第三节 等可能概型

.
解：用 A、B、C
表示相应的事件，则
(1) P ( A )
(2) P ( B )
C3 C7
3 3
3 3
C4 C7
( 3) P ( C )
C4C3 C7
3
2
1
例2
两封信随机地向标号为I、II、III、IV的4个
邮筒投寄，求：
（1）第二个邮筒恰好被投入1封信的概率； （2）前两个邮筒中各有1封信的概率。
m n
计算事件A的概率。
例1. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个 白球，3 个黑球。从中任取3个，计算： (1) 取出的3个球都是黑球的概率； (2)取出的 3个球都是白球的概率； (3) 取出的3个球中恰有两个白球的概率；
复习：
C
r n

n! r ! ( n r )!
, A
r n

n! ( n r )!
{( x , y , z ) | 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1}.
这是三维空间棱长为1的正方体，设A表示 “三个数不大于1”，则有：
A {( x , y , z ) | x y z 1}, A 是一个锥体 m ( A) m ( ) , 于是有 : 1 P ( A) 3 ( 1 1 1) 1 6
第一章
第三节
等可能概型
等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个 样本点被取到的可能性相等的随机试验类型， 这是一种最简单的概率类型。
一、古典概型 二、几何概率
三、小结
我们把具有以下两个特点的随机试验所对应 的概率模型称为古典概型： (1) 样本空间中的样本点的数量是有限 的，即试验的基本事件总数为有限个； (2) 每次试验中，各基本事件出现的可能 性完全相同。
2 111
.
3
3
0

C 6C 194 C 200
3
1
2
P ( A 2 ) P ( A3 )

C 194C 6 C 200
3
1
2

C 194C 6 C 200
3
0
3
( 3) P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A ) 1 0
C 194C 6 C 200
3
3
0
二、
几何概型
用计算机在[0，1]区间上任打出一个数x， 问x小于1/3的概率是多少？
( 2 ) 不放回抽样时 A 中样本点数 P ( A) 54 12 11
5 5 2(5 7 ) 12 12
0 . 6597
2
, 样本点总数
n P12 12 11 ,
k 5 4, 故 : 0 . 1515 , 76 12 11 0 . 6818
解：分别用A、B表示所求事件。
(1) P ( A )
(2)
C 2C 3 44
1
1
P(B)
A2
2
4 4
例1.3.3 一袋中有7个白球和5个红球， 从中摸取两次，每次一球。设A表示“两 次都取到红球”，B表示“至少一次取到 红球”，请在（1）有放回抽样，（2）不 放回抽样条件下求P(A)，P(B). 解：显然有12个球
定理1.3.1 设古典概型中，共有n个基本事件，事件A 包含其中m个基本事件，则定义事件A的概率为
P (A ) m n

A所 包 含 的 基 本 事 件 数 试验的基本事件总数
A中 的 样 本 点 数 中的样本点数 。

一般古典概型的概率计算步骤为： (1) 判断试验为古典试验，即基本事件总数 为有限个，且各基本事件出现的可能性相同。 (2) 计算样本空间中样本点的个数n； (3) 计算事件A包含样本点的个数m； (4) 由p(A)=
4 1 9 13 13 13 C C C C C C ， 从而得到 ： 4 4 48 39 26 13
P(B)
C 4 C 4 C 48C 39 C 26 C 13 C 52 C 39 C 26 C 13
13 13 13 13
4
1
9
13
13
13
0 .0 1 0 6
例7. 一批产品共200个，其中有6个废品。从中 任取3个产品，求：
(1) 最多只有1 个废品的概率； (2) 至少有2个是废品的概率； (3) 其中有废品的概率。
解: Ai表示取出的3个产品中有i个废品， i=0,1,2,3, 则
(1) P ห้องสมุดไป่ตู้ A0 A1 ) P ( A0 ) P ( A1 )

( 2 ) P ( A 2 A3 )
C 194C 6 C 200
3 1 1 1 1 1
P ( A)
750 1470
0 . 5102
例1.3.6.桥牌比赛中，四人从52张牌中各分得 13张，求四张A集中在一人手中的概率。
解 : 把 52 张牌平分成四组 设所求事件为
， 样本点数为 C
13 13 13 13 C C C , 52 39 26 13
B ， 则 B 的样本点树为
随机地在单位圆内任掷一点M, 问M到原点 的距离小于1/2的概率是多少？
定义1.3.1(P13): 设样本空间 是欧氏空间 m ( ) 一个区域， 以 的 表 示 的度量（一维为 长度，二维为面积，三维为体积等）。 A m ( A) 是 中一个可以度量的子集，定义 P ( A) m ( ) 为事件A发生的概率，它叫几何概率。
P (B ) 1 P (B ) 1
例1.3.4 把0,1,…,7共8个数随机的排成 一个四位数，问它正好是一个偶数的概率是 多少？
解：由于 0 不能排在第一位，故样 P8 P7 1470 ;
4 3
本点总数为：
设 A 为所求事件，则 N
A
P7 C 1 C 3 C 6 C 6 C 5 750 , 故
{( x, y ) | 0 x 24, 0 y 2 4}
A {( x, y ) | x y 2 或 y x 1} 1 1 2 2 23 22 m ( A) 2 P ( A) 2 0 .8 7 9 3 m ( ) 24 24
例1.3.11.从区间[0,1]中任取三个随机数，求三数 和不大于1的概率。 解：设x,y,z分别表此三数，则易知样本空间为：
（1）有放回抽样，样本点总数 n=1212=144，A中样本点数k = 55,于是
P ( A) 55 12 12 0 . 1736
又设C表示“恰有一次取到红球”， 则 A C , 且 A 与 C 不相容 , 故 : B
P ( B ) P ( A ) P (C )
例1.3.9：某电台每到整点均报时，某人早上 醒来后打开收音机，求他等待的时间不超过 10分钟就能听到电台报时的概率。
P=1/6
例1.3.10：某货运码头只能容纳一船卸货，而甲、乙 两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。 设甲、乙 两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都 不需等待码头空出的概率。