【Word版解析】天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学(理)试题

2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

考试结束后，将II 卷答题卡和选择题答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．复数2)1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( ) A ．i - B ． 1- C ． 1 D ．0 【答案】B222222()12(1)i i i i i ii ===----,所以虚部为1-，选B. 2. :||2p x >是:2q x <-的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C由2x >得2x >或2x <-，所以:||2p x >是:2q x <-的必要不充分条件，选C. 3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）A ．39B ．21C ． 81D ．102 【答案】D第一次循环，3,2S n ==;第二次循环，232321,3S n =+⨯==;第三次循环，32133102,4S n =+⨯==;第四次循环，不满足条件，输出32133102S =+⨯=，选D.4. 若51()ax x-(0)a >展开式中3x 的系数为581-，则a 的值为（ ） A.13 B. 19 C. 127D. 1 【答案】A二项展开式的通项为55521551()()(1)kkk k k k k k T C ax C a x x---+=-=-，由523k -=得1k =，所以14325(1)T C a x =-，即3x 的系数为45a -，即45581a -=-，所以4181a =，解得13a =，选A.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，在双曲线右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥且12PF F π∠=，那么双曲线的离心率是（ ）A B C 1 D 1【答案】C因为12PF PF ⊥且126PF F π∠=，所以21,PF c PF ==,又122PF PF c a -=-=，所以21c a ===1，选C. 6. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==， 且ABC ∆则sin sin a bA B+=+( )【答案】D01sin1202ABC S bc == ，即122c ⨯=，所以4c =，所以22202cos12021a b c bc =+-=，所以a =。

因为2sin sin a bR A B==，所以2sin a R A ===，所以2(sin sin )2sin sin sin sin a b R A B R A B A B ++===++选D. 7. 在平行四边形ABCD 中，2,AE EB CF FB ==,连接CE 、DF 相交于点M ， 若AM AB AD λμ=+,则实数λ与μ的乘积为（ ）A ．14 B ．38 C ．34 D ． 43【答案】B 因为,,E M C三点共线，所以设(1)AM xAE x AC=+-,则(1)()(1)(1)22x x AM AB x AB AD AB x AD =+-+=-+-。

同理,,D M F 三点共线，所以设(1)AM y AF y AD =+- ,则2(1)3y AM y AB AD =+- ，所以有122113xy yx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得34y =，即3142AM AB AD =+ ，所以31,42λμ==，即313428λμ=⨯=，选 B.8.已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++, 2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-， 且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11 【答案】C函数的导数为()201320132320121()1'11()1x x f x x x x xx x--+=-+-⋅⋅⋅+==--+，由'()0f x =得1x =-，即函数的极小值为(1)f -，所以()1111110232013f -=-----< 。

当1x <-时，()0f x <，又(0)1f =，所以在(1,0)-上函数有且只有一个零点，即()3f x +在(4,3)--上函数有且只有一个零点.()201320132320121()1'11()1x x g x x x x xx x----+=-+-+⋅⋅⋅-==--+，由'()0g x =得1x =，即函数的极小值为(1)f ，所以()1111110232013g =-+-+-> 。

当1x <-时，()0g x >，又(0)1g =，(1)0g >，(2)0g <，所以在(1,2)上函数()g x 有且只有一个零点，即()4g x -在(5,6)上函数有且只有一个零点，又函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，所以6,4b a ≥≤-，即10b a -≥，所以-b a 的最小值为10，选C.2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学试卷（理科）第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)注意事项：1．第Ⅱ卷共３页，用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应的横线上.9.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为4:3:2， 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件， 那么此样本容量=n ． 【答案】 72 由题意可知22()162349nn ⨯==++，解得72n =。

10.右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .【答案】243π-由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2,1的长方体挖去一个半径为1的半球。

所以长方体的体积为2214⨯⨯=，半球的体积为142233ππ⨯=，所以该几何体的体积为243π-。

11. 已知132log a =，062b =.，43c =log ，则,,a b c 的大小关系为 ．【答案】a c b <<1320a =<log ，0621b =>.，01c <<，所以a c b <<。

12. 己知集合222{|28},{|240}x xA xB x x mx -=<=+-<，若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<< ，则实数m 等于 . 【答案】32222{|28}{|230}{13}xxA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<< ，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。

13.直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C截得的弦长为5，则实数a 的值为 . 【答案】 0或2在平面直角坐标系下直线方程为2(2)0x y a ++-=，圆的方程为2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，所以圆心为(1,1)-，半径r =若直线l 被圆C截得的弦长为5，则圆心到直线的距离5d ===，又5d ===，即11a -=，解得0a =或2a =。

14. 设函数011()(),21x f x x A x =++为坐标原点，()n A y f x =为函数图象上横坐标为*()n n N ∈的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑ 向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nk k θ=<∑的最大整数n 是 . 【答案】3由题意知(,())n A n f n =，又101n n k k n k a A A A A -===∑，因为n n a i θ 为向量与向量，所以()11tan ()2(1)n n f n n n n θ==++，所以111tan 122θ=+=，2115tan 4612θ=+=，3115tan 81224θ=+=，4119tan 162080θ=+=。

因为5513112248++=，559139112248080+++=，且1351398380<<，所以满足15tan 3nk k θ=<∑的最大整数n 是3. 三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本题满分13分）已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求： (I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(II) 求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域．16．（本题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试， 在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题． 答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．17.（本题满分13分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值．18．(本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．BA19. (本题满分14分) 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =，且2AF AB ⊥．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线:l 椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 与椭圆C 交于N M 、两点，线段MN 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ，求实数m20． (本题满分14分) 设函数()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()()f x h x x=的单调性； （Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学答案（理科）一．选择题： B C D A C D B C 二、填空题：9． 72 10． 243π- 11． a c b << 12．3213． 0或2 14． 3 三、解答题15．已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求： (I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II)求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域． 【解】(I)：1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=+22cos 2x x =+2sin(2)26x π=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴最小正周期22T ππ==， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数∴()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++，由题意得: 63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-，∴1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 16. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每次考试每人必须从备选的6道题中 随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53， 乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率． 【解】设乙的得分为X ，X 的可能值有0102030,,, .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分33361020()C P X C === 21333691020()C C P X C === 12333692020()C C P X C === 333613020()C P X C === ．．．．．．．．．．．．．．．5分 乙得分的分布列为：BA．．．．．．．．．．．．．．．．．6分199101020301520202020EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 所以乙得分的数学期望为15 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (2) 乙通过测试的概率为19120202+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 甲通过测试的概率为322333281555125()()C +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 甲、乙都没通过测试的概率为18122112125125()()-⋅-=因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为221031125125-=．．．．．．．．．13分17．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD==若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值． 法一：(Ⅰ)证明：ABCD 为平行四边形 连结AC BD F = ，F 为AC 中点，E 为PC 中点∴在CPA ∆中EF //PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分 且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面// ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，C D A D⊥，CD ⊂平面A B C D所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分又PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，BA且2PAD π∠=即PA PD ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．6分CD PD D = ，且CD 、PD ⊆面ABCDPA ⊥面PDC ．．．．．．．．．．．．７分 又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC ．．．．．．．8分 (Ⅲ) 【解】：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF , 则EM PD ⊥由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥，PD ⊥面EFM ，PD MF ⊥，EMF ∠是二面角B PD C --的平面角 ．．．．．．．．．．．12分 Rt FEM ∆中，124EF PA a == 1122EM CD a ==4tan 122EF EMF EM a∠=== 法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD , PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴POABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2aOP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE - .．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（Ⅰ）证明：易知平面PAD 的法向量为(0,,0)2a OF = 而(,0,)44a aEF =- ,且(0,,0)(,0,)0244a a aOF EF ⋅=⋅-= , ∴EF //平面PAD .．．．．．．．．．．．．．6分(Ⅱ)证明：∵(,0,)22a a PA =- ,(0,,0)CD a =∴(,0,)(0,,0)022a a PA CD a ⋅=-⋅= ,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D = ,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,∴平面PAB ⊥平面PDC ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分(Ⅲ) 【解】：由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a a PA =- .设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z = .∵(,0,),(,,0)22a a DP BD a a ==-,∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅= 可得002200a a x y z a x a y z ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⎪-⋅+⋅+⋅=⎩,令1x =,则1,1y z ==-, 故(1,1,1)n =-∴cos ,n PA n PA n PA⋅<>===, 即二面角B PD C --的余弦值为3, .．．．．．．．．．．．．．12分 所以二面角B PD C --的正切值为2.．．．．．．．．．．．．．13分 18． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈， 数列{}n b 满足11b =，且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 【解】（Ⅰ）当1=n ，21=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴ 12(2)n n a a n -=≥，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =∴2nn a = ．．．．．．．．．．．．．．．3分 又点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上，∴ 12n n b b +=+，∴{}n b 是等差数列，公差为2，首项11=b ，∴21n b n =- ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1234112325272(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ①23451212325272(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ② ①—②得123411222222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯ ．．．．．．．．．．7分1114(12)22(21)22(32)612n n n n n -++-=+⨯--⨯=--- ．．．．．．．．．．．．．．．8分1(23)26n n D n +=-+ ．．．．．．．．．．．．．9分（Ⅲ）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩为偶数为奇数n n ．．．．．．．．．．．．．．．11分21321242()()n n n T a a a b b b -=+++-++21321222222[37(41)]23n n n n n +--=+++-+++-=-- ．．．．．．．．13分 19．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为1F 、在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 交于N M 、两点，线段MN 的中垂线与x 轴上相交于点)0,(m P 【解】（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以112AF F F =，即2a c =，故椭圆的离心率21=e ．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （其他方法参考给分） （Ⅱ）由（1）知,21=a c 得a c 21=于是21(,0)2F a , 3(,0)2a B -，Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -），半径21||2r F B a ==．．．．．．．．．．．．5分 D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2|321|，解得2,1,ac b =∴==．．．．．．．．．．．．．．．．7分所求椭圆方程为13422=+y x . ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,1(2F , l ：)1(-=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ，所以0∆>恒成立设),(11y x M ，),(22y x N 则2221438k k x x +=+，121226(2)34ky y k x x k -+=+-=+ MN 中点22243(,)3434k kk k-++ ．．．．．．．．．．．．．．．10分当0k =时，MN 为长轴，中点为原点，则0m = ．．．．．．．．．．．．．．．11分当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k+=--++．令0y =，43143222+=+=∴k k k m ．．．．．．．．．．．．．．．12分230k >，2144k +>， 可得410<<∴m ．．．．．．．．．．．．．．13分综上可知实数m 的取值范围是1[0,)4． ．．．．．．．．．．．．．．14分20.设函数()ln a f x x x x=+， 32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()()f x h x x=的单调性； （Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立， 求满足上述条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．【解】（Ⅰ）2()ln a h x x x =+，233212()a x ah x x x x-'=-+=， ．．．．．．．1分 ①00,()a h x '≤≥，函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ．．．．．．．．．．．．．．．．2分②0a >，0(),h x x '≥≥()h x 的单调递增区间为)+∞ ．．．．．3分00(),h x x '≤<≤()h x 的单调递减区间为0( ．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立 等价于：12max [()()]g x g x M -≥，．．．．．．．．．．．．．．．．5分考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-， ．．．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以满足条件的最大整数4M =； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分（Ⅲ）当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立 等价于2ln a x x x ≥-恒成立， ．．．．．．．．．．．11分 记2()ln h x x x x =-，所以max ()a h x ≥'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。