勾股定理及其逆定理的综合应用教案教学设计导学案
人教版数学八年级下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》教案
人教版数学八年级下册《勾股定理及其逆定理的综合应用》教案一. 教材分析《勾股定理及其逆定理的综合应用》是人教版数学八年级下册的一章内容。
本章主要介绍了勾股定理及其逆定理的定义、证明和应用。
通过本章的学习，学生可以掌握勾股定理及其逆定理的知识，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了相似三角形的性质和判定，对数学几何有一定的基础。
但是，学生可能对勾股定理及其逆定理的理解和应用还不够熟练，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握勾股定理及其逆定理的定义和证明，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法：学生能够通过自主学习和合作交流，培养解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观：学生能够对数学产生兴趣和自信心，培养积极的学习态度。
四. 教学重难点1.勾股定理及其逆定理的定义和证明。
2.运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过问题引导，激发学生的思考和探究欲望。
2.合作学习法：学生分组讨论和合作解决问题，培养团队合作精神。
3.案例分析法：教师通过提供实际案例，引导学生运用勾股定理及其逆定理进行分析和解决。
六. 教学准备1.教学PPT：教师准备相关的教学PPT，内容包括勾股定理及其逆定理的定义、证明和应用案例。
2.案例材料：教师准备一些实际问题案例，用于引导学生进行分析和解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题案例，引出勾股定理及其逆定理的概念，激发学生的兴趣和思考。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现勾股定理及其逆定理的定义和证明，引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）教师提供一些练习题，学生独立完成，巩固对勾股定理及其逆定理的理解和应用。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论和合作解决一些实际问题，运用勾股定理及其逆定理进行分析和解决，教师进行指导和点评。
5.拓展（10分钟）教师提供一些拓展问题，学生独立思考和解答，进一步深化对勾股定理及其逆定理的理解和应用。
《勾股定理及逆定理的综合应用》教学设计
勾股定理及逆定理的综合应用教学设计一、内容和内容解析1．内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题．2．内容解析勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题．二、目标和目标解析、１、知识与能力:通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理及逆定理的有关计算与证明，加深对勾股定理及逆定理的理解。
２、应用过程与方法: 会用勾股定理及逆定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”“转化”“方程”“分类讨论”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
３、情感、态度与价值观: 感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。
达成目标（1）的标志是学生通过引辅助线构成直角三角形，再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形形状及用勾股定理进行与边长、面积、最短路径有关的计算和证明等；达成目标（2）的标志是学生能结合勾股定理及逆定理把实际问题与数学问题联系起来，考虑到不同情况下不同的求解思路，并且能把复杂图形转化为简单图形，转化为可以解决的问题。
三、教学重点难点本课的教学重点是利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
本课的教学难点是利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．四、教学问题诊断分析在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发，鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题．五、教学过程设计引课：根据勾股定理解决过马路少走几步路的问题,师生活动：学生通过思考举手回答，教师板书．【设计意图】通过把生活中的问题转化成数学问题，使学生感受数学来源于生活又服务于生活。
《勾股定理及逆定理的综合应用》教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解勾股定理及逆定理的概念；（2）学会运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究勾股定理及逆定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用勾股定理及逆定理进行几何图形的计算和设计。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）感受数学在生活中的应用，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）勾股定理及逆定理的概念；（2）运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2. 教学难点：（1）勾股定理及逆定理的证明过程；（2）复杂几何图形的计算和设计。
三、教学准备1. 教具准备：（1）黑板、粉笔；（2）多媒体教学设备；（3）几何模型和道具。
2. 学具准备：（1）练习本；（2）三角板；（3）直尺、圆规。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的勾股定理及其应用；（2）引入逆定理的概念，激发学生的好奇心。
2. 探究勾股定理及逆定理：（1）引导学生通过观察、操作、推理得出勾股定理的证明过程；（2）引导学生发现逆定理的证明过程，巩固知识。
3. 运用勾股定理及逆定理解决问题：（1）设计不同难度的练习题，让学生独立完成；（2）选取典型的实际问题，引导学生运用勾股定理及逆定理解决。
4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结勾股定理及逆定理的应用；（2）强调学生在课堂上的积极参与和优秀表现。
五、课后作业1. 巩固练习：（1）完成练习本上的相关习题；（2）选取一道实际问题，运用勾股定理及逆定理解决。
2. 拓展延伸：（1）查阅资料，了解勾股定理及逆定理在古代数学中的应用；（2）尝试创造自己的几何图形，运用勾股定理及逆定理进行计算和设计。
六、教学反思1. 教师反馈：（1）总结学生在课堂上的表现，表扬优秀学生；（2）针对学生的掌握情况，提出改进教学的方法和策略。
2. 学生反馈：（1）学生自我评价在学习过程中的优点和不足；（2）提出对教学的建议和意见。
《勾股定理及逆定理的综合应用》教案
17．2 勾股定理及逆定理的综合应用教学目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题；2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识；3.经历运用勾股定理及逆定理解决问题的过程中，培养学生数形结合的思想；4.培养数学思维以及数形结合思想，感悟勾股定理和逆定理的应用价值．重点、难点1.教学重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
3.难点的突破方法：⑴研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为三角形的问题；⑵构造勾股数，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再利用勾股定理进行计算；⑶注意给学生归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。
教学过程一．知识回顾1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么；2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足，•那么这个三角形是；3. 互逆命题：两个命题的题设和结论正好，像这样的两个命题称为．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．4. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理．5.已知一个直角三角形的两边长分别为2和6，则第三边长是（）A、√2B、2√10C、4√2和2√10D、以上都不对6. 以下列各组数据为边长，不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．8，15，17 C．7，24，25 D．2，3，47.下列命题的逆命题成立的是（）A. 对顶角相等；B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；C. 全等三角形的对应角相等；D. 两直线平行，内错角相等；二．探索新知例1. 王奶奶家门前有一块空地，形状如图，已知四边形ABCD 中，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，且AB ⊥BC ，求四边形ABCD 面积．例2. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上一点，且FC=14CD ， 求证：AE ⊥EF ．例3.如图，南北方向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私艇A 发现正东方向有一走私艇C 以72海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 。
勾股定理及其逆定理的综合应用-人教版八年级数学下册教案
勾股定理及其逆定理的综合应用-人教版八年级数学下
册教案
一、教学目标
1.了解勾股定理及其逆定理的定义和公式；
2.掌握勾股定理及其逆定理在解决直角三角形问题中的应用；
3.训练学生分析和解决问题的能力。
二、教学重点与难点
1.熟练掌握勾股定理及其逆定理的公式；
2.理解应用勾股定理及其逆定理解决直角三角形问题；
3.培养学生的分析和解决问题的能力。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
通过展示一些直角三角形的图片，引导学生思考如何计算三角形的边长，引出勾股定理。
2. 讲解（35分钟）
1.勾股定理的定义：已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则a2+b2=c2。
2.勾股定理的逆定理的定义：已知三条边长a、b、c，若a2+b2=c2，则三角形是直角三角形，且直角在斜边上。
3.讲解勾股定理及其逆定理的公式的推导过程，以便学生理解公式的本质。
4.利用例题、习题和练习来固定学生的掌握程度。
3. 拓展（15分钟）
1.探讨直角三角形的平移和旋转；
2.探究勾股定理的化简和推广；
3.提高学生的数学思维能力。
4. 总结（5分钟）
总结勾股定理及其逆定理的应用情况和解决问题的步骤，让学生对重点内容有更深入的理解。
四、教学评价
1.学生掌握勾股定理和逆定理的定义和公式；
2.学生能够理解勾股定理和逆定理的推导过程；
3.学生能够应用勾股定理和逆定理解决直角三角形的问题；
4.学生对勾股定理和逆定理有一定的拓展和应用能力。
《勾股定理及逆定理的综合应用》教案
《勾股定理及逆定理的综合应用》教案第一章：勾股定理的引入与证明1.1 教学目标1. 了解勾股定理的历史背景和应用场景；2. 掌握勾股定理的表述和证明方法；3. 能够运用勾股定理解决实际问题。
1.2 教学内容1. 介绍勾股定理的起源和发展；2. 讲解勾股定理的证明方法，如几何证明、代数证明等；3. 通过例题演示勾股定理的应用。
1.3 教学活动1. 观看勾股定理的介绍视频，了解其历史背景；2. 分组讨论，每组选择一种证明方法进行讲解；3. 解答例题，让学生熟悉勾股定理的应用。
第二章：勾股定理的扩展与应用2.1 教学目标1. 掌握勾股定理的扩展形式；2. 学会运用勾股定理解决复杂问题；3. 培养学生的逻辑思维能力。
2.2 教学内容1. 介绍勾股定理的扩展形式，如勾股定理的推广和变体；2. 通过例题讲解勾股定理在复杂问题中的应用；3. 探讨勾股定理与其他数学定理的联系。
2.3 教学活动1. 引导学生自主探索勾股定理的扩展形式；2. 小组合作，解决复杂问题，如直角三角形的边长计算；第三章：逆定理的概念与证明3.1 教学目标1. 理解逆定理的定义和意义；2. 学会运用逆定理判断三角形的类型；3. 能够应用逆定理解决实际问题。
3.2 教学内容1. 介绍逆定理的概念和表述；2. 讲解逆定理的证明方法，如几何证明、代数证明等；3. 通过例题演示逆定理的应用。
3.3 教学活动1. 引导学生理解逆定理的含义，进行概念辨析；2. 分组讨论，每组选择一种证明方法进行讲解；3. 解答例题，让学生熟悉逆定理的应用。
第四章：逆定理的综合应用4.1 教学目标1. 掌握逆定理的综合应用方法；2. 学会运用逆定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力。
4.2 教学内容1. 介绍逆定理的综合应用方法，如判断三角形的类型；2. 通过例题讲解逆定理在实际问题中的应用；3. 探讨逆定理与其他数学定理的联系。
4.3 教学活动1. 引导学生自主探索逆定理的综合应用方法；2. 小组合作，解决实际问题，如判断三角形的类型；第五章：案例分析与实践5.1 教学目标1. 能够运用勾股定理和逆定理解决实际问题；2. 培养学生的综合应用能力和创新思维；3. 提高学生解决实际问题的能力。
勾股定理及其逆定理的综合应用(第一课时) 精品导学案
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导学稿勾股定理及其逆定理的综合应用（第一课时）班级： 姓名：教学目标：1，能利用勾股定理及其逆定理解决一些综合问题.2，已知任意三角形的三边长，求这个三角形的面积.3，理解非直角三角形中三边的平方有怎么样的关系。
一，学前准备1，迅速写出勾股定理和勾股定理的逆定理？2，应用勾股定理的前提条件是什么？3，勾股定理的逆定理的作用是什么？二，活动一1，请你设计一种勾股定理的证明方法，本组内互相对照讨论看自己设计的是否正确？活动二，在三角形ABC 中BC=a,AC=b,AB=c 。
若∠C=90°如图甲，根据勾股定理，则222a b c +=，若△ABC 不是直角三角形如图乙，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论。
三，课堂练习1，已知等要三角形的腰长为5，底边为6，那么它的面积是2，已知△ABC中，AB=AC=BC=ABC的高AD.四，当堂检测1，在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a:b=3：4，那么a= ，b= . 2,已知在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=4，求△ABC的面积。
3，如图所示，△ABC中，D为BC上一点，且AB=10，AC=12，AD=8，BD=6求S△ABC的面积。
4，如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，CE=14CD。
求证：A E⊥EF本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。
因此, 写作教案具有重要地位。
然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。
新人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理的综合应用》优质课教学设计_10
17．2 勾股定理及其逆定理的综合应用一、学习目标1.复习勾股定理及其逆定理的内容．。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、例题的意图分析例1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
四、设问导学创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
1.某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。
如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向如图所示航行吗？解：根据题意画图,PNESQRPQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30∵242+182=302,即 PQ2+PR2=QR∴∠QPR=900由”远航“号沿东北方向航行可知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,即“海天”号沿西北方向航行.小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
2.练一练“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?解：小汽车在车速检测仪的北偏西60°方向25米/秒=90千米/时>70千米/时∴小汽车超速了3.拓展延伸如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，∴ AC2+CD2=52+122=169．又∵ AD2=132=169，即 AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积为 36.4.当堂训练1.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且14=CF CD．求证：∠AEF=90°．2.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距 1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求：（1）此时快艇航行了多少米（即AB 的长）？（2）距离哨所多少米（即OB的长）？5.拓展延伸我们学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什么关系？（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数)也是一组勾股数.五、课后反思．。
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知识点：勾股定理及其逆定理的综合运用 问题情境1：运用勾股定理和逆定理求面积
问题模型：已知一含有直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求面积 求解模型：
【例题】
【分析】由于∠B 是直角，因此连接AC 将问题转化为直角三角形问题加以解决；求出AC 的长，再在三角形ACD 中用逆定理判定其为直角三角形，再求面积。
【答案】
练习
1.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。
求：四边形ABCD 的面积。
在已知直角三角形中运用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形
求四边形的面积
D
A B C
A
D
C
B
【答案】
连接AC ，在Rt △ABC 中用勾股定理求出AC=
4
5
，在
△ACD 中由AD
、CD 的长结合AC 的长，运用逆定理判定它为直角三角形，求出两直角三角形面积再求和，得四边形的面积为
4
9。
【答案】
3.在△ABC 中，AB =15，AC =13，D 是BC 边上一点，AD =12，BD =9，则△ABC 的面积
为 ． 【答案】84
4．如图，已知CD =6m ，AD =8m ，∠ADC =90°，BC =24m ，AB =26m ．求图中阴影部分的面 积． 【答案】96cm 2
问题情境2：运用勾股定理和逆定理求四边形的角度
问题模型：已知一含一直角的四边形的边长，综合运用定理和逆定理求角度 求解模型：
在已知直角三角形中运
用定理求出对角线长
连对角线将四边形分为两个三角形，其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形 用特殊角求角度
A C
B D
（第4题）
【例题】
如图，已知AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=32，求∠DAB 的大小。
【分析】要求∠DAB 的大小需要先将它转化为三角形的内角或几个内角的和来求解，因此需要连接AC ，易得三角形ABC 为等腰直角三角形，则∠BAC=45°，从而只要求∠DAC 的大小即可。
【答案】
解：连接AC ， ∵AB ⊥BC ，且AB=BC=2 ∴△ABC
为等腰直角三角形 ∴∠BAC=45°
且2222=+=
BC AB AC
在△ACD 中，2
2
2
2
2
)32(12)22(CD AD AC ====+
∴△ACD 为直角三角形
∴∠DAC=90°
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135° 练习
如图，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90B ∠=︒，求：BAD
∠的度数．
【答案】解：设AD a =，则23AB BC a CD a ===，，连接AC ，
ABC △为等腰三角形，45BAC ∠=︒∴．
在ABC Rt △中，由勾股定理，得22222
28AC AB BC AB a =+==，
又
22229AD a CD a ==，，∴222AC AD CD +=．
由勾股定理的逆定理知CAD △是直角三角形．
904590135CAD BAD BAC CAD ∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒∴，∴．
问题情境3：运用勾股定理和逆定理求三角形的边长
问题模型：已知三角形的一边和其对角，综合运用定理和逆定理求三角形的边长 求解模型：
A B
C D A B C D
A
B
C
D
【例题】
【分析】在△ADC中，若不是特殊三角形则难以求解，因此必须首先判定△ADC的形状，然后再计算解决问题。
【答案】
练习：
2.
【答案】
C
A
B
D
问题情境4：运用勾股定理和逆定理判定三角形的形状
问题模型：已知三角形边的乘积关系，综合运用定理和逆定理判定三角形的形状 求解模型：
【例题】
【分析】
由勾股定理的逆定理可知，要证明AB ⊥AC ，只需证明2
2
2
AC BC AB =+即可，再结合条件中的乘积式化为2
2
2
AC BC AB =+即可。
【答案】
练习
已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD 。
求证：△ABC 是直角三角形。
判定三角形为直角三角形
将乘积关系化为勾股定理的逆定理的形式 乘积关系 勾股定理
D
【答案】
证明：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2 ∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2 =AD 2+2AD·BD+BD 2 =（AD+BD ）2=AB 2
知识关联：勾股定理和逆定理的综合运用；正方形的性质
问题情境4：运用勾股定理和逆定理结合正方形的性质判定三角形的形状（线段的垂直关系） 问题模型：已知正方形中的线段间的关系，证明直角三角形或线段的垂直关系 求解模型： 【例题】
如图，正方形ABCD 中，1
4
AE BE AF AD ==
，，求证：CE EF ⊥． 【分析】先结合问题的条件和正方形的特征判定△CEF 的形状。
【答案】
证明：连接CF ，设1AF =，则324DF AE BE BC CE =====，，，
∵2
2
2
125EF =+=，2
2
2
2420CE =+=，
2223425CF =+=，222CF EF CE =+∴．
CEF ∴△为为直角三角形（勾股定理的逆定理）
． CE EF ⊥∴． 练习：
正方形的性质
线段的数量关系
勾股定理的逆定理
勾股定理
三角形为直角三角形
图4
E
F
答案：
2．已知一个三角形的三条边长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是（）2．A
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
4．
7。