25在中学数学教学中渗透数学建模思想
数学建模思想融入高中数学教学的探索与实践
数学建模思想融入高中数学教学的探索与实践我国教育体制改革的逐步开展下，如何提高学生核心素养和综合创新能力已成为当前高中教育的主要任务。
为了更加有效地引导学生学习，教师要通过建模方法来指导学生把数学知识整理得有条理，从而帮助学生形成问题意识，勇于提出问题，从而帮助他们更加深刻地理解数学知识，并通过合理的方法将数学知识与实际问题联系起来，提高自身的数学学科素养。
一、数学建模的内涵数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，是数学教育教学的基本内容。
数学建模是从实际问题中建立数学模型的过程，是指经过对数据专业知识及其他专业知识的实际运用，能将数据学科的外部功能与内部应用层次加以统一衍射。
在数学模型上将所有的数据编程语言及其他元素都加以外部运用，将数学本身的实用、功用加以深入体现和演绎。
从数学教学、核心素质训练等方面分析，数学模型属于把数据专业知识和语言运用到外部环境中的一个表现方式，使学生对具体数据及各种功能应用有更深层次的认识。
同样，数学教学中模型能够使单调沉闷的几何教材显得更为充实、活泼有趣，能对学生积极主动学习产生积极影响。
从各个方面来说，数学模型对于全方位提高学生素质能力都具有重要的促进意义。
二、将数学建模思想融入高中数学教学的意义（一）借助模型，有助于理解由于学生在学习的过程当中难免出现一些学生不理解的问题，所以通过建模有助于孩子理解是非常关键的。
就如简单的计算，很可能学生在实际应用问题当中根本就很难掌握，可是经过实际地训练学生很快就会找到许多一开始忽略的细节点。
比如，在游泳池进水与放水这种很单纯的问题当中，学生对这两种变量之间的关系根本就无法判断，经过实际建模地训练学生却很轻松地就能够掌握。
而实际上在日常生活当中，也有许多建模训练能够用于表现某些数学概念与内容，数学根本就来自日常生活当中，学生不管在任何时候都不能离开了和实际生活的联系。
模块的建立可以帮助学生认识某些抽象的概念，也有助于学生获得更多的提高。
中学数学教学中渗透建模思想的实践与思考
★新 论视 窗
中学 数 学教 学 中渗 透 建 模 思 想 的 实 践 与 思 考
广 西华侨 学校 （ ３ ０ ７ 黄 善德 ５０ ０ ）
【 摘要】 中学数学教学 中渗透建模 思想， 以促 在 可
进 学 生逐 步 形 成 和 发 展 数 学应 用 意识 ， 而 培 养 并提 从 ３ 在 数 学 建 模 过 程 中 ． 生 亲 自搜 集 数 据 、 找 ． 学 查 资料 。 对 学 习 的 内 容进 行 整理 汇报 、 辩 或 争 辩 。 并 答 教 师 扮 演 的 是 教 学 的设 计 者 和指 导 者 ， 生 是 学 习 过 程 学 中 的主 体 ． 生 处 于 平 等 地 位 。 此 极 大 地 调 动 了 学 师 因
据 相 吻 合 ． 样 经 过 直 觉 — — 试 探 — — 出 错 — — 思 这 考 — — 猜 想 — — 验 证 的过 程 ， 合 学 生 的 认 知 规 律 ， 符
生 自觉 学 习 的 积极 性 ．
高学生的教 学意义的基 础上 ． 对我校在数 学教 学 中渗 透 建模 思 想 的 实践 进 行 了总 结 与 反 思 。 为今 后 进 一 步
进行数学建模研究做基础性探讨．
二 、 学 数 学 教 学 中渗 透 建 模 思 想 的 实 践 中 本 校 的数 学 教 研 组 从 ２ ０ 年 ３ 起 开 展 数 学 建 ０４ 月 模 教 学 活 动 ， 过 ２年 多 不 断 尝 试 ， 步 探 索 出 一 条 经 初
型 ， 网 模 型 ， 律 与 犯 罪 问 题 ． 业 与 失 业 ． 告 与 蛛 法 就 广
定的抽象能力 ， 且 要有相 当 的观察 、 析 、 合、 而 分 综
类 比能 力 ． 而学 生 的 这种 能 力 的 获 得 不 是 一 朝 一 夕 的 事 情 ， 要 把 数 学 建 模 意 识 贯 穿 在 教 学 的 始 终 ， 就 需 也 是 要 不 断地 引导 学 生 用数 学 思 维 的 观 点 去 观 察 、 析 分 和 表 示 各种 事 物 关 系 、 间 关 系 和 数 学 信 息 ， 纷 繁 空 从
在中学数学教学中渗透建模思想的初步尝试
、
勃勃地发言： “，｛ …一 ｌ， ， ”学生无形中 加强了 用数学的意识，
又 增强 了他们 的 民族 自豪 感 ；讲 到 等 比数 列 前１ 和 时 ， 以一个 ３ 项 小 故事 做 引子 ： “ 国际 象棋 起源 于 印度 ，相 传 国王 要奖 励 国际象 棋 的发 明者 ， 问他 想要 什么 。发 明者说 ：请 在棋 盘 的第 一个 格子 里放 上 １ 麦粒 ，第 二个 格 子里 放上 ２ 麦粒 ，第 三 个格 子里 放上 颗 颗 ４ 麦 粒 ， 以此 类推 ，每 个格 子 里 放 的麦 粒数 都 是 前一 个 格 子里 颗
力。”
而 建造 费用 为 Ｃ （ ） ６ ， ｘ ｘ 最 后得 隔热 层 的建造 费用 与２年 的 能源消 耗费用 之和 为 ０
ｔｘ ２ Ｃ（） （） ０ ｘ ＋Ｃ－ｘ 【）
：
２ ３ ０，
＋６ ｘ：
＋６ （ ｘ￡ １） ｘ０￡ ０
ｘ＋ ５
３ ＋ ５ ｘ
而 我们 的中学 数学 教 学主 要是 一种 “目标 教学 ”。一 方面 ， 下 面面 临 着对 数学 模 型求 解最 值 ，学 生分 组进 行 了研 究和 交 我 们一 直想 教 给学 生有 用 的数 学 ，但 大多 数学 生 高考 毕业后 就 觉 流 。沿 不 同 的思路 对 问题进 行 了分 析 ， 比如 有 的组 用 导数解 决 最 得 数学 别无 它 用 ；另 一方 面 ，我们 现行 的教学 方式 的确 提 高 了学 值 问题 ，这 是高 中数 学解 决最值 的常 见方 法 ： 生 的应 试 “ 力 ”，但 是 学生 一旦 碰 到 陌生 的题 型 或者 联 系实 际 能 （ ｘ＝６ ２ ） ． ） 令 ｆ（ ） ０ ’ ＝ １ ｘ ６ ， 的问题 却又 不会 用 数 学方法 去解 决 。 由此看 来 ，在 数 学教 学 中对 解得ｘ ， …５ ｘ （ 舍去 ）， 学生进行建模思想的培养及训练，尤为重要。数学素质教育 的主
数学建模思想在中学数学中的应用
数学建模思想在中学数学中的应用在中学数学的学习中，数学建模思想具有重要的地位和作用。
它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，提高解决实际问题的能力，还能培养学生的创新思维和应用意识。
数学建模，简单来说，就是将实际问题转化为数学问题，然后通过建立数学模型来解决问题的过程。
中学数学中的许多知识，如函数、方程、不等式、几何图形等，都可以作为构建数学模型的工具。
以函数为例，在生活中，我们常常会遇到各种各样的变化关系。
比如，汽车行驶的路程与时间的关系、销售商品的利润与销售量的关系等。
这些关系都可以用函数来描述和分析。
通过建立函数模型，我们可以预测未来的趋势，做出合理的决策。
再比如，在几何图形的学习中，数学建模思想也有广泛的应用。
例如，计算一个不规则物体的体积，我们可以通过将其转化为规则几何体的组合，然后利用相应的体积公式来求解。
又如，在测量建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的性质建立数学模型，从而得出准确的结果。
数学建模思想在中学数学应用题中的应用尤为明显。
例如，一道常见的行程问题：甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，问 A、B 两地的距离是多少？在解决这道题时，我们可以建立一个简单的线性方程模型。
设 A、B 两地的距离为 x 千米，根据路程=速度×时间，可得到方程：5×3 ＋ 4×3 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。
在解决这类应用题时，关键是要将实际问题中的数量关系转化为数学语言，明确已知量和未知量，然后选择合适的数学模型进行求解。
这需要学生具备较强的阅读理解能力和逻辑思维能力。
数学建模思想的应用还能够激发学生的学习兴趣。
传统的数学教学往往注重理论知识的传授和解题技巧的训练，容易让学生感到枯燥乏味。
而通过引入数学建模，将抽象的数学知识与实际生活紧密联系起来，让学生看到数学的实用性和趣味性，从而提高他们学习数学的积极性和主动性。
数学建模思想在中学数学教学中的运用
律进 行 观察 和研 究 ， 住 问 题 的 本 质 ； 后 把 反 映 实 际 问题 抓 最 的数 量关 系建 立 起 来 ， 用 数 学 的 方 法 对 问 题 进 行 分 析 和 运 解决 ． 实 数 学 建 模 就 是 理 论 联 系 实 际 的 桥 梁 ． 学 建 模 在 其 数 科 学 技 术 发 展 中 的 重 要 作 用 已 被 各 类 学 科 重 视 起 来 ． 学 数
模型准备 ： 了解 问 题 的 实 际 背 景 ， 确 建 模 目的 ， 握 明 掌 对 象 的各 种 信 息 ， 清 实 际 对象 的特 征 ． 弄 模 型 假 设 ： 据 实 际对 象 的 特 征 和 建 模 目的 ， 问 题 进 根 对 行 必 要 的合 理 的简 化 ． 假设 不 同 模 型 也 就 不 同． 于 简 单 的 过
问题 的一 种 数 学 简 化 ， 的存 在 形 式 一 般 都 是 某 种 意 义 上 它 接 近 实 际事 物 的抽 象 ， 并 不 是 与 实 际 的 问 题 相 同 ， 者 在 它 二
模 型 检验 ： 型 分 析 结 果 与 实 际 对 象 相 结 合 ， 结 果 进 模 对
行评 价．
数据 的 收集 是 建 立 模 型 的首 要 工 作 ， 些 数 据 是 要 通 这
过实 际 调 查 得 到 的 ； 后 对 实 际 对 象 的 固 有 特 征 和 内 在 规 然
语 言 以其 科 学 性 、 辑 性 、 观 性 及 可 重 复 性 的特 点 ， 描 逻 客 在 述各 种现 象 时体 现 出其 别 具 一 格 的严 密 与 贴 合 实 际 ． 图 １ 如
数学教学中数学建模思想渗透
内江师范学院学报J OUR NAL OF N EIJ IAN G NORMAL UN IV ERSI TY第23卷第6期No.12Vol.23数学教学中数学建模思想渗透杨天赋a , 孙卫红b 3(西南大学a.历史文化学院b.民族学院,重庆 北碚 400715) 摘 要:通过叙述数学建模概念与数学建模思想,结合实例,提出了在中学数学教学中渗透数学建模思想,培养学生数学建模能力的步骤和途径,以培养学生的学习兴趣,提高学生的创新意识和实践能力.关键词:数学建模;数学建模教学;数学建模步骤;数学建模途径中图分类号:G 633.6文献标识码:A文章编号:1671-1785(2008)120 引言素质教育在我国已经提倡很多年了,我们希望学生学到真正有用的数学,使他们能用数学的观点来思考问题,把数学理论或公式具体化,灵活地运用于实际中.但是,由于中考高考的影响,中学数学教与学不得不围绕考试而展开,不少学生学了多年数学,知识层面的东西学了不少,公式记了一大堆,可是遇到实际问题时却无从下手.由此看来,我国中学数学教与学的矛盾显得特别尖锐.加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的.我国普通高中新的数学教学大纲中明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”,要求“增强用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题,逐步学会把实际问题归结为数学模型,然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验,使问题得到解决.”这些要求不仅符合数学本身发展的需要,也是社会发展的需要.本文首先介绍数学建模概念与数学建模思想,然后结合实例,提出了在中学数学教学中渗透数学建模思想,培养学生数学建模能力的步骤和途径,使教与学有效的结合起来,充分调动学生的主观能动性,以培养学生的学习兴趣,提高学生的创新意识和实践能力.1 数学建模与数学建模思想所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做了一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的一个数学结构.我们常说的数学概念、数学性质、数学公式、数学法则等都是数学模型[1]而数学建模就是把现实世界中有待解决或未解决的问题,从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法.[2]自从有了数学之后,人们就用数学去解决实际问题.对同一个实际问题,从不同的侧面、角度去考察或用不同的数学知识去解决就会得到不尽相同的数学模型.这就是数学模型具有创造性、艺术性的一面.当用一个数学模型表达出实际问题后,就要用一定的数学方法求解、分析该数学问题,并用实际数据或模拟方法验证解释所得的解,若验证通过,则所建模型及其解可投入使用并结束数学建模过程,否则应重新进行建模.因此,数学建模也是运用知识和能力解决实际问题的过程.培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题,必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型,然后再把数学模型纳入某知识系统去处理.这不但要求学生有一定的抽象能力,而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情,需要把数学建模意识贯穿在教学的始终,也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息,从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型,进而达到用数学模型来解决实际问题,使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯.下面我们介绍建模的具体操作程序.27 收稿日期63 作者简介杨天赋(),男,土家族,重庆秀山人,西南大学硕士研究生,主要从事数学与应用数学研究 通讯作者孙卫红(65),女,陕西洛南人,副教授,主要从事民族教育和数学教育理论及实践研究:2008-0-0:1984-.:19-.2008年12月杨天赋,孙卫红:数学教学中数学建模思想渗透2数学建模的步骤数学建模是解决实际问题的过程,在这一个过程中,建立数学模型是最关键、最重要的环节,也是学生的困难所在.它需要运用数学的语言和工具,对部分现实世界的信息(现象、数据等)加以简化、抽象、翻译、归纳.中学数学教学中,要使学生初步学会建立数学模型,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力,应遵循下列步骤:2.1 问题分析建立数学模型,首先要认真审题.实际问题的题目一般都比较长,涉及的名词、概念较多,因此要耐心细致地读题,深刻分解实际问题的背景,明确建模的目的;弄清问题中的主要已知事项,尽量掌握建模对象的各种信息;挖掘实际问题的内在规律,明确所求结论和对所求结论的限制条件.2.2假设简化根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化.抓住主要因素,抛弃次要因素,根据数量关系,联系数学知识和方法,用精确的语言作出假设.2.3建模求解将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来,从而建立数学模型,并用数学方法求解.2.4分析论证求出的解是不是符合实际,理论上、方法上是否达到了优化,通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性.最后将它应用于实际生产、生活中,产生社会效益或经济效益.例 浙江某水库,由个人承包经营,为了提高经济效益,保证优质鱼类有良好的生活环境,必须对水库的闲杂鱼类作一次彻底清理,因此须放水清库.水库现有水位为15m,自然放水每天水位降低0.5m,水库水位最低降至5m,这样预计需20时间,水位可达目标.据估计水库内尚有鲈鱼约25000kg鲜活鲈鱼在该市场上,若日供应量在500kg以下,其价格为36元/kg;日供应量在500～1000kg,其价格则降至34元/kg;日供应量超过1000kg时,价格降至30元/kg 以下;日供应量到1500kg,已经饱和.捕捞鲈鱼的成本,水位处于15m,为10元/kg;当水位降至5m时,为4元/kg.同时随着水位的下降,鲈鱼自然死亡及捕捞造成损失增加.至最低水位5时,损失率为5%承包经营人提出了这样一个问题如何捕捞鲜活鲈鱼投放市场效益最佳?简析:第一步:审题,题目的意思很明确,就是求鲈鱼如何投放市场效益最佳的问题.第二步:做出具体假设,使问题简化(1)随着水位的下降,鲈鱼的捕捞成本成递减等差数列,而鲈鱼的损失成递增等差数列.设放水前一天为n=1,则水位降至5m时那一天为n=21.每千克鲈鱼捕捞成本为b n=10-0.3(n-1)=10.3-0.3n.鲈鱼的损失c n=0.75%(n-1) (1≤n≤21,n∈N).(2)在该地市场上没有其他商家出售鲜活鲈鱼.第三步:根据假设,建立模型,并求解设第n天捕捞鲈鱼a kg,其价格为t元/kg,则该天的实际捕捞量为a-0.75%{(n-1)a=a(1.0075-0.0075n),每千克鲈鱼的毛利为t-(10.3-0.3n).第n天毛利为W=a(1.0075-0.0075n)(t-10.3+0.3n) =a[-0.00225n2+(0.38-0.0075t)n+1.0075t-10.38],(3)取t=36元/kg,由上式可得抛物线对称轴为n=24.当1≤n≤21,n∈N时,W值递增,即当价格不变时,所获毛利逐渐增大,在第21时可达最大值.第四步:分析论证由上面的分析可知,在市场容量允许的范围内,鲈鱼捕捞时间越后,获利越大,但市场的容量是有限的,投放量不能超过1500kg,且随着投放量的增加,价格随着下降.为了说明问题,选取第1与第21,在不同价格档次捕捞量均为500kg时,将获毛利情况(按式(3)计算,分别取n=1,n=21及t=36,34,30)制成表1.表1 不同价格捕捞量均为500kg时获毛利情况价格(元/kg)捕捞量(kg)(损失未除)第1天可获毛利(元)第21天可获毛利(元) 365001300013600345001200012750305001000011050表1说明:(1)在相同价格档次时,越往后,获毛利越大;(2)500kg鲈鱼在第1天以价36/kg价格售出比第21天以34元/kg价格售出时所获毛利大; 500kg鲈鱼在第1天以34元/kg售出比在第21天以3元售出所获毛利大一般地,5鲈鱼在前一天以36元(3元)价格售出比在后一天以3元(3元)价格售出所获毛利大根据37m1.:0/kg.00kg/kg4/kg4/kg0/kg.内江师范学院学报第23卷第12期以上分析,有下列几个方案可供选择:方案1 在正式放水前30天开始捕捞鲈鱼,每天500kg.然后开始放水,每天都捕捞500kg,这是最佳方案,所获毛利还可超过上面公式所得到的结果.因鲈鱼的损失量与鲈鱼密度有关,密度越小,损失越小.方案2若时间受到限制,则可在放水前10天开始捕捞,每天500kg.开始放水后,每天捕捞1000kg,这是中策.方案3在实在没有办法时,开始放水后,前10天每天捕捞1000kg,后10天每天捕捞1500kg,或者将部分鲈鱼转放其他水库暂养,这是下策.这是一个最优捕鱼策略,是一个典型的数学建模过程.在现实生活中,人们为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源的开发必须适度.一种合理、简化的策略,是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量和最佳效益.它具有突出的现实意义,学生在建立模型的同时,能学到更多的知识.其实,现实生活中普遍存在着最优化问题、最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题.通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法解决.3数学教学中构建数学建模意识的途径3.1培养数学建模兴趣,鼓励学生主动学习美国心理学家布鲁纳曾说:“学习的最好动力,是对学习材料的兴趣.”有了兴趣,就有了学习的积极性,只有学生感兴趣的东西,他才会主动积极地开动脑筋,认真思考并以最简洁、最有效的方法获得知识,兴趣的形成是一个复杂的心理过程,但总体上是在充满情趣、富有魅力的教学活动中逐渐培养起来的,并在强烈的动机中加以巩固.因此在数学建模教学活动中,教师要重视这方面的探索.3.1.1 精心设计教学情境,激发学生学习兴趣古人云:“学起于思,思源于疑”.设置悬念是为了使学生对问题产生疑问,学生有了疑就会产生求知欲,激发他们思维的积极性,若学生有了解疑的要求,他们的思维积极性就会得到充分发挥[3].比如在教学对数时可设置以下问题情景.例1在一个有64个格子的棋盘中的第一格子里放下1粒米,在第二个格里放下2粒米,在第三个格里放下4粒米,然后在以后的每一个格子里都放进比前格子多一倍的米,当64个格子放满了,将会有多少粒米呢?学生会纷纷议论、猜想、估计,认为这些米不会太多.最后教师指出:这些米可以覆盖整个地球的表面,全世界要几百年才能生产出来.结论一出,学生哗然一片,教师又接着指出在学习了对数计算后就可以很快算出结果这时学生都流露出迫切希望教师教给他们的心情,由此引入“对数”这一数学模型,从而激发了学生学习数学的兴趣.3.1.2密切联系生活实际,强化学生学习动机在学生学习数学建模过程中,多安排一些学生身边的或具有强烈时代意义的数学建模问题,让学生真正体验到数学建模学习的实用价值,从而强化学习动机,激发学习热情.从生活中的数学问题出发,强化应用意识.日常生活是应用问题的源泉之一,现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决,如果教师能善于利用实际生活中的事情作背景编制应用题,必然会大大提高学生用数学的意识,以及学习数学的兴趣.例2小周购买了一部手机想入网,朋友小王介绍他加入中国联通130网,收费标准是:月租费30元,每月来电显示费6元,本地电话费每分钟0.4元;朋友小李向他推荐中国电信的“神州行”储值卡,收费标准是:本地电话每分钟0.6元,月租费和来电显示费全免了,小周的亲戚朋友都在本地,他也想拥有来电显示服务,请问该选择哪一家更为省钱?简析:设小周每月通话时间x分钟,每月话费为y元.当他加入中国联通130网时,y1=36+0.4x;当他加入“神州行”时,y2=0.6x;当y1=y2,即36+0.4x=0.6x时,x=180;当x>180分钟时,y1<y2;x<180分钟时,y1>y2.即若小周每月通话时间为180分钟时,可选择任何一家;若小周每月通话时间超过180分钟,应该选择中联通130网;若小周的每月通话时间不到180分钟,应选择中国电信的“神州行”储值卡.3.2突破传统教学模式,实行开放式教学让学生从事数学建模活动,其目的是为了让学生树立理论联系实际的思想,培养学生分析与解决实际问题的能力.但传统的课堂教学模式,即使从事数学建模的活动,也仅是教师提供素材,学生被动地参与学习与讨论,学生真正碰到实际问题,往往仍感到无从下手.因此要培养学生建模能力,需要突破传统教学模式.3.2.1教学形式实行开放,让学生走出课堂可采用兴趣小组活动,通过社会实践或社会调查形式来实行.例 某家长有现金l万元,准备供刚入初中的儿子上大学之用,请大家为这位家长设计一种最有利的储蓄方案.分析 这个问题在生活中很普遍,但作为数学问题,缺乏必要的求解条件.学生要解决这一问题,首先可根据社会经验,直接得出结论,中学学制为6年,确定万元现金能储存6年其次进行社会调查,银行利率众多,故可选择几种可能对问题解决有用的利率数据,然后排出6年中可以实施的储存方案,47:.l.2008年12月杨天赋,孙卫红:数学教学中数学建模思想渗透最后经计算分析判断出:1年定期与5年定期结合储存最为有利.3.2.2教学内容实行开放在实际生活中,利用数学方法能解决的实际问题比比皆是,而教师提供的素材与问题都是十分有限的.为调动学生的主动性与创造性,应实行教学内容的开放,即让学生自己选择熟悉的感兴趣的实践活动,让他们自己提出问题,设计方案,采集数据,分析计算.3.3数学建模教学还应与现行教材结合起来教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题,如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决;又如在解几中讲了两点间的距离公式后,可引入两点间的距离模型解决一些具体问题,而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中.要经常渗透建模意识,这样通过教师的潜移默化,学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用,从而激发学生去研究数学建模的兴趣,提高他们运用数学知识进行建模的能力.3.4注意与其它相关学科的联系由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具,因此在教学中应注意与其它学科的呼应,这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解,也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径.例如教了正弦型函数后,可引导学生用模型函数y =A si n (w x +Φ)写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式.又如当学生在化学中学到C H 4Cl 4,金刚石等物理性质时,可用立几模型来验证它们的键角为a rccos(-1/3)=109°28′……可见,这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识,而且将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响.4总结建模思想的渗透为学生架起了一座从数学知识到实际问题的桥梁.培养学生的创新能力,光凭传授知识是远远不够的,重要的是在教学中必须坚持以学生为主体,不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学.我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性,培养学生的创新思维为出发点,引导学生自主活动,自觉的在学习过程中构建数学建模意识,只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步,也只有这样才能真正培养学生的学习兴趣,提高学生的创新能力和实践能力,使学生学到有用的数学.我们相信,大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路,也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.参考文献:[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M ].3版.北京:高等教育出版社,2003.[2]王媛.试析数学建模的应用[J ].数学教学通讯,2003(11):22225.[3]吴凤.浅谈数学模型的多样性[J ].数学通讯,2005,23:122.[4]马伟.创设情景唤起学生的求知欲[J ].数学教学通讯,2008(4):22223.A Discussion over the Inf iltration ofthe Mathematical Modeling Concept into Mathematics TeachingY ANG Tian 2fu ,S UN Wei 2hong(Colle ge of History &Culture ;Colle ge of Nationalities ,Southwest Unive rsity ,Beibei ,Chongqing 400715,China) A bstract :Through the presentation of mat hematical modeling concept a nd thinking ,coupled wit h e xamples ,the idea of in 2f iltrating mathematical modeling co ncept into middle school mathema tics teaching is put for th.P rocedure s and app roaches for a 2bility developent in re spec t of students ’mat hematical modeling are p ropo sed fo r the purpose of promoting students ’lea rning inter 2est ,crea tivity and t heir practice abilities. K ey w or ds :mathema ticalmodeling ;mathe matical modeling teaching ;mathe matical modeling proce dure ;ma thematicalmodeling approach(责任编辑:胡 蓉 英文审译:阳卓胜)57。
数学建模思想在初中数学教学中的应用
根 据 甲种蔬 菜 的收入＋ 乙种 蔬菜 的收入 ≥１ ５ ． ６万 元 ， 建 有 １ 个。 现有一张 电影票 ， 小 明和小亮决定通过摸球游戏定输赢 立如下不等式模型 ： ３ ｘ Ｏ ． ５ ｘ ｂ ＋ ２ ｘ Ｏ ． ８ ｘ （ １ Ｏ 一 ６ １ ≥１ ５ ． ６ ， 求解略 。 （ 赢 的一方得 电影票 ） 。游戏规则是 ： 两人各摸 １ 次球 ， 先 由小明 对于这一类典 型的决策型问题 ，根据 学生 的认知水平 ， 一 从纸箱里随机摸 出 １ 个球 ， 记 录颜 色后放 回， 将 小球摇匀 ， 再由 个球 。若两人摸到的球颜 色相 同 ， 则小明赢 ， 否 般情况都会给 出较 明确 的条件。只需挖掘问题 中隐含 的数量关 小亮随机摸出 １ 系， 如本题 中的“ 不低 于 １ ５ ． ６万元 ” “ 最多 只能安排多少人 种 甲 则小亮赢。这个游戏规则对双方公平吗？ 种蔬菜 ” ， 从而构建不等式模型求解 即可 。 对于实际情形 ， 还存在 很 多的影 响因素 ， 例如 ： 蔬菜在种植过 程中的损耗 ， 环境对其生 解析 ： 利用列树状 图
种蔬菜？
解析 ： 设安排 ｂ名菜农 种 甲种 蔬菜 ， 则 安排 （ １ ０ 一 ｂ ） 名菜 农 种 乙种蔬菜 。
５ ． 建立概率统计模 型 例 ５在一个不透 明的纸箱 里装有红 、黄 、蓝三种颜色的小 球， 它们 除颜色外完全相同 ， 其 中红球有 ２ 个， 黄球有 １ 个， 蓝球
・ ． ．
每天销售这种 冰箱 的利润最高？最高利润是 多少 ？
中学 阶段所研究的概率模 型与实际模型相 比是建模 的初级
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ： 设 每台冰箱 降价 元时， 商场 每天 销售 这种 冰箱 的利
阶段 ，目的在于培养中学生的应用意识和初步掌握用数学模 型
数学建模思想在初中教学中的运用
数学建模思想在初中教学中的运用【摘要】在初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，培养良好的思维习惯，有助于提高学生学习数学的能力，而数学思想方法是数学的灵魂和精髓，它对学生的解题有一定的指引功能，使学生真正领悟到数学的真谛。
随着新课程标准的不断深入，建模思想已经广泛的体现在初中数学知识体系中，针对一类问题，给学生一个模式，较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。
【关键词】数学模型；解题能力；建模思想；渗透数学家波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”，教师要努力启发学生自己发现解法，从而在根本上提高学生的解题能力。
在初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，培养良好的思维习惯，有助于提高学生学习数学的能力，笔者在教学中注重渗透数学思想方法，引领学生寻找解题的途径。
而数学建模思想已经广泛的体现在初中数学知识体系中，针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。
所谓数学模型，就是针对或参照某种事物系统的主要特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。
对数学模型有两种理解：广义的理解，一切数学概念、原理和数学理论体系都可以看做数学模型；狭义的理解，只有那些特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。
建立数学模型，就是让学生从生产、生活中发现特定的数量关系和空间形式，用数学化的语言概括成数学模型这一整体的过程和方法。
1建模思想在应用题中的运用在现实生活中存在着各种等量关系，如增长率、行程、工程等问题，同时也存在着不等关系，如最优方案、方案设计、市场营销等问题。
对于此类问题常常建议学生可以通过建模的思想，建立方程（组）或不等式（组）模型来解决实际问题。
1.1（2009 乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800－20×6）=4080（元）；在乙公司购买需要用75﹪×800×6=3600（元）﹤4080（元）．应去乙公司购买；（2）设该单位买x台，若在甲公司购买则需要花费x(800－20x)元；若在乙公司购买则需要花费75﹪×800x=600x元；①若该单位是在甲公司花费7 500元购买的图形计算器，则有x(800p2建模思想在作图题中的运用2.1（2009.漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．问题：在直线∫上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．方法：作点A关于直线∫的对称点A&acute;，连结A&acute;B 交∫于点P ，则PA+PB=A&acute;B 的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB 的中点，P 是AC上一动点BD．连结BD，由正方形对称性可知，B与D 关于直线AC对称．连结ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA ⊥OB ，∠AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45 ，P是∠AOB内一点，PO=10，、R分别是OA、OB上的动点，求△P R周长的最小值．答案：（1）5；（2）23 ；（3）102此题是课本例题的再延伸，由于告诉了解题的方法，降低了思考的难度，但是它在考查学生能不能在各种图形中运用几何模型解决问题的能力。
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教育中进一步更新观念 ， 以适应素质教育的要 求． 因此， 在平时的教学中结合教材内容， 进行 数学建模势在必行．
二、 在中学数学教学中渗透数学建模 思想的意义
知识的记忆是暂时的， 而思想和方法的获 得却是永远的． “ 方法是知识学习到能力发展之 间的中心环节 ， 是沟通知识 和能力 的桥． ”数学 建模思想的渗透为学生架起了一座从数学知识 到实际问题的桥梁． 数学建模教学不仅仅是知 识的教学 ， 更是思维方法和观念意识 的教学． 传 统的教学方式， 应用问题未得到应有的重视， 如 何利用数学知识， 如何分析和处理生活生产 中 的实际问题更是无暇顾及． 而在渗透数学建模 思想的过程中， 通过数学建模学习， 不但可以帮 助学生找回已经遗失的“ 应用意识” ， 而且可以 使学生感觉到利用数学建模思想解决实际问题 的妙处 ， 进而对数学产生更大 的兴趣． 在 自主学 习、 合作交流的同时， 培养学生团结协作的工作 能力． 对问题的分析和大胆猜测 ， 不仅可以提高 学生 的学习能力 ， 而且 可 以充 分 发挥 学 生 的潜 能（ 观察力、 思维力 、 抽象它生活化． 将ａ 千克的糖配成ｂ 千克
解析： 如此的纯数学问题 ， 我们可以增加它
不是直接给予， 而是给学生一把柴刀． 对他说： “ 你可以去打柴， 不会打？ 我告诉你怎么打． ” 教 师可以远远地看着 一 一 如果学生不能划着火 柴， 可以给学生示范 ， 再让他 自己做 ， 绝不可以 代替学生做任何他应该自己做的事情［ ［ ３ １
比 数 列 ： ”合令 和公式便可求得结果 ： Ｓ
项， ｑ 是公比．
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触， 从而导电． 这样既节省金属材料， 降低造价， 文， 结果在当年北京市论文大赛中获一等奖． 由此可见， 当教师引导学生进行数学建模 时， 教师应该扮演合作者与参谋者的角色， 而不
ａｉ
价值取 向． 致谢
了发现， 学会了思考， 学会了与人交流与合作，
间小于 １ ８ 。 分钟时， 选择神州行； 说明： 本题 目 联系生活实际， 具有强烈的时代 意义， 让学生真正体验到数学建模的实际价值． 例２ ： 校园的林荫道两旁铺满了规则的地 板砖也许每个人都看见过 ， 但并不是每个人都 思考过． 有一位同学通过观察分析得出： 人在一 个规则的铺满地板砖的地面上， 蒙上眼睛行走， 踩线（ 地砖缝） 的可能性的大小， 和行人所穿的 鞋的尺寸及地砖尺寸有关， 并通过几何概率模 型找到了两者之间的关系． 但他 的老师告诉他 希望他能进一步挖掘造成理论计算与实际统计
促成在学生创造性思维的形成． 在这个问题上， 教师不是简单的“ 传道授业解惑” ， 而 是创造一 种开放的教学环境 ， 给学生创 新思维 的空间 ， 让 学生形成认知上的冲突 ， 激发学生 的思考 ， 鼓励 学生大胆创新， 多角度地认识问题， 体会数学的 奥妙与价值． 让学生感受 自尊， 收获 自信 ， 从而 达到教师快乐教学 ， 学生快乐学 习的 目的． 五、结束语 向“ 问题” 靠拢 ， 朝“ 实际” 贴近， 让学生学习 解决问题的方法， 这是数学建模思想的宗 旨， 同 时培养了学生的科学精神． 所以在新课改革的 倡导下 ， 如果教师和学生抓住 了数学建模这一 环节 ， 将使学生终身受益， 也有助于实现教育的
数学在 线
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在中学数学教学中渗透数学建模思想
７ ２ １ ０ １ ３ 陕西宝鸡文理学院数学系
“ 数学建模” 就是研究如何运用数学知识解 决实际问题的学科， 如果把“ 数学建模”活动引 人教学， 那么对我们的教学一定会起到积极的
作用．
李景龙
合素质 ， 有助于创造性人才的培养． 一般说来 ， 理论和实践还是有很大差距的， 在解决问题的过 程 中会 遇 到种种 困难 ， 对现在 种考验 ， 加之青少年的可塑性较强， 将有助于培 养学生吃苦耐劳、 顽强向上、 不怕失败的精神． 而所学的理论知识在实践中得到证实， 更是培
了．
三、 在中学数学教学中渗透数学建模 思想的途径－
１ ．培养学生广泛的数学能力， 提高学生全 面的数学文化素养． 丰富的知识积累是数学建模的基础． 广泛 的数学能力不仅包括理解运用数学概念和方 法， 组织正确的逻辑推理 ， 进行准确的计算 ， 还 应包括： 会检索阅读相应的数学书刊文献， 会利 用表格、 图形分析和处理信息 ， 能从模糊的实际 问题中， 形成相应的数学问题， 会选择有效的解 决问题的方法， 会用数学符号和语言进行正确 的表达和交流． 而尊重事实、 实事求是的求实精 神， 勇于创新、 超越现状的创造精神等数学文化 素养， 这不仅是中学生进行数学建模应具备的 前提条件 ， 也是 中学 数学教育的重要 目标． 因 此， 发展学生广泛的数学 能 力 ， 提高学生 的数学 文化素养， 将有助于学生更好的进行数学建模 ， 让学生灵活地根据实际问题构建出合理的数学 模型， 在解题时得心应手． 同时也只有能力和素 养才会成为影响学生未来工作和生活的持久力 量， 而蕴涵在各种数学能力之中的创造力更是
际问题能力很 差这 一现 象 ， 也提 出 了要 在数 学
养学生求证精神和批判精神的锦囊妙计． 而建 模本身所具有的综合性， 能加强学生对数学学 习和其他的学科之间的融合， 应用性和实践性
则让学生获得了解决问题 的方法 和思想． 学生 们不再是人们所认为的“ 高分低能” ， 而是一个 个小发明家、 小科学家． 美国华盛顿一家图书馆 的正面墙上有三句十分醒 目的话 ： 我听见了， 就 忘记了； 我看见了， 就记住了； 我做过了， 就理解
万方数据
关乎一个国家和民族的持续发展乃至国际地
位．
２ ． 在解题探索的过程中渗透数学建模思想． 法国教育学家第斯多惠曾经说过： “ 一个坏 的教师奉送真理， 一个好 的教师教人发现真 理． ” 在数学 中要不断地引导学生用数学思维的 观点去观察、 分析、 表示各种事物关系和数学信 息， 从而激发学 生学 习数学 的兴 趣 和养成学 生 应用数学建模 的方法去解决问题 的习惯． 例１ ．一只弹球在离地面高 ｈ的高度落下， 落地后又被弹起至 ｈ ／ ２高度， 接着又落下 ， 又被 弹起至前次高度的 １ ／ ２处， 依次重复， 问弹球在 整个过程中轨迹的长度． （ 忽略空气阻力） ． 解析 ： 这看似是一道 物理题 ， 又是一道数学
则有： 联通－ ｌ ＝３ ６ ＋０ ． ４ ｘ 神州行，＝０ ． ６ ｘ 当ｘ二１ ８ ０ 时， ｙ １ ＝ ｙ ２ 即小李每月通话时 间为 １ ８ ０ 分钟时， 可以任选一家； 当ｘ ＞ １ ８ ０ 时， ｙ １ ＜ ｙ ２ 即小李每月通话时
间大于 １ ８ ０ 分钟时， 选择中国联通 １ ３ ０ 网；
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上海中学数学 ・ ２ ０ ０ ８ 年第 ２ 期
玩的碰碰车， 它带着像无轨电车一样的长导电杆 与顶棚相触， 车的动力电源靠全金属的顶棚供 应． 这时这位学生联想到自己的研究成果， 如果 把顶棚换成金属网格 ， 导电杆都会与金属网格接 还能改善采光和视觉效果． 他把这种思想写成论
题， 教师先不要告诉学生结果， 让学生 自己思 考， 几分钟后， 教师可以提示学生把弹球每次落 下、 弹起的高度先写下来仔细观察． 这时学生会 惊喜的发现原来弹球的落下、 弹起的高度为等 ｈ 利用等比数列求 ８
“１ －ｑ ’
其中 ａ ｉ 是首
单化， 转化为纯数学问题． 例２ ．已知 ａ ， ｂ ， ｍ Ｅ尺 ＋ ， 且 ａ ＜ ｂ ， 求证：
（ ａ ＋ ｍ） 、 ａ
（ ｂ － ｝ － ｍ）‘ ｂ
说明： 找准有效的数学信息， 使复杂问题简
应该是主导者． 即当教师发现学生需 要温暖时 ，
的学生来说， 无论是智力上还是心理上都是一
一、数学建模的重要性
数学是一门与生活联系紧密的学科， 它是 从生活中产生与生活密不可分的． 古希腊时， 著 名哲学家亚里士多德就提出了： “ 求知是人类的 本性” 的著名论断〔 ‘ 」 ． 信息时代的到来， 信息社 会的需求， 要求人们具有更高的数学素质 ， 数学 不再是简单的知识、 公式、 定理、 算法本身， 而常 常体现在： 怎样提出问题， 怎样发现问题， 怎样 利用信息、 技术、 数学知识解决问题． 这就是数 学建模． 而且随着数学新课程标准的实验与实 施， 加强综合性、 应用性学习， 重视联 系生活实 际， 逐步实现应试教育向素质教育转轨 已成为 二十一世纪课程改革的重中之重， 而以解决实 际问题为目的数学建模正是数学素质的最好体 现． 《 高中数学课堂标准（ 实验稿） 》 中提出： “ 数 学建模是数学学习的一种方式， 它为学生提供 了自主学习的空间， 有助于体验数学在解决实 际问题中的价值与作用， 体验数学与 日常生活 和其他学科的联系， 体验综合运用知识和方法 解决实际问题的过程， 增强应用意识， 有助于激 发学生学习数学的兴趣 ， 能发展学生 的创新意 识和时间能力． Ｐ ９ ［ ２ １ 近年来， 许多教育工作者针 对我国数学教育存在的弊端 ， 造成学生解决实
的 糖 水 ， 其 浓 度 为 舍 ， 若 在 此 糖 水 加 人 ｍ 千 克
糖
其 浓 度 变 为 ７ （ ａ ７ 牛ｍ ） 显然加糖后深液浓度
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四、 在小结中提炼、 概括数学建模思想， 引导学生进行反思
小结是数学教学的一个重要环节． 它是将 知识进行深化、 精炼与概括的过程． 每遇到一个 问题 ， 应该对本题所涉及 的知识 、 思想有一个清 晰、 全面的认识． 因此， 在小结 中应提炼、 概括本 题的数学建模思想， 以新的更为全面的观点分 析所学知识． 著名的数学家弗赖登塔尔指出： “ 反思是数学思维活动的核心 和动力． ”因此， 教 师还应该创设各种环境， 为学生创造反思的机 会： 问题是怎样提出的， 又是怎样被解决的， 获 得了哪些知识 与技 能． 在必要 时教 师可 引导学 生进行讨论， 可以让个别学生总结发言， 也可以 小组总结． 经历了反思活动后 ， 学生都有 了实实 在在的情感体验， 他们会发现只要留心观察、 勤 于思考， 他们就会释放出自己的潜能 ， 主动学习 创造新事物． 在总结与反思的过程中， 学生学会