人口预测的最小二乘模型
未来五十年中国人口数量的预测与适度人口容量分析
目录一．问题研究的背景 (2)二．人口总量分析与预测—模型I、II (3)（一）短期预测 (4)1．符号说明 (4)2．模型I原理 (4)3．灰色系统建模方法 (5)4．灰色模型检验 (6)5．短期预测模型的建立 (7)（二）长期预测 (7)1．模型II原理（灰数等维递补动态预测方法） (7)2．模型II建立 (8)（三）模型I,II评价: (12)三．适度的人口规模与人口的可持续发展 (13)（一）问题研究背景 (13)（二）适度人口研究的改进方向 (14)四．结语 (15)参考文献 (17)附录 (19)未来50年中国人口数量的预测与适度人口容量分析摘要：中国作为人口大国，人口问题始终是影响我国社会经济发展的主要因素之一。
中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻。
人口预测是人口研究的重要主题，相对准确预测未来50年中国人口数量及其增长，可以为中国经济和社会发展决策提供科学依据。
与人口总量预测紧密相关的概念是适度人口，如果说实际的人口总量是现实情况的话，那么适度人口就是我们制定人口政策的最重要的依据以及努力的目标。
本文依据灰色理论建立相应的灰色预测模型对于中国的未来人口总量进行了短期和长期的分析和预测，同时对于中国的适度人口容量提出一些自己的看法，给出一些可行性的建议。
关键词：等维动态灰数递补预测，适度人口，GM（1，1）模型，新陈代谢模型Abstract:Being the country with the largest population in the world, China has seen the population issues as one of the important factors in the social development process. Since 1980s, Chinese government has make great achievements in carrying on the policy that . However, due to the large number of China’s population, the problem of population is still severe for us. Population prediction is one of the important issue in the demography study. Making a relatively concise prediction about China’s population and its trend would provide scientific basis of China’s economic and social development. The concept that has close relationship with population forecast is optimum population. If we say the real population number is the real situation, the optimum population can be seen our target to do the policy closely relating to the demography study. Based on the grey theory, this article makes the short-term and long-term forecast about the China’s total population. Meanwhile, some personal ideas about China’s optimum population and plausible suggestions are provided.Keywords:Gray Forecasting Model of Equidimensional Filling Vacancies，Optimum Population，GM (1, 1) model，Symbolic Model未来50年中国人口数量的预测与适度人口容量分析经济学院统计041 汪寅彦 2023404157 指导老师：陶用之一．问题研究的背景人口问题是一个关系全局的一个重要问题，作为世界上的第一人口大国，中国的人口的变动甚至会影响国家基本政策的制定，社会福利事业的发展，甚至影响到国民经济和社会发展战略的规范。
matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测
实验目的[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模型；[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
应用实验（或综合实验）一、实验内容从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：表综2.1年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106)3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106)31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 193019401950196019701980人口(×106)123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。
二、问题分析1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。
记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rxtx2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d xx x x rx t xm三、数学模型的建立与求解根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1=x0*exp(r*x);y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。
短期人口增长预测模型
表 ６ 新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型精度检验
３ 结 论
笔者对灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ）模型 、 新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型分别进行 了分析 与对 比 ， 结合实 际 ， 建 立了不 同
维度 的预测模 型 ， 并 对 预测模 型进行对 比和讨 论 ． 得
序列 的 ， 并 且 预 测 的 时 间越 短 ， 误 差越 小 ． ５维 灰 色
２ ． １ 模 型建立 所谓 新 陈代 谢 模 型， 即 有 原 始 序 列 ’＝ ［ ‘ 。 （ １ ） ， ‘ 。 （ ２ ） ， …， 。 （ ｎ ） ］ 建模 后 求 得 预测 值
Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型 的平均相对误差最小 ， 平均相对精度也
・
２ ０・
平 顶 山学 院 学 报
２ ０ １ ３正
’ （ ｋ ＋１ ） ， 将 此信 息加 入 序列 ， 并 去掉 最 老 的信 息 ∞ ’ （ １ ） 以保 持 序列 长度 不变 ， 如此 反 复类 推则 可 以
朱 维钧 ， 杨锦 伟
（ 平顶 山 学院 数 学与信 息科 学学 院 ， 河 南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ９ ９ ）
摘 要： 利 用 已知 数 据 对 不 同 维 度 的 灰 色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 和 不 同 维度 新 陈 代 谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 进 行 了精
选择初始序列 的维度．
由于灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 预测模 型是一个 短时 间序 列
模型， 并不是数据越 多越好 ， 所 以原始 数据不 一定 全 部用来建模． 一般来 说 ， 取 不 同维 的数据 建立 的模 型
到２ ０ ２ ０年 的人 口数． 具体计算结果如表 ５ ．
数学建模人口模型人口预测教学内容
数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测教学内容数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测关于计划⽣育政策调整对⼈⼝数量、结构及其影响的研究【摘要】本⽂着重于讨论两个问题:1、从⽬前中国⼈⼝现状出发，对于中国未来⼈⼝数量进⾏预测。
2、针对深圳市讨论单独⼆胎政策对未来⼈⼝数量、结构及其对教育、劳动⼒供给与就业、养⽼等⽅⾯的影响。
对于问题1从中国的实际情况和⼈⼝增长的特点出发，针对中国未来⼈⼝的⽼龄化、出⽣⼈⼝性别⽐以及乡村⼈⼝城镇化等，提出了 Logistic、灰⾊预测、等⽅法进⾏建模预测。
⾸先，本⽂建⽴了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国⼈⼝的历史数据，运⽤线形最⼩⼆乘法对其进⾏拟合，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，得出在 2040 年时，中国⼈⼝有 14.32 亿。
在此模型中，由于并没有考虑⼈⼝的年龄、出⽣⼈数男⼥⽐例等因素，只是粗略的进⾏了预测，所以只对中短期⼈⼝做了预测，理论上很好，实⽤性不强，有⼀定的局限性。
然后，为了减少⼈⼝的出⽣和死亡这些随机事件对预测的影响，本⽂建⽴了 GM(1,1)灰⾊预测模型，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，同时还⽤ 2002 ⾄ 2013 年的⼈⼝数据对模型进⾏了误差检验，结果表明，此模型的精度较⾼，适合中长期的预测，得出 2040 年时，中国⼈⼝有 14.22 亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄⼀类的因素，只是做出了⼈⼝总数的预测，没有进⼀步深⼊。
对于问题2针对深圳市⼈⼝结构中⾮户籍⼈⼝⽐重⼤，流动⼈⼝多这⼀特点，我们采⽤了灰⾊GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市⾃2001⾄2010年的数据进⾏拟合，发现其⼈⼝变化近似呈线性增长，线性相关系数⾼达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性⽅程。
同理，针对其⾮户籍⼈⼝，我们进⾏matlab 拟合发现，其为⾮线性相关，并得出相关函数。
并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。
Gompertz模型在人口增长预测问题中的应用
Gompertz模型在人口增长预测问题中的应用阎慧臻【摘要】Gompertz模型是常用的动物种群生长模型,可用于描述种群的生长发育规律.利用分离变量的方法求出了Gompertz模型的解析解,利用MATLAB软件描绘了Gompertz模型解析解的图形.基于Gompertz模型,运用最小二乘法,对1985-2012年中国人口数据进行非线性拟合,建立了中国人口增长的近似公式,运用此公式估算了中国历年人口数量,并对中国2020、2030和2050年的人口数量进行了预测.估算的中国人口数量与实际统计结果吻合情况良好.【期刊名称】《大连工业大学学报》【年(卷),期】2015(034)002【总页数】3页(P150-152)【关键词】Gompertz模型;人口数量;预测【作者】阎慧臻【作者单位】大连工业大学信息科学与工程学院,辽宁大连 116034【正文语种】中文【中图分类】O29;Q141中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键性因素之一。
人口预测就是根据现有的人口状况并考虑影响人口发展的各种因素，按照科学的方法，测算在未来某个时间的人口规模、水平和趋势［1］。
众所周知，人口增长规律符合S 型生长曲线。
但在实际生活中，由于灾难、疾病等各种客观因素的干扰，使得人口增长的规律并不是理想中的完全对称的S型，因此，如果用Logistic模型［2］进行人口预测，并不能很好地描述人口增长的实际情况。
Gompertz模型［3］是当前使用较多的用以描述生物种群生长发育规律的生长曲线模型。
不仅如此，Gompertz模型在医学、软件开发、交通运输等领域的应用都非常广泛。
作者利用Gompertz模型，以中国1985—2012年人口数据为依据，通过曲线拟合，建立了中国人口增长的近似公式，并对中国未来人口进行预测。
Gompertz种群增长模型的基本方程是式中：y（t）表示在t时刻种群个体的数量；k称为种群的相对增长率，即平均出生率减去平均死亡率；M表示环境的最大容纳量。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
中国人口增长预测
中国人口增长预测摘要本文主要建构了比较稳定的分要素推算法和灰色GM(1.1)模型结合的人口发展模型，以针对中国未来人口发展情况作出合理的估计。
结合中国的实际国情、解决人口问题的战略思路和战略措施，用灰色GM(1.1)模型建立2004年后中国人口发展速度情况的数学模型,在这个模型理论上讲可以较准确地推测出我国人口发展态势：出生率和死亡率。
以分要素推算法构建人口的增长方程,建立了2001年后中国人口的数学模型。
利用该模型可推算2001 年至2005年的的总人口。
通过调整模型中有关参数及输入的条件,使模型更加精确,再以1980年至2004年的数据预测2005年到2050年中国人口总数。
在预测长期人口总数时,利用《中国人口统计年鉴》中的数据验证了以上模型在理论上来可推测很长一段时期内任一年的年龄结构。
预测的结果显示：未来我国人口将继续增长，但增长率逐年下降，到2030年后我国的人口的出生率和死亡率相等,这时我国人口将达到峰值。
2030年后到2050年我国人口将出现负增长，人口结构老龄化严重，城市人口比例增加，镇区的人口在出现上升后回落，农村人口因政策等因素持续下降。
关键词：分要素推算法;灰色GM（1.1）模型;人口预测;人口增长模型; 出生率;死亡率;一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题制约我国经济的发展。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
一近半个世纪以来，世界人口发展的基本态势：一是生育水平逐步下降，人口总量经历高速增长后进入增速趋缓时期。
发展中国家总和生育率从6.2下降到2.9,发达国家从2.8下降到1.6。
据联合国预测，到本世纪中叶，全球人口再生产类型转变将基本完成。
二是人口年龄结构持续老龄化。
2000年，世界60岁以上和65岁以上老年人口比重分别达到10%和7%，欧洲为20%和15%。
三是人口素质成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中的作用更加突出。
人口预测数学实验报告
数学实验报告（一）一、实验题目: 人口预测二、实验目的:1.分析用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据进行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的误差平方和更小？2.详细描述最小二乘法的特点, 并通过实验验证最小二乘的理论；3.方程数多于未知数的线性方程组称为超定方程组,使误差平方和达到最小的求解方法称为最小二乘法.试用矩阵描述最小二乘法的解算步骤.三、实验内容和方法:1.通过多项式拟合程序T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]';L=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);figure(1),plot(T,N,'o',T,PL)RL=sum((N-PL).^2)E=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));figure(2),plot(T,N,'o',T,PE)RE=sum((N-PE).^2)L2008=polyval(L,2008)E2008=exp(polyval(E,2008))分别得到线性函数拟合效果图:指数函数拟合效果图:由图可以看出两种方式的结果差异并不是很大其次, 由程序可以得出, 线性函数的误差平方和为: 4.7619e-005指数函数的误差平方和为: 1.1549e-004可见线性函数的误差平方和更小。
2.曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。
最小二乘法就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。
这就类似于概率中的标准差, 也是用距离的方式来定义, 以求得误差最小。
通过有实际意义的数值来判断比较并最终得到最好的拟合方法。
编写程序, 将实际折线图分别与线性拟合和指数拟合在同一个图中显示：折线图与线性拟合图:T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]';plot(T,N,'O',T,N)hold onL=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);plot(T,N,'*',T,PL)hold of折线图与指数拟合图:T=[1991:1996]';N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]'; plot(T,N,'O',T,N)hold onE=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));plot(T,N,'*',T,PE)hold off由此可见, 误差平方和更小些的线性拟合方法拟合出的图形与原图更加接近。
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实验24
人口预测的最小二乘模型
表 24-1 世界人口数据（单位
亿）
年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口
29.72
30.61
31.51
32.13
32.34 32.85
33.56
34.20
34.83
根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。
作出这一预测结果所用 的方法就是数据拟合方法。
一、问题分析
据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数
N 不是很大时，在不长的
时期内，人口增长率与人口数 N 成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微
分方程描述为
由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。
由于指数函数表达 式中a 和b 均未知，需要用人口数据来确定。
即用指数函数对数据进行拟合，确 定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。
下图是 经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为 3.6974 杓-4
为了计算方便，将上式两边冋取对数，还原为
y = ln N
或
In N = a + b t ,令
N = e y
变换后的拟合函数为
dN dt
bN
其中，b 为人口增长系数。
用分离变量法解常微分方程，得 N(t) a bt
e
(24.1)
In N = b t + a ，即
(24.2)
图24-1指数函数图形与原始数据散点图
y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数(y = In N )计算，得下表
表24-2世界人口数据(单位：亿)
二、求解超定方程组的数学原理
根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1, 2, ……,9)可列出关于两个未知数
a、b的9个方程的线性方程组
a 1960
b 3.3918
a 1961
b 3.4213
a 1962
b 3.4503
a 1963
b 3.4698
a 1964
b 3.4763
a 1965
b 3.4920
a 1966
b 3.5133
a 1967
b 3.5322
a 1968
b 3.5505
(24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为
AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。
求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时
乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组
A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A, b = A T f。
得系数矩阵为方阵的线性方程组。
GU=b
求解得原方程组的最小二乘解(广义解)。
由于原方程组一般无解，将最小二乘解
代入下式计算
R = f -A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。
残差的内积可以用来度量最小二乘解的
逼近程度。
三、问题求解的计算机实验
输入下面命令
t=1960:1968;
N=[29.72 30.61，31.51 32.13, 32.34 32.85, 33.56 34.20, 34.83]; f=log(N); A=[o
nes(9,1) t'];
G=A'*A; b=A'*f;
U=G\b
a=U(1); b=U(2); R=f-A*U;
R'*R
Y=exp(a+b*t); tt=1960:8:2000; YY=exp(a+b*tt);
plot(t,N,'*',t,Y)
figure
bar(tt,YY)
程序运行结果为U = -33.0383 0.0186
ans = 3.6974e-004
由方程组最小二乘解得： a —33.0383, b 0.0186;残差向量的内积：3.6974 XI0"
4。
代入拟合函数有
33.0383 0.0186t
N (t) e
经计算
N(2000)= 64.1805
所以2000年的世界人口预测为64.1805亿。
这一数据基本反映了人口变化趋。
图24-2预测的人口数据变化图。