浅谈中学数学教学中_数学建模_思想的渗透

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数 学 教 学 研 究 2006年第 8期
p + x + y = 1,
(1)
p2 + x2 + y2 = 1,
(2)
有实数解 ?
分析 题目中出现三个字母符号 x、y、p,对这三
个变元的不同解读 ,可以有不同的解题思路.
思路 1 消去变元 x,由 ( 1)得 x = 1 - p - y,
分析 年平均费用 =购买费 +每年所交固定费 用 +维修费 ) /总年数.
解 设汽车使用年限为 n 年 , f ( n) 为使用该类 汽车的年平均费用 ,则
f ( n) = 10 + 0. 9n + ( 0. 2 + 0. 4 + … + 0. 2n) n
= 10 + n + 1≥3, n 10
(或一个点 ) . 欲使线束与圆系有公共点 ,只须圆心到 直线的距离不大于半径 (当 p = 1 时 , 解为 x = 0, y = 0; p = - 1时无解 ) .
由圆心 O ( 0, 0) ,半径 r = 1 - p2 ( | p | < 1) ,有
d = | p - 1 | ≤ 1 - p2 , 2
2 中学数学建模教学的意义 在中学开展数学建模教学 , 可激发学生的学习
积极性 ,学会团结协作的工作能力 ;培养学生的科的融合 , 体会数学的实 用价值 ;通过数学建模思想的渗透和训练 ,能使学生 适应高考对人才的选拔要求 , 为进入大学深造打下 坚实的基础 ,同时也是素质教育的重要体现. 3 数学建模开展的方法及例讲 3. 1 在课堂结合教材及习题让学生掌握基本的数 学模型 ,并有意识地引入建模思想
a. b
如此纯数学问题 :我们可以增加它的背景 , 让它 生活化. 将 a千克的食盐配成 b千克的盐水 , 其浓度
为 a ,若在此盐水中再加入 m 千克的盐 ,其浓度为 b
a +m ,显然加盐后溶液浓度增大 ,即原不等式成立. b +m
说明 如此处理既活跃了气氛 , 又引入了数学 模型 ,将原来枯燥的数学式子生活化了 ,和学生的距 离拉近了 ,增加了学生应用数学的意识. 3. 2 深入生活联系实际 , 发现生活中的数学问题 , 强化应用意识
数学模型的概念及建模的方法在高一上第二章 “函数 ”章末有介绍 , 并有相应的举例讲解和实习作 业 ,这里不再累述. 对于类似数学问题 , 我们不能一 带而过 ,要不断的引导学生用数学思维的观点去观
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察 、分析和表示各种事物关系和数学信息 ,从而激发 学生学习数学的兴趣和养成学生应用数学建模的方
( x) < f ( 1) . 由于 f ( t) = t3 + 5 t关于 t是单调递增的 ,
所以不等式可化为 2 < x < 1,因此解为 ( - 1, 1) . x- 1
说明 函数 f ( t) = t3 + 5 t就是通过观察分析而 抽象出来的数学模型.
例 2 已知 a、b、m ∈R + 且 a < b, 求证 : a +m > b +m
昌发射节约能量为 4. 45% , 比在酒泉发射节约能量
为 10. 54% ,节约能量即反映了运载能力的提高 , 从
而证实了在海南卫星发射基地的优越性.
说明 本题具有一定的代表性和开放性 , 不同
的模型假设和简化 ,所建立的模型也不尽相同 , 也可
不采用本题所给参考数据. 鼓励学生把各门课程学
习的知识融会贯通 , 促使学生根据需要查阅资料获
行这一运算 (结合法则 )的结果 , 通常表示为 a3 b = c;二是把运算看成“函数 ”. 实质上 , 结合法则使 M 中元素恰好对应这个集合的一个元素 , 即实施集合 M 中元素一切可能序偶集合 M2 到集合 M 的映射 (M 2 →M )叫做集合 M 中的运算 (确切的说 , 是二元 运算 )“3 ”.
从而可解得 - 1 ≤p≤1. 3
其实本题还可用立体几何中线面关系理论或球 的知识等解决. 参考文献 [ 1 ] 任樟辉. 数学思维论 [M ]. 南宁 :广西教育出版
社. [ 2 ] 仲善基. 中国著名特级教师数学思想录 [M ].
南京 :江苏教育出版社. [ 3 ] 席振伟. 数学的思维方式 [M ]. 南京 :江苏教育
( 4)模型的求解及评价. 若令海南岛 、西昌 、酒泉
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三地火箭所需能量分别为 E1、E2、E3 , 代入相关数据
可得 : E2 - E1 = 4. 45% , E3 - E1 = 10. 54%.
E2
E3
这说明同一卫星在海南基地发射升空 , 会比西
出版社. [ 4 ] 莫里兹. 朱剑英译. 数学家言行录 [M ]. 南京 :
江苏教育出版社.
浅谈中学数学教学中“数学建模 ”思想的渗透
方 俊 吴 方
(湖北省武汉市江夏区实验高中 430200)
1 数学建模教学的重要性 二十一世纪课程改革的一个重要目标就是要加
强综合性 、应用性内容 ,重视联系学生生活实际和社 会实践 ,逐步实现应试教育向素质教育转轨. 纵观近 几年高考不难推断 , 数学应用题的数量和分值在高 考中将逐步增加 ,题型也将逐步齐全. 而以解决实际 问题为目的的数学建模正是数学素质的最好体现. 目前中学数学教学现状令人担忧 , 相当一部分教师 认为数学 主 要 是 培 养 学 生 运 算 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 ,应用问题得不到应有的重视 ;至于如何从数学的 角度出发 ,分析和处理学生周围的生活及生产实际 问题更是无暇顾及 ;为应付高考 ,只在高三阶段对学 生进行强化训练. 因学生平时很少涉及实际建模问 题的解决 ,其结果是可想而知的 ,所以在中学加强学 生建模教学已刻不容缓.
尽管各种运算有各自的意义 、公式和法则 , 但都 要求其结果具有存在性 、唯一性和最简性. 对运算一 般有两种解释 :一是把运算解释为“结合法则 ”,如果 集合 M = { a, b, c, …}中引进了某个运算“3 ”, 也就 是说 ,对于 M 中的任意两个元素 a、b都能进行“3 ” 运算 ,即存在唯 一的元素 c∈M , 是对元素 a和 b施
(3)
x2 + y2 = 1 - p2 ,
(4)
( 3) 2 - ( 4)得 xy = p2 - p.
因而 x、y 为方程 t2 + ( p - 1) t + p2 - p = 0 的两
根 ,由 Δ≥0即得 p的范围.
思路 3 由 ( 3)式联想到表示 k = - 1的平行直
线束 ,由 ( 4)式联想到表示圆心在原点的同心圆系
数学建模教学关键要引导学生深层的参与 , 充 分体现学生的主体地位 , 把课内教学与课外活动结 合起来是一条值得探索的途径 , 但这要在教学中留 给学生充分的空间和时间 , 如何合理的把握好这个 “度 ”,值得我们进一步探讨. 参考文献 [ 1 ] 姜启源. 数学模型 [M ]. 北京 :高等教育出版
球半径 R = 6370 (千米 ) .
( 3)模型的建立. 根据球体的几何知识可得
vi
= 24
Ci ×60
×60
=
2πR cosθi 24 ×60 ×60
(千米
/秒
)
,
于是可得如下数学模型 :
Ei
=
1 m v2 2
-
1 2
M
v2i
= 1 (m v2 - M π2 cos2θi ) .
2
1866240000
社 , 1993. [ 2 ] 冯永明. 中学数学建模的教学构想与实践 [ J ].
数学通讯 , 2000 ( 7) . [ 3 ] 叶其孝. 中学数学建模 [M ]. 长沙 :湖南教育出
版社 , 1998. [ 4 ] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标
准 [M ]. 北京 :人民教育出版社 , 2004.
代入 ( 2)整理得 y2 + ( p - 1) y + p2 - p = 0,
由题意 y∈R,Δ = - 3p2 + 2p + 1≥0,
解得 - 1 ≤p≤1. 3
思路 2 方程组显然是关于 x、y 的二次对称方 程组 ,联想到用韦达定理的逆定理构成一元二次方 程
x + y = 1 - p,
的问题 ,要充分考虑学生已有的知识水平和能力水 平 ,要他们解决的问题应是以现有的知识为起点 , 经 过学生的努力是可以完成的 ;也适当提高难度 , 给学 生较长期时间查阅资料 ,建立模型 ,并提交小论文.
例 4 2006年 4月 26日《海南经济报 》报道 :经 多年论证 ,海南卫星发射基地项目已由总装部向国 务院和中央军委申请立项 ,年内有望完成立项实施 , 海南发射中心估计在 2010 年之前建设和投入使用 ……海南是我国纬度最低的距离赤道最近的一个省
法去解决问题的习惯.
例
1 解不等式
(x
8 - 1) 3
+ 10 x- 1
< x3
+ 5x
< 6.
解 此 不 等 式 是 一 个 高 次 不 等 式 , 由 于
(x
8 - 1) 3
+
10 与 x- 1
x3
+ 5x具有一定的相似性 ,故构造
函数 f ( t) = t3 + 5 t,则上述不等式可变为 f ( 2 ) < f x- 1
取新知识 ,促使学生围绕问题收集信息 ,深化对问题
的深入了解并在此基础上解决问题. 同时 ,也培养了
学生推演和计算能力 ,使用计算工具的能力.