数学建模人口预测模型
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14.2亿, 2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和.
• 2)若 2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到
12.9亿,2080年为21.2亿.
• 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则
2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降.
• 4)若 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降
• 则(4)式写x1 作(t1)(t)i2 bi(t)xi(t)
(1)0
• 引入向量,矩阵记号
ii1
x(t)[x1(t),x2(t),,xm(t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1d1(t) 0
A(t)
1d2(t)
(12)
0
0 1dm1(t) 0
2020/3/31
0 B(t)0
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威 胁着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋 近于零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的 问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是 数学在社会发展中的重要应用领域.
• 于是xi 1(t 1 )(1 d i(t)x )i(t),
i0 ,1 ,2 , m 1 ,t0 ,1 ,2 (1 )
• bi (t)
•记
为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
2020/3/31
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间,k i (t ) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
女生育的加权因子i , 若
表示 岁
妇女的生育率比(t岁)和 妇h女i(t的) 生育率 (高t) 。制订生
育育政 的策 多就 少,是通确h过定i (t )
,通过 控制生 可以控制生育的早晚和疏
密. 2020/3/31
• 将(5)式代入(4)式,并记
b i ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 1 ) d 0 ( t ( ) h i ( t ) ) k i ( t ) ( 9 )
示( 为t ) b i 1 ( t ) b i 1 1 ( t 1 ) b i 2 ( t i 2 i 1 )( 8 )
(t)
i1 bi(t)
• 即 是第 t 年 岁的每位妇女一生平均生
育的人数,称为总和生育率, 或生育hi (胎t ) 次,是控制
人口数量的主要参数. hi生(t育)模hi式(t) 是 ii岁妇
•
Hale Waihona Puke Baidu
生育模式取 分布的离散值:
h(r) 716(r81)84er 218,
r18 (1)9
0,
r18
2020/3/31
• 性别比k i (t ) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和
生育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结
果表明:
• 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到
大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0 , 1 , 2 , ,i 0 , 1 , 2 , ,m .只考
虑由于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移
等社会因素的影响d i.(t记)
为第 t年 i 岁人口的死
亡率,即 di(t)xi(t)bix(t)ix(it1)(t1)
2020/3/31
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t) 作为控
制变量.
•
在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女
性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
x ( t 1 ) A ( t) x ( t) B ( t)x ( 1 )5
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
龄时生育率的高低, 满足
i2
hi(t)1
(6)
ii1
利用 (6)式对 (5)式求和:得到
2020/3/31
i2
(t)bi(t) (7) ii1
• 可知 (t) 表示第t 年每个育龄妇女平均生育的
人数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年
龄的女性生育bi 率(t )
都不变,那 (么t) 又可表
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
2020/3/31
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区 目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例 高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大 不一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个 变量, 年龄也是一个变量.
0
bi1(t)
bi2(t)
0
0 0
(1)3
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) ( t ) B ( t ) x ( t ) ( 1 )4
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
• 1)人口总数N(t)
•
m
N(t)xi(t)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)N 1 (t)i m 0iix(t)
2020/3/31
(1)6
(1)7
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
•
死亡率用下列公式外推:
i(t) i(1i( 9 1 )1 [7 9 ( )t 1 8 79 ) 8 1 3 7 5 ] 0 ii8 5 5 ,i 0 50(1)8
2020/3/31
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x 1 (t 1 ) ( 1 d 0(t 0 )1 ) d (0 (t))b i(t)k i(t)x i(t) i i1 将 bi(t)分解为
(4 )
bi(t)(t)hi(t) (5)
其中 hi(t) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年
i2
f(t) bi(t)ki(t)xi(t)
(2)
•
记 d00 (t)
ii1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活
到人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在
人口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00(t)
f
(t)x0(t) f(t)
x 0 (t) ( 1 d 0(t0 )f) (t) (3 )
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解
也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来
描述, 用差分方程来实现它.
•
2020/3/31
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
至7.8亿(1968年的水平)
• 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子
的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5 亿.
2020/3/31
• 2)若 2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到
12.9亿,2080年为21.2亿.
• 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则
2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降.
• 4)若 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降
• 则(4)式写x1 作(t1)(t)i2 bi(t)xi(t)
(1)0
• 引入向量,矩阵记号
ii1
x(t)[x1(t),x2(t),,xm(t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1d1(t) 0
A(t)
1d2(t)
(12)
0
0 1dm1(t) 0
2020/3/31
0 B(t)0
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威 胁着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋 近于零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的 问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是 数学在社会发展中的重要应用领域.
• 于是xi 1(t 1 )(1 d i(t)x )i(t),
i0 ,1 ,2 , m 1 ,t0 ,1 ,2 (1 )
• bi (t)
•记
为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
2020/3/31
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间,k i (t ) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
女生育的加权因子i , 若
表示 岁
妇女的生育率比(t岁)和 妇h女i(t的) 生育率 (高t) 。制订生
育育政 的策 多就 少,是通确h过定i (t )
,通过 控制生 可以控制生育的早晚和疏
密. 2020/3/31
• 将(5)式代入(4)式,并记
b i ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 1 ) d 0 ( t ( ) h i ( t ) ) k i ( t ) ( 9 )
示( 为t ) b i 1 ( t ) b i 1 1 ( t 1 ) b i 2 ( t i 2 i 1 )( 8 )
(t)
i1 bi(t)
• 即 是第 t 年 岁的每位妇女一生平均生
育的人数,称为总和生育率, 或生育hi (胎t ) 次,是控制
人口数量的主要参数. hi生(t育)模hi式(t) 是 ii岁妇
•
Hale Waihona Puke Baidu
生育模式取 分布的离散值:
h(r) 716(r81)84er 218,
r18 (1)9
0,
r18
2020/3/31
• 性别比k i (t ) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和
生育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结
果表明:
• 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到
大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0 , 1 , 2 , ,i 0 , 1 , 2 , ,m .只考
虑由于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移
等社会因素的影响d i.(t记)
为第 t年 i 岁人口的死
亡率,即 di(t)xi(t)bix(t)ix(it1)(t1)
2020/3/31
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t) 作为控
制变量.
•
在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女
性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
x ( t 1 ) A ( t) x ( t) B ( t)x ( 1 )5
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
龄时生育率的高低, 满足
i2
hi(t)1
(6)
ii1
利用 (6)式对 (5)式求和:得到
2020/3/31
i2
(t)bi(t) (7) ii1
• 可知 (t) 表示第t 年每个育龄妇女平均生育的
人数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年
龄的女性生育bi 率(t )
都不变,那 (么t) 又可表
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
2020/3/31
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区 目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例 高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大 不一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个 变量, 年龄也是一个变量.
0
bi1(t)
bi2(t)
0
0 0
(1)3
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) ( t ) B ( t ) x ( t ) ( 1 )4
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
• 1)人口总数N(t)
•
m
N(t)xi(t)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)N 1 (t)i m 0iix(t)
2020/3/31
(1)6
(1)7
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
•
死亡率用下列公式外推:
i(t) i(1i( 9 1 )1 [7 9 ( )t 1 8 79 ) 8 1 3 7 5 ] 0 ii8 5 5 ,i 0 50(1)8
2020/3/31
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x 1 (t 1 ) ( 1 d 0(t 0 )1 ) d (0 (t))b i(t)k i(t)x i(t) i i1 将 bi(t)分解为
(4 )
bi(t)(t)hi(t) (5)
其中 hi(t) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年
i2
f(t) bi(t)ki(t)xi(t)
(2)
•
记 d00 (t)
ii1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活
到人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在
人口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00(t)
f
(t)x0(t) f(t)
x 0 (t) ( 1 d 0(t0 )f) (t) (3 )
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解
也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来
描述, 用差分方程来实现它.
•
2020/3/31
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
至7.8亿(1968年的水平)
• 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子
的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5 亿.
2020/3/31