数学金融学第九章未定权益的定价理论1

第九章未定权益的定价理论对于未定权益,我们已经不陌生了.在第4,5,7和8章中分别讨论过一些情形.本章中,我们将建立连续时间市场中的未定权益定价理论.§9.1 欧式未定权益定价问题在第8章第4节中,我们出于引入市场(广义或者内蕴)完备性定义的需要,提到了欧式未定权益的可复制性.在这里,我们将专门讨论欧式未定权益的可复制性以及可定价性.为了避免叙述的繁琐和可能的喧宾夺主,假定市场是无磨擦的.我们将在[0,T ]上的市场M(,,)r σb 重写于下:0010()()(),[0,];()()()()(),[0,],1;(0)1,(0),1.d i i i ij j j i i dP t P t r t dt t T dP t P t b t dt t dw t t T i n P P p i n σ==∈⎧⎪⎡⎤⎪=+∈≤≤⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪==≤≤⎩∑ (1.1)假定条件(M1)成立,对于初始财富y 及证券组合过程()[,]t T ⋅∈∏π,财富过程满足下述方程：{}()()()(),()()1(),()(),[0,](0)dY t Y t r t t t r t dt s s d s t T Y y⎧=+-+∈⎪⎨=⎪⎩ππb w σ(1.2) 一、问题现在考虑[]0,T 上的欧式未定权益2(,)T R ξ∈ΩF L ,即持有都到到期时刻T 能够获得收益ξ的一个未定权益.我们的问题可以叙述如下:问题1.1 寻找和y R ∈,使()[,]t T ⋅∈∏π,使得 (;,())Y T y ξ= π (1.3) 如果满足上述(1.3)的y R ∈和()[,]t T ⋅∈∏π存在,则称ξ在[]0,T 上是可复制的,称()⋅π是ξ在[]0,T 上的一个复制策略,称y 为ξ在时刻0的一个准价格.当ξ可复制且准价格y 惟一时（这里不要求()⋅π的惟一性）,称ξ在[]0,T 上是可定价的,并称y 为在时刻0的一个价格.易见,问题1.1等价于求解下述倒向随机微分方程：{}()()()(),()()1(),()(),[0,];().dY t Y t r t t t r t dt t t d t t T Y T ξ⎧=+-+∈⎪⎨=⎪⎩ππb w σ (1.4) 此时,我们也称()Y为未定权益ξ的价格过程. 由上面的定义可见,在[]0,T 上可复制的(欧式)未定权益似乎未必是在[]0,T 上可定价的.我们回忆:在单时段市场情形,存在可复制的但不可定价的未定权益;而当市场成立单一价格定律时(特别的，当市场无套利时),可复制的未定权益必是可定价的.对于连续时间市场情形,我们也容易构造在[]0,T 上可复制的但不可定价的未定权益.事实上,对于比较极端的情形()0⋅=σ,(1.2) 变成一个常微分方程.此时,我们很容易构造在[]0,T 上可复制的但不可定价的未定权益,对于()0⋅≠σ,人们也可以造出这样的例子.我们把细节留给了读者.我们注意到,问题 1.1考虑的是[]0,T 上是欧式未定权益.类似地,对任何[)0,t T ∈,我们可以考虑[],t T 上的欧式未定权益.不过,对此情形,复制策略()[,]t T ⋅∈∏π,而时刻t 的价格t η应该是一个t - F 可测的随机变量。

我们把相应于[],t T 的问题1.1的提法以及有关概念的定义留给读者自选完成.我们知道,方程(1.2)的解满足下述的所谓半群性质:()[)()[]()0,,;,();;,|(),|(),[0,]t t T Y T y Y T Y t y t T =∈ πππ (1.5) 其中[)0,|()t π和[],|()t T π分别为() π在[)0,T 和[],t T 上的限制.因此,当未定权益ξ在[],t T 上也是可复制的,并且[],|()t T π 是它的一个复制策略, [)()0,;,|()t Y T yπ是它在时刻t 的一个准价格.但是,仅凭上面的所述,我们似乎无法保证当未定权益ξ在[]0,T 上可定价时,它是否在[],t T 上也是可定价，因为此时尽管ξ在时刻0的价格y 是惟一的,但它在[]0,T 上的复制策略未必惟一,从而,时刻()0,t T ∈的准价格[)()0,;,|()t Y T yπ似乎就未必惟一了.不过,我们将会看到,在一定条件下,当未定权益ξ在[]0,T 上可定价时,它在[],t T 上也是可定价的.二、欧式未定权益的鞅定价现在,我们假定,d n = 并且()1()0,;n n T R -∞⨯= σL F (1.6) 在条件(1.6)下,市场的风险市价存在,并有下述表达式:()()()()()1,[t t t t r t t T ==-∀∈σb θμ, (1.7) 对任何的证券组合过程()[,]t T ⋅∈∏π，定义[]1()()()0,T -=∈ πσ∏Z (1.8)由于条件(1.6),映照()() πZ 是[,]t T ∏到其自身的同构，所以为了方便起见，我们也将() Z 称为证券组合过程,这样对应初始财富y 及[]()0,T ∈ ∏Z ，财富过程()();,()Y Y y ≡ Z 就满足下述方程：()()()(),()(),(),[0,];(0).dY t Y t r t t t dt t dw t t T Y y ⎧=⎡+⎤+∈⎪⎣⎦⎨=⎪⎩θZ Z (1.9) 我们有下述的基本结果。

定理 1.2 假定条件(M1)和(1.6) 成立,则任何欧式未定权益2(,)T R ξ∈ΩF L 均在任何的[],t T 上可定价,并且价格过程()Y 由下式给出;()()|,0Tt r d t p Y t E e t T θττξ-⎡⎤⎰=≤≤⎢⎥⎣⎦F (1.10)其中P θ为第八章(3.6)所定义的等价鞅测度.证明: 由条件(M1)、(1.6) 和第八章定理4.3证明知.倒向随机微分方程 0()()()(),(),[0,];().T T r t dt dY t t t d t t T Y T eθξξ-⎧=∈⎪⎨⎰⎪==⎩ πw σ 对任何2(,)T R ξ∈ΩF L 存在惟一的适应解()(),()Y⋅⋅ π.又上述倒向随机微分方程的解为 ()()(),(),[0,]T T tY t t t d t t T θξ=+∈⎰πw σ 又由第八章(1.0.7)知()(),()|0,0TT t p t E t t d t t T θθ⎡⎤=≤≤⎢⎥⎣⎦⎰ πw σF ,故, ()()()00()()|||,0tTr d r d t t t p p p Y t e Y t E Y t E E e t T θθθττττξξ--⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤====≤≤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F , 所以,()()|,0Tt r d t p Y t E e t T θττξ-⎡⎤⎰=≤≤⎢⎥⎣⎦F .▲上面的定理给出了在条件(M1)和(1.6)上任何欧式未定权益的可定价性。

表达式(1.10)称作(现行框架下的)的未定权益的风险中性定价原则(比较第5章和第7章中的离散时间情形),上面证明定理1.2的方法称为倒向随机微分方程方法,也称鞅方法.我们不难注意到,上面定理1.2本质上仅仅给出了未定权益的可定价性,公式(1.10)其实不是太好用,因为条件数学期望的计算并不容易,因此,定理 1.2在使用时不太方便.下面,我们将探求未定权益的更容易计算的公式.为此,我们进一步假定(M2)成立(即市场M(,,)r σb 的系数均是确定性的),并且未定权益具有形式(())g P T ξ=,其中,:n g R R →为一个连续子函数,最典型的例子是1n =,{}()()max ,0g p p q p q +=-=- (1.16)和()()g p q p +=- (1.17) 它们分别对应于欧式看涨期权和欧式看跌期权。

三、运用Ito 公式进行的欧式未定权益的定价方程 ----- Black-Scholes 方程 现在，我们来寻找形如(())g T ξ=P 欧式未定权益的定价公式各复制策略过程.由上面的定理1.2,在(M1)和(1.6)满足时,下述倒向随机微分方程存在惟一的适应解()(),()Y ⋅⋅π:()()()()()(),()(),(),[0,];().dY t Y t r t t t dt t d t t T Y T g T ⎧=⎡+⎤+∈⎪⎣⎦⎨=⎪⎩Z Z w P θ (1.18) 假定存在一个光滑的待定函数(),ϕ 使得[]()(,()),0,Y t t t t T ϕ=∈P (1.19) 则对(1.19)运用Ito 公式,由(1.1)可得{}[]()()(),()()1(),()()()(,()Y t r t t t r t dt t t d t dY t d t t ϕ+-+==b w P ππσ()()()(1.1),(3.13)1,,11,(),()()()()()()(),()2i i jn nt P i i ih hj i j PP i i j h t t t t P t b t t t P t P t t t dt ϕϕσσϕ==⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭∑∑附录P P P ()[],,1()(),()(),0,i nij i P j i j t P t t t dw t t T σϕ=+∈∑P (1.20)比较上面两端的扩散项系数(即()j dw t 的系数)[]1()()()(,())0,0,i niji i P i t t P t t t t T σπϕ=⎡⎤-=∈⎣⎦∑P (1.21)对于固定的[]0,t T ∈,(1.21),是一个关于()()(,())(1)i i i P t P t t P t i n πϕ⎡⎤-≤≤⎣⎦的齐次线性方程组.因此,由条件(1.6)可知，()[]()(),(),0,,(1)i i i P t P t t t t T i n πϕ=∈≤≤P (1.22) 现在,我们再来比较(1.20)两端的漂移项系数(即dt 项的系数),并注意(1.22),可得()()()(),,111,()()()()(),()(),()()(),()02i ji nnt ih hj i j PP i P i j h i t t t t P t P t t t r t t t r t P t t t ϕσσϕϕϕ==+-+=∑∑P P P P (1.23)从而,我们可见,待定函数(,)ϕ 应该满足下述方程[),,111()()()()0,(,)0,;2(,)().i j i n nnt ih hj i j P P i P i j h i t t p p r t p r t t p T R T p g p ϕσσϕϕϕϕ==⎧++-=∈⨯⎪⎨⎪=⎩∑∑ (1.24) 这是一个抛物型偏微分方程的终值问题.我们有下述命题:命题1.3 如果方程(1.24)存在一个经典解(,)ϕ ,则由(1.19)和(1.2)给出的()()(),Y π是倒向随机微分方程(1.18)的一个适应解,从而,它们分别给出了未定权益(())g P T 的一个价格过程和一个复制策略.进一步,如果(1.24)的经典解(,)ϕ惟一,则价格过程()Y 必惟一,从而,未定权益(())g P T 可定价.我们可以证明,当系数有界,连续可微且(1.6)成立时,方程(1.24)存在惟一的经典解.上面采用的方法被称为“四步法”,它在正倒向随机微分方程理论中具有重要的地位.我们称为Black-Scholes 方程.由于(1.19)决定了未定权益(())g P T 的价格过程,我们称(,)ϕ为未定权益(())g P T 的价格函数.需要指出的是,在(1.24)中系数()b不出现! 这表明,在上面的框架下,欧式未定权益的价格过程和复制过程独立于股票的平均回报率！这是一个非常有意思的结果。