数学建模人口预测模型
数学建模人口模型人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究【摘要】本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。
2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。
首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。
同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。
并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ⨯+=⨯-。
人口预测的数学模型与预测方法分析
人口预测的数学模型与预测方法分析人口预测是对未来一定时期内人口数量和结构的变动进行估计和预测的过程。
人口预测在社会经济发展规划、城市规划、教育医疗资源配置等方面具有重要的参考价值。
为了准确预测人口的变动趋势，需要建立合理的数学模型和选择适当的预测方法。
人口预测的数学模型主要包括线性回归模型、指数模型、Logistic模型等。
线性回归模型是一种用来描述两个变量之间线性关系的统计模型，可以用来预测人口随时间的变化。
指数模型假设人口数量按照指数规律增长或减少，适用于人口增长较快的情况。
Logistic模型则适用于人口增长速度放缓后的情况，它是一种描述增长速度逐渐趋近于饱和的模型。
在选择数学模型时，需要综合考虑以下几个因素：人口历史变动趋势、人口自然增长率、人口迁移和流动情况、政策调控等因素。
同时，还需根据实际情况对模型的参数进行合理的设定和修正，以提高预测的准确性。
在预测方法上，常用的有趋势线法、复合增长率法、比较推理法、时间序列分析法和系统动力学方法等。
趋势线法是基于历史数据的发展趋势来进行预测，适用于人口变动趋势比较稳定的情况。
复合增长率法是将历史数据中的增长率按一定规则进行加权平均，再用来推算未来人口的增长率。
比较推理法通过对不同因素的比较和推理，来估计未来人口的变化。
时间序列分析法是根据时间序列数据的历史模式来预测未来的变化趋势。
系统动力学方法则是通过对不同因素的动态关系建立模型，用来探索人口变动的内在机制和规律。
在具体应用时，可以结合不同的数学模型和预测方法，进行多角度的分析和预测。
同时，还需要不断对模型进行修正和优化，以适应不断变化的人口变动趋势和社会经济背景。
此外，还应该注意对预测结果的不确定性进行评估和把握，提供多种可能性的预测结果，为决策者提供科学的参考依据。
全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型
全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型 The manuscript was revised on the evening of 2021中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。
对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。
关键词：人口数量的变化人口指数模型 Logistic模型灰度预测模型MATLAB Excel目录第一部分问题重述 (3)第二部分问题分析 (3)第三部分模型的假设 (3)第四部分定义与符号说明 (3)第五部分模型的建立与求解 (3)模型一 (3)模型二 (8)模型三 (12)第六部分对模型的评价 (14)第七部分参考文献 (15)第八部分附表 (15)一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。
具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。
二、 模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。
5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。
数学建模 之 人口模型
数学建模———关于人口增长的模型摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。
首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。
对两种模型的求解，我们引入了微分方程。
其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。
先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。
一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。
然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。
附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。
故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。
设人口增长率为常数r 。
时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O由假设，对任意△t>0 ，有)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：o t →∆lim)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：)1( )0()(0⎪⎩⎪⎨⎧==x x t rx dtdx3、模型求解： 从（1）得rdt xdx= 两边求不定积分：c rt x +=ln∵t=0时0x x =，∴C x =0lnrt e x rt x x 00ln ln ln =+=∴rte x t x 0)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r 的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33.5==r,359.1307.0=e,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。
数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析
中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。
模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。
这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。
一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。
通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。
我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。
由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。
关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。
二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。
中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。
人口年龄结构模型建模和预测
人口年龄结构模型是对一个地区或国家的人口按照年龄划分而建立的模型，它反映了该地区或国家的不同年龄段的人口数量及其比例关系。
通过对人口年龄结构进行建模和预测，可以揭示未来的人口发展趋势，提前为政府和社会进行人口政策的制定和社会发展的规划提供依据。
人口年龄结构模型建模的基本步骤包括：数据收集、年龄段划分、建模方法选择和数据拟合。
首先，需要收集该地区或国家的相关人口数据，包括人口总量、不同年龄段的人口数量等。
然后，根据实际情况，将不同年龄段按照一定的划分标准划分，常见的划分标准包括：0-14岁为儿童，15-64岁为劳动年龄人口，65岁及以上为老年人口。
接下来，根据数据的特点选择合适的建模方法，常见的方法包括：线性模型、非线性模型、时序分析等。
最后，根据建模过程中的数据和模型，进行数据拟合与估计，得到具体的人口年龄结构模型。
人口年龄结构模型预测的方法主要有人口动态模型和人口推移模型。
人口动态模型是基于人口自然增长率、迁入迁出率等因素的模型，通过对这些因素的分析和估计，预测未来的人口数量和年龄结构。
人口推移模型是基于已有的人口年龄结构模型和历史数据，通过拟合历史数据和未来预测数据，来预测未来的人口年龄结构。
人口推移模型的常用方法有人口扩散模型和人口改变模型。
人口扩散模型是通过推动人口在年龄段之间的转移，实现总体人口年龄结构的变化。
人口改变模型是通过预测各年龄段人口数量变化来预测未来的人口年龄结构。
需要特别强调的是，人口年龄结构模型的建模和预测仍然存在许多不确定性。
首先，人口发展受到多种因素的影响，如社会经济发展水平、教育水平、卫生状况等。
其次，人口的迁徙和流动也会对人口年龄结构产生重要影响，而这是难以准确预测和建模的。
最后，人口政策的制定也会对人口年龄结构产生不可忽视的影响。
尽管如此，人口年龄结构模型的建模和预测仍然是非常重要的，可以为政府和社会规划提供科学依据。
通过建立合理的人口年龄结构模型，可以更好地预测和分析人口变动对社会经济的影响，为人口政策的制定提供参考，促进经济发展和社会稳定。
毕业设计_数学建模论文中国人口增长预测
中国人口增长预测摘要本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。
模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。
该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。
又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。
结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。
模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。
各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。
根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。
结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。
可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。
关键词：灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子一．问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。
英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。
但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。
因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。
数学建模论文-人口预测模型
中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立一次线性回归模型, 灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。
考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：单位：（万人）其中加权系数为：,其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为分组长度方式预测短期和长期人口增长，然后对人口模型进行了改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
在过去的几千年里，由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。
例如，中国人口预期寿命约为70 岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50 年，短期可以是5 年、10年或20 年。
根据2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
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女生育的加权因子i , 若
表示 岁
妇女的生育率比(t岁)和 妇h女i(t的) 生育率 (高t) 。制订生
育育政 的策 多就 少,是通确h过定i (t )
,通过 控制生 可以控制生育的早晚和疏
密. 2020/3/31
• 将(5)式代入(4)式,并记
b i ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 1 ) d 0 ( t ( ) h i ( t ) ) k i ( t ) ( 9 )
14.2亿, 2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和.
• 2)若 2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到
12.9亿,2080年为21.2亿.
• 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则
2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降.
• 4)若 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降
• 1)人口总数N(t)
•
m
N(t)xi(t)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)N 1 (t)i m 0iix(t)
2020/3/31
(1)6
(1)7
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
•
死亡率用下列公式外推:
i(t) i(1i( 9 1 )1 [7 9 ( )t 1 8 79 ) 8 1 3 7 5 ] 0 ii8 5 5 ,i 0 50(1)8
2020/3/31
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t) 作为控
制变量.
•
在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女
性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
x ( t 1 ) A ( t) x ( t) B ( t)x ( 1 )5
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
2020/3/31
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区 目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例 高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大 不一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个 变量, 年龄也是一个变量.
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解
也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来
描述, 用差分方程来实现它.
•
2020/3/31
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0 , 1 , 2 , ,i 0 , 1 , 2 , ,m .只考
虑由于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移
等社会因素的影响d i.(t记)
为第 t年 i 岁人口的死
亡率,即 di(t)xi(t)bix(t)ix(it1)(t1)
2020/3/31
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x 1 (t 1 ) ( 1 d 0(t 0 )1 ) d (0 (t))b i(t)k i(t)x i(t) i i1 将 bi(t)分解为
(4 )
bi(t)(t)hi(t) (5)
其中 hi(t) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年
0
bi1(t)
bi2(t)
0
0 0
(1)3
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) ( t ) B ( t ) x ( t ) ( 1 )4
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
•
生育模式取 分布的离散值:
h(r) 716(r81)84er 218,
r18 (1)9
0,
r18
2020/3/31
• 性别比k i (t ) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和
生育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结
果表明:
• 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到
• 则(4)式写x1 作(t1)(t)i2 bi(t)xi(t)
(1)0
• 引入向量,矩阵记号
ii1
x(t)[x1(t),x2(t),,xm(t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1d1(t) 0
A(t)
1d2(t)
(12)
0
0 1dm1(t) 0
2020/3/31
0 B(t)0
i2
f(t) bi(t)ki(t)xi(t)
(2)
•
记 d00 (t)
ii1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活
到人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在
人口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00(t)
f
(t)x0(t) f(t)
x 0 (t) ( 1 d 0(t0 )f) (t) (3 )
• 于是xi 1(t 1 )(1 d i(t)x )i(t),
i0 ,1 ,2 , m 1 ,t0 ,1 ,2 (1 )
• bi (t)
•记
为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
2020/3/31
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间,k i (t ) 为第t 年 i 岁人口
的女性比, 则第t 年的出生人数为
示( 为t ) b i 1 ( t ) b i 1 1 ( t 1 ) b i 2 ( t i 2 i 1 )( 8 )
(t)
i1 bi(t)
• 即 是第 t 年 岁的每位妇女一生平均生
育的人数,称为总和生育率, 或生育hi (胎t ) 次,是控制
人口数量的主要参数. hi生(t育)模hi式(t) 是 ii岁妇
至7.8亿(1968年的水平)
• 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子
的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5 亿.
2020/3/31
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威 胁着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋 近于零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的 问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是 数学在社会发展中的重要应用领域.
龄时生育率的高低, 满足
i2
hi(t)1
(6)
ii1
利用 (6)式对 (5)式求和:得到
2020/3/31
i2
(t)bi(t) (7) ii1
• 可知 (t) 表示第t 年每个育龄妇女平均生育的
人数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年
龄的女性生育bi 率(t )
都不变,那 (么t) 又可表