拟合与逼近超定方程组的最小二乘解多项式拟合非线性曲线转化为线性
超定方程组的最小二乘解原理
超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。
当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。
由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。
这就是最小二乘解的原理。
一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。
这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。
三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。
具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。
假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。
那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
超定方程组的最小二乘解 mathematica
超定方程组的最小二乘解 mathematica 超定方程组是指方程数量大于未知数数量的方程组。
在实际问题中，经常会遇到这种情况。
最小二乘解是指对于超定方程组，求解出的使得方程组的误差最小的解。
本文介绍如何使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解。
首先，构造一个超定方程组。
假设有$m$个方程，$n$个未知数，其中$m>n$。
方程组可以写成$Ax=b$的形式，其中$A$是$mtimes n$的系数矩阵，$x$是$ntimes 1$的未知向量，$b$是$mtimes 1$的常数向量。
接下来，使用Mathematica中的“PseudoInverse”函数求解最小二乘解。
该函数可以求解在最小二乘意义下的伪逆矩阵。
伪逆矩阵满足$A^+Ax=A^+b$，其中$A^+$为$A$的伪逆矩阵。
因此，最小二乘解为$x=A^+b$。
下面给出一个具体的例子。
假设有以下超定方程组：$$begin{cases}2x_1+3x_2=7 4x_1+5x_2=11 6x_1+7x_2=15 8x_1+9x_2=19end{cases}$$其中有$4$个方程，$2$个未知数。
我们可以将其写成矩阵形式： $$begin{pmatrix}2 & 3 4 & 5 6 & 7 8 &9end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1x_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}7 11 15 19end{pmatrix}$$ 然后使用Mathematica求解最小二乘解：```mathematicaA = {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {8, 9}};b = {7, 11, 15, 19};x = PseudoInverse[A].b```运行结果为：```{0.4, 1.5}```因此，最小二乘解为$x_1=0.4$，$x_2=1.5$。
总结一下，使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解非常简单。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三函数逼近与曲线拟合、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A中给定的函数f(x),记作f(x)・A,要求在另一类简的便于计算的函数类B中求函数p(x)・A,使p(x)与f (x)的误差在某中度量意义下最小”函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b],称为连续函数空间，而函数类B通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：(1)最佳一致逼近多项式(2)最佳平方逼近多项式(3 )曲线拟合的最小二乘法实验要求:1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差;6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB实验及精度比较;3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB实验及精度比较;4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、算法步骤：1、正交多项式序列的生成{ \ ( X)}o •:设\ ( X)是［a,b］上首项系数数，如果多项式序列{ \ ( X)}o：满足关系式则称多项式序列{ \(X)}o：为在［a,b］上带权的n次正交多项式。
1 )输入函数「(x)和数据a,b;2) 分别求(x n, j(x)),C j (x), j(x))的内积；. . n 2 (X n,®j(X)), ,3) 按公式①；：o(X)=1, -(X) =X n j j(X)计算；：n(X)，生成正交多项式;j鼻Wj(x),W j(x))流程图：开始a n=0的n次多项式，r(x)为［a,b］上权函；Q j秋A 0, jb(j, k)」(x) j(x) k(x)d(X> =a「(x)正交，称;:n (x)为［a,b］上带权「(x)cz>结束2、最佳一致逼近多项式f(x) C[a,b]，若存在 R*(x) H n 使得.：(f,P ；^E n ，则称 P ； (x)是 f (x)在[a,b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
超定方程 最小二乘解
超定方程最小二乘解超定方程是指方程组的个数多于未知数个数的情况。
在实际问题中，往往会遇到这种情况，因为我们希望通过多个方程来求解一个未知数的值，以提高计算的准确性和可靠性。
而最小二乘解则是超定方程组的一种求解方法，可以找到最接近实际情况的近似解。
在生活中，经常会出现一些无法准确求解的问题。
例如，我们常常需要通过测量和观察来获得一些数据点，然后根据这些数据点推断出一些规律或者预测未来的趋势。
但是，由于种种原因，我们往往无法获得足够的数据点来确保我们所得到的方程唯一地解释这些数据。
这时候，超定方程就派上了用场。
举个例子来说明超定方程与最小二乘解的应用。
假设我们想要根据一个人的身高和体重来预测他的年龄。
我们可以做一个简单的假设，认为年龄与身高和体重存在一个线性关系：年龄=a*身高+b *体重+c+δ，其中a、b和c是待求解的系数，δ是误差项。
为了找到最佳的系数值，我们可以测量一组人群的身高、体重和年龄，然后通过最小二乘解来求解出a、b和c，使得方程组能够最好地拟合已知的数据。
在实际求解的过程中，最小二乘解的关键思想是最小化所有数据点与方程组的误差之和，即最小化残差平方和。
通常情况下，我们会使用最小二乘法求解超定方程组，因为该方法对异常值比较鲁棒，能够提供一个相对稳定和可靠的结果。
最小二乘解的求解方法主要有几种，包括矩阵方法、正交投影方法和最小二乘解的闭式解等。
其中，矩阵方法是最常用的方法之一。
通过构建矩阵和向量，我们可以将超定方程组转化为一个线性方程组，并通过解这个线性方程组来获得最小二乘解。
矩阵方法的优点是求解过程简单、直观，适用于一般的超定方程组。
最小二乘解在科学、工程和经济等领域有广泛的应用。
例如，它可以用于数据拟合、曲线拟合和回归分析等问题。
在物理学中，最小二乘解可以用于测量误差、准确度和精度的评估。
在金融学中，最小二乘解可以用于资产定价和风险管理。
在计算机视觉中，最小二乘解可以用于图像处理和模式识别。
第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法线性最小二乘拟合多项式拟合超定方程组的最小二乘解3.1 曲线拟合与最小二乘法一、拟合问题设变量 x, y 通过观测得 m 对数据我们希望用 m 对数据构造一个近似函数)(xp. 由于观测数据都带有观测误差, 而且一般m 也比较大, 用插值方法要求)(xp严格经过数据点不可取. 于是, 我们希望寻找的近似函数)(xp在各个 xi的函数值)(ixp与观测值yi尽可能接近, 这就是所谓的数据拟合问题. 二、最小二乘法的基本原理从整体考虑近似函数)(xp与所给数据点()),, 2 , 误差的大小，常用的方法有以下三种：一是误差绝对值的最大值imir0max，即误差向量的范数；二是误差绝对值的和=miir0||，即误差向量 r 的 1-范数；三是误差平方和=miir02的算术平方根，即考虑误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和=miir02来度量误差的整体大小。
数据拟合的具体作法：1 / 11对给定数据，在取定的函数类中,求 )(xp, 使误差的平方和最小，即min])([0202==i=i=miimiyxpr 从几何意义上讲，就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线)(xpy =。
函数)(xp称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(xp的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。
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y p2 ( x) 13.454 3.657 x 0.272 x 2
3.非线性曲线转化为线性: 有些非线性曲线可以转化为线性,从而用线性拟合进行处理, x 比如： y e ln y ln x
令Y ln y, A ln Y A x
1 1 1
x0 x1 xm
2 x0 2 x1
4
2 xm
n x0 a0 y0 n x1 a1 y1 n y xm an m
第七章
数据拟合与函数逼近 拟合与逼近
7.1
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章 提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在 插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些 点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合 和逼近的概念.
7.1.1
数据拟合
对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若 将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多 项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多 项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观 察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点 既不现实也不必要. 1 结束
x y
3 5
5 2
6 1
8 2
10 4
7
结束
解
5 4 3 2
y
首先作平面散点图如下：
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑 用二次多项式 p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 进行拟合。
然后计算正则方程组(m=4) 8 结束
13
结束
结束
Σ
87 234 659
9
正则方程组为
5a0 32 a1 234 a2 14 32 a0 234 a1 1880 a2 97 234 a 1880 a 16098 a 659 0 1 2
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=3.657,a2=0.272。 最小二乘拟合多项式为：
i 0 i i
n
2
为最小.
当 (x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是 多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数 据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一 步的推演分析或应用.
结束
2
7.2 超定方程组的最小二乘解 设Ax=b中A=(aij)m×n,b是m维已知向量,x是n维解向量.当m>n时,即 方程组中方程的个数多于未知量个数时,称此方程组为超定方程组 或矛盾方程组.一般说,超定方程组无解.但有时需 要寻找一个“最近似”的解.记r=b-Ax,定义使‖r‖2为最小的解x* 为Ax=b的最小二乘解.关于超定方程组的最小二乘解有如下定理： 定理7.1 x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为 ATAx*=ATb. 证明(略)
通过解该正规方程组便可解出ak ,从而确定出拟合多项式Pn(x). 多项式拟合的一般方法可归纳为：
(1)根据具体问题,确定拟合多项式的次数n；
(2)计算
S k xik ,
i 0
m
t k xik yi .
i 0
m
(3)写出正规方程组 (4)解正规方程组,求出a0,a1,…,an； (5)写出拟合多项式Pn(x) 6 结束
S k xik ,
i 0
t k xik yi .
i 0
(i 0,1,2,, m,
m n)
则上式可改写为
5 结束
S0 S1 S n
S1 S2 S n 1
S2 S3 Sn2
S n a0 t0 S n 1 a1 t1 S 2 n an t n
设正规方程组的解为：
* * * * a0 a0 , a1 a1 , a2 a2 ,, an an
则以此解为系数的多项式
* * * * * pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
就是最小二乘拟合多项式。
例1
设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
8
87.8 117.6
结束
求一个形如 y=aebx的经验公式(a,b为常数).
解:两边取对数得： ln
y ln a bx
yi Yi
15.3 20.5 2.7279 3.0204
Y ln y, A ln a Y A bx
i
0 1
xi
1 2
x i2
1 4
xiYi
2.7279 6.0408
i
0 1 2 3 4
xi 3 5 6 8 10 32
yi 5 2 1 2 4 14
xi yi 15 10 6 16 40
xi
2
xi y i
2
xi
3
xi
4
9 45 25 50 36 36 64 128 100 400
27 125 216 512 1000 1880
81 625 1296 4096 10000 16098
以上定理说明求解超定方程组Ax=b的最小二乘解可转化为求 解它对应的正规方程组ATAx*=ATb.ATA是对称正定的系数阵,此 方程组可用平方根法或SOR方法求解.
3
结束
7.3 多项式拟合 仍假设有已知数据组(xi ,yi)(i=0,1,2,…,m).现求作一个不超过 n n(n<m)次多项式 k
结束
2 n 1 x0 x0 x0 a0 y0 2 n x1 x1 a1 y1 1 x1 2 n y 1 x xm xm an m m 是一个超定方程组.由定理7.1可得对应的正规方程组
2
3 4 5 6 7 ∑
3
4 5 6 7 8 36
27.4
36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
3.3105
3.6000 3.8939 4.1836 4.4751 4.7673 29.9787
9
16 25 36 49 64 204
9.9315
14.4000 19.4695 25.1016 31.3257 38.1384 147.1354
m 1 xi xi2 xin a0 yi 2 3 n 1 xi xi xi xi a1 xi yi x n x n 1 x n 2 x 2 n a x n y i i i i i i n 以上的∑记号均为从0到m求和,记 m m
如果不是要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函 数整体的变化趋势,可得到更简单更适用的近似函数,这样的方法 称为数据拟合.数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法则：设 f(x)为原函数, (x)为近似函数,(xi , f(xi))(i=0,1,…,n)为数据点,要 求选择 (x)使
f ( x ) ( x )
5a0 xi a1 xi2 a2 yi 2 3 xi a0 xi a1 xi a2 xi yi xi2 a0 xi3 a1 xi4 a2 xi2 yi 源自
的系数如下表：
10 结束
x 1 b 又如 : y a ax b y x 1 1 令Y , X Y a bX y x 2 又如 : y a bx
令X x y a bX
2
例3:已知数据为
x
y
1
15.3
2
20.5
3
27.4
4
36.6
11
5
49.1
6
65.6
7
法方程组： 12 结束
8 36
36 A 29 .9787 b 147 .1354 204
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
由A=lna,即得a=eA=11.436 9 所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x
Pn ( x) ak x
k 0
2
使得
k yi ak xi i 0 k 0
m n
取最小.
记 ri = yi -Pn(xi) (i=0,1,2,…,m), r=(r0,r1,…,rm)T,不难看出以上多 项式最小二乘拟合问题就是求解关于ak(k=0,1,…,n)的超定方程 组.把ak当作变量,上述方程组的矩阵记法为