中考复习(9)：几何2
中考必考几何模型(2) -
中考必考几何模型(2)第五章 三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图，∠D =∠BCA =∠E =90°，BC =AC 。
结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。
模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。
图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
模型实例例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE =DE 。
求证：AB +CD =BC 。
例2．如图，∠ACB -90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD =2.5cm ，BE =0.8cm 。
求DE 的长。
CDEBA图21图4图BAE CD图3C DEBACDEBA例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。
热搜精练1．如图，正方形ABCD ，BE =CF 。
求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF 。
2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是 。
3．已知，△ABC 中，∠BAC -90°，AB =AC ，点P 为BC 上一动点（B P <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于点E 、CF ⊥AP 于点F 。
（1）求证：EF =CF -BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。
ED CBAAB C Oxy(-1,0)(0,3)图21图(0,3)(-2,0)yxOC BA ABCDEFcbaABCDE4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设∠BCD =α，以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE 。
第2关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的选择填空题(原卷版)-中考数学专题复习
第2关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的选择填空题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。
折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。
图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。
②旋转，平移的性质。
【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。
在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。
图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。
②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。
③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。
④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法。
折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；折叠前后的图形全等，且对应边、角。
线段、周长、面积均相等；折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分.旋转的相关计算，关键是掌握旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.在求解相关问题时，可以从以下几个方面进行考虑：①求角度问题，先找旋转角，注意各对应点与旋转中心的夹角就是旋转角，度数相同；②线段长的计算，借助旋转将所求线段等量代换已知图形中，结合等腰三角形、勾股定理等求解；③求路径长，其实质是求弧长，扇形的圆心角即为旋转角，扇形半径即为旋转半径，即旋转中心与旋转点的连线.【典型例题】【例1】（2018·辽宁中考真题）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．【名师点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例2】（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．【名师点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.【例3】（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是()A．B．C．D．【名师点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.【方法归纳】1.图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件。
安徽中考数学复习专题全辑 专题二 几何图形最值问题
21．(2019·黄冈)如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD＝120°，则 CD 的最大值是________．
而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是确定 图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置 关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时，常常需要作辅助线 帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线， 利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当 P 点在 A1B 上 时，PA＋PB 取得最小值．
A．3 2－1
B．2
C．2 2
D．3 2
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为
对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 最小的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．(2019·合肥 42 中一模)如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 在半⊙O 上，AC＝8cm，
专题二 几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S ＝ △PAB
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为(
)
3
A. 29
B. 34
C．5 2
D. 41
2021年中考复习专题几何第02讲 平行四边形(解析版)A4
第02讲平行四边形知识图谱平行四边形知识精讲一．新定义问题四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．二．拼接问题注意拼接过程中的相应的线段角度关系的转化，一般与全等三角形综合考查．三．与全等综合问题1．四边形是有三角形组合而成，这一节主要考察结合四边形的性质，证明三角形相等，进而得到对应边、对应角相等．2．熟记一些常见的模型如“弦图模型、手拉手模型”等是提升图形分析速度的基础．四．动点问题动点问题分析的一般方法：1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4．寻找临界情况并计算.三点剖析一．考点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．二．重难点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．三．易错点：题意理解错误，动点问题过程分析、临界位置寻找错误等．题模精讲题模一：新定义问题例1.1.1如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．例 1.1.2（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是．（填写序号即可）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形．例 1.1.3类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．∠=∠=∠=∠，例1.1.4如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且BC=．(其中矩形就是长方形)AB=，84（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上．试利用正方形网格在图上做出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图4，请你猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明． 题模二：拼接问题例1.2.1 将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： ①可以拼成等腰直角三角形； ②可以拼成对角互补的四边形； ③可以拼成五边形； ④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是________________．例1.2.2 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为5，“日”字形的对角线长都为5，五个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD 为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题． 请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a ，b 的两个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图；（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为842 ，则八角形纸板的边长为__________.1 23 41 23 4图1图2图3图4A BCDA B CD M N P QG EFFEEHHGF例1.2.3 如图，在菱形纸片ABCD 中，4cm AB =，120ABC ∠=︒，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）；第二步：如图2，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图3，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180︒，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180︒，使线段HC 与HE 重合，再与三角形纸片EGH 拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （1）请你在图3中画出拼接成的四边形（2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm ，最大值为________cm.题模三：与全等综合问题图 1ACBDE③F① ②③② ①图2A③Ca D ① ②Bb图3图4图5ABCDEMNHG 图1EC图2BE MNHG C图3例1.3.1 在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 的中点，点F 在边CD 上，连接DE 、AF ，点G 在线段AF 上（1）如图①，若DG 是△ADFD 的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG ，求EG 的长；（2）如图②，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 的中点，连接FH ，求证：∠CFH=∠AFD ；（3）如图③，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 上的动点，连接EG ．当点F 在边CD 上（不含端点）运动时，∠EGH 的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH 的度数；若发生改变，请说明理由．例1.3.2 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上任意一点（点E 不与B 、C 重合），点F 在线段AE 上，过点F 的直线MN ⊥AE ，分别交AB 、CD 于点M 、N ．此时，有结论AE=MN ，请进行证明；（2）如图2：当点F 为AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD ，MN 与BD 交于点G ，连接BF ，此时有结论：BF=FG ，请利用图2做出证明．（3）如图3：当点E 为直线BC 上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，请你直接写出线段AE 与MN 之间的数量关系、线段BF 与FG 之间的数量关系．例1.3.3 如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,AB BC 的中点，MP AB ⊥交边CD 于点P ，连接,NM NP .(1)若60B ∠=，这时点P 与点C 重合，则NMP ∠=___度； (2)求证：NM NP =；(3)当NPC 为等腰三角形时，求B ∠的度数。
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题二
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题二1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A．4B．2C．2D．82．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于（）A．BD B．CD C．CE D．AC3．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0），过第四象限内一动点C作y轴的垂线，垂足为D，且2OD+CD＝6，点E、P分别在线段AB和x轴上运动，则CP+PE的最小值是（）A．B．C．D．4．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，已知点A（1，﹣3），B（5，﹣1），点P（m，0）是x轴上一动点，点Q是y轴上一动点，要使四边形ABPQ的周长最小，m的值为（）A．3.5B．4C．7D．2.56．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）A．28B．18C．10D．78．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝3，则EP+CP的最小值为（）A．2B．3C．4D．59．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且，点M，N分别是射线OA，OB 上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．3D．610．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB 边上一点，若BF＝4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．45°11．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．1412．如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．13．如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16C．20D．414．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．815．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°16．已知点A（﹣3，5），B（﹣3，﹣2），P（m2﹣5，2），若P A+PB最短，则m值是（）A．B．4C．±4D．17．如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1218．已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|P A﹣PB|最大时，点P 的坐标为（）A．（﹣1，0）B．C．D．（1，0）19．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（）A．3B．6C．3D．620．已知菱形ABCD的面积为8，对角线AC的长为4，∠BCD＝60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（）A．B．2C．2D．421．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P 到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．C．22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF 上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．623．一条河流的BD段长8km，在B点的正北方1km处有一村庄A，在D点的正南方5km 处有一村庄E，在BD段上有一座桥C，把C建在何处时可以使C到A村和E村的距离和最小，那么此时桥C到A村和E村的距离和为（）A．10B．C．12D．24．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（）A．2+2B．4C．4D．625．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的中线，点P为AD 上一动点，则PE+PC的最小值等于（）A．线段AB的长B．线段BC的长C．线段AD的长D．线段BE的长27．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（）A．C．28．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．629．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．2B．C．1D．30．在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）A．2B．C．D．2参考答案1．解：如图，设AC，BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴AO＝2，连结DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中点，EM⊥BD，∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，∴DM＝DO+OM＝BO＝3，∴DE＝＝＝2，故选：C．2．解：如图，在BA上截取BF'＝BF，∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴EF＝EF'．∴CE+EF＝CE+EF'≥CF'．当CF'⊥AB时，即CF'＝CH时，CF'取最小值，此时CF'＝CH＝BD．即CE+EF＝CH＝BD．故选：A．3．解：设C（x，y）∵2OD+CD＝6，∴﹣2y+x＝6∴y＝x﹣3∵过点A（0，3），B（﹣6，0）的直线解析式为：y＝x+3∴点C的运动轨迹与线段AB关于原点对称，当点C、P、E共线且CE⊥AB时，CP+PE最小，此时CP＝PE．∵AB＝＝＝3方法一：sin∠BAO＝＝＝∴＝＝∴PE＝∴CE＝2PE＝．方法二：∵S＝ABPE＝APBP△APB∴PE＝＝＝，∴CP＝PE，∴CE＝2PE＝．故选：B．4．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．5．解：由于线段AB为定长，故四边形ABPQ周长最小值即可转化为线段BP、PQ、QA和的最小值问题．如图，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴对称点B′，连接A′B′，分别y 轴，x轴于点Q、P，则所作点Q、P即为所求．此时四边形ABPQ周长最小，∵点A（1，﹣3），B（5，﹣1），∴A′（﹣1，﹣3），B′（5，1），∴直线A′B′的解析式为y＝x﹣，当y＝0时，x＝3.5，∴m＝3.5，故选：A．6．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．7．解：∵DE是BC的中垂线，∴BE＝EC，则AB＝EB+AE＝CE+EA，又∵△ACE的周长为11，故AB＝11﹣4＝7，直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．故选：D．8．解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝3，即EP+CP的最小值为3，故选：B．9．解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，∵∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝3．故选：C．10．解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，∵等边△ABC的边长为8，BF＝4，∴点F是AB中点，∴点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，根据等边三角形的性质知∠EBC＝∠ABC＝30°，11．解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BCAD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D．12．解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．故选：D．13．解：如图，连接MB交AC于N，此时DN+MN最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴DN＝BN，∴DN+MN＝BN+NM＝BM，在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，∴BM＝．14．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N分别与M′、N′重合时，△PMN的周长的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．故选：B．15．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°，故选：C．16．解：∵点A（﹣3，5），B（﹣3，﹣2），P（m2﹣5，2），∴若P A+PB最短时，则A、B、P在同一直线上，∴m2﹣5＝﹣3，∴m＝，故选：D．17．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BCAD＝×4×AD＝12，∴S△ABC解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．故选：B．18．解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，1），∴C的坐标为（1，﹣1），连接BC，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为：（，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC，∴此时|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值．故选：B．19．解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故选：B．20．解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；∵菱形ABCD的面积为8，对角线AC长为4，∴BD＝4，∵BC＝CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，∵M是BC的中点，∴DM⊥BC，CM＝BM＝2，在Rt△CDM中，CM＝2，CD＝4，∴DM＝＝＝2，故选：C．21．解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（﹣2，4），∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y＝kx+b，把C、B的坐标代入得：，解得：k＝1，b＝﹣2，∴y＝x﹣2，把y＝0代入得：0＝x﹣2，x＝2，即P的坐标是（2，0），故选：C．22．解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，根据两点之间线段最短，P A+PB＝P A+PC＝AC，最小，此时点P与点E重合．所以P A+PB的最小值即为AC的长，为4．所以P A+PB的最小值为4．故选：B．23．解：连接AE交BD于C，则AC+CE距离和最小，且AC+CE＝AE，过A作AH⊥ED交ED的延长线于H，∵AH＝BD＝8，EH＝1+5＝6，∴AE＝＝10，∴此时桥C到A村和E村的距离和为10，故选：A．24．解：连结DE．∵BE的长度固定，∴要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB+PE的最小长度为DE的长，∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，又∵菱形ABCD的边长为4，∴BD＝4，BE＝2，DE＝2，∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝2+2，故选：A．25．解：作点P关于直线l的对称点C，连接QC交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短．故选：C．26．解：如图，连接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，故选：D．27．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB ＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．28．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，故DN+MN的最小值是5．故选：C．29．解：如图连接PC，∵CE是△ABC的中线，AB＝AC＝BC＝2，∴CE⊥AB，BE＝AE＝1∴CE＝，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，即为．故选：B．。
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(二)
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定（二）1．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．2．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过A作AC的垂线交∠BCA的角分线于点D．CD交AB于点F．（1）求证：∠ADF＝∠AFD；（2）如图2，DE⊥AF，若AC+BC＝16，DE＝4，求BC的长．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．7．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．8．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．9．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．10．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC ＝∠BAD ＝90°，得S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S ABC +S ABE ＝S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG ＝FN ＝HM ＝GH +MN ＝2cm ，∠G ＝∠N ＝90°，求五边形FGHMN 的面积．参考答案1．证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠COE ＝∠DOE ，∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质），且∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD，又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，在△BAD和△CDE中．，∴△BAD≌△CDE（AAS）∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．3．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCF，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝∠B＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠D＝∠CFB，∴∠ADF＝∠CFB＝∠AFD；（2）如图，过点D作DH⊥BC，交CB的延长线于H，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∵∠ABC＝∠H＝90°，DE⊥AB，∠ABH＝90°，∴AB∥DH，DE∥BH，∴DE＝BH＝4，∵AC+BC＝16，∴CH+BC＝BH+BC+BC＝4+2BC＝16，∴BC＝6．4．证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，∠BEF＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BFE+∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠BFE，即∠ADE＝∠BFE，在△AED和△BEF中，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF．5．解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°；（2）AD平分∠BDE，理由是：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，DE＝4，∴DF＝4，∵AC＝16，∴△ADC的面积是＝＝32．7．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．8．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°，∴∠F＝∠ACB＝40°．9．证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．10．解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：＝2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，。
数学专题复习_图形与几何2：解直角三角形(锐角三角函数)
图形与几何2：:解直角三角形二.知识框图三.知识要点1.直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222a b c += ；勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形. 若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系（锐角三角函数的概念）sin A A ∠=的对边斜边，叫做A ∠的正弦；cos A A ∠=的邻边斜边，叫做A ∠的余弦；tan A A A ∠=∠的对边的邻边，叫做A ∠的正切.2.特殊角的三角函数值3.三角函数常用公式互为余角的三角函数关系．sin（90°－A）=cosA， cos（90°－A）=sin A tanA×tan（90°－A）=1 同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l ②弦切互化：sin tancosAAA4. 测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等北东MNBA四.典型例题（考点）例1.计算ooo5sin302cos60tan 45-－ o o oo2cos 45tan 30sin 45tan 60-+⋅例2．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=4+，•求△ABC 的面积（结果可保留根号）．例3.已知：如图所示，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E•为边AC•的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值．例4.如图，MN 表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN 的方向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一个点A ，以点A 为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN 上一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB ＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这1.411.73）Ａ图形与几何（2） （解直角三角形）一、填空题1.在ABC Rt △中，490tan 3C A ∠==，，则sin B 的值是（ ） Ａ．35Ｂ．45Ｃ．34 Ｄ．432.Rt ABC △中，90C ∠=，a b c ，，分别A B C ∠∠∠，，的对边，下列关系中错误的是（ ）Ａ．cos b c B =Ｂ．tan b a B = Ｃ．sin b c B = Ｄ．tan a b A =3.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，， 则cos BCD ∠的值是（ ）A.35 B.34 C.43 D.454.如图，已知一坡面的坡度i =α为（ ） Ａ．15Ｂ．60°Ｃ．30Ｄ．455.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ） A. 5 B.552 C. 55D.326.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，这块草坪的面积是（ ） Ａ．24米2Ｂ．36米2Ｃ．48米2 Ｄ．72米27.已知：如图8，梯形ABCD 中，451208AD BC B C AB ===∥，∠，∠，，则CD 的长为（ ）Ｂ．Ｄ．8.如图，PT 切⊙O 于T ，BP 为经过圆心O 的割线，如果 PT ＝4，PA ＝2那么cos∠BPT 等于（ ）A ．45B ．12C ．38D ．349.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，•数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ，小颖画的三角形面积记作S △DEF ，那么你认为（ ）A ．S △ABC >S △DEFB ．S △ABC <S △DEF C ．S △ABC =S △DEFD ．不能确定小敏画的三角形 小颖画的三角形10.已知α为锐角，且αtan 为方程0322=--x x 的一个实数根，则αsin 的值为（ ）A.22 B. 1010 C. 10103 D. 3 二、填空题1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为 ．2.锐角A 满足()2sin 15A -=A =∠___________．3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30．已知9BC =米，测角仪的高CD 为1.2米，那么旗杆AB 的高为 米（结果保留根号）．4.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°则BC= ,S △ABC ＝ 三、解答题：1.计算：tan 45cos60sin 30+t an 30°＋cos 230°－sin 245°tan 45°2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边. (1)已知a=3,c=23,求∠A; (2)已知a=6,b=2,求c 及∠A; (3)已知c=104,∠A=45°,求a 及b3．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB=8cm ，BC=10cm ，(1)求EC 的长；(2)在线段BC 上还能找到点P 使∠APE=90°吗，求出此时的BP 长.4.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠= ，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，CD =BE 的长度.5.如图，一块四边形土地，其中120ABD AB AC BD CD AB ∠==，⊥，⊥，，CD =，求这块土地的面积6.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。
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海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1.使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程;2.理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明;3. 能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题.重难点导航1. 从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化；2. 运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题.教学简案：中考复习：三角函数题型一:对锐角三角函数概念的考查题型二：特殊三角函数值的计算题型三：解直角三角形题型四：解直角三角形应用之仰角俯角坡度问题题型五：对方位角的考查授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）1．（2013鄂州）如图2，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tan B=（）A．B．C．D．海豚教育个性化教案中考复习：三角函数【知识要点】一：锐角三角函数的概念初中阶段，锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠Ａ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，ｂ，c ．1．的对边的正弦，即斜边A A sin A=Ð? ；2．A A cos A=Ð?的的余弦，即 邻边邻边 ；3．A A tan A=A Ð?Ð的的正切，即的对边邻边 ．二：特殊角的三角函数值的计算 1. 特殊角是指30°，45°，60°的角． 2. 特殊角的三角函数值：3．特殊角的三角函数值，可以通过以下图形掌握： 题型一:对锐角三角函数概念的考查例1：在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sin A=34 B.cos A=35 C.tan A=34 D.cos B=35例2：在正方形网格中，△ABC 的位置如图1，则cos ∠B 的值为（ ） A.12B.22C.32D.33例3：在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝( ) A.1010 B.32 C.43 D.10103 例4:（2013鄂州）如图2，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tan B=（ ） A ． B ． C ． D ．举一反三：1.（2010常德）在Rt △ABC 中,∠C=90°，若AC=2BC,则sin A 的值是( ) A.12B.2C.55D.522.（2010随州）在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝（ ） A.43 B.34 C.35 D.453.（2012内江）如图3，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010D ．2554.如图4，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （3，3）和点B （7，0），则sin ∠ABO 的值等于 .题型二：特殊三角函数值的计算 例1：（2012兰州） sin60°的相反数是（ ） A. 12-B. 33-C. 32-D. 22-例2：在∆ABC 中，若｜sin A-22 |+(23-cos B)2=0, ∠A ，∠B 都是锐角，则∠C 的度数是（ ） A. 750 B. 900 C.1050 D.1200 例3：（2010深圳）计算：( 13 )－2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 128＋(－1)3．举一反三：1.计算：①208sin 45(2)(3.14)tan 45π---+-+ ②︒--︒⋅+--45cos 2830tan 333③︒︒+︒+︒45cos 60cos 245sin 30sin 22 ④︒+︒+︒+︒60cos 60sin 45cos 2230cos 21⑤ 260tan 60sin 60cos -45sin 22︒+︒-︒︒）（20113015(1)()(cos 68)338sin 602π---+++-⑥题型三：解直角三角形 例1：（2013杭州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sin A=0.6，则斜边上的高等于（ ） A ．B ．C ．D ．例2：如图5，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°例3：如图6，在△ABC 中，∠B=45°，cos ∠C=53，AC=5a ，则△ABC 的面积用含ａ的式子表示是 ． 例4:（2012安徽）如图7，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=32，则AB= ．举一反三：1.如图8，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=23，则AC •的长是（ ）． A ．3 B ．22 C ．3 D ．3232.在∆ABC 中，若｜sinβ-21|+(cos A-23 )2=0. 则∠C 的度数为______.3.（2013绥化）如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．4.(2012重庆)已知：如图10，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形。
若AB=2，求△ABC 的周长。
（结果保留根号）题型四：解直角三角形应用之仰角俯角坡度问题 例1：（2013德阳）如图11，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为300，看这栋高楼底部C 的俯角为600，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为A. 40 3mB. 803mC. 1203mD. 160 3m 例2：（2013山西）如图12，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B ，C 在同一水平面上），为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则BC 两地之间的距离为（ ） A.1003mB.502mC.503mD.10033m 例3：（2013聊城）河堤横断面如图13，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB 的长为（ ） A ．12 B ．4米 C ．5米 D ．6米 例4：（2013白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图14），已知立杆AB 的高度是3米，从侧面D 点测到路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．举一反三：1.（2013衢州）如图15，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m2.如图16，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，•从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A.C.E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）．A．500sin55°米B．500cos55°米C．500tan55°米D．500cot55°米3.（2013宁夏）如图17是某水库大坝横断面示意图．其中AB.CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是4（2013衡阳）如图18，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）5.（2013鞍山）如图19，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D.B.C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）题型五：对方位角的考查例1：（2013河北）如图20，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里 C．70海里D．80海里例2：（2013潍坊）如图21，一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近.同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）. A.310海里/小时 B. 30海里/小时 C.320海里/小时 D.330海里/小时例3:(2013湛江)如图22，我国渔政船在钓鱼岛海域C 处测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西30ο的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东30ο 的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西60ο的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A 的距离AB ．（结果保留小数点后一位，3 1.732≈）例4：某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上。
前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图23），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？举一反三：1.（2012东营）如图24某天上午9时,向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）1. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．海豚教育1对1出门考（_______年______月______日 周_____）学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第______________ 1. 某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin βB.100sinβC.100cos βD.100cosβ2. 如图，一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为10m ，则树在地面上影长h 的范围是（ ）． A ．5<h≤103 B ．10≤h≤103 C ．10<h<15 D ．h>1033. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AM 是BC 边上的中线，cos ∠CAM=54，则tan ∠B 的值为 .4. 如图，已知321////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则αsin 的值是 .5. 计算(1)(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1； (2) 6tan 230°-3sin60°-2cos45°6. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A ，C 两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m ，高度DC=33m ．求： （1）试用α和β的三角比表示线段CG 的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG 的值．（结果精确到1m ）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）评语：3A 作业：周一： 周二：周三： 周四：周五：该3A作业要求在月日之前完成。