矩阵方程AXB+CYD=E的双对称最小二乘解及其最佳逼近
矩阵方程AXB+CYD=E的中心对称最小二乘解及其最佳逼近
ｒ ｕ ｄｎ ｒｏ ｓｗｅ ｅ ｎ ｔｂ ａ ｅ ｎ ｏ ａ ｃ ｕ ｔ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｔ ｅ ｓ ｏ ｍ ｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｉｅ ｙ ｏ ｎ ｉｇ ｅ ｒ ｒ ｒ ｏ ｅ ｔｋ ｎ ｉｔ ｃ ｏ ｎ ． ｎ ｈ ｏ ｕ ｉｎ ｗｉ ｌａ ｔｎ ｒ ｃ ｕ ｄ ｂ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｈ ｃ ｏ ｓｎ ｐ ｃａ ｎ ｔ ｌｅ ｎ ｒ ｓ ｍ ｍｅ ｒｃ ｍａ ｒｘ Ｍ ｅ ｎ ｉ ｅ ｉｓｏ ｔｍａ ｐ ｒ ｘｍ ａｉｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ｔ ｈ ｈ ｏ ｉｇ ａ ｓ ｅ ｉｌｉ ｉ ａ ｅ ｔｏ ｙ ｉ ｔｉ ｔｉ． ａ ｔ ， ｔ ｐ ｉ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏｕ ｉ ｏ ｔ ｅ ｍ ｏ ｏ ｇｖ ｎ ｍ ａｒｘ ｃ ｕｄ ｂ ｂ ａｎ ｄ ｉｅ ｔｉ ｏ ｌ ｅｏ ｔ ｉｅ ．Ａ ｉｅ ｕ ｒｃ ｌ ｘ ｍｐ ｅｄ ｍｏ ｓｒ ｔｄ ｔ ａ ｈ ｓｉｅａ ｉｅａｇ ｒｔ ｍ ｓ ｇ ｖ ｎｎ ｍｅ ｉａ ａ ｌ ｅ ｎ ｔａｅ ｈ ｔ ｉ ｔｒ ｔ ｌｏ ｉ ｅ ｔ ｖ ｈ ｗａ
矩阵方程 Ａ Ｂ＋Ｃ Ｄ＝Ｅ的中心对称 Ｘ Ｙ 最小二乘解及其最佳逼近
刘 莉
（ 宁夏大学 数学计算机学院， 宁夏 银 川 ７０２） ５０１
摘 要：提 出一类求矩阵方程 Ａ Ｂ＋Ｃ Ｄ＝Ｅ 的中心对称最ｄ － 乘解的迭代 算法， Ｘ Ｙ ￣－ ： 并证 明迭代 算法的收敛性． 在不考
虑舍入误差时， 迭代算法能够在 有限步计 算后得到矩 阵方程 的中心对称最小二乘解； 选取特殊 的初始矩 阵时 ， 能够
得到矩阵方程的的极小 范数 中心对称最小二乘解．同时能够得到给定 矩阵的最佳逼近 中心 对称矩 阵． 数值 例子表 明， 这种方法是有效的．
关键词 ：中心对称矩阵；最小二乘解 ； 小范数解 ；最佳逼近 解 极
矩阵方程axb+cyd=e的双中心最小二乘问题
矩阵方程axb＋cyd=e的双中心最小二乘问题
双中心最小二乘问题指的是一类解释性统计分析方法，它主要使
用最小二乘法对离散变量的组合进行优化，以最大限度的拟合来解决axb＋cyd=e的方程组。
首先，axb＋cyd=e这种方程可以使用最小二乘来解决，这就需要计算出不同变量a、b、c、d、e之间的协方差，以获得经验期望值。
而axb＋cyd=e可以抽象为模型：Y=α+βX1+γX2+δX3+εX4，其中α、β、γ、δ、ε为系数，X1、X2、X3和X4为自变量，Y为因变量。
另一方面，axb＋cyd=e可以看成X1X2X3X4变量(这些变量是同一个解释变量系列)之间的双中心最小二乘回归模型，因此，有可能得到
更好的拟合结果。
这里，我们还要考虑各变量之间的交互作用，即试
图确定每个变量对最终结果的影响程度，X1X2X3X4这4个变量有可能
是相关变量或独立变量。
在实际应用中，双中心最小二乘法可以用来估计不确定因素在影
响结果中的加权重要性。
它可以用于特征筛选，也可以用于统计模型
的构建。
此外，由于它是一种解释性统计分析方法，因此也可以用于
数据预测和可视化等方面。
总之，双中心最小二乘法是一种实用的解释性统计分析方法，可
以帮助我们解决axb＋cyd=e的方程组等问题，并可以将其应用于数据
预测、特征筛选等多项场景中。
矩阵方程AXB+CXTD=E自反最佳逼近解的迭代算法
复合 最速下 降法的迭代算 法。不论矩 阵方程 Ａ Ｘ Ｂ＋Ｃ Ｘ Ｄ＝ 是 否相容 ， 对 于任 给 初 始 自反 （ 或 反 自反 ） 矩 阵 ， 此算 法都 可以计算 出该方程 自反 （ 或反 自反） 的最佳逼近 解 ｘ 。 最后 ， 通过 两个数值例 子验证 了算
法的可行性 。
矩 阵方 程 Ａ ＸＢ＋Ｃ ＸＴ Ｄ－ Ｅ 自反最 佳 逼 近 解 的 迭 代算 法
杨 家 稳
（ 滁 州 职 业技 术学 院 基础部 ， 安徽 滁 州 ２ ３ ９ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 为 了求 ｓ ｖ １ ｖ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ 矩 阵方 程 Ａ Ｘ Ｂ＋ｃ ｘ Ｄ＝ Ｅ 自反 （ 或 反 自反 ） 的最佳 逼近 解 ， 提 出 了一 种 利 用
Ｘ Ｒ
Ｉ Ｉ 淞＋ Ｃ Ｘ Ｄ — 层 ｌ ｌ ＝ ａ ｒ ｉ ｎ 。
，
（ １ ）
问题 ｌ Ｉ 设 问题 Ｉ 的解 集 合 为 Ｓ ，给 定 ｐ （ Ｐ ）， 求 ∈Ｓ ， 使 得
一
Ｉ ｌ ＝ ｌ ｌ — ｌ ｌ
（ ２ ）
对于矩阵方程 Ａ ＸＢ＋
０ 引 言
首 先介 绍 本 文 中 的符 号 。 Ｊ表示 单 位 矩 阵 ， 表示 矩 阵 Ａ 的转 置 。 Ｒ～” 表 示 ｍ× ／ ７ 阶实 矩 阵 的集 合 ， 对 于矩阵 Ａ ， Ｂ∈Ｒ～” ， 表 示
的Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ 积， ＜ Ａ， Ｂ＞ ＝ ｔ ｒ ａ ｃ ｅ （ Ｂ Ａ ） 表 示
杨家稳 ： 矩 阵方 程 Ａ ＸＢ＋Ｃ Ｘ Ｄ： Ｅ 自反 最 佳 逼 近 解 的迭 代 算 法
间 。对 于 映射 Ｔ： Ｈ－ － ＋ Ｈ ， 所 有 关 于 的不 动 点 的集合表 示 为 Ｆ ｉ ｘ （ Ｔ ） ： ＝ ｛ ∈ ｒ （ ｘ ） ＝ ｘ ｊ。 若 Ｐ ＝ Ｉ且 ｐ ＝ Ｐ， 则 称实 矩 阵 Ｐ是 反 射矩 阵 。若 ／ ４ ＝ Ｐ（ 或 Ａ＝ 一 Ｐ） ， 则 称 矩 阵 Ａ为 关 于 Ｐ 的 白反 （ 或反 自反 ） 矩阵 。 Ｖ表示 梯度算 子 ， 即
求一类矩阵方程组的最小二乘行对称解及其最佳逼近的迭代法
Ｈｕ Ｒｏ ｇ ｎ Ｚｈ ｎｇ Ｌ ｉ ａ ｅ
（ ｕ ａ ｎ ｅｓｙ Ｃ ａｇｈ ， １０ ２ Ｈ ｎ ｎＵ ｉ ｒ ｔ， ｈｎｓａ ４ ０ ８ ） ｖ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｓ ￣ ｒ
Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ｔ ｏｖ ｈ ａ ｔ ｑ ａ ｅ ｗ ｓ ｍｍｅ ｒ ｏｕ ｉｎ ｏ ｅｍａ － ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ａ ｌ ｏ ｔ ｍ ｏ ｓｒ ｃ ｅ ｏｓ ｌ ｅｔ ｅｌ ｓ ｕ ｒ ｓｒ ｙ ｉ ｓ ｅ ｓ ｏ ｔ ｃ ｓ ｌ ｔ ｆ ｒｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｔ
最 佳 逼 近 的 迭 代 法
胡 荣 张 磊
（ 南大学 ， 湖 长沙 ，１０ ２ ４０ ８ ）
摘 要 本 文构造 了求矩阵方程 组 ＝Ｂ，Ｃ ＝Ｄ的最小二 乘行对称 解及 其最佳逼 近的迭代 法， 究了遮 Ｘ 研
代序 列的性质 ， 明 了算法的收敛性。 证
关键 词 迭代 法 梯度 矩阵 行 对称 解
ｑ ａｉｎ Ｘ ＝ Ｂ．ＸＣ ＝ Ｄ ｎ ｔ ｏ ｔ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｏ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｅ ｉ ｒ ｔ ｅ ｓ ｑ ｅ ｃ ａ ｅ ｂ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓＡ ｏ ａ ｄ ｉ ｐ ｉ ｐ ｒ ｘｍａｉ ．Ｓ ｍｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｆｔ ｔ ａｉ ｅ ｕ ｎ ｅ ｈ ｖ ｅ ｎ ｄ － ｓ ｍａ ｏ ｅ ｈ ｅ ｖ ｉｄ ｒ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｓ ｏ ｎ ｔ ｒ ｓ ￣ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｖ ｎ ｔ ｄ ｈ ｓ ｂ ｅ ｈ ｗ ｏ ｐ ｅ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｒ ｐ ｒ ｅ ． ｈ ｈ ｏ ｉ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ａｌ ｏ ｔｍ Ｇｒ ｄｅ ｔｍａ ｒ Ｒ ｗ ｓ ｍｍｅｒ ｏ ｕｉ ｎ ｙ ｒｓ ｇｒ ｈ ｉ ａ ｉｎ ｔ ｘ ｉ ｏ ｙ ｔｉ ｓ ｌ ｔ ｃ ｏ
矩阵方程(ATXA,BTXB=(C,D)的反对称解及其最佳逼近
矩阵方程(ATXA,BTXB=(C,D)的反对称解及其最佳逼近彭娟;胡锡炎;邓远北
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2004(024)002
【摘要】本文利用矩阵对的标准相关分解,得到了矩阵方程(ATXB,BTXB)=(C,D)反对称解存在的充分必要条件及通解表达式,同时给出了解关于已知矩阵的最佳逼近.【总页数】4页(P74-77)
【作者】彭娟;胡锡炎;邓远北
【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院,长沙,410082;湖南大学数学与计量经济学院,长沙,410082;湖南大学数学与计量经济学院,长沙,410082
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.矩阵方程ATXA=B的D-对称解及其最佳逼近 [J], 赵远;王志军
2.矩阵方程ArXA=B的反中心对称解及其最佳逼近 [J], 巫晓宁;邓继恩
3.矩阵方程ATXA=B的对称正交反对称解及其最佳逼近 [J], 钱爱林;吴又胜
4.矩阵方程ATXA=B的对称正交反对称解及其最佳逼近 [J], 彭向阳;胡锡炎;王艾红
5.线性流形上矩阵方程BTXB=D的加权最小二乘对称解和解的最佳逼近 [J], 周立平
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的最小二乘解
的最小二乘解最小二乘解（Least squares solution）是一种线性方程组求解方法，它的目标是找到一个向量，使得这个向量和实际数据点间的误差平方和最小，因此也被称为“最小平方拟合”或者“最小误差平方和解”。
最小二乘解在多个领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、信号处理等。
一个线性方程组可以用矩阵和向量的乘积来表示，即 Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b都是n维列向量。
如果A的行向量线性无关（也就是说没有冗余的等式），则称A为列满秩。
如果A的行向量不满秩，则Ax = b可能没有解，也可能有无限个解。
如果A的列向量是满秩的，则称A为行满秩，那么Ax = b只有一个解。
如果A既不是行满秩也不是列满秩，则称A为奇异的（singular）。
当A的列向量不满秩时，我们通常无法找到一个x，使得Ax = b。
但是在很多情况下，我们希望找到一个最接近的x，使得Ax与b之间的误差尽量小。
这就是最小二乘解的目标。
我们定义误差向量e = Ax - b，我们希望找到一个x，使得e的范数（也就是长度）最小。
因此，我们需要解决以下最小化问题：$$\min_{x} ||Ax-b||^{2}$$其中，$||\cdot||$表示向量的范数。
上述问题是一个无约束的最小二乘问题。
它的解为：$$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$$这个解也被称为正规方程组（normal equations）的解。
正规方程组是一个n×n的矩阵，当A的列向量是满秩的时候，它是一个可逆矩阵，因此解存在且唯一。
但是如果A的列向量是线性相关的，那么正规方程组将不可逆，且解不唯一。
在这种情况下，我们需要使用其他的方法求解最小二乘解。
另一种求解最小二乘解的方法是QR分解（QR decomposition）。
QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = QR。
正交矩阵Q的每一列都是单位向量，因此Q的转置和逆相等。
求线性矩阵方程双对称最小二乘解的变形共轭梯度法
求线性矩阵方程双对称最小二乘解的变形共轭梯度法田小红;张凯院【摘要】本文基于求线性代数方程组的共轭梯度法的思想,通过特殊的变形与近似处理,建立了求一般线性矩阵方程的双对称最小二乘解的迭代算法,并证明了迭代算法的收敛性.不考虑舍入误差时,迭代算法能够在有限步计算之后得到矩阵方程的双对称最小二乘解;选取特殊的初始矩阵时,还能够求得矩阵方程的极小范数双对称最小二乘解.同时,也能够给出指定矩阵的最佳逼近双对称矩阵.算例表明,迭代算法是有效的.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】6页(P827-832)【关键词】双对称矩阵;最小二乘解;极小范数解;迭代算法;最佳逼近【作者】田小红;张凯院【作者单位】西北工业大学应用数学系,西安,710072;西北工业大学应用数学系,西安,710072【正文语种】中文【中图分类】O241.61 引言矩阵方程特殊解的计算问题在电学、结构动力学、振动理论、自动控制理论等领域都有重要应用。
文献[1-6]建立了求矩阵方程AXB=C或者AXB+CXD=F某些特殊解的迭代方法。
本文建立求一般线性矩阵方程双对称最小二乘解的变形共轭梯度法(MCG算法)。
Rm×n表示m×n实矩阵集合，SRn×n表示n阶实对称矩阵集合，A⊗B表示矩阵A与B的Kronecker积，定义实矩阵A与B的内积为[A,B]=trace(ATB)，由此导出矩阵的Frobenius范示将矩阵A按行拉直构成的列向量，e表示单位矩阵Iin的第i列。
记定义1 若矩阵X∈Rn×n的元素满足则称X为双对称矩阵。
全体n阶双对称矩阵的集合记为BSRn×n。
对于一般的线性矩阵方程研究下面两个问题：问题1问题2 给定,SE表示问题1的解集合，求∈SE使得2 问题1的等价转化引理1 矩阵充要条件引理2 若矩阵为了讨论方便引进记号定理1 求解问题1等价于求矩阵方程的双对称解，而且该矩阵方程一定有双对称解。
矩阵方程组AX=B,CXD=E的广义自反解及其最佳逼近
在 本文 中我 们用 Ｃ 表示所 有 ｍ ＸＪ复 矩 阵集 合 ， 表 示 所有 ｍ 维 向量 集 合 ， Ｃ 表示 所 有 ｍ Ｘｌ 一 ｌ ｃ Ｕ ～ Ｊ 酉矩 阵集合 ， ， 表示 ｎ阶单位 阵 ， 表 示 Ａ的共 扼转 置 ， Ａ 对于 Ａ， Ｂ∈Ｃ ， 我们 定 义 内积 （ ）＝ｔ Ａ） Ａ， ｒ （ ，
， ， ０ 、Ｉ Ｐ 、
【 Ｊ） ０ 。
同理 ， 如下 分解 ： Ｓ有
收 稿 日期 ：０ ００ — ２ １ －８３ ０
作者简介 ： 邓符花 （９ ３） 女 ， １８ 一 ， 山西朔州人 ， 硕士 ， 主要从事数值代数及应 用软件方 面研究。
第ｌ Ｏ期
邓符花 ， ： 阵方 程组 Ａ Ｂ，Ｘ 等 矩 ＝ Ｃ Ｄ＝Ｅ的广义 自反解及其最佳 逼近
矩阵方 程在 科学 研究 与工 程技术 中有 着广泛 的应 用 ， 此矩 阵方 程 的求 解 具 有 重要 的理论 意 义 与 实用 因
价 值 。多年 以来许 多 学者一 直致 力 于线 性 矩 阵方 程 的研 究 ， 取 得 了丰 硕 的 成果 ， 与 Ｐ ｎ 文 献 ［ ］ 并 熊 ｅｇ在 １ 与 ［］ ２ 中通过 广义 奇 异值 分解 得 到矩 阵 方程 Ａ ＝ 和 Ａ Ｘ ＝Ｃ 的 自反 解 ， 献 ［ ］ Ｂ Ｂ 文 ３ 分别 讨论 了矩 阵方 程 Ａ Ｂ＝ 的对称 反 自反解及 其最 佳逼 近 的迭代解 法 ， Ｘ Ｃ 中心对 称解 及其 最佳 逼 近问题 ， 正定 解通 过 迭代 法 得到
方程 组 Ａ Ｂ＝Ｅ， Ｙ ＝Ｆ的广 义 中心对 称 解 ， 利 用广 义 自反矩 阵 的性 质和 广 义 逆得 到 了方程 组 Ａ ＝Ｂ， Ｙ ＣＤ Ｘ Ｄ的广 义 自反解 ， ｕ ｎ通过 广义 奇异值 分解 得 出方程 Ａ Ｂ＝Ｄ有 广 义 自反 解 的弃 要 条件 及 一般 解 的表 Ｃ： Ｙａ Ｘ 达式 ， ｉ 过矩 阵分解 和 广义逆 得 到在 约 束 条件 ＝ｓ 下 方程 组 Ａ ＝ Ｘ Ｑｕ通 Ｂ， Ｃ＝Ｄ 的解 。然 而 关 于 矩 阵 方 程 Ａ ： Ｃ Ｄ ＝ 的广义 自反解 目前 尚没有 研究 。本 文 中我们 将通 过矩 阵分解 来研 究 这一 问题 。 Ｂ， Ｘ Ｅ 显然左 右反 特征 值 问题 Ａ Ａ ， ： ｙ （ ＝１ … ， ； ｘ ＝ ｙ ｆ ｉ ， ｈ ＝１ … ，） 矩 阵 方 程 Ａ ＝ Ｃ Ｄ ＝ 的特 ， ｆ是 Ｂ， Ｘ 殊情 况 ， 因此 ， 取特 殊 的 Ａ， Ｃ Ｄ， 左 右反 特征值 问题 的广 义 自反解 可 以相应得 出。 若 Ｂ， ， Ｅ，
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ｌ Ｉ 爻一 Ｉ ＋Ｉ Ｉ — ｌ ｌ ＝ ｌ
（
癯 ｌ Ｊ ｌ ｘ一 Ｉ ｌ ＋ｌ Ｉ ｙ 一 ｌ ｌ ｝ ．
１ 求解 问题 ｌ的 迭 代 算 法
引理 １ 矩 阵 Ｘ ∈ＢＳ Ｒ 的充 要条 件是 Ｘ ＝ＸＴ＝Ｉ ｓ ｘ ｓ ．
将矩 阵方 程组
ｆ ＡｘＢ ＋ Ｃ ＝ Ｅ，
ｌ Ｂ
＋ Ｄ ｙ ｃ Ｔ ＝ Ｅ ，
＝Ｅ ，
…
ｌ Ａ Ｓ ｘ ｓ Ｂ ＋Ｃ ｓ Ｙ ｓ Ｄ ＝Ｅ，
【 Ｂ Ｓ Ｘ Ｓ Ａ ＋Ｄ ｓ ｙ ｓ
第３ ５卷第 ６期 ２ ０ １ ４年 ｌ ２月
宁夏师范学院学报 （ 自然 科 学 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎ ｉ ｎ ｇ ｘ ｉ ａ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
程 的 维数 和计 算量 ， 解 这个 方 程 时 非 常 复 杂 ， 基 于共 轭 梯 度 法 的 思 想 ， 建 立 了一 种 迭 代 算 法 拟 求 以 下
问题 ．
问题 １ 设 Ａ ∈Ｒ ｐ ， Ｂ ∈Ｒ ， Ｃ ∈Ｒ ｐ ， Ｄ ∈Ｒ ， Ｅ ∈Ｒ ｐ ， 求 Ｘ ∈Ｂ Ｓ Ｒ ， Ｙ Ｅ Ｂ Ｓ Ｒ 使 得 ｌ ｛ Ａ ＸＢ ＋ＣＹ Ｄ —Ｅ ｛ ｌ：ｍｉ ｎ ． 问题 ２ 给定 ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， Ｓ 表 示 问题 １的解 集合 ， 求 ∈ Ｓ ， ｆ － ∈Ｓ ， 使 得
用Ａ ｏ Ｂ表示 ； （ Ａ， Ｂ ）＝ｔ ｒ （ Ｂ Ａ） 表示矩阵 Ａ， Ｂ的内积 ， Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 范数 ｌ １ Ａ ｌ １＝
，
．
定 义 １ 若 矩 阵 ｘ ∈Ｒ 的元 素满 足 ＝ｘ ｊ ｉ ＝￣ ｎ ＋ ｌ － ｊ ｎ＋ｌ －ｉ（ ｉ ， ｊ＝１ ， ２， …， ｎ ） ， 则 称 Ｘ为双 对称 矩 阵 ，
Ａ ＥＢ ＋ ＢＥ Ａ ＋Ｓ Ａ ＥＢ Ｓ ＋Ｓ 胞 ＡＳ ， … Ｇ Ｇ
２
－
４
Ｉ－ ＿ ＩＪ ，
＿＿ ｔ Ｉ
，，
ＣＴ ＡＸＢ Ｄ ＋ ＤＢ ＸＡ Ｃ ＋Ｓ
ＡＪ ｓ ＸＳ ＢＤ Ｓ ＋ Ｓ ＤＢ Ｓｎ ＸＳ Ａ Ｃ Ｓ ＋
ｎ
＝
的双对 称解 ， 而且 该 矩阵方 程组 是相 容 的．
， ， －
－ ＿
＿ ＿ ｌ
＼
证明
问题 ｌ 等 价于求 ｘ ∈Ｂ Ｓ Ｒ ， Ｙ ∈Ｂ Ｓ Ｒ 使得
ｌ ｌ ＡＸ Ｂ ＋Ｃ Ｙ Ｄ —Ｅ ｌ ｌ＋ Ｉ Ｉ Ａ Ｓ Ｘ Ｓ Ｂ ＋Ｃ Ｓ Ｙ Ｓ Ｄ —Ｅ ｌ ｌ＋ ＿ ｌ Ｂ Ｘ Ａ ＋Ｄ ｙ ｃ Ｔ—Ｅ 【 ｌ＋ Ｉ Ｉ Ｂ Ｓ ． Ｘ Ｓ Ａ ＋ Ｊ ｓ 一 ｌ ｌ＝ ｍ ｉ ｎ （ ２ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４—１ １ —０ ５ 作者简 介 ： 刘莉 （ １ ９ ７ ９一） ， 女， 宁夏银 川市人 ， 硕士， 讲师 ， 研 究方向 ： 数值代数 ．
ｅ 表示 单位 矩 阵 Ｌ 的第 ｉ 列 （ ｉ＝ １ ， ２， …， ） ， 记ｓ ＝ （ ｅ ， ｅ ， …ｅ ） ， 矩阵Ａ与 Ｂ的 Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ 积
所 有 的双 对称 矩 阵的集 合记 为 Ｂ Ｓ Ｒ ． 矩 阵方程 的最 ／ ｂ－乘 问题 在数 量经 济学 和统 计学 上 都 有重 要 的应 用 ， 文献 ［ １ ， ２ ］ 通 过 建立 迭 代 算 法 讨 论 了Ａ ＸＢ－ ４ － ＣＹ Ｄ ＝Ｅ的解 问题 ， 文献［ ３ ］ 研究 了多变 量矩 阵方 程 的双对 称解 ， 然而 ， 这样 增 加 了矩 阵 方
ｏ
、
ห้องสมุดไป่ตู้
ＣＴ ＣＹ ＤＤ ＋ ＤＤ ＹＣＴ Ｃ ＋Ｓ ｃＴ ｃｓ Ｙ Ｓ ＤＤ Ｓ ＋ Ｓ ＤＤ Ｓ ＹＳ
ＣＴ ＥＤ ＋ ＤＥ Ｃ ＋ Ｓ ＣＴ ＥＤ Ｓ ＋Ｓ ＤＥ ＣＳ ．
Ｃｓ ：
，
Ｖ ｅ Ｃ
，
Ｖ ｅ Ｃ
Ｘ ｙ
＼ 、
ｌｌ＿－，
Ｖ ｏ １ ． ３ ５ Ｎｏ ． ６ Ｄｅ ｃ ． ２ ０ １ ４
矩 阵方 程 Ａ Ｘ Ｂ ＋Ｃ Ｙ Ｄ＝ Ｅ 的 双 对 称
最 小 二 乘 解 及 其 最 佳 逼 近
刘 莉 ， 王 伟
（ 宁夏大 学 数学计算机学 院 ，宁夏 银川 ７ ５ ０ ０ ２ １ ）
摘
要： 利 用本 文提 出的迭代 算法可得到矩 阵ＡＫ Ｂ＋Ｃ Ｙ Ｄ＝ Ｅ 的双对称 最小二 乘解 ， 并对算 法的收敛性 给
出 了证 明 ， 当选 取 初 始 矩 阵 为零 时 能得 到 矩 阵 方 程 的 极 小 范数 双 对 称 最 小 二 乘 解 ， 利 用 此 方 法还 可 得 到 任 意 给 定 矩 阵 的 最佳 逼 近 双 对 称 解 ． 关键词 ： 矩 阵方 程 ； 双对称最小二 乘解； 极 小 范 数 解 ；最佳 逼 近 解 中 图分 类 号 ： ０ ２ ４ １ ． ６ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ４—１ ３ ３ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６— ０ ０ １ ７— ０ ７
定理 １ 求解 问题 １等价 于求 矩阵 方程 组
・
１ ８・
宁夏师范学院学报 （ 自然科学 ）
ＡＴ Ａ ＸＢＢ ＋ ＢＢ ＸＡ Ａ ＋ Ｓ Ａ Ｔ ＡＳ ＸＳ ＢＢ Ｓ ＋ Ｓ ＢＢ Ｓ Ｘ Ｓ Ａ Ａ Ｓ ＋
２ ０ １ ４年 １ ２月
Ａ Ｃ Ｙ ＤＢ ＋Ｂ Ｄ Ｙ Ｃ Ｔ Ａ ＋Ｓ Ａ Ｃ Ｓ Ｙ Ｓ ＤＢ Ｓ ＋Ｓ Ｂ Ｄ‘ Ｓ Ｙ Ｓ ｌ Ａ Ｓ ＝