人教A版必修五讲义(2020)3.4 基本不等式1
高中数学人教A版必修5《基本不等式》PPT
，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：基本不等式
基本不等式1．均值定理：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．22a b +2a b +需要前提条件,a b +∈R ．2a b+叫做a ，b a ，b3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．考点1：常规基本不等式问题例1.（1）已知0x >，则182x x+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当182x x=即14x =时取等号，故选：C ． （2）已知305x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．310B ．910C ．95D ．12【解答】解：305x <<Q ， 则2115359(35)5(35)()55220x x x x x x +--=⨯-⨯=„， 当且仅当535x x =-即310x =时取最大值 故选：A ．（3）已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9B ．7C ．5D ．3【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>，9941511y x x x x ∴=-+=++-++5…1=，当且仅当911x x +=+，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=．故选：B ．（4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( )A ．12B C ．1 D【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21121(2)()2222a b ab a b +=⨯⨯=g „， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值12． 故选：A ．考点2：基本不等式易错点例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1x x y ++的最小值是( ) A ．12B ．14C ．34D ．54【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121x x x y x y +=+++， 122242x x x xx x x x +-=+=+--， 12115()2442424x x x x -=+++⨯=-…， 当且仅当242x xx x-=-即23x =时取等号； ②当0x <时，1||1()2||121x xx y x y +=-+++，121213()()1224244244x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----…， 当且仅当242x xx x--=--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34故选：C ．考点3：基本不等式常见变形例3.已知0b a <<，且1ab =，则22a b a b+-取得最小值时，a b +等于( )A．B．C．D．【解答】解：1ab =Q∴2222()2()22()a b a b ab a b a b a b a b a b a b+-+-+===-+----0b a <<Q∴22a b a b +-…2)a b a b-=-即22a b a b +-取得最小值时，满足21a b a b ab ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩22()()46a b a b ab ∴+=-+=0b a <<Qa b ∴+=故选：B ．例4.（1）已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的最小值是( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：Q 正数a ，b 满足3ab a b =++，33ab a b ∴=++…，∴9ab ∴…，当且仅当3a b ==时取等号，ab ∴的最小值为9．故选：A ．（2）已知0x >，0y >，且22426x y x y +++=，则2x y +最大值是 ．【解答】解：Q 222(2)42x y x y ++…，222(2)64222x y x y x y x y +∴=+++++…，令20x y t +=>，上式化为22120t t +-„，解得01t <„．t ∴的最大值即2x y +1．1．例5.（1）已知0a >，0b >，42a b +=，则11ab+的最小值是( ) A ．4B ．92C ．5D ．9【解答】解：0a >Q ，0b >，42a b +=，∴11111()(4)2a b abab+=++14(5)2b a a b=++19(522+=…， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号， 故选：B ．例6.（1）设0x >，0y >，且2212y x +=，求 【解答】解：0x >Q ，0y >，且2212y x +=，∴=„22212x y ++=g212+==gx =且2y =时取等号，∴的最大值为4例7.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( ) A ．0B ．1C ．94D ．3【解答】解：22340x xy y z -+-=Q ，2234z x xy y ∴=-+，又x ，y ，z 均为正实数，∴22114343xy xy x y zx xy y y x ===-++-„（当且仅当2x y =时取“=” )，∴()1max xy z=，此时，2x y =．2222234(2)3242z x xy y y y y y y ∴=-+=-⨯⨯+=，∴222121111(1)11x y z y y y y +-=+-=--+„，当且仅当1y =时取得“=”，满足题意． ∴212x y z+-的最大值为1． 故选：B ．例8.（1）函数2())f x x R ∈的最小值为( )A ．2B ．3 C．D ．2.5【解答】解：令2)t t =…，则1y t t=+在[2，)+∞上单调递增， 2t ∴=，即0x =，函数2())f x x R ∈的最小值为2.5，故选：D ．（2）已知12x >，则函数2121x x y x ++=-的最小值为 ．【解答】解：12x >Q ，210x ∴->，2217(21)(21)11744(21)1212144(21)x x x x y x x x x -+-+++∴===-++---．11=+…．当且仅当17(21)44(21)x x -=-，即x =时取得最小值．1+． （3）函数y =的最大值为 ．【解答】解：设t = 则22x t =-，(0)t >211212t y t t t===++．Q 12t t +…，当且仅当t =∴2112t t+„．∴y „．．故答案为4．课后作业：1.已知305x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．310B ．910C ．95D ．12【解答】解：305x <<Q ， 则2115359(35)5(35)()55220x x x x x x +--=⨯-⨯=„， 当且仅当535x x =-即310x =时取最大值 故选：A ．2.已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( )A ．12B ．2C ．1 D【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21121(2)()2222a b ab a b +=⨯⨯=g „， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值12． 故选：A ．3.已知a ，(0,)b ∈+∞，则下列不等式中不成立的是( )A ．a b++B ．11()()4a b a b++…C 22D ．2aba b+【解答】解：a Q ，(0,)b ∈+∞；.Aa b ∴+…，当a b =时取“=”；12ab =时取“=”；∴a b+a b ===”； ∴该不等式成立；.B a b +…a b =时取“=”；11a b +a b =时取“=”； ∴11()()4a b ab++…，当a b =时取“=”； ∴该不等式成立；C ．222a b ab +…，当a b =时取“=”； ∴22=a b =时取“=”； ∴该不等式成立；.D a b +…，当a b =时取“=”； ∴1a b +„ ∴2aba b+„a b =时取“=”；∴该不等式不成立．故选：D ．4.已知0x >，0y >，且22426x y x y +++=，则2x y +最大值是 ．【解答】解：Q 222(2)42x y x y ++…，222(2)64222x y x y x y x y +∴=+++++…，令20x y t +=>，上式化为22120t t +-„，解得01t <„． t ∴的最大值即2x y +1．1． 5.函数y 的最大值为 ． 【解答】解：设t = 则22x t =-，(0)t >211212t y t t t===++．Q 12t t +…，当且仅当t =∴2112t t+„．∴y „．．．。
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
2020版高中数学第3章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5
『规律总结』 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相 等”．
一正，a，b均为正数； 二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
〔跟踪练习 1〕 下列结论中正确的是( C ) A．若 a>0，则(a＋1)(1a＋1)≥2 B．若 x>0，则 lnx＋ln1x≥2 C．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥12 D．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≤12
新课标导学
数学
必修⑤ ·人教A版
第三章
不等式
3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
如图是第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好 客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
〔跟踪练习 2〕
(1)已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A．2
B．2 2
C．4
D．5
(2)已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有( C )
A．最大值为 0
B．最小值为 0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
[解析] (1)因为 a>0，b>0，
所以1a＋1b＋2 ab≥2 a1b＋2 ab≥4
[解析] (1)∵m，n>0 且 m＋n＝16， 所以由基本不等式可得 mn≤(m＋2 n)2＝(126)2＝64， 当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
人教版A版高中数学必修5：3.4 基本不等式：_latex class=_math-tex(_sqrt {ab}leq frac {a+b} {2})latex
积定和最小
作业：练习,第一题，导学 案的练习题
什么结论?
猜 a 0,b 0; a b ab 2
想 当且仅当a b时，等号成立
求证:当a 0,b 0 时,a b ab .
2
证明:要证 a b ab
①
2
只要证 a b ( 2 ab )
②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（ a － b )2 0
例1：判断对错
1、由 a,b R 则 a b 2 ab 。
2、若
x 0 ，则
x 1 2 。
x
试判断 4 x(x 3) 与 7的大小关系？
x3
变式训练：
思考：若y x 1 (x 2)的最小值是多少？ x2
例题：判断 n m (m 0, n 0) 与 2 的大小关
3.4基本不等式
第一课时
猜
想 a R,b R a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
问题一：
你能用已经学过的数学知识证明这个不等式吗？
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，（a b）2 0 当a b时， (a b)2 0
系？
mn
例2：
用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆
最短。最短的篱笆是多少？
课堂小结
a2 b2 2ab(a R,b R)
类比 换元
等价转换
a b ab(a 0,b 来自 0) 2注意前提条件及 等号取到的条件
基本不等式简单应用
(a b )2 0 即：a2 b2 2ab
2020年高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式1
第一课时 3.4基本不等式 2a b ab +≤（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程：一、复习准备：1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。
2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课：1. 教学：基本不等式 2a b ab +≤①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
（教师提问→学生思考→师生总结）②思考：证明一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤④从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤： 用分析法证明：要证2a bab +≥(1)， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。
2020人教A版数学必修五3.4基本不等式word教案1
高一数学集体备课学案与教学设计 章节标题 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1） 计划学时 2 学案作者 高考要求 掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
三维目标 1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及解决措施 重点：从不同角度探索基本不等式2b a ab +≤的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、 创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
2月22日数学必修五3.4基本不等式(新课)
试找出图中哪条线段表示a, b的算术平均值？
哪条线段表示a, b的几何平均值？
������ + ������
(1)由射影定理可知,CD= ������������ ,而OD= 2 ;
(2)因为OD ≥ CD,所以������+2������ ≥ a=b 时,等号成立;
������������,当且仅当C与O 重合 ,即
.
例2.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c> ������������+ ������������+ ������������.
知识方法小结
运用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等
，
所
以
函数Βιβλιοθήκη f(x) 的 最 小 值 是
x 2 x－1.( )
(4)y＝x＋1x的值域为[2，＋∞)．(
)
(5)因为 ，所以 .( y
x2
2
1 x2
2
2
(x2
2)
1 x2
2
2
ymin 2
)
典型例题
考点二 利用基本不等式比较大小
例1 若0<a<1,0<b<1,且a≠b,试找出a+b,a2+b2,2 ������������,2ab中的最大者.
������������与 ������+������
2
2
≥ab是等价的吗?
解:不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R.
3、两个不等式的结构特点：左式为和结构，右式为积的结构式，揭示两个 数的和或者平方和与两数的积之间的大小关系，运用该不等式可完成和与积 之间的不等关系相互转换。
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4
2
利用基本不等式必须满足三个条件：“．一．正．”．、．“．二．定．”．、．“．三．取．等．”．。
应用一：利用配凑法求最值
例 3：已知 x ＜ 5 ，求函数 f (x) ＝4 x －2＋ 1 的最大值。
4
4x 5
【解析】：解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2) 1 不是常数，所以
【解析】：∵ 0 x 3 ∴ 3 2x 0 ， 2
3
∴ y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 2 9 2 2
当且仅当 2x 3 2x, 即 x 3 0, 3 时等号成立。 4 2
变式练习 2： 0 x 2 ，函数 f (x) ＝ x(2 3x) 的最大值为________。 3
注意：（1）内容： a ＞0， b ＞0，当且仅当“ a ＝ b ”时“＝”成立；（2）其中 a b 叫 2
做正数 a 、 b 的算术平均数， ab 叫做正数 a 、 b 的几何平均数，即两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数。
3、常见的几个变形
（1） x ＋ 1 ≥2 ( x ＞0) x
x ＋ 1 ≤－2 ( x ＜0) x
4x 5
对 4x 2 要进行拆、凑项，
x
5 4
,5
4x
0
，
y
4x
2
1 4x
5
5
4
x
5
1 4x
3
2
3
1
当且仅当 5 4x
1 5 4x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
பைடு நூலகம்
ymax
1。
变式练习 1： 已知 x ＞ 3 ，则 f (x) ＝ 1 ＋4 x －1 的最小值为_____________。
应用二： 分离常数法
例 5：若 x ＞0，求函数 f (x) ＝
sin x
2
2
二、最值定理
已知 x 、 y 都是正数。
（1）如果积 x y 是定值 P ，那么当 x ＝ y 时，和 x ＋ y 有最小值 2 P ，即 x ＋ y ≥2 xy ；
（2）如果和 x ＋ y 就定值 S ，那么 x ＝ y 时，积 x y 有最大值 S 2 ，即 x y ≤ ( x y )2 。
2
4x 6
【解析】： f (x) ＝ 1 ＋4 x －6＋5≥7 4x 6
变式练习 2：已知 x ＞ 5 ，则函数 f (x) ＝ 16x2 28x 11 的最小值为______。
4
4x 5
【解析】：令 4 x －5＝ t ＞0，则 x ＝ t 5 ，则 f (t) ＝ t 1 3≥5
1
最大的一个是（
）
A： a 2＋ b 2
B：2 ab C：2 a b
D： a ＋ b
【解析】D
变式练习 2：下列不等式：（1） x ＋ 1 ≥2；（2）｜ x ＋ 1 ｜≥2；（3）若 0＜ a ＜1＜ b ，
x
x
则 log a b ＋ logb a ≤－2；（4）若 0＜ a ＜1＜b， log a b ＋ logb a ≥2。
A： y ＝ x ＋ 1 x
B： y ＝ x2 3 x2 2
C： y ＝ e x ＋ ex
D： y ＝ sin x ＋ 2 （0＜ x ＜ ）
sin x
2
【解析】：C
变式练习 2：下列不等式一定成立的是（ ）
A： x ＋ 1 ≥2 x
B： x2 2 ≥ 2 x2 2
C： x2 3 ≥ 2 x2 4
｜ x ＋ 1 ｜≥2 x
（2） b ＋ a ≥2（ a 、 b 同号），当且仅当 a ＝ b 时取等号 ab
（3）① a b ≤ a 2 b2 2
②a b ≤(a b)2 2
③ a b ≤(a b)2≤ a2 b2
2
2
（4）均值不等式推广：
1
2
1
≤
ab
ab ≤ a b ≤ 2
调和平均数 几何平均数 算术平均数
其中正确的是_______________。 【解析】（2）（3）
例 2：下列结论正确的是（ ）
A： y ＝ x ＋ 4 ≥4 x
C： x (1－ x )≤ ( x 1 x )2 ＝ 1
2
4
【解析】：C
B： e x ＋
1 ex
＞2
D： sin x ＋ 2 ≥2（0＜ x ＜ ） sin x
变式练习 1：下列函数中， y 的最小值为 2 的是（ ）
4
t
例 4：当 0＜ x ＜4 时，求 f (x) ＝ x (8－2 x )的最大值为__________。
【解析】：
当
，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。
变式练习 1：设 0 x 3 ，函数 y 4x(3 2x) 的最大值为__________。 2
D：2－3 x － 4 ≥2 x
【解析】：B
变式练习 3：在下列函数中，最小值为 2 的是（ ）
A： y ＝ x ＋ 5 （ x ≠0 且 x ∈ R ） 5x
B： y ＝ lg x ＋ 1 （1＜ x ＜10） lg x
C： y ＝ 3x ＋ 3x （ x ∈ R ）
【解析】：C
D： y ＝ sin x ＋ 1 （0＜ x ＜ ）
当仅且当“ a ＝ b ”时“＝”成立。
a2 b2 2
平方平均数
例 1：求证对于任意实数 a 、b 、c ，有 a 2＋ b 2 ＋ c 2 ≥ a b ＋ b c ＋ c a ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立。 【证明】：∵ a 2＋ b 2 ≥2 a b c 2 ＋ b 2 ≥2 b c a 2＋ c 2 ≥2 c a ∴ 2( a 2＋ b 2 ＋ c 2 ) ≥2 a b ＋2 b c ＋2 c a ，∴ a 2＋ b 2 ＋ c 2 ≥ a b ＋ b c ＋ c a 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立。 变式练习 1：若 0＜ a ＜1，0＜ b ＜1，且 a ≠ b ，则 a ＋ b ，2 ab ，2 a b ， a 2＋ b2 中
3.4 基本不等式
一、基本不等式
a b ab 2
1、重要不等式： a 2＋ b2 ≥2 a b ( a 、 b ∈R) 当且仅当“ a ＝ b ”时“＝”成立。
注意：（1）不等式成立的条件是“ a ＝ b ”，如果 a 、b b 不相等，则“＝”不成立；（2）
不等式的变形 ：
2、基本不等式： a b ≥ ab ( a 、 b ＞0) 当且仅当“ a ＝ b ”时“＝”成立。 2