2020-2021学年人教A版数学必修2习题：第四章 圆与方程 单元质量评估
2020-2021学年人教A版高中数学必修2章末测评：第4章圆与方程
章末综合测评(四)圆与方程(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是() A．243B．221C．9 D. 86D[由空间直角坐标系中两点间的距离公式得：|AB|＝（－3－2）2＋（4＋1）2＋（0－6）2＝86.]2．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是()A. k>2B. －3<k<2C. k<－3或k>2D. 以上都不对C[由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2.] 3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[由题意知点M在圆O外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆O相交．]4．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切B[圆O1(1，0)，r1＝1，圆O2(0，2)，r2＝2，|O1O2|＝（1－0）2＋（0－2）2＝5＜1＋2，且5＞2－1，故两圆相交．]5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()A．13 B．14 C．2 3 D．－13A[因为点B是A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，所以B点的坐标是(0，2，3)，所以|OB|＝13.]6．关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1，2，3)，有下列说法：①点P到坐标原点的距离为13；②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32； ③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)；⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1，2，－3).其中正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5A [点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．]7．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [圆心(3，3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．]8．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( )A ． 2B ．2C ．1D ．3B [依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos 45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.] 9．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 D [如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2，4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512，当直线l 过点(－2，1)时，k ＝34.因此，k 的取值范围是512<k ≤34.]10．已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.－12 B ．1 C ．2 D ．12C [因为点P (2，2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1，0)与点P (2，2)的连线与过点P (2，2)的切线垂直．因为圆心(1，0)与点P (2，2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2，2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]11．实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0，则y x 的最大值为( )A. 3 2B. 3＋2 2C. 2＋ 2D. 6B [设y x ＝k ，则y ＝kx ，代入x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0得(1＋k 2)x 2－6x －6kx ＋12＝0，即(1＋k 2)x 2－(6＋6k )x ＋12＝0. ∴Δ＝[－(6＋6k )]2－4×12×(1＋k 2)≥0，∴3－22≤k ≤3＋22，∴y x 的最大值为3＋2 2.]12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )A ．1B ．2C ．0D ．－1C [如图，由题意可知平行四边形OAMB 为菱形， 又∵OA ＝OM ，∴△AOM 为正三角形．又OA ＝2，∴OC ＝1，且OC ⊥AB .∴1k 2＋1＝1，∴k ＝0.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a ，0，c )，C (0，b ，0)，则点B 1的坐标为________．(a ，b ，c ) [由题图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c ).]14．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 [由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝（2－0）2＋（－3＋2）2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.]15．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．2 [如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.]16．已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．－2 5 [由条件可知圆方程可写成x 2＋(y －m )2＝r 2.∵切点为(－2，－1)，∴⎩⎨⎧（－2）2＋（－1－m ）2＝r 2，m ＋10＋2×2＝－1，解方程组得m＝－2，r＝ 5.]三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．[解](1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d＝|1－1＋m|12＋（－1）2＝|m|2＝2，m＝±2 2.即m＝±22时，直线l与圆相切．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．[解]如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).由C为线段O′A的中点，得C点坐标为(1，0，1)，设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|＝（0－1）2＋（2－0）2＋（z－1）2＝（z－1）2＋5，故当z＝1时，|EC|取得最小值为5，此时E(0，2，1)为线段BB′的中点．19．(本小题满分12分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.[解] 线段AB 的中点为(1，3)， k AB ＝2－43－（－1）＝－12， ∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0，1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为（0＋1）2＋（1－4）2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.20．(本小题满分12分)已知点P (x ，y )满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，求：(1)y x 的最大值和最小值；(2)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 将x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0配方得(x －3)2＋(y －2)2＝1，它表示以C (3，2)为圆心，半径r ＝1的圆．(1)设y x ＝k 得y ＝kx ，所以k 表示过原点的直线的斜率．当直线y ＝kx 为圆C 的切线时，y x 取得最值，所以|3k －2|1＋k 2＝1，解得k ＝3±34. 故y x 的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为圆C 上的点到原点的距离，如图所示，连接OC 并延长交圆于A ，B 两点，圆心C (3，2)与原点O 的距离是|OC |＝13.∴|OA |＝13－1，|OB |＝13＋1.∴u 2max ＝|OB |2＝(13＋1)2＝14＋213.u 2min ＝|OA |2＝(13－1)2＝14－213.故x 2＋y 2的最大值为14＋213，最小值为14－213.21．(本小题满分12分)有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地的距离是10 km ，顾客选A 或B 地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．[解] 如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，A ，B 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－5，0)，B (5，0).设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/km ，B 地的运费为a 元/km ，当P 地居民到A ，B 两地购物的总费用相等时，价格＋x A 地运费＝价格＋x B 地运费．∴3a （x ＋5）2＋y 2＝a （x －5）2＋y 2.∵a ＞0，∴3（x ＋5）2＋y 2＝（x －5）2＋y 2，两边平方，得9(x ＋5)2＋9y 2＝(x －5)2＋y 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542. ∴以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆是这两地购货的分界线． 圆C 内的居民从A 地购货便宜；圆C 外的居民从B 地购货便宜；圆C 上的居民从AB 两地购货的总费用相等，因此，可随意从AB 两地之一购货.22．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，切点为A .(1)当切线P A 的长度为23时，求点P 的坐标；(2)若△P AM 的外接圆为圆N ，试问：当点P 运动时，圆N 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．[解] (1)由题可知圆M 的圆心为M (0，4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°.在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋（23）2＝4. 又|MP |＝（0－2b ）2＋（4－b ）2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. (2)设点P 的坐标为(2b ，b ).因为∠MAP ＝90°，所以△P AM 的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆，且MP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫b ，b ＋42， 所以圆N 的方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋（b －4）24， 即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎨⎧2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以圆N 过定点(0，4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
高中数学必修二第四章《圆与方程》单元测试卷及答案
高中数学必修二第四章《圆与方程》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ） A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵圆的标准方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切， ∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b -==，解得：2b =或12b =．故选C ．2．【答案】A【解析】设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10． ∴A ′(－3,4，－10)．故选A ． 3．【答案】A【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP＝－11－42＋2＝43．∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0． 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0． 故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．故选A ．4．【答案】A【解析】设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．故选A ． 5．【答案】B【解析】由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，故选B ． 6．【答案】B【解析】圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，故选B ．7．【答案】B【解析】由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．故选A ． 9．【答案】C【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为 30－105．故选C ． 10．【答案】C【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．故选C ． 11．【答案】D【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，由数形结合知，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(－1，－2，3) 14．【答案】－2【解析】两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2． 15．【答案】x ＋y －3＝0，x －y －3＝0【解析】点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】如图，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．【解析】l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)． 线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝()()2221113--+-+=＝3．所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．【答案】E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 【解析】如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2,z )， ∴|EC |()()()22201201z -+-+-()215z -+故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．【答案】x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝⎛⎭⎫－72，152，12130．【解析】∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)， C (－3,1)，∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得()2222221440222200330D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪+++=⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．【答案】（1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27． 【解析】（1）证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |()()222334-+-＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为()2232-27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．【解析】（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)， ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()222002-++22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．【答案】（1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝⎛⎭⎫－310，35． 【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35． 单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ）A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ） A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝012．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是（ ） A ．[－22，22] B ．(－22，22) C ．[－2,2]D ．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标是__________________.14．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】将圆方程化为标准方程得()221(2)5x y ++-=，∴圆心坐标为()1,2-． 故选B ． 2．【答案】B【解析】圆O 1(1,0)，r 1＝1，圆O 2(0,2)，r 2＝2，|O 1O 2|()()221002-+-5＜1＋2，且5＞2－1，故两圆相交．故选B ． 3．【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵切线的方程是y ＝－(x －a )，即x ＋y －a ＝0，∴|a |2＝2，a ＝±2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由空间两点间的距离公式得()()()22221324x -+-+-＝26，解得x ＝6或x ＝－2，故选D ． 6．【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， 所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，故选C ． 7．【答案】B【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝2312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3． 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－3，故选A ．9．【答案】B【解析】|PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4，故选B ． 10．【答案】B【解析】△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线x ＝1上，设圆心 D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝()213b +-⇒b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝222213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝213，故选B ．11．【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2， 故选A ． 12．【答案】C【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(0，－76，0) 【解析】设点P (0，b,0)， ()()()22210230b -+-+-()()()22220140b -+--+-，解得b ＝－76．14．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 1.又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0． 15．【答案】22【解析】点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l 垂直于过点A (1，2)和圆心M (2,0)的直线．∴k ＝－1k AM ＝－2－10－2＝22．16．【答案】(x －1)2＋y 2＝2. 【解析】由题意得：半径等于|m ＋1|m 2＋1＝()2211m m ++＝2211mm ++≤2， 所以所求圆为(x －1)2－y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】x 2＋(y －1)2＝10．【解析】∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1，即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝()22141+-＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10． 18．【答案】64a ． 【解析】以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )， 因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |222324242a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝64a .19．【答案】（1）见解析；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 【解析】（1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3， 故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．（2）解：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为|PQ |＝23，所以|CM |＝4－3＝1，则由|CM |＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， 所以直线l ：4x －3y ＋4＝0，故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 20．【答案】见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时． 21．【答案】（1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1．【解析】（1）由题意可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的圆心为(3,1) 3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.（2）由()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0 ②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．【答案】（1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．【解析】（1）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.（2）因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．。
人教A版高中数学必修二第4章《圆与方程》单元测试题(1)(含解析)
圆与方程一、选择题 1 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点， 则AB 地垂直平分线地方程是（ ）A. 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+=2 方程211(1)x y -=--表示地曲线是（ ）A 一个圆B 两个半圆C 两个圆D 半圆3 已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ， 当直线l 被C 截得地弦长为32时，则a =（ ） A 2 B 22-C 12-D 12+4 圆1)1(22=+-y x 地圆心到直线x y 33=地距离是（ ）A 21 B 23 C 1 D 35 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得地劣弧所对地圆心角为（ ）A 030B 045 C 060 D 090 6 圆122=+y x 上地点到直线02543=-+y x 地距离地最小值是（ ）A 6B 4C 5D 17 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=地位置关系是（ ）A 相离B 相交C 内切D 外切二、填空题 1 若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 地坐标为 2 若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 地取值范围是___________；若有一个交点，则b 地取值范围是________；若有两个交点，则b 地取值范围是_______； ３ 把圆地参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________ ４ 已知圆C 地方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -地直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 地方程是________________ ５ 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x y 地最大值是________6 过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆地两条切线，切点为12,T T ， 则直线12T T 地方程为________ 三、解答题1 求由曲线22x y x y +=+围成地图形地面积2 设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 地最小值3 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上地圆地方程4 平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，点P 在圆周()()44322=-+-y x 上，求使22BP AP +取最小值时点P 地坐标数学2（必修） 第四章 圆和方程参考答案一、选择题 1 C 由平面几何知识知AB 地垂直平分线就是连心线2 B 对x 分类讨论得两种情况3 C 231,212a d a -+===4 A 3111332d =+=5 C 直线地倾斜角为0120，得等边三角形6 B 514d r -=-=7 B 43543-<<+二、填空题1 (0,0,3) 设(0,0,),,P z PA PB =则2214(1)44(2),3z z z ++-=++-=2 [1,2]-；[){}1,12-U ；)1,2⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆 3 22(1)(3)4x y -++= 4 30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+5 3 设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=，2164(1)0,33k k ∆=-+≥-≤≤另可考虑斜率地几何意义来做 6 220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 地方程为11(2)(2)4x x y y +--=2AT 地方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --=24(2)4,220x y x y ∴--=-+=三、解答题1. 解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示地图形占整个图形地14而22111()()222x y -+-=，表示地图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 2. 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=可看作点(3,5)A -和(2,15)B到直线10,x y -+=上地点地距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=对称地点'(4,2)A -，则'min d A B == 3 解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 地垂直平分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-= 4 解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB +=+，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min 523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =⨯==⨯=。
高中数学人教A版必修二第四章圆与方程学业分层测评含答案
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－322＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
2020-2021学年人教A版数学必修2习题：第四章 圆与方程 单元质量评估
第四章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( C )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A (0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B (3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB |＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．2．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( B ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.3．以点A (1，－2)，B (3,4)为直径端点的圆的方程是( D )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB |＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.4．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( D )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，其斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x －32，即x －y －3＝0. 5．已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( A )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解析：因为a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，ab ＝－2，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋22<8，由此可知，点P (a ，b )在圆内．故选A.6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( C )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．7．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.又k <0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交，故选A. 8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( A )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.9．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( A )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析：当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，|OM |＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线l 上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线l 的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D. 11．从点A (－2,1)发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( B ) A.43 B.83 C ．2 D ．4 解析：圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4，圆心为M (2,3)，半径r ＝2.又点A (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由反射光线正好与圆M 相切，得|2k －3＋2k －1|k 2＋1＝2，即3k 2－8k ＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.12．如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接P A ，PB ，则△P AB 的面积的最大值是( C )A ．8B ．12 C.212 D.172解析：易得A (4,0)，B (0，－3)，即|OA |＝4，|OB |＝3，所以|AB |＝5.根据题意分析，可知要使△P AB 的面积最大，则需使点P 到直线AB 的距离最远，所以点P 在过点C 的AB 的垂线上．因为直线AB 的方程可化为3x－4y －12＝0，所以点C 到直线AB 的距离为|－4－12|(－4)2＋32＝165，所以点P 到直线AB 的距离为1＋165＝215，所以△P AB 的面积的最大值为12×5×215＝212，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为4π.解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.15．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝39.解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39.16．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝4.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)，且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0.如图，作MC ⊥AB 于点C .在Rt △MBC 中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，圆心M (1,1)到直线l 的距离为d ＝|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34. 因此，所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为x ＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.18．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，切点为A .当切线P A 的长度为23时，求点P 的坐标．解：由题可知圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°.在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋(23)2＝4.又|MP |＝(0－2b )2＋(4－b )2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85. 所以点P 的坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. 19．(12分)已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12为圆内一点，求过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2.①又A (1，－2)，B (－1,0)两点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D －2E ＋F ＋5＝0，－D ＋F ＋1＝0.② 联立①②，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，于是所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0.(2)设直线l 的斜率为k l .由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心M (1,0)．当直线l 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时直线MP 的斜率k MP ＝12－02－1＝12， 所以k l ＝－1k MP＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20．(12分)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程，并求此轨迹被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长．解：(1)依题意，可知在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 分两种情况： ①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以|－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0；②直线l 不过原点，可设l 的方程为x a ＋y a ＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0， 所以|－2－a |2＝2，解得a ＝0(舍去)或a ＝－4，即直线l 的方程为x ＋y ＋4＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0或x ＋y ＋4＝0.(2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，|PM |2＝|PC |2－|CM |2，得x 2＋y 2＝(x ＋2)2＋y 2－2，化简得点P 的轨迹方程为x ＝－12.于是直线x ＝－12被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 21．(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．解：(1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，其圆心M (6,7)，半径为5.由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)如图，因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2020-2021学年高中数学人教A版 必修2第四章圆与方程测试卷(一)-学生用卷
2020-2021学年必修2第四章测试卷圆与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线3410x y 与圆2220x y y 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定2．若圆心坐标为(2,1)-的圆，被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)4x y -+-= B ．22(2)(1)4x y ++-= C ．22(2)(1)9x y ++-=D ．22(2)(1)9x y -+-=3．圆()()221:111C x y -+-=与圆()()222:2536C x y ++-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切4．已知圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，则圆的半径为（ ）A B ．2C ．D ．45．已知直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，则a 的值是（ ）A ．1B ．1±C D ．6．方程(1)210()a x y a a --++=∈R 所表示的直线与圆22(1)25x y ++=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定7．在坐标平面内，与点(1,2)A -距离为2，且与点(5,1)B 距离为1的直线共有（ ）条． A ．4B ．3C ．2D ．18．已知圆()221:1C x a y -+=和2222:240C x y by b +-+-=恰好有三条公切线，则的最小值（ ）A ．1+B ．2C ．2D ．49．已知P ，Q 分别是直线:20l x y --=和圆22:1C x y +=上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则||||PA PQ +的最小值为（ ）AB ．2C 1-D 1-10．当曲线y =与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A．3(0,)4B ．53,124C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3(,)4+∞11．过直线0x y +=上一点P 做圆22(1)(5)2x y ++-=的两条切线1l ，2l ，切点为A 、B ，当直线1l ，2l 关于直线y x =-对称时，APB ∠=（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．已知半圆22:1(0)C x y y +=≥，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上（不与B 重合），纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使π3BPQ ∠=，则t 的取值范围是（ ）A ．[,0)(0,3]3-B ．23[(0,]3C ．3[(0,]D ．23[(0,]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知221:(1)(3)25C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于点(2,1)对称，则圆2C 的方程为 ．14．已知圆22:2410C x y x y +--+=内有一点(2,1)P 经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,)A a ，(3,4)B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是 ．16．已知(0,0)O ，(2,2)A -，点M 是圆22(3)(1)2x y -+-=上的动点，则OAM △面积的最大值为 ．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知点(4,2)A 和(0,2)B ． （1）求直线AB 的斜率和AB 的中点M 的坐标； （2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在直线23x y上，求圆C 的方程．18．（12分）已知过原点O 的动直线l 与圆22:(1)4C x y ++=交于A ，B 两点．若||AB =l 的方程．19．（12分）已知动点M 到点(2,0)A -与点(1,0)B 的距离之比等于2，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,4)P -作曲线C 的切线，求切线方程．20．（12分）已知直线:320l x y --=，圆22:(4)1M x y +-=，L 表示函数2y x =的图象： （1）写出圆M 的圆心坐标和半径； （2）写出圆心M 到直线l 的距离；（3）若点P 在圆M 上，点Q 在L 上，求||PQ 的最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系内，已知点(1,0)A ，(1,0)B -，圆C 的方程为2266140x y x y +--+=，点P 为圆上的动点．（1）求过点A 的圆C 的切线方程；（2）求22||||AP BP +的最大值及此时对应的点P 的坐标．22．（12分）设圆221:(3)(2)4C xy ，圆222:(5)(4)25C xy．（1）判断圆1C 与圆2C 的位置关系；（2）点A 、B 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为直线y x 上的动点，求||||PA PB 的最小值．2020-2021学年必修2第四章测试卷圆与方程（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】由题意可知，圆2220x y y的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆心(0,1)到直线3410x y 的距离为|14|15，所以直线3410x y 与圆2220x y y的位置关系为相切．2．【答案】C【解析】由题，设圆的半径为r ，圆心到直线距离为d ，则d ==，所以弦长为2=，则29r =， 所以圆的方程为22(2)(1)9x y ++-=． 3．【答案】D【解析】圆1C 的圆心()1,1，半径11r =；圆2C 的圆心()2,5-，半径26r =，∴125C C ==，∴1221C C r r =-，∴两圆内切．4．【答案】A【解析】由题意知圆心坐标为(2,)a a --=1a =-，5．【答案】D【解析】因为直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，所以圆心到直线的距离1d ==，所以23a =，a =6．【答案】C【解析】由题，直线为(1)210()a x y a a --++=∈R ，即(2)10a x x y +--+=，当2x =-时，3y =，即直线恒过(2,3)-，因为22(21)31025-++=<，所以(2,3)-在圆内，则过圆内一点的直线一定与圆相交． 7．【答案】A【解析】与点(1,2)A -距离为2，且与点(5,1)B 距离为1的直线， 即为分别以,A B 为圆心，以2,1为半径的圆的公切线，设圆22:(1)(2)4A x y -++=，圆22:(5)(1)1B x y -+-=，则圆A 的半径2A r =，圆B 的半径1B r =，53A B AB r r ==>+=，即两圆外离，故他们的公切线有4条． 8．【答案】B【解析】因为圆1C 与圆2C 有三条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，因为1(,0)C a ，11r =；2()0,C b ，22r =3=，所以229a b +=， 所以(),a b 的轨迹是圆心在原点、半径为3的圆，表示(),a b 与()3,4的距离，所以min 3532=-=．9．【答案】C【解析】圆22:1C x y +=的圆心(0,0)O ，半径1r =， 设(1,0)A 关于:20l x y --=的对称点为(,)B a b ，则1202211a bb a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即(2,1)B -，连接BO ，交直线:20l x y --=为点P ， 则||||PA PQ +的最小值为||1BO r -=．10．【答案】C【解析】如图，曲线y =()0,0O 为圆心，以2为半径的圆的y 轴下半部分，2,0A -（），2,0B （），直线240kx y k-+-=过定点2,4D --（），故40122BD k --==--．若直线240kx y k -+-=与圆相切时，圆心0,0O （）到直线的距离22421k d k -==+，解得34k =．结合图形，当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时， 实数k 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦． 11．【答案】C【解析】显然圆心(1,5)-不在直线y x =-上，由对称性可知，只有直线y x =-上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y x =-， 从这点作切线才能关于直线y x =-对称，∴该点与圆心连线所在的直线方程为51y x -=+，即6y x =+， 与y x =-联立，可求出该点坐标为(3,3)-，∴该点到圆心的距离为22(13)(53)22-++-=， 由切线长，半径以及该点与圆心连线构成直角三角形， 又知圆的半径为2，∴两切线夹角的一半的正弦值为21222=， ∴60APB ∠=︒，故选C ． 12．【答案】A【解析】根据题意作出图象，当0t >时，设PT 与半圆相切于点T ，如图所示，12BPO BPT ∠=∠，若存在点Q 使得π3BPQ ∠=，则有21sin 21BO BPO PO t ∠==≥+，解得30t ≥>； 当0t <时，连结PA ，若存在点Q 使得π3BPQ ∠=， 则有2tan 3AB BPA BP t ∠==≥，解得230t >≥-， 综上所述，t 的取值范围为23[,0)(0,3]-．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】22(5)(1)25x y -++=【解析】由圆221:(1)(3)25C x y ++-=，可得1(1,3)C -，设2(,)C x y ，因为圆2C 与圆1C 关于点(2,1)对称，所以2C 与1C 关于点(2,1)对称，可得12523112xx y y -+⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， 所以圆2C 的半径为5，圆心为2(5,1)C -， 圆2C 的方程为22(5)(1)25x y -++=． 14．【答案】1y x =-【解析】圆22:(1)(2)4C x y -+-=，弦AB 被P 平分，故PC AB ⊥， 由(2,1)P ，(1,2)C ，得1PC l k k ⋅=-，可得1l k =， 所以直线方程为1y x =-．15．【答案】55(,)33-【解析】AB 的斜率44303a a k +-==-，2222||(30)(4)345AB a a =-++-=+=，设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴11||5522S AB h h ==⨯=， 即2h =，直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离22|3|54(3)a d ==+-， 应该满足321d R h <-=-=，即|3|15a <， 得|3|5a <，得5533a -<<．16．【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心(3,1)C ，半径2r =22222OA =+=直线OA 的方程为0x y +=，则OAM △边OA 上的高h 就是点M 到直线OA 的距离， 圆心(3,1)C 到直线OA 的距离为222d ==， 可得圆22(3)(1)2x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max 32h d r =+= 故OAM △面积的最大值max 112232622S OA h =⋅=⨯=．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）1ABk ，(2,0)M ；（2）225174()()339xy ． 【解析】（1）由已知可得2(2)140ABk ，4022Mx ，2202My ，∴AB 的中点M 的坐标为(2,0)．（2）∵圆C 经过A ，B 两点，∴圆心C 在线段AB 中垂线上， 由（1）可知1AB k ，则线段AB 中垂线的斜率1k，且过点(2,0)M ，则其方程为2y x ， 又圆心在直线23xy上，联立两直线方程可得223y x xy，解得圆心坐标为51(,)33C ， 又743r BC， ∴圆C 的标准方程为225174()()339xy． 18．【答案】33y x =±． 【解析】设圆心C 到直线l 的距离为d ，则22||151||()4242AB d CA =-=-=， 当l 的斜率不存在时，1d =，不合题意；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx =22121k =+， 解得3k =故直线l 的方程为y x =． 19．【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）40x -=或3440x y ++=．【解析】（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，则|||MA MB ==2=，化简得22(2)4x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为22(2)4x y -+=． （2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为40x -=，圆心(2,0)C 到直线40x -=的距离等于2，此时直线40x -=与曲线C 相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，则切线方程为4(4)y k x +=-，即440kx y k ---=，2=，解得34k =-． 所以，切线方程为3440x y ++=，综上所述，切线方程为40x -=或3440x y ++=．20．【答案】（1）(0,4)M ，1R =；（2）3；（31． 【解析】（1）∵圆22:(4)1M x y +-=，∴圆M 的圆心坐标(0,4)M ，半径1R =．（2）直线20l y --=，圆22:(4)1M x y +-=，∴圆心坐标(0,4)M ，∴圆心M 到直线l 的距离632d ===． （3）∵点Q 在L 上，L 表示函数2y x =的图象，∴设Q 的坐标为2(,)x x ，∵圆心坐标(0,4)M ，||QM ===≥，∴||||11PQ QM =-≥-，当且仅当P ，Q ，M 三点共线时等号成立，∴||PQ1-， 综上所述，||PQ1-． 21．【答案】（1）51250x y --=或1x =；（2）22max (||||)46AP BP +=+(3P +．【解析】（1）当k 存在时，设过点A 切线的方程为(1)y k x =-， ∵圆心坐标为(3,3)，半径2r =2=，解得512k =， ∴所求的切线方程为51250x y --=； 当k 不存在时方程1x =也满足，综上所述，所求的直线方程为51250x y --=或1x =． （2）设点(,)P x y ，则由两点之间的距离公式知22222||||2()22||2AP BP x y OP +=++=+，要22||||AP BP +取得最大值只要使2||OP 最大即可，又P为圆上的点，∴max (||)||22OP OC r =+==，∴222max (||||)22)246AP BP +=⨯+=+， 此时直线:OC y x =，由2266140y xx y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴点P的坐标为(3++． 22．【答案】（1）内含；（2）7．【解析】（1）由已知得：圆221:(3)(2)4C x y，其圆心1(3,2)C ，半径12r ，圆222:(5)(4)25C xy ，其圆心2(5,4)C ，半径25r ，于是2212||(53)(42)22C C ，又∵12||3r r ，∴1212||||C C r r ，∴圆1C 与圆2C 的位置关系为内含． （2）易得直线y x 与圆1C ，2C 都相离，对于直线y x 上的任一点P ，要使||||PA PB 取得最小值可转化为求121212||||||||7PC PC r r PC PC 的最小值，由平面几何的知识易知1C 关于直线y x 对称的点为1(2,3)C ，则有11||||PC PC ， 当1C 与P ，2C 共线时，12||||PC PC 取得最小值，即直线y x 上一点到两定点距离之和取得最小值为12||72C C∴min12min12min (||||)(||||7)(||||7)PA PB PC PC PC PC12||7727C C ．。
2020-2021学年高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.1.2 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆2x 2＋2y 2－4ax ＋12ay ＋16a 2＝0(a ＜0)的周长等于( )A ．22πaB ．－22πaC ．2πa 2D ．－2πa解析： 由已知得，圆的标准方程为(x －a )2＋(y ＋3a )2＝2a 2，∵a ＜0，∴半径r ＝－2a ， ∴圆的周长为－22πa .答案： B2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析： 由已知D 2＋E 2－4F ＞0，可知方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆．若圆关于y ＝x 对称，则知该圆的圆心在直线y ＝x 上，则必有D ＝E .答案： A3．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析： 由已知得圆心C (1，－3)，且圆心C 不在直线2x －y ＋1＝0,2x －y －1＝0,2x ＋y －1＝0上，而在直线2x ＋y ＋1＝0上，故该圆的一条直径所在直线的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案： C4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析： 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是。
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第四章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( C )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A (0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B (3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB |＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．2．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( B ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.3．以点A (1，－2)，B (3,4)为直径端点的圆的方程是( D )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB |＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.4．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( D )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，其斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x －32，即x －y －3＝0. 5．已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( A )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解析：因为a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，ab ＝－2，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋22<8，由此可知，点P (a ，b )在圆内．故选A.6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( C )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．7．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.又k <0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交，故选A. 8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( A )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.9．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( A )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析：当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，|OM |＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线l 上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线l 的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D. 11．从点A (－2,1)发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( B ) A.43 B.83 C ．2 D ．4 解析：圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4，圆心为M (2,3)，半径r ＝2.又点A (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由反射光线正好与圆M 相切，得|2k －3＋2k －1|k 2＋1＝2，即3k 2－8k ＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.12．如图，已知直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接P A ，PB ，则△P AB 的面积的最大值是( C )A ．8B ．12 C.212 D.172解析：易得A (4,0)，B (0，－3)，即|OA |＝4，|OB |＝3，所以|AB |＝5.根据题意分析，可知要使△P AB 的面积最大，则需使点P 到直线AB 的距离最远，所以点P 在过点C 的AB 的垂线上．因为直线AB 的方程可化为3x－4y －12＝0，所以点C 到直线AB 的距离为|－4－12|(－4)2＋32＝165，所以点P 到直线AB 的距离为1＋165＝215，所以△P AB 的面积的最大值为12×5×215＝212，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为4π.解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.15．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝39.解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39.16．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝4.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)，且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0.如图，作MC ⊥AB 于点C .在Rt △MBC 中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，圆心M (1,1)到直线l 的距离为d ＝|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34. 因此，所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为x ＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.18．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，切点为A .当切线P A 的长度为23时，求点P 的坐标．解：由题可知圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为P A 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°.在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋(23)2＝4.又|MP |＝(0－2b )2＋(4－b )2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85. 所以点P 的坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. 19．(12分)已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12为圆内一点，求过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2.①又A (1，－2)，B (－1,0)两点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D －2E ＋F ＋5＝0，－D ＋F ＋1＝0.② 联立①②，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，于是所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0.(2)设直线l 的斜率为k l .由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心M (1,0)．当直线l 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时直线MP 的斜率k MP ＝12－02－1＝12， 所以k l ＝－1k MP＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20．(12分)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程，并求此轨迹被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长．解：(1)依题意，可知在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 分两种情况： ①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以|－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0；②直线l 不过原点，可设l 的方程为x a ＋y a ＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0， 所以|－2－a |2＝2，解得a ＝0(舍去)或a ＝－4，即直线l 的方程为x ＋y ＋4＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0或x ＋y ＋4＝0.(2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，|PM |2＝|PC |2－|CM |2，得x 2＋y 2＝(x ＋2)2＋y 2－2，化简得点P 的轨迹方程为x ＝－12.于是直线x ＝－12被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 21．(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．解：(1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，其圆心M (6,7)，半径为5.由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)如图，因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。