工程力学A 参考习题之点的合成运动习题及解答
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0cos sin ='+'=t y t x y ωω 解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t bt b t x y ωωω4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v =船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
第5章点的合成运动习题解答080814讲课稿
第 5 章点的合成运动习题解答0 8 08 1 4第五章点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系：定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即V a V e V r解题要领1定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2牵连速度是牵连点的速度•3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成定理1牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即a a a e a r ，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成a；a a a e n t na e a r a r其中a；dv；，n aa2V a tdV e n，a e ，a e2Ve a t，a r dV r，a n2v■ ?a, e, r依次dt a dt e dt r为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
《工程力学》课后习题与答案全集
由 ，作出速度平行四边形，如图示：
即：
7．图示平行连杆机构中， mm, 。曲柄 以匀角速度 2rad/s绕 轴转动，通过连杆AB上的套筒C带动杆CD沿垂直于 的导轨运动。试示当 时杆CD的速度和加速度。
解：取CD杆上的点C为动点，AB杆为动系。对动点作速度分析和加速度分析，如图（a）、（b）所示。图中：
解：设该力系主矢为 ，其在两坐标轴上的投影分别为 、 。由合力投影定理有：
=-1.5kN
kN
kN
；
由合力矩定理可求出主矩：
合力大小为： kN，方向
位置： m cm，位于O点的右侧。
2．火箭沿与水平面成 角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力 kN与运动方向成 角。如火箭重 kN，求空气动力 和它与飞行方向的交角 。
(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力 和 ，在B点受到支座反力 。 和 相交于O点，
根据三力平衡汇交定理，
可以判断 必沿通过
B、O两点的连线。
见图(d).
第二章力系的简化与平衡
思考题：1.√;2.×;3.×;4.×;5.√;6.×;7.×;8.×;9.√.
1．平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。
则
（mm/s）
故 =100（mm/s）
又有： ，因
故：
即：
第四章刚体的平面运动
思考题
1．×；2.√; 3.√;4.√;5.×.
习题四
1．图示自行车的车速 m/s,此瞬时后轮角速度 rad/s,车轮接触点A打滑，试求点A的速度。
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
习题课四：点的合成运动
Байду номын сангаас
A φ
O2
ω
习题课四
4：具有曲面AB的靠模沿水平方向
运动时，推动顶杆 MN 沿铅直固定
N y y' B O' θ v1 a1
导槽运动。已知在图中瞬时靠模具 有水平向右的速度 v1 ，水平向右的 加速度a1，曲线AB在杆端M接触点 的切线与水平线的夹角为 θ ；曲线
M
A x' x
AB 在杆端接触点 M 的曲率半径是 ρ ； 试求顶杆 MN 在这瞬时的速度及加 速度。
30
A
B
C
习题课四
例2：具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使 滑道BC获得间歇往复运动。若已知曲柄OA作匀 速转动，其角速度为ω=4rad/s,又R=OA=100mm， 求当曲柄与水平轴成角φ=30º 时滑道BC的速度和 加速度。
习题课四
例3：图示凸轮机构中，凸轮的半径R，偏心距 OC e 。若凸轮以匀角速度 转动，顶杆AB与 凸轮之间为光滑接触。试以两种动点和动系分 别求在图示位置时顶杆AB的速度和加速度。
习题课四
2、半径为R的半圆形凸轮D以等速v0沿水平线 向右运动，带动从动杆AB沿铅直方向上升，如 30 时杆相对于凸轮的速度，以 图所示。求 及杆AB的加速度。
习题课四
3、图示曲柄摇杆机构中，曲柄O1A=10cm，O1O2 铅垂。在图示瞬时，摇杆O2B的角速度ω=1rad/s， 角速度为零，O1A水平，φ=30º 。求该瞬时曲柄 O1A的角速度及曲柄O1A角加速度。
O
习题课四
5：M点沿直管运动，同时 这直管又在图示固定平面 内绕定轴O转动。已知r =OM 和转角φ的变化规律
y y' M O φ x
理论力学(7.7)--点的合成运动-思考题答案
第七章 点的合成运动答 案7－1在选择动点和动系时，应遵循两条原则：一是动点和动系不能选在同一刚体上；二是应使动点的相对轨迹易于确定，否则将给计算带来不变。
对于图示机构，若以曲柄为动系，滑块为动点，若不计滑块的尺寸，则动点相对动系无运动。
若以 B 上的点A 为动点，以曲柄为动参考系，可以求出 B 的角速度，但实际上由于相对轨迹不清楚，相对法向加速度难以确定，所以难以求出 B 的角加速度。
7－2均有错误。
图 a 中的绝对速度 应在牵连速度 和相对速度 的对角线上；图 b 中的错误为牵连速度 的错误，从而引起相对速度 的错误。
7－3均有错误。
（a）中的速度四边形不对，相对速度不沿水平方向，应沿杆OC 方向；（b）中虽然 ω＝常量，但不能认为 ＝常量， 不等于零；（c）中的投影式不对，应为 。
7－4速度表达式、求导表达式都对，求绝对导数（相对定系求导），则。
在动系为平移的情况下， 。
在动系为转动情况下，。
7－5正确。
不正确，因为有相对运动，导致牵连点的位置不断变化，使 产生新的增量，而 是动系上在该瞬时与动点重合那一点的切向加速度。
正确，因为只有变矢量才有绝对导数和相对导数之分，而 是标量， 无论是绝对导数还是相对导数，其意义是相同的，都代表相对切向加速度的大小。
均正确。
7－6图 a 正确，图 b 不正确。
原因是相对轨迹分析有误，相对加速度分析的不正确。
7－7若定参考系是不动的，则按速度合成定理和加速度合成定理求出的速度和加速度为绝对速度和绝对加速度。
若定参考系在运动，按速度合成定理和加速度合成定理求出的速度和加速度应理解为相对速度和相对加速度。
7－8设定系为直角坐标系 Oxy，动系为极坐标系，其相对于定系绕 O轴转动，动点沿极径作相对运动，则，按公式求出绝对加速度沿极径、极角方向的投影即可。
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
第7章点的合成运动习题
第7章点的合成运动习题1.是非题（对画√，错画×）7-1.绝对运动是动点相对于定系的运动。
（）7-2.相对运动是动点相对于动系的运动。
（）7-3.牵连运动是动点相对于动系的运动。
（）7-4.动点的绝对运动看成动点的相对运动和牵连运动的合成。
（）7-5.动点相对速度对时间的导数等于动点的相对加速度。
（）7-6.在一般情况下，某瞬时动点的绝对加速度等于动点的相对加速度和牵连加速度矢量和。
（）2.填空题（把正确的答案写在横线上）7-7.在研究点的合成运动中，应确定、、。
7-8.图示机构设A 滑块为动点，BC 为动系，则A 滑块的绝对运动为；A 滑块的相对运动为；A 滑块的牵连运动为；科氏加速度的方向。
7-9.上题中若AD=l ，AD 以ω作匀角速度转动，且三角形ABD 构成等边直角三角形，则A 滑块的绝对速度a v = ；相对速度r v = ；牵连速度e v = ；绝对加速度τaa = 、n r a = ；相对加速度r a = ；牵连速度τe a = 、nea = ；科氏加速度c a = 。
ABCωD3.简答题7-10.定系一定是不动的吗？动系是动的吗？7-11.牵连速度的导数等于牵连加速度吗？相对速度的导数等于相对加速度吗？为什么？7-12.为什么动点和动系不能选择在同一物体上？7-13.如何正确理解牵连点的概念？在不同瞬时牵连运动表示动系上同一点的运动吗？7-14.科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？ 7-15.速度合成定理对牵连运动为平移或转动都成立，但加速度合成定理r e a a a a +=对牵连运动为转动却不成立？为什么？牵连运动为转动却不成立？为什么？7-16.如图所示曲柄滑块机构，若取B 为动点，动系固结于曲柄OA 上，动点B 的牵连速度如何？如何画出速度的平行四边形？速度如何？如何画出速度的平行四边形？OABCω7-17.如图所示的四连杆机构，曲柄OA 与BC 平行AB=BC=r ，问销钉B 相对于曲柄OA 的速度为多少？的速度为多少？4.计算题7-18.如图所示，点M 在平面y x O ¢¢中运动，运动方程为中运动，运动方程为)t cos (x -=¢140 t s i ny 40=¢ t 以s 计，x ¢、y ¢以mm 计，平面y x O ¢¢绕O 轴转动，其转动方程为t =j （rad ），试求点M 的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。
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点的合成运动习题及解答
已知 OA=l ，曲杆BCD 的速度为v ，BC=a; 求：A 点的速度与x 的关系。
解：取曲杆上的点B 为动点，OA 杆为动系，则
r e a v v v +=
v v a =,
得
2
2a e a x a .
v s i n .v v +==φ
,a x a
.v OB v 22e
0+==
ω
=A v .v l .0=ωl ,
a x a .2
2
+
已知 两种机构中2m .0a O O 21==, 杆 A O 1的角速度
1ω=3rad/s,030=θ;
求：杆A O 2A O 1的角速度2ω.
解: 图 (a) , 取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系，
图 (b) , 取杆A O 2上的
A 点为动点，杆A O 1为动系，
由: r e a
v v v += 分别作速度矢量图。
由图 (a) 解出
23
a
.cos30.v v 10a e ω==，
,s /rad 5.12A O v 12e 2===
ω
ω
由图 (b) 解出
32
.a .cos30v v 10
e a ω==， ,s /5r a d .12A O v 12e 2===
ω
ω
.
s /rad 232A O v 12a 2===ω
ω
已知 ==V v AB 常数，当t=0时，0=ϕ；
求：0
45=ϕ时，点C 的速度的大小。
解: 取杆AB 上的A 点为动点，杆OC 为动系，
由:
r e a v v v += 作速度矢量图。
ϕϕcos .v cos .v v a e ==，
l
cos .a OA OC .v v e c ϕ==
解出
l a .c o s
v
v 2
c ϕ=， 当0
45=ϕ时，
2l av
v c =
已知，轮C 半径为R ，偏心距OC=e, 角速度 ω=常数；求：0
0=ϕ时，平底杆AB 的速度。
解: 取轮心C 为动点，平底杆AB 为动系，
由: r e a
v v v += 作速度矢量图。
图中r v 平行于杆AB 的底平面，所以
.cos .v v a e ϕ= 当0
0=ϕ时，平底杆AB 的速度 ωe v e =
已知：1m .0B O A O 21==, AB O O 21= ；杆 A O 1以等角速度转动， ω=2 rad/s ;
求：0
60=ϕ时，CD 杆的角速度和角加速
度。
解：取CD 杆上的点C 为动点，AB 杆为动系， 对动点作速度分析和加速度分析,
如图 (a), (b)所示，图中: r e a
v v v += A e v v = r e a a a a
+=
A e a a = 其中: s m A O /2.0.v 1A ==ω
2
21A /4.0.a s m A O ==ω 解出: s m /1.0cos .v v A a ==ϕ
已知：4m .0OA =, ω=0.5 rad/s ;
求：030=θ时，滑杆C 的速度和加速度。
解：取OA 杆上的A 点为动点，
滑杆C 为动系，对动点作 速度分析和加速度分析, 如图 (a), (b)所示，
图中: r e a
v v v += r e a a a a +=
其中: ω.v a OA =
2
a a .a a ωOA n ==
解出: s m /1732.0cos .v v a e ==θ
已知：轮C 半径为R ，其角速度 ω为常数；
求：060=θ时，A O 1杆的角速度1ω和角加速度1α。
解: 取轮心C 为动点，A O 1杆为动系，相对轨迹平行于A O 1杆, 图 (a) 中C 点速度
a v
=
e v
+
r v
大小 R ω OC .1ω？ ？ 方向 CO ⊥ ⊥C O 1 //
解出: ===a r e v v v R ω
2
C O v 1e 1ω
ω==
图 (b) 中,C 点各加速度之间的关系是：
c n a a a a a r e e a
+++=τ 大小 R 2ω ？ C O .112
ω ？ 2r 1v 2ω
方向 如图 所示 将此式向η轴投影，得
c e n e a a a 21a 232a -+=-
τ
解出: R
321
a 2e ωτ=
2
2
1e 10144334C O a ωωατ===
已知：凸轮半径为R ，速度 0v =常数；
求：0
30=ϕ时，杆AB 相对于凸轮的速度加速度。
解: 取AB 杆上的A 点为动点，凸轮为动系，凸轮作平动，相对轨迹为圆。
图 (a) 中A 点速度
a v
=
e v
+
r v
大小 ？
0v
？
方向 如图 所示
解出:
332v r =
0v
图 (b) 中,A 点各加速度之间的关系是：
r r e a a a a a n ++=τ
大小 ？ 0 ？ R v r
2
方向 如图 所示
解出:
938cos30a a a 0r n a r =
== R v 2
已知：小车加速度a=0.493m/2s ,圆盘半径r=0.2m ，转动规律为2
r =ϕ，
当t=1时,盘上A 点位置如图；
求：图示瞬时点A 的绝对加速度。
解: 取A 点为动点，小车为动系，则A 点加速度为
r r e a a a a a n ++=τ
大小 ？ a r α r 2
ω
方向 ? 如图 所示
式中 2
..
.s /2rad ,s /2rad ====ϕαϕω 将上式投影，得
20r n 0r e ax s /00018m .0cos30a sin30a a a =-+=τ
所以
已知：直角弯杆OBC 的角速度 ω=0.5 rad/s 为常数， OB=0.1 m
求：0
60=ϕ时，小环M 的绝对速度和绝对加速度。
解: 取小环M 为动点，直角弯杆为动系，
图 (a) 中M 点速度
a v
= e v
+
r v
大小 ? OM.ω ？
方向 如图 所示
图 (b) 中, M 点各加速度之间的关系是：
c n a a a a r e a ++=
大小 ？ OM.2ω？ r v 2ω 方向 如图 所示 将此式向η轴投影，得
c e a a a 21
a 21+-=
解出: 2
a s /35m .o a =
8-27. 牛头刨床机构，已知：200m m A O 1=,角速度 1ω=2 rad/s. 角加速度1α=0。
求：图示位置滑枕CD 的速度和加速度。
解: 取A O 1的A 点为动点，B O 2为动系，A 点的c 为：
Aa v
=
Ae v
+
Ar v
大小 A O 1.1ω ? ？
方向 如图所示
解出: r
21v 1Ae ω=
4A O v 1
2Ae 2ωω== r
23
v 1Ar ω= 再选B 点为动点，CD 为动系，B 点的速度为：
Ba v
=
Be v
+
Br v
大小 B O 2.2ω ? ？
方向 如图 所示
解出:
.23v .23v Ba Be ==
B O 2.2ω=0.325 m/s
取A O 1的A 点为动点，B O 2为动系，A 点的加速度为：
Ac A A n A A a a a a a r e e a
+++=τ
其中：,r .a 12Aa ω= 22Ae .A O a ατ
=（待定），
,.A.O a 2
22Ae n ω=
将此式向η轴投影，得
c Ae 0Aa a a cos30.a +=τ
解出:
r .433
a 21Ae ωτ= ，
2
1
2Ae 283A O a ωατ==
B 点的加速度为：
r e a a a a a a B B B n B +=+τ
其中,r .a 12Aa ω= 22Ae .A O a ατ
=（待定），
,.B.O a 22Ba ατ= ,.B.O a 2
22Ba n
ω=
将此式向CD 轴投影，得 Be 0Ba n 0Ba a sin30.a cos30.a =+τ
解出: Be a =0.6567 m/s 2。