2016年理科数学学校招生全国统一考试(高真洁净版)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (北京卷) word版

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A =B =，则（A ）（B ）（C）（D ）（2）若x,y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D ）4（4）设a ,b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o ，则（A ）- （B ）（C ） (-0 （D ）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）（B ）（C ）（D ）1(7)将函数图像上的点P （，t ）向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数的图像上，则（A ）t = ，s 的最小值为（B ）t = ，s 的最小值为（C ）t = ，s 的最小值为（D ）t = ，s 的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷精编版)-教师版

……外………………内…………绝密★启用前2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-，C ． ()1,+∞D ． ()3-∞-，【答案】A【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{ 10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ .视频2．已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1} （B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，【答案】C…………【解析】试题分析：集合{|12,}{0,1}B x x x=-<<∈=Z，而{1,2,3}A=，所以{0,1,2,3}A B=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.3．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】试题分析：a+b=(4,m−2)，由(a+b)⊥b得4×3+(m−2)×(−2)=0，解得m=8，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：视频4．圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（A（B（C（D）2【答案】A【解析】○…………装………学校:___________姓名：_______○…………装………试题分析：圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得A ．【考点】圆的方程、点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断．若d>r ，则直线与圆相离；若d ＝r ，则直线与圆相切；若d<r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ． 24B ． 18C ． 12D ． 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318⨯=，故选B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．…装…………○………线………………※※要※※在※※装※…装…………○………线………………视频6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【考点】三视图，空间几何体的表面积【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:7．若将函数y=2sin 2x π（A ）k ∈Z ）（B ）k ∈Z ）（C ）k ∈Z ）（D ）k ∈Z ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平单位长度得函数的图像，则平移后函数图像的对称轴为…………订…………○………：___________考号：___________…………订…………○……… B. 【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，当2,2,0,0x n k s ====时，输入2a =，则0222,1s k =⋅+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⋅+==，循环；输入5a =，则62517,32s k =⋅+==>，结束.故输出的17s =，选C.【考点】程序框图，直到型循环结构【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环． 9．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos (π4−α)=35，则sin 2α= A ． 725 B ． 15……○题※※……○C．−15D．−725【答案】D【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．视频10．从区间[]0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，nx，1y，2y，…，ny，构成n个数对()11,x y，()22,x y，…，(),n nx y，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A（B（C（D【答案】C【解析】选C.【考点】几何概型【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．11．已知F1，F2是双曲线E右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，则E的离心率为（A（B（C（D）2【答案】A【解析】试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以，因为b a =，故双曲线的离心率选A.【考点】双曲线的几何性质、离心率【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈（1，＋∞），而椭圆的离心率e ∈（0，1）．12．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y xy ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，其图像与函数的图像的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B. 【考点】函数的图像与性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图像有对称中心.……○……○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a=1，则b= . 【解析】内角，所以，，又因为【考点】三角函数的和差角公式，正弦定理【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 14．α、β是两个平面，m （n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m （n （m （α（n （β，那么α（β.（2）如果m （α（n （α，那么m （n .（3）如果α（β（m ⊂α，那么m （β. （4）如果m （n （α（β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）【答案】②②②【解析】试题分析：：①如果m∈n ，m∈α，n∈β，不能得出α∈β，故错误； ②如果n∈α，则存在直线l∈α，使n∈l ，由m∈α，可得m∈l ，那么m∈n ．故正确； ③如果α∈β，m∈α，那么m 与β无公共点，则m∈β．故正确④如果m∈n ，α∈β，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系视频15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 . 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2. 【考点】推理【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.16．若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= . 【答案】1ln2- 【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得，对ln(1)y x =+求导得线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x=+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得由点222(,)P x y 在切线上得这两条直线表示同一条直线，所以，解得【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′（x 0）（x −x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题……※※请※……17．nS为等差数列{}n a的前n项和，且17=128.a S=，记[]=lgn nb a，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101b b b，，；（Ⅱ）求数列{}n b的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）1b=，111b=，1012b=；（Ⅱ）1 893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项na，再根据已知条件求111101b b b，，；（Ⅱ）用分段函数表示nb，再由等差数列的前n项和公式求数列{}n b的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a的公差为d，据已知有72128d+=，解得 1.d=所以{}n a的通项公式为.na n=[][][]11110110,111,101 2.b lg b lg b lg======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,{2,1001000,3,1000.nnnbnn≤<≤<=≤<=所以数列{}n b的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=【考点】等差数列的通项公式、前n项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.视频18．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列为，在根据期望公式求解.. 【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A P （B|A ）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A 求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 取每个值时的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出EX ． 19．如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD………外…………○……………线…………※………内…………○……………线…………上,AE=CF=54,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. （Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD ．（Ⅱ）求二面角B-D'A-C 的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证AC EF ，再证D H OH '⊥，最后证D H ABCD ⊥'平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥， AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC EF . 因此EF HD ⊥，从而EF D H⊥'.由5AB =, 6AC =得04DO B ==.由EFAC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =， ==3D H DH '. 于是222223110D H OH D O +=+'=='，故D H OH '⊥.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD ⊥'平面.（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点， HF 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ， ()3,1,0A --， ()0,5,0B -， ()3,1,0C -， ()0,0,3D '，………○…………线…………○……级：________………○…………线…………○……， ()6,0,0AC =， ()3,1,3AD '=.设是平面ABD '的法向量，则0{m AB m AD ⋅=⋅='，即11111340{330x y x y z -=++=，所以可取()4,3,5m =-.设是平面ACD '的法向量，则0{n AC n AD ⋅=⋅='，即222260{ 330x x y z =++=，所以可取()0,3,1n =-.于是1475cos ,255010m n m n m n ⋅-===⨯， 295sin ,25m n =.因此二面角B D A C -'-的正弦值是29525. 【考点】线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∈b ，a∈α∈b∈α；③α∈β，a∈α∈a∈β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．视频20．已知椭圆E: 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4， AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时， E 的方程为22143x y +=， ()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+.………………将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >， 0k >， ()A .将直线AM 的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk -=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-. 3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得320{ 20k k ->-<，或320{ 20k k -<->2k <<. 因此k 的取值范围是)2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．视频21．（Ⅰ）讨论函数()2e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当x >0时， ()2e 20xx x -++>；（Ⅱ）证明：当[)0,1a ∈时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 21,.24e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当()0,x ∈+∞时， ()()0f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，再构造新函数()002x e h a x =+，用导数法求解. 试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞.()()()()()()2221220,22x x x x x e x e x e f x x x '-+--==≥++且仅当0x =时， ()0f x '=，所以()f x 在()(),2,2,-∞--+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时， ()()01,f x f >=- 所以()()()22,220xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）()()()()()33222,x x e a x x g x f x a x x +++==+'-由（Ⅰ）知，()f x a+单调递增，对任意[)()()0,1,010,20,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一(]00,2,x ∈使得()00,f x a +=即()00g x '=，当00x x <<时， ()()()0,0,f x a g x g x '+<<单调递减；当0x x >时， ()()()0,0,f x a g x g x '+>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为()()()()000000022001+1.2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是()002x e h a x =+，由()()'21()0,222xx xx e e e y x x x +=>=+++知单调递增所以，由(]00,2,x ∈得()002201.2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2xe y x =+单调递增，对任意21,,24e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦存在唯一的(]00,2,x ∈…………装……○…※※请※※不※※要※※在※※订…………装……○…()[)00,1,a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21,,24e ⎛⎤⎥⎝⎦综上，当[)0,1a ∈时， ()g x 有最小值()h a ， ()h a 的值域是21,.24e ⎛⎤⎥⎝⎦【考点】函数的单调性、极值与最值【名师点睛】求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f （x ）的定义域；（2）求导数f ′（x ）；（3）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）解出相应的x 的范围．当f ′（x ）＞0时，f （x ）在相应的区间上是增函数；当f ′（x ）＜0时，f （x ）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(完整word版)2016年全国高考理科数学试题及答案,推荐文档

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）)1,3(-（B ）)3,1(-（C ）),1(+∞（D ）（2）已知集合，，则（A ）（B ）（C ）（D ）（3）已知向量，且，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（A ）34-（B ）43- （C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）x =62k ππ- (k ∈Z ) （B ）x=62ππ+k (k ∈Z ) （C ）x=122k ππ- (k ∈Z ) （D ）x =122k ππ+ (k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(4π–α)= 53，则sin 2α= （A ）257（B ）51（C ）51- （D ）257- （10）从区间随机抽取2n 个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A ）（B ）（C ）（D ）（11）已知F 1，F 2是双曲线E 的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与轴垂直，sin,则E 的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）2（12）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为)(1,1y x ,),(22y x ···，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷 Word版含解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C） (-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。

2016年高考理科数学试题全国卷1及解析word完美版

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合A={x|x2–4x+3<0}，B={x|2x–3>0｝,则A∩B= （）A．（–3，–错误!）B．（–3，错误!）C．(1,错误!）D．(错误!,3)2、设(1+i）x=1+yi，其中x,y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．错误!C．错误!D．23、已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8,则a100= ( ）A．100 B．99 C．98 D．974、某公司的班车在7：00，8：00，8:30发车,小明在7:50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!5、已知方程错误!–错误!=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ）A．(–1,3) B．（–1,错误!) C．(0,3）D．（0，错误!）6、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是错误!，则它的表面积是( ）A．17π B．18π C．20π D．28π7、函数y=2x2–e|x｜在[–2，2]的图像大致为( ）A．B．C．D．8、若a〉b>1，0〈c〈1，则( ）A．a c〈b c B．ab c〈ba c C．alog b c〈blog a c D．log a c〈log b c9、执行下左1图的程序图,如果输入的x=0，y=1,n=1，则输出x，y的值满足( ）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4错误!，｜DE｜=2错误!，则C的焦点到准线的距离为（)A．2 B．4 C．6 D．811、平面a过正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a∩平面ABCD=m，a∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!12、已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，｜φ｜≤错误!)，x=–错误!为f(x）的零点，x=错误!为y=f（x）图像的对称轴,且f（x）在（错误!,错误!)单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13、设向量a=(m,1)，b=（1,2)，且|a+b｜2=|a｜2+｜b｜2，则m=________________．14、（2x+错误!)5的展开式中，x3的系数是_________ （用数字填写答案）．15、设等比数列满足{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为___________．16、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1。

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈∵＞故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈=﹣≈×4≈∴y关于t的回归方程+2016年对应的t值为9，故×9+【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016全国统一高考数学试卷(理科全国卷1)

2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .．（分）（新课标Ⅰ）设集合A={ x| x 2﹣4x+3＜0} ，B={ x| 2x﹣ 3＞ 0} ，则 A∩B=（）1 52016?A．（﹣ 3，﹣）B．（﹣ 3，） C．（1，）D．（，3）2．（5分）（ 2016?新课标Ⅰ）设（ 1+i）x=1+yi，其中 x， y 是实数，则 | x+yi| =（）A． 1B．C．D．23．（5分）（ 2016?新课标Ⅰ）已知等差数列 { a n} 前 9 项的和为 27， a10=8，则 a100=（）A． 100 B．99C．98 D． 974．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在 7：00， 8： 00，8：30 发车，小明在7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（）A．（﹣ 1，3） B．（﹣ 1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A． 17πB．18πC．20πD． 28π．（分）（新课标Ⅰ）函数2﹣e| x|在 [ ﹣ 2， 2] 的图象大致为（）7 52016?y=2xA．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8A．B．C．D．8．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A． a c＜b c B．ab c＜ba cC． alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）A． y=2xB．y=3x C．y=4x D． y=5x10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点．已知 | AB| =4，| DE| =2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6D．8。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案

2262016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（Ⅰ）参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（60分） 1—12 DBCBA ADCCB AB 第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．2- 14．10 15．64 16．216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分为12分）解：（I ）由已知及正弦定理得， ()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，即()2cosCsin sinC A+B =．∴2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II）由已知，1sin C 2ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得， 222cosC 7a b ab +-=．∴2213a b +=，从而()225a b +=．∴C ∆AB的周长为5．18．（本小题满分为12分）解：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ，∴平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =，则DF 2=，DG =可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D ．由已知，//F AB E ，所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB 平面FDC DC E =， ∴//CD AB ，CD//F E ．由//F BE A ，可得BE ⊥平面FDC E ，∴C F ∠E 为二面角C F -BE-的平面角，C F60∠E =．从而可得(C -．∴(C E =，()0,4,0EB =，(C 3,A =--，()4,0,0AB =-．设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴可取(3,0,n =．设m 是平面CD AB 的法向量，则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩，同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-∴二面角C E -B -A 的余弦值为19-． 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；22716.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ； 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P . 所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19=n 时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯(192002500)0.08+⨯+⨯⨯+(192003500)0.044040⨯+⨯⨯=；当20=n 时，202000.88(202002500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯⨯(202002500)0.044080+⨯+⨯⨯=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，∴ADC ACD EBD ∠=∠=∠， ∴||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . ∴34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x ky ，A 到m 的距离为122+k ， ∴1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .∴四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(1)2(1)x f x x e a x '=-+-(1)(2)x x e a =-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．∴()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，228∴()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，∴当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <， ∴()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，∴当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >． ∴()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <， ∴()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知 12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，∴122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，∴222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．∴当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =， ∴当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，∴122x x +<．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ， ∵,120OA OB AOB =∠=︒， ∴OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径， ∴直线AB 与⊙O 相切．（Ⅱ）∵2OA OD =，∴O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上， ∴'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥． ∴//AB CD ． 23．（本小题满分10分）解：（I ）由cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）消去参数t 得1C 的普通方程为 ()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程（II ）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =．229由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ．①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=∴1a =或1a =-（舍去）．24．（本小题满分10分）解：（I ）()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()y f x =如图所示：（II ）由⑴及()1f x >得当1x -≤时，由41x ->，解得5x >或3x <， 1x -∴≤；当312x -<<时，由321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<．当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >， ()1f x >∴的解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．2302016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（Ⅱ）参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（60分）1—12 ACDAB CBCDC AB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题13.211314.②③④ 15.1和3 16.1ln2-三.解答题17.（本题满分12分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，72874S a ==，∴44a =，∴4113a ad -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===， [][]1111lg lg111b a ===， [][]101101101lg lg 2b a ===．（II ）记{}n b 的前n 项和为n T ，则 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时， 100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． 18.（本题满分12分）解：（I ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（II ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===．（Ⅲ）设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20EX a a =⨯++⨯1.50.20 1.750.1020.05a a a +⨯+⨯+⨯0.2550.150.250.3a a a a =+++0.1750.1 1.23a a a ++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23． 19.（本小题满分12分）解：（I ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．（II ）建立如图坐标系H xyz -． ()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur，，，()060AC =uuu r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量 ()2301n =u u r，，，∴1212cosn nn nθ⋅==u r u u ru r u u r，∴sinθ．20.（本小题满分12分）解：（I）当4t=时，椭圆E的方程为22143x y+=，A点坐标为()20-，．由已知条件及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4π，直线AM的方程为2y x=+．将2x y=-代入22143x y+=，并整理得27120y y-=，解得0y=或127y=，∴1127y=．∴AMN△的面积为11212144227749AMNS∆=⨯⨯⨯=．（II）由已知条件知，3,0,(t k A>>，直线AM的方程为(y k x=．联立(2213x yty k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理，得()222223230tk x x t k t+++-=，解得x=x=∴AM=+=由已知条件知，直线AN的方程为(1y xk=-，∴同理可得AN=．由2AM AN=得22233ktk k t=++，即23632k ktk-=-．∵椭圆E的焦点在x轴，所以3t>，即236332k kk->-，整理得()()23122k kk+-<-2k<．21．（本小题满分12分）解：（I）()f x的定义域为()()22,-∞--+∞，．()()()22224ee222xxx xf xx x x⎛⎫-' ⎪=+=⎪+++⎝⎭．∵当x∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x'>，∴()f x在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x>时，()2e0=12xxfx->-+，∴()2e20xx x-++>．（II）()()()24e2ex xa x x ax ag xx----'=()4e2e2x xx x ax ax-++=()322e2xxx axx-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=，[)01a∈，．由（I）知，当0x>时，()2e2xxf xx-=⋅+的值域为()1-+∞，，只有唯一解使得2e2ttat-⋅=-+，(]02t∈，．当(0,)x t∈时()0g x'<，()g x单调减；当(,)x t∈+∞时()0g x'>，()g x单调增．()()()222e1ee1e22t tt ttta t th at t t-++⋅-++===+．记()e2tk tt=+．231232在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22．（本小题满分10分）解：（I ）∵DF EC ⊥, ∴,DEF CDF ∆~∆∴GDF DEF FCB ∠=∠=∠，DF DE DGCF CD CB ==， ∴,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠= ∴,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ ∴四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=23．（本小题满分10分）解：（I ）由c o s ,s i nx y ρθρθ==可得C的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-= 12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-.24．（本小题满分10分）解：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-，∴112x -<≤-；当1122x -<<时，()2f x <恒成立；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <， ∴112x ≤<.综上可得，()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时， 11,11a b -<<-<<，∴222222()(1)1a b ab a b a b +-+=+-- 22(1)(1)0a b =--<， ∴|||1|.a b ab +<+2332016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（Ⅲ）参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（60分）1—12 DCADA ABCBB A C第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 13．32 14．32π 15．21y x =-- 16．4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ==+，∴1≠λ，λ-=111a ，01≠a .由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得 n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ， ∴11n n a a λλ+=-. ∴}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列， ∴1)1(11---=n n a λλλ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y，=40.1749.32 2.89=-⨯=，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. ∴y 关于t 的回归方程为： t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. ∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ，连接TN AT ,. 由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，∴TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，∴AT MN //.∵⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，∴//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE . 由AC AB =得BC AE ⊥，从而 AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .234以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN .设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，∴2558|||||,cos |==><AN n AN n . 20．解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且221(,0),(,),(,),222a b A B b P a - 11(,),(,)222a b Q b R +--.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. ∴FQ AR ∥.（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=.由题设可得221211ba x ab -=--，∴01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.∴所求轨迹方程为12-=x y . 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = ∴32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2c o s (1)c o s 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值， (1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-．令1114a a--<<，解得13a <-（舍去），15a >．235（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，∴2161|()|48a a a A g a a-++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩．（Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |f x a x a x =--- 2|1|a a ≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884a A a =++≥， ∴'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，∴'|()|2f x A ≤.22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则,BFD PBA BPD ∠=∠+∠ PCD PCB BCD ∠=∠+∠.∵AP BP =，∴PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠， ∴PCD BFD ∠=∠.又180PFD BFD ∠+∠=， 2PFB PCD ∠=∠，∴1803=∠PCD ， ∴ 60=∠PCD .（Ⅱ）∵BFD PCD ∠=∠， ∴ 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，∴G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心， ∴G 在CD 的垂直平分线上， ∴CD OG ⊥.23.（本小题满分10分）解：（I ）1C 的普通方程为2213x y +=， 2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()d α=sin()2|3πα=+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.24.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. ∴()6f x ≤的解集为236 {|13}x x -≤≤.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++- |212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， ∴当x R ∈时，()()3f xg x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.∴a 的取值范围是[2,)+∞.。

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（A）−8
（B）−6
（C）6
（D） 8
圆x2 + ��2 − 2�� − 8�� + 13 = 0的圆心到直线ax + y − 1 = 0的距离为 1，则a =
（A）−
4 3
（B）
−3
4
（C）√3
（D）2
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会和，再一起到位于G处的老年公寓参加
12
（A）��
=
�� 2
−
�� 6
(��
∈
��)
（B）��
=
�� 2
+
�� 6
(��
∈
��)
（C）�� = �� − �� (�� ∈ ��)
2 12
上的数字是_________.
（16）若直线 �� = �� + �� 是曲线 �� = �� + 2 的切线，也是曲线 �� = ��(�� + 2) 的切线，则
号
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：集合证明选讲
如图，在正方形��，��, ��分别在边��, ��上（不与端点重合），
且�� = ��，过��点作�� ⊥ ��，垂足为��.
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正液，刮纸刀。
�� =_________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 12 分）
��为等差数列*��+的前 n 项和，且��=1，��7 = 28.记��=,lg��-，其中,��-表示不超过��的最大整数，如,0.9-=0，,lg99-=1.
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85��
��
1.25�� 1.5�� 1.75��
2��
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
（I）当�� = 4，|��| = |��|时，求△ ��的面积；
（II）当2|��| = |��|时，求 k 的取值范围.
（21）
（本小题满分 12 分）
(I)讨论函数��(��) = ��−2 �� 的单调性，并证明当�� >0 时，(�� − 2)�� + �� + 2 > 0;
��
已
知
F1,
��2
是
双
曲
线
E:
��2 ��2
−
��2 ��2
=
1
的
左
右
焦
点
，
点
M
在
E
上
，
MF1与
x
轴垂直，
sin∠MF2��1 = 13,则E的离心率为
（A）√2
（B）32
（C）√3
（D）2
已知函数��(��)(��)满足��(−��)
其中正确的命题有_________.(填写所有正确命题的编号)
（15）有三张卡片，分别写有 l 和 2，l 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看
了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与
丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片
率。
（24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲
B,
C的对边为a,b, Nhomakorabeac,若��
=
4 5
,
��
=
5 13
,
��
=
1,则��=_________.
α, β是两个平面，��, ��是两条直线，有下列四个命题：
①如果�� ⊥ ��, �� ⊥ ��, �� ∥ ��,那么α ⊥ β.
已知椭圆 E: ��2 + ��2 = 1的焦点在��轴上，��是��的左顶点，斜率为��(�� > 0)的直线交��于
�� 3
��, ��两点，点��在 E 上，�� ⊥ ��.
（A）0
（B）��
（C）2��
（D） 4��
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个考试考生都必须
做答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）（14）
∆��的内角A,
志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18
（C）12 （D）9
理科数学试题第 1 页（共 4 页）
（6）
（7）（8）
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几
何体的表面积为
（A）20π
（B）24π
（C）28π
（D）32π
若将函数y = 2sin2x的图像向左平移 �� 个单位长度，则平移后图像的对称轴为
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）（2）（3）（4）（5）
已知�� = (�� + 3) + (�� − 1)��在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
(A) (−3,1) （B） (−1,3) （C）(1, +∞) (D) (−∞, −3)
已知集合A = *1,2,3+,B = *��|(�� + 1)(�� − 2) < 0, �� ∈ ��+,则A ∪ B =
（A）*1+
（B） *1,2+
（C） *0,1,2,3+ （D） *−1,0,1,2,3+
已知向量�� = (1, ��), �� = (3, −2)且(�� + ��) ⊥ ��则�� =
（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（II）直线
l
的参数方程是{��
= =
��csoins��，，（t
为参数）,��与C交于A、B两点，∣
��
∣=
√10，求��的斜
（I）求��1，��11，��101；（II）求数列*��+的前 1 000 项和.
（18）
（本题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
=
2
−
��(��),若函数��
=
��+1与函数��
��
=
��(��)图像的交点
理科数学试题第 2 页（共 4 页）
为(x1，y1), (x2, y2), ⋯ (xm, ym),则∑��i=�� 1(�� + ��) =