用，同时涉及到共线向量的基本定理的应用，其中根据共线向量的基本定理得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 钝角三角形的三边长为连续自然数，则这三边长为A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6【答案】B【解析】分析：不妨设三边满足，满足，根据余弦定理以及角为钝角，建立不等关系式和构成三角形的条件，即可得到答案.详解：不妨设三边满足，满足，因为为钝角三角形，所以为钝角，即，由余弦定理得，即，化简整理得，解得，因为，所以或，当时，不能构成三角形，舍去；当时，的三边分别为，故选B.点睛：本题主要考查了余弦定理求解三角形问题，其中涉及到三角形的边角关系，余弦函数的图象与性质，以及余弦定理的应用，灵活运用余弦定理得到关于的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7.的内角A ，B ，C 的对边分别为，若成等比数列，且，则A. B. C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为成等比数列，，所以，，==。
山西省康杰中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题
康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高一数学试题2018.4 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．00tan 300sin 450+的值为（ ）A. 1+B. 1C. 1-D. 1-2. 已知锐角α的终边上一点0(sin 40,1cos 40)P +，则锐角α＝（ ） A. 080B. 020C. 070D. 0103. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. sin(2)2y x π=+B. cos()cos()2y x x ππ=++C. sin 2cos 2y x x =+D. sin cos y x x =+4. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ） A. 4π-B.6π C.4π D.34π 5. 已知0cos78约等于0.20，那么0sin 66约等于（ ） A. 0.92B. 0.85C. 0.88D. 0.956. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 A. 1B. 4C. 1或4D. 2或47. 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心8. 函数sin()(0,||,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） A. 4sin()84y x ππ=-- B.4sin()84y x ππ=-C. 4sin()84y x ππ=+D. 4sin()84y x ππ=-+9. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 10. 如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则()OP OB OA ⋅-=（ ）A. 12-B.12C. 32-D.3211. 函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A.24πB.12π C.8π D.1124π12. 函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>在[,]34ππ-上递增，则()f x 的最小正周期的最小值为（ ） A. 89πB. πC. 49πD. 2π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知点A(－1，1)，B(1, 2)，C(－2，－1)，D(3, 4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为 . 14. 当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的值域是 .15. 若点O 在ABC ∆内，且满足2690BA BC OC -+=，设BOC S ∆为BOC ∆的面积，ABC S ∆为ABC ∆的面积，则BOCABCS S ∆∆＝ . 16. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,]),x x π∈OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()fx有以下三个结论：①()32f π=； ②任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=； ③任意12,(,)2x x ππ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.其中正确结论的序号是 . （把所有正确结论的序号都填上）.18.（本小题满分12分）平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-= （1）求32a b c +-（2）求满足a mb nc =+的实数,m n . （3）若()//(2)a kc b a +-，求实数k . 19.（本小题满分12分）在OAB ∆中，11,,42OC OA OD OB ==AD 与BC 交于点M ，设,OA a OB b ==，以a 、b 为基底表示.OM20.（本小题满分12分）函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈. （1）求()g a ； （2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值.21.（本小题满分12分）已知两个不共线的向量,a b 的夹角为θ，且||3,||1,a b x ==为正实数. （1）若2a b +与4a b -垂直，求tan θ； （2）若6πθ=，求||xa b -的最小值及对应的x 的值，并指出此时向量a 与xa b -的位置关系.（3）若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程||||xa b ma -=有两个不同的正实数解，且x m ≠，求m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos 1)m x n x x ωωω==+，设函数()f x m n b =⋅+.（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，[0,3]ω∈，求函数()f x 的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.高一数学答案一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 11.A 12.D 二、－1，2] 15. 2916.①② 三、17.（1）－1（2）23218.解：（1）323(3,2)(1,2)2(4,1)a b c +-=+--(9,6)(1,2)(8,2)(0,6)=+--= ………………（4分）（2）a mb nc =+ (3,2)(1,2)(4,1)(4,2).m n m n m n ∴=-+=-++43,2 2.m n m n -+=⎧∴⎨+=⎩解之得5,98.9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………（8分）（3）()//(2),a kc b a +- 又(34,2),2(5,2).a kc k k b a +=++-=-162(34)(5)(2)0,.13k k k ∴⨯+--⨯+=∴=-…………（12分） 19.解：设(,)OM ma nb m n R =+∈，则1(1),2AM OM OA m a nb AD OD OA b a =-=-+=-=- 因为A 、M 、D 三点共线，所以1112m n-=-，即21m n += …………（4分） 又11(),44CM OM OC m a nb CB OB OC a b =-=-+=-=-+因为C 、M 、B 三点共线，所以14114m n -=-， 即41m n +=…………（8分） 由2141,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13.77OM a b =+ …………（12分）20.解：（1）由22()122cos 2sin 122cos 2(1cos )f x a a x x a a x x =---=----2222cos 2cos (21)2(cos )2122a a x a x a x a =--+=----.这里1cos 1.x -≤≤①若11,2a -≤≤则当cos 2ax =时，2min ()21;2a f x a =--- ②若1,2a>当cos 1x =时，min ()14;f x a =- ③若1,2a<-则当cos 1x =-时，min () 1.f x =因此21(2)()21(22)214(2)a a g a a a a a ⎧<-⎪⎪=----≤≤⎨⎪⎪->⎩…………（6分）（2）1().2g a =∴①若2a >，则有114,2a -=得18a =，矛盾；②若22a -≤≤，则有2121,22a a ---=即2430,1a a a ++=∴=-或3a =-（舍）. ∴1()2g a =时， 1.a =-此时211()2(cos ),22f x x =++当cos 1x =时，()f x 取得最大值为5. …………（12分）21.解：（1）由题意，得(2)(4)0a b a b +⋅-=即22280a a b b -⋅-=223231cos 810θ-⨯⨯⨯-⨯= 故1cos ,6θ=又(0,)θπ∈，故(0,)2πθ∈因此，sin sin tan cos θθθθ===== ………（3分） （2）2222||()2xa b xa b x a xa b b -=-=-⋅+==故当6x =时，||xa b -取得最小值为1,2此时，23()931cos 0,66a xa b xa a b π⋅-=-⋅=⨯-⨯⨯= 故向量a 与xa b -垂直. …………（7分）（3）对方程||||xa b ma -=两边平方，得229(6cos )190x x m θ-+-= ① 设方程①的两个不同正实数解为12,x x ，则由题意，得2212212(6cos )49(19)0,6cos 0,9190.9m x x m x x θθ⎧⎪∆=-⨯⨯->⎪⎪+=>⎨⎪⎪-=>⎪⎩解之，得11sin .33m θ<<若,x m =则方程①可以化为(6cos )10x θ-+=， 则1,6cos x θ=即1.6cos m θ=由题知,x m ≠故1.6cos m θ≠令111sin 36cos 3θθ<<，得sin 21,1cos ,2θθ<⎧⎪⎨>⎪⎩，故03πθ<<，且4πθ≠.当03πθ<<，且4πθ≠时，m 的取值范围为11{|sin 33m m θ<<，且16cos m θ≠}；当32ππθ≤<，或4πθ=时，m 的取值范围为11{|sin }33m m θ<<. …………（12分）22.解：向量2(3sin ,1),(cos ,cos 1),m x n x x ωωω==+2()cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=⋅+=+++1332cos 2sin(2).22262x x b x b πωωω=+++=+++ （1）函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，2()662k k Z πππωπ∴⨯+=+∈，解得31()k k Z ω=+∈.3[0,3],1,()sin(2).62f x x b πωω∈∴=∴=+++ …………（3分）由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.故函数()f x 的单调递增区间为[,]().36k k k Z ππππ-+∈ …………（6分） （2）由（1）知3()sin(2).62f x x b π=+++7[0,],12x π∈∴令26t x π=+，则4[,].63t ππ∈由()f x ＝0，得3sin(2).62x b π+=--由题意，得3sin 2t b =--只有一个解，即曲线sin y t =与直线32y b =--在区间4[,]63ππ上只有一个交点.结合正弦函数的图象可知，3sin 22b π--=，或43sin sin 326b ππ≤--≤，解得35(2,]{}22b ∈--. …………（12分）。
2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论．本题考查复数的分式形式的化简问题，主要是乘除运算，是基础题．2.设，若，则等于A. B. e C. D.【答案】B【解析】解：，，由，得，即，则，故选：B．求函数的导数，解导数方程即可．本题主要考查导数的计算，比较基础．3.用反证法证明命题：“a，b，c，，，，且，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为A. a，b，c，d中至少有一个正数B. a，b，c，d全为正数C. a，b，c，d全是非负数D. a，b，c，d中至多有两个正数【答案】C【解析】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全是非负数”，故选：C．用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．4.已知a为函数的极小值点，则A. B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】解：；时，，时，，时，；是的极小值点；又a为的极小值点；．故选：D．可求导数得到，可通过判断导数符号从而得出的极小值点，从而得出a的值．考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．5.函数在上的最大值是A. B. C. 0【答案】A【解析】解：，，令，解得：，令，解得：，函数在递增，在递减，，最大值故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了求函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．6.观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有，故选：D．首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数，然后由的奇偶性即可得出答案．本题考查函数奇偶性及类比归纳推理能力．7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有种，再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，所以不同的安排方法种数是故选：C．间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．8.直线l过抛物线C：的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点坐标为，直线l过抛物线C：的焦点且与y轴垂直，直线l的方程为，由，可得交点的横坐标分别为，2．直线l与抛物线围成的封闭图形面积为．故选：C．先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．9.若函数在上的最大值为，则a的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的导数为，当时，时，，单调减，当时，，单调增，当时，取得最大值，解得，不合题意；当时，在递减，最大，且为，不成立；当时，在递减，最大，即，解得，故选：D．对函数进行求导，讨论a研究函数在上的单调性，而求出最大值，即可得到a的值．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题．10.若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：数列是等差数列，数列也为等差数列正项数列是等比数列，设首项为，公比为q故选：D．利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，，则在这个子数中第2014个数是A. 3965B. 3966C. 3968D. 3989【答案】A【解析】解：记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，为，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，归纳得到，每一组的最后一个数依次为：，，，，，，即第n个组最后一个数为．由于，所以位于第63组，倒数第三个，因为第63组最后一个数为，由组内的差为2，得：．故选：A．本题是归纳推理，要从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数和偶数构造，其中奇偶性根n的奇偶性相同，然后利用该规律解题．本题考查的是归纳推理，难点是发现规律每个组的最后一个数是完全平方数，难度较大本题还可以分组，利用组内的差为2，组间的差为1，根据所求的数的位置，统计两种差的次数，类比等差数列，求出该数的值．12.若函数在区间内有且仅有一个极值点，则m的取值范围A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数在区间内有且仅有一个极值点，设，则，，，由题意可得：，解得或，综上，m的取值范围为．故选：B．设，则，，由题意可得：，由此能求出m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数，其中i为虚数单位，则z的实部是________．【答案】5【解析】解：，则z的实部是5，故答案为：5．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为______．【答案】女生2人，男生1人【解析】解：女生抽取的人数为，男生抽取的人数为，则不同的抽取方法是女生2人，男生1人，故答案为：女生2人，男生1人由分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．15.设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为______．【答案】【解析】解：点P是曲线上的任意一点，和直线上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，如图，就是求出曲线上与直线平行的切线与直线之间的距离．由令，解得，当，时，点，P，Q两点间的距离的最小值即为点到直线的距离．故答案为：．对曲线进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道中档题．16.有n粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求这出两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这出两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为例如对于4粒球有如下两种分解：1，，1，1，，此时；1，，1，1，，此时．于是发现为定值，请你研究的规律，归纳______．【答案】【解析】解：，此时；1，，此时；1，，1，1，，此时；1，，1，1，，1，1，1，，此时；归纳猜想：．故答案为：．从开始研究，到，，，，找出的共性，得到和的一般性规律，从而解决本题．本题考查的是归纳推理，要求学生理解本题的新定义的规律，从出发现规律，得到本题的解另外，本题还可以尝试从的角度去寻找解题规律．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设是虚数，是实数，且．求的值以及的实部的取值范围．若，求证：为纯虚数．【答案】解：设且，则．是实数，，，于是有，即，还可得由，得，解得，即的实部的取值范围．证明：，，为纯虚数．【解析】设且，则根据是实数，，可得，即可得出还可得由，即可得出的实部的取值范围．由，代入化简即可证明．本题考查了复数的运算法则、复数相等、点纯虚数的定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知曲线C：，点，求过P的切线l与C围成的图形的面积．【答案】解：根据题意，设切点，切线与曲线C的另一个交点为B，曲线C：，其导数，则有，则切线l的方程为：，又由切线经过点，则有，解可得，则，则切点的坐标为，则切线的方程为，即，，解可得，则B的坐标为；则．【解析】根据题意，设切点，切线与曲线C的另一个交点为B，求出曲线C的导数，计算的值，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可以用m表示切线的方程，将P的坐标代入计算可得m的值以及切点A的坐标，即可得切线的方程，联立切线与曲线的方程，计算可得另一交点B的坐标，由定积分的几何意义可得，计算即可得答案．本题考查利用导数计算切线的方程以及定积分的应用，关键是求出切线的方程．19.已知，，证明：；．【答案】证明：由柯西不等式得：，当且仅当，即时取等号；，，，，，由均值不等式可得：，，，，当且仅当时等号成立．【解析】由柯西不等式即可证明，由转化为，再由均值不等式可得：，即可得到，问题得以证明．本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．20.设函数，当，在上恒成立，求实数m的取值范围；当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】解：当时，，则，即，化简得，，，恒成立，该不等式等价于的最小值，令，，由0'/>，得，由，得，在、上递增，在上递减，，即有；，．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，．函数在区间上恰有两个不同的零点，即有在和内，各有一个零点，，即有，解得．实数a的取值范围是．【解析】当时，由，得，分离出参数m后构造函数转化为求函数最值，利用导数可求得函数最小值即可得到m的取值范围；求出的解析式，由可知当时，函数取得最小值函数在区间上恰有两个不同的零点，必需，解得即可．本题考查函数恒成立问题、应用导数求函数的最值问题，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值或分离出参数后求函数最值解决，同时考查零点存在定理的运用，属于中档题．21.是否存在常数a，b，c，使得等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【答案】解：假设存在a，b，c，使得所给等式成立．令，2，3代入等式得，解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．当时，由以上可知等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，．由知，等式结一切正整数n都成立．【解析】假设存在a，b，c，使得所给等式成立通过，2，3，列出方程组，求出abc即可然后用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．本题是探索性命题，它通过观察归纳、猜想、证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．22.已知函数Ⅰ求函数的单调区间和极值；Ⅱ已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；Ⅲ如果，且，证明．【答案】解：Ⅰ解：令，解得当x变化时，，的变化情况如下表所以在内是增函数，在内是减函数．函数在处取得极大值且．Ⅱ证明：由题意可知，得令，即于是当时，，从而，又，所以，从而函数在是增函数．又，所以时，有，即．Ⅲ证明：若，由及，则与矛盾．若，由及，得与矛盾．根据得，不妨设，．由Ⅱ可知，，则，所以，从而因为，所以，又由Ⅰ可知函数在区间内是增函数，所以，即．【解析】先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．先利用对称性求出的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．通过题意分析先讨论，可设，，利用第二问的结论可得，根据对称性将换成，再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．第11页，共11页。
山西省运城市近年-近年学年高一数学下学期期中调研测试试题(含解析)(最新整理)
5.已知函数 的图象关于点 对称,则 可以是（ ）
A. B。 C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
把点 代入解析式，求出 的表达式,结合选项，选出答案.
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，所以有
,令 ,故本题选C.
1. （ )
A。 B。 C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。
【详解】 ，故本题选B。
【点睛】本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数，属于基础题.
2.若向量 ， ，向量 与 共线，则实数 的值为( ）
A。 B。 C。 —3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的充要条件，可直接求解。
∴ ∴
∵ ， ，∴
∵ ∴
【点睛】本题考查了向量共线、垂直、数量积的运算，记准公式正确计算是解题的关键。
20。已知函数 的最大值为2。
（1）求实数 的值；
（2）在答题卡上列表并作出 在 上的简图
【答案】(1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）运用二角和的正弦公式及辅助角公式对函数解析式进行化简,根据函数的最大值求出 的值；
【答案】（1） ，或 ；
(2） .
【解析】
【分析】
（1）设出 的坐标，根据 ，且 ，列出二个方程，解这个方程组,即可；
（2)根据两个向量垂直，它们的数量积为零，列出等式。最后求出 与 的夹角 。
【详解】（1）设 ，∵ , ，∴ ，∴
∵ ,∴ ，∴ , ，
∴ 或
∴ ，或
山西省康杰中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数 的两个零点是2和3，求得a，b，得到 求解.
【详解】 函数 的两个零点是2和3，
，3是方程 的两个根，
则 ， ，
即 ， ，
，
由 ，解得 和 ，
故函数的零点是1和 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数零点的求法，属于基础题.
11.已知幂函数 的图象过点 ，则函数 在区间 上的最小值是（）
∵ ，
∴ ．
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
答案：
点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到 是解题的关键，在此基础上将不等式化为
的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数 为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．
【答案】
【解析】
【详解】函数 的定义域是[0，1]，所以 .
即 有： ，解得 .
所以 的定义域 .
点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量 的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数 和 而言，求解定义域依旧是各自函数中 的取值集合，特别注意两函数中 和 的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.
上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故C不正确
上的图象是开口向下的抛物线，符合上凸，故D正确；；；
故选D.
9.设函数 若 ,则实数的 取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为函数 若 ,所以 或 ，解得 或 ，即实数的 取值范围是 故选C.
10.若函数 的两个零点是2和3，则函数 的零点是（）
山西省康杰中学2017-2018学年高三下学期第四次联考数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析
2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2） 当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3）， 又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆． （Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ； （Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。
2017-2018学年山西省运城市康杰中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年山西省运城市康杰中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．00tan300sin450+的值为（ ）A. 1B. 1C. 1-D. 1-【答案】B【解析】()()00tan300sin450tan 36060sin 360901+=︒-︒+︒+︒=. 故选：B2．已知锐角α的终边上一点()00sin40,1cos40P +，则锐角α＝（ ）A. 080B. 020C. 070D. 010 【答案】C【解析】∵锐角α的终边上一点()00sin40,1cos40P +，∴0201cos402cos 20cos20tan αtan70sin402sin20cos20sin20y x +︒︒=====︒︒︒︒∴α＝70°故选：C3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()cos cos 2y x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭C. sin2cos2y x x =+D. sin cos y x x =+ 【答案】B【解析】sin 2cos2x 2y x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，最小正周期为π，A 错误； ()1cos cos sinxcosx sin2x 22y x x ππ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭为奇函数，最小正周期为π，B 正确；sin2cos224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，最小正周期为π，C 错误；sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，最小正周期为2π，D 错误；4．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a b +与a b -的夹角等于（ ） A. 4π-B.6π C. 4π D. 34π【答案】C 【解析】()()23,3,0,3a b a b +=-=，设夹角为θ，则3,33πco ,24θθ⋅===.5．已知0cos78约等于0.20，那么0sin66约等于（ ） A. 0.92 B. 0.85 C. 0.88 D. 0.95 【答案】A【解析】∵0cos78sin12=︒约等于0.20， ∴02sin66cos2412sin 12=︒=-︒≈0.92故选：A6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】试题分析：设扇形的圆心角为α，半径为Rcm ，则22R+?6{ 1·22R R αα==解得=1α或=4α，故选C ．【考点】1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.7．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB ACOP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】D【解析】∵AB AB 、ACAC分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB AB +AC AC的方向与∠BAC 的角平分线重合，又∵AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭可得到 OP ﹣OA =AP =λ（AB AB +AC AC） ∴向量AP的方向与∠BAC 的角平分线重合，∴一定通过△ABC 的内心8．函数()sin (0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可以看出， 4,62,162T A T ==+∴=，则2168ππω==，将点()2,0-代入4sin 8y x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得5sin 0,,444ππϕϕπϕπ⎛⎫-+=∴-+== ⎪⎝⎭，54sin 84y x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又,2πϕ<∴函数表达式4s i n 4s i n8484y x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 9．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A. 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B. 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】将函数y=3sin （2x +3π）的图象向右平移2π个单位长度， 所得函数的解析式：y=3sin [2（x ﹣2π）+3π]=3sin （2x ﹣23π）．令2k π﹣2π＜2x ﹣23π＜2kπ+2π，k ∈Z ，可得：k π+12π＜x ＜kπ+712π，k ∈Z ，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin （2x ﹣23π）的单调递增区间为：（12π， 712π）．故选：B ．现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 10．10．10．如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则()OP OB OA ⋅-=（ ）A. 12- B. 12 C. 32- D.32【答案】A【解析】试题分析： 14OP OA AC CP OA AB CP =++=++， OB OA AB -= ，所以()1144OP OB OA OA AB CP AB OA AB AB AB CP AB ⎛⎫⋅-=++⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭1111cos13501422︒+=-+=-，故选A ．【考点】1．向量的几何表示；2．向量运算． 11．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A.24π B. 12π C. 8π D. 1124π 【答案】A【解析】试题分析：结合下图可得当24x a π==时，2sin 2cos 2243243ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 成立．【考点】三角函数的图象与性质．12．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，则()f x 的最小正周期的最小值为（ ） A.89π B. π C. 49π D. 2π 【答案】D【解析】函数f （x ）=（ωx+4π）， 且ω＞0，x ∈[﹣3π， 4π]时，ωx+4π∈[﹣3πω+4π， 4πω+4π]；又函数f （x ）在[﹣3π， 4π]上单调递增，∴342{442πππωπππω-+≥-+≤，解得0＜ω≤1；∴f （x ）最小正周期的最小值为2π． 故选：D ．点睛：本题将三角函数的单调性与周期性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.13．已知点A(－1，1)，B(1, 2)，C(－2，－1)，D(3, 4)，则向量AB 在CD方向上的投影为_________.【解析】 由题意得()()2,1, 5.5AB CD == ，所以()()2,1 5.515AB CD ⋅=⋅=， 所以向量AB 在CD方向上的投影为cos ,2AB CD AB AB CD CD⋅===． 14．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的值域是_________.【答案】[－1，2]【解析】：f （x ）（12sinx+）=2sin （x+3π）， ∵﹣2π≤x≤2π， ∴﹣6π≤x+3π≤56π，∴﹣12≤sin （x+3π）≤1，∴函数f （x ）的值域为[﹣1，2]， 故答案为：[﹣1，2]．15．若点O 在ABC ∆内，且满足2690BA BC OC -+=，设BOC S ∆为BOC ∆的面积， ABC S ∆为ABC ∆的面积，则BOCABCS S ∆∆＝________. 【答案】29【解析】由2690BA BC OC -+= ，可得：()()2OA OB 6OC OB 92OA 4OB 3OC OC ---+=++延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=4OB ，OF=3OC ， 如图所示：∴0OD OE OF ++= ，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等， 不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为18，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为16， 故三角形△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为： 18： 112： 16=3：2：4，29BOC ABC S S ∆∆=. 故答案为：29． 点睛：本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，注意重要结论：点O 在ABC ∆内，且满足OA n OBt 0m OC ++=， ()n t 0m >，，则三角形△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为： t m n ：：.16．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()0,,x x π∈OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①3f π⎛⎫=⎪⎝⎭ ②任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有422f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12,,2x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-.其中正确结论的序号是__________. （把所有正确结论的序号都填上）.【答案】①②【解析】试题分析：①：如图，当3AOP π∠=时， OP 与AD 相交于点M ，∵1AO =，则AM =∴11f π⎛⎫=⨯=⎪∴①正确；②：由于对称性， f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪恰好是正方形的面积， ∴422f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②正确；③：显然()f x 是增函数，∴()()12120f x f x x x ->-，∴③错误．【考点】函数性质的运用．17．函数()2122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈.（1）求()g a ； （2）若()12g a =，求a 及此时()f x 的最大值. 【答案】(1) ()()21(2){2122 214(2)a a g a a a a a <-=----≤≤->；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a 小于﹣1时②2a 大于﹣1而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f （x ）的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入f （x ）中得到f （x ）的解析式，利用配方可得f （x ）的最大值． 试题解析：（1）由()()22122cos 2sin 122cos 21cos f x a a x x a a x x =---=----()2222cos 2cos 212cos 2122a a x a x a x a ⎛⎫=--+=---- ⎪⎝⎭.这里1cos 1.x -≤≤①若11,2a -≤≤则当cos 2ax =时， ()2min 21;2a f x a =--- ②若1,2a>当cos 1x =时， ()min 14;f x a =- ③若1,2a<-则当cos 1x =-时， ()min 1.f x =因此()()21? (2){2122 214? (2)a a g a a a a a <-=----≤≤->（2）()1.2g a =∴①若2a >，则有114,2a -=得18a =，矛盾；②若22a -≤≤，则有2121,22a a ---=即2430,1a a a ++=∴=-或3a =-（舍）. ∴ ()12g a =时， 1.a =-此时()2112cos ,22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当cos 1x =时， ()f x 取得最大值为5.点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.三、解答题 18．化简（1）)000tan70cos101-（2）()()()()()01tan11tan21tan3...1tan441tan45+++++【答案】(1) 1-；(2) 232.【解析】试题分析：（1）切化弦可得三角函数式的值为－1 （2）结合三角函数的性质可得三角函数式的值为232 试题解析： （1）tan70°cos10°（tan20°﹣1） =cot20°cos10°（2020cos ︒︒﹣1）=cot20°cos10°）=2020cos sin ︒︒×cos10°×（122020220sin cos cos ⎫︒-︒⎪⎝⎭︒）=2020cos sin ︒︒×cos10°×（()2203020sin cos ︒-︒︒）=2020cos sin ︒︒×（﹣2020sin cos ︒︒）=﹣1（2）∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+（tan1°+tan44°）+tan1°•tan44° =1+tan （1°+44°）[1﹣tan1°•tan44°]+tan1°•tan44°=2． 同理可得（1+tan2°）（1+tan43°） =（1+tan3°）（1+tan42°） =（1+tan4°）（1+tan41°）= (2)故()()()()()001tan11tan21tan3...1tan441tan45+++++=232点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.19．平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=（1）求32a b c +-（2）求满足a mb nc =+的实数,m n .（3）若()()//2a kc b a +-，求实数k .【答案】(1) ()0,6；(2) 5,9{8.9m n ==；(3) 1613k =-. 【解析】试题分析：（1）由向量的线性运算法则即可算出；（2）根据向量相等即可求出m 、n 的值；（3）若已知向量m =（a ，b ）、n =（c ，d ），则m n⇔ad ﹣bc =0，计算出即可． 试题解析：（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--()()()()9,61,28,20,6=+--=；（2） a mb nc =+()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n ∴=-+=-++43,{ 2 2.m n m n -+=∴+=解之得5,9{8.9m n == （3）()()//2,a kc b a +- 又()()34,2,25,2.a kc k k b a +=++-=-()()()16234520,13k k k ∴⨯+--⨯+=∴=-。
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2017-2018学年山西省运城市康杰中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+2．（5分）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°）则锐角α=（）A．80°B．70°C．20°D．10°3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（）cos（π+x）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx4．（5分）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（）A．﹣B．C．D．5．（5分）已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于（）A．0.92 B．0.85 C．0.88 D．0.956．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或47．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．11．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在[﹣，]上递增，则f（x）的最小正周期的最小值为（）A．πB．πC．πD．2π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）当﹣≤x≤时，函数f（x）=sinx+cosx的值域为．15．（5分）若点O在△ABC内，且满足2﹣6+9=，设S△BOC为△BOC的面积，S △ABC 为△ABC 的面积，则= ．16．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论： ①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）化简 （1）tan70°cos10°（tan20°﹣1）（2）（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）18．（12分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）（1）求3（2）求满足=m 的实数m ，n ．（3）若（）∥（2），求实数k ．19．（12分）在△OAB 中，，AD 与BC 交于点M ，设，以、为基底表示．20．（12分）函数f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值为g（a），a∈R，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．21．（12分）已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||=3，||=1，x为正实数．（1）若+2与﹣4垂直，求tanθ；（2）若，求|x﹣|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与x﹣的位置关系；（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x﹣|=|m|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．22．（12分）已知向量，，设函数f （x）=+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．2017-2018学年山西省运城市康杰中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，熟记公式是解决问题的关键，属基础题．2．（5分）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°）则锐角α=（）A．80°B．70°C．20°D．10°【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选：B．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（）cos（π+x）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x+）=cos2x的最小正周期为=π，且为偶函数，故排除A；∵函数y=cos（）cos（π+x）=﹣sinx•（﹣cosx）=sin2x 的最小正周期为=π，且为奇函数，故B满足条件；∵函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，且为非奇非偶函数，故排除C；∵函数y=sinx+cosx=sin（x+）的最小正周期为2π，且为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．4．（5分）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与﹣的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=2（1，2）+（1，﹣1）=（3，3），﹣=（1，2）﹣（1，﹣1）=（0，3），∴（2+）（﹣）=0×3+3×9=9，|2+|==3，|﹣|=3，∴cosθ==，∵0≤θ≤π，∴θ=故选：C．【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．5．（5分）已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于（）A．0.92 B．0.85 C．0.88 D．0.95【分析】首先由诱导公式得出cos78°=cos（90°﹣12°）=sin12°，再由诱导公式可得sin66°=cos24°=cos（2×12°），利用二倍角的余弦公式求出它的值．【解答】解：由诱导公式可知cos78°=cos（90°﹣12°）=sin12°=0.20∵sin66°=cos24°=cos（2×12°）=1﹣2sin212°=1﹣2×0.22=0.02．故选：A．【点评】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把sin66°化为cos24°是解题的关键．6．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为α，半径为Rcm，根据扇形的周长为6，面积是2，列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则，解得α=1或α=4．故选：C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．7．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的解析式可得A=4或﹣4，若A=4，由==6+2，可得ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=π，即φ=，不合题意，舍去．若A=﹣4，由ω=，6×+φ=π，求得φ=，故函数的解析式为y=﹣4sin（x+），故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中档题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】将，带入，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案．【解答】解：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；又，；∴===．故选：A．【点评】考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为0，向量数量积的运算及计算公式．11．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在[﹣，]上递增，则f（x）的最小正周期的最小值为（）A．πB．πC．πD．2π【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据题意求出ω的取值范围，再求f（x）最小正周期的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），且ω＞0，x∈[﹣，]时，ωx+∈[﹣ω+，ω+]；又函数f（x）在[﹣，]上单调递增，∴，解得0＜ω≤1；∴f（x）最小正周期的最小值为2π．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简与周期性问题，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．【分析】根据点的坐标，分别算出=（5，5）、=（2，1），从而算出=15且||=5．再利用向量投影的公式加以计算，即可得到向量在方向上的投影的值．【解答】解：∵C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴=﹣=（5，5），同理可得=﹣=（2，1），∴=5×2+5×1=15，==5设、的夹角为α，则向量在方向上的投影为||cosα===故答案为：【点评】本题给出A、B、C、D各点的坐标，求向量在方向上的投影．着重考查了平面向量的坐标运算、数量积的公式及其运算性质和向量投影的概念等知识，属于中档题．14．（5分）当﹣≤x≤时，函数f（x）=sinx+cosx的值域为[﹣1，2] ．【分析】利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据x的范围确定函数的值域．【解答】解：f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵﹣≤x≤，∴﹣≤x+≤，∴﹣≤sin（x+）≤1，∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．15．（5分）若点O在△ABC内，且满足2﹣6+9=，设S△BOC为△BOC的面积，S△ABC为△ABC的面积，则=．【分析】分别延长OA，OB，OC到A1，B1，C1，使得OA1=2OA，OB1=4OB，OC1=3OC．由于满足2+4+3=，可得++=．可得O是△A1B1C1的重心．于是=．S△OBC=，同理可得：S△OAC=，S△OAB=，进而计算得解．【解答】解：∵2﹣6+9=，即：2（）+9=6（），∴2+4+3=，分别延长OA，OB，OC到A1，B1，C1，使得OA1=2OA，OB1=4OB，OC1=3OC．∵满足2+4+3=，∴++=．∴O是△A1B1C1的重心．∴=．S△OBC==．同理可得：S△OAC=，S△OAB=，∴S△OBC ：S△OAC：S△OAB=2：4：3．∴S△OBC=S△ABC．故答案为：．【点评】本题考查了向量的共线、三角形的重心性质、三角形的面积之比，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．16．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是①②．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确． 故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）化简 （1）tan70°cos10°（tan20°﹣1）（2）（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）【分析】（1）先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案．（2）利用两角和的正切函数公式可得（1+tan1°）（1+tan44°）=（1+tan2°）（1+tan43°）=（1+tan3°）（1+tan42°）=…（1+tan22°）（1+tan23°）=2，从而计算得解．【解答】解：（1）tan70°cos10°（tan20°﹣1）=cot20°cos10°（•﹣1）=2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°）=2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°）=2•sin（﹣10°）==﹣1．（2）∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°•tan44°=1+tan（1°+44°）[1﹣tan1°•tan44°]+tan1°•tan44°=2．同理可得，（1+tan2°）（1+tan43°）=（1+tan3°）（1+tan42°）=（1+tan4°）（1+tan41°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2，而（1+tan45°）=2，故（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=223．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值．在运用诱导公式的时候注意三角函数正负值的变换，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）（1）求3（2）求满足=m的实数m，n．（3）若（）∥（2），求实数k ．【分析】（1）由向量的线性运算法则即可算出； （2）根据向量相等即可求出m 、n 的值；（3）若已知向量=（a ，b ）、=（c ，d ），则由∥，可得ad ﹣bc=0，计算出即可．【解答】解：（1）3=3（3，2）+（﹣1，2）﹣2（4，1）=（9，6）+（﹣1，2）﹣（8，2）=（0，6）；（2）∵=m，m ∈R ，n ∈R ，∴（3，2）=m （﹣1，2）+n （4，1）=（﹣m +4n ，2m +n ），∴，解得；（3）∵（）∥（2），又=（3+4k ，2+k ），2=（﹣5，2），∴2×（3+4k ）﹣（﹣5）×（2+k ）=0， ∴k=﹣．【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查了向量的线性运算法则和向量平行的条件，是基础题．19．（12分）在△OAB 中，，AD 与BC 交于点M ，设，以、为基底表示．【分析】由D ，M ，A 三点共线，可得存在实数m 使得，同理可得，，根据向量相等的条件可求m，n，的值，从而可用向量表示【解答】解：∵D，M，A三点共线，∴存在实数m使得；又B，M，C三点共线，同理可得，∴得∴【点评】本题主要考查了共线向量的基本定理：若点P在直线AB上，O为直线AB外任意一点，则存在实数λ使得的应用，属于基础知识的应用．20．（12分）函数f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值为g（a），a∈R，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．【分析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①小于﹣1时②大于﹣1而小于1时③大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一问的g（a）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2（1﹣cos2x）=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a=2（cosx﹣）2﹣﹣2a﹣1．若＜﹣1，即a＜﹣2，则当cosx=﹣1时，f（x）有最小值g（a）=2（﹣1﹣）2﹣﹣2a﹣1=1；若﹣1≤≤1，即﹣2≤a≤2，则当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=﹣﹣2a﹣1；若＞1，即a＞2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1﹣）2﹣﹣2a﹣1=1﹣4a．∴g（a）=（2）若g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是﹣﹣2a﹣1=或1﹣4a=．由a=﹣1或a=﹣3（舍）．由a=（舍）．此时f（x）=2（cosx+）2+，得f（x）max=5．∴若g（a）=，应a=﹣1，此时f（x）的最大值是5．【点评】考查学生会利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性．21．（12分）已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||=3，||=1，x为正实数．（1）若+2与﹣4垂直，求tanθ；（2）若，求|x﹣|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与x﹣的位置关系；（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x﹣|=|m|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．【分析】（1）利用+2与﹣4垂直，（+2）•（﹣4）=0，可得，化简，即可求出tanθ；（2）将模平方，结合二次函数的性质，可求|x﹣|的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量与x﹣的位置关系；（3）方程|x﹣|=|m|，等价于9x2﹣3cosθx+1﹣9m2=0，利用关于x的方程|x﹣|=|m|有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．【解答】解：（1）∵+2与﹣4垂直，∴（+2）•（﹣4）=0∴∵||=3，||=1，∴9﹣6cosθ﹣8=0∴cosθ=∵θ∈[0，π]∴sinθ=∴；（2），|x﹣|2==∴时，|x﹣|的最小值为此时•（x﹣）=9x﹣3•=0，∴与x﹣垂直；（3）方程|x﹣|=|m|，等价于9x2﹣6cosθx+1﹣9m2=0∵关于x的方程|x﹣|=|m|有两个不同的正实数解，∴∴﹣＜m＜0或0＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知向量，，设函数f （x）=+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．【解答】解：向量，，函数+b．则==．（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，∴（k∈Z），解得：ω=3k+1（k∈Z），∵ω∈[0，3]，∴ω=1，∴，由，解得：（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（2）由（1）知，∵，∴，∴，即时，函数f（x）单调递增；，即时，函数f（x）单调递减．又，∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．即sin≤﹣b﹣＜sin或，所以满足条件的．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．。