超定方程组最小二乘解说课讲解
求超定方程组的最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。
超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。
而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。
最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。
举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。
而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。
但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。
这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。
首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。
然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。
具体的求解步骤如下：1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b是一个 m 维列向量表示观测数据。
2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。
其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。
3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。
其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。
4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。
通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。
最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。
它在实际应用中具有广泛的指导意义。
举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。
我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。
然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。
通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。
超定方程组最小二乘解
超定方程组最小二乘解课程设计最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。
如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
一、超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。
超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即22*||||min ||||GX b GX b mRX -=-∈ 该问题是一个优化问题。
命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G Tb 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解证 由题设可得，G T(b – GX *)=0。
对任意n 维向量Y ，显然有(X * – Y )T G T (b – GX *)=0考虑残差2-范数平方，由22**22||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-上式右端利用内积，得22*22*22*22||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-从而有|| b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2等式仅当Y =X *时成立。
所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。
命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G Tb证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b mRX -=-∈，利用2-范数与内积关系，知X *是下面二次函数的极小值点ϕ(X ) = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b )取任意n 维向量v ，对任意实数t ，构造一元函数g (t ) = ϕ(X * + t v )显然， g (t ) 是关于变量t 的二次函数g (t ) = (G (X * + t v )，G (X * + t v )) – 2(G (X * + t v )，b ) + (b ，b )= g (0) + 2t [(GX *，Gv ) – (Gv ，b )]+ t 2 (Gv ，Gv )由题设t =0是g (t )的极小值点。
c++ 矩阵超定方程的最小二乘求解
在进行C++矩阵超定方程的最小二乘求解时，我们首先需要理解什么是矩阵超定方程和最小二乘法。
矩阵超定方程指的是方程组的数量多于未知数的数量，这种情况下无法精确求解方程组，因为方程组中存在冗余信息。
而最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得函数的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
在C++中，我们可以利用已有的数学库或自己编写矩阵运算的函数来实现矩阵超定方程的最小二乘求解。
我们需要将超定方程组表示成矩阵形式，例如 A * x = b，其中 A 是m×n 的矩阵（m > n），x 是n×1 的未知数向量，b 是m×1 的观测值向量。
然后我们可以利用最小二乘法来求解未知数向量 x。
在C++中，我们可以使用Eigen这样的成熟数学库来进行矩阵运算和最小二乘求解。
Eigen提供了方便的矩阵和向量操作接口，使得矩阵超定方程的最小二乘求解变得非常简单和高效。
我们可以使用Eigen中的LeastSquaresConjugateGradient类或其他最小二乘求解器来解决超定方程组，从而得到最优的未知数向量 x。
除了使用成熟的数学库外，我们还可以自己编写矩阵运算和最小二乘求解的函数。
通过理解最小二乘法的原理和矩阵运算的基本操作，我们可以实现一个高效的最小二乘求解算法，用于解决矩阵超定方程。
这种方式可以加深我们对最小二乘法和矩阵运算的理解，同时也可以满足特定的需求和定制化的要求。
在C++中实现矩阵超定方程的最小二乘求解是一项非常重要和有意义的任务。
无论是使用现有的数学库还是自己编写算法，都需要深入理解矩阵运算和最小二乘法的原理，同时结合具体的应用场景来实现高质量、深度和广度兼具的算法。
希望通过我们的努力，能够为矩阵超定方程的最小二乘求解提供更加全面、深入的理解和应用。
希望以上内容对你有所帮助。
如有任何疑问或需要进一步讨论的，欢迎随时与我联系。
矩阵超定方程的最小二乘求解在实际应用中有着广泛的应用，比如在工程、物理学、经济学和统计学等领域。
一看就会（废）的最小二乘法的推导
⼀看就会（废）的最⼩⼆乘法的推导⼀、预备知识：⽅程组解的存在性及引⼊ 最⼩⼆乘法可以⽤来做函数的拟合或者求函数极值。
在机器学习的回归模型中，我们经常使⽤最⼩⼆乘法。
我们先举⼀个⼩例⼦来⾛进最⼩⼆乘法。
某次实验得到了四个数据点(x,y):(1,6)、(2,5)、(3,7)、(4,10) (下图中红⾊的点)。
我们希望找出⼀条与这四个点最匹配的直线y = \theta_{1} +\theta_{2}x，即找出在某种"最佳情况"下能够⼤致符合如下超定线性⽅程组的\theta_{1}和\theta_{2}，我们把四个点代⼊该直线⽅程可得:\theta_{1} + 1 \theta_{2} = 6\\ \theta_{1}+2\theta_{2}=5\\ \theta_{1}+3\theta_{2}=7\\ \theta_{1}+4\theta_{2}=10我们要求的是\theta_{1}和\theta_{2}两个变量，但是这⾥列出了四个⽅程组，我们是⽆法求解的。
我们现在以向量空间的⾓度来解释为何⽆解，以及最⼩⼆乘法如何处理这种⽆解的情况。
Ax = b\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} _{4\times2} \begin{bmatrix} \theta1\\ \theta2 \end{bmatrix}_{2\times1} =\begin{bmatrix} 6\\ 5\\ 7\\ 10 \end{bmatrix}_{4\times1}我们将四个⽅程组成的⽅程组写成矩阵形式。
矩阵A代表系数，x即待求的参数，b是每个⽅程对应的值。
从线性代数的⾓度来看，要判断Ax=b是否有解可以从向量空间⾓度来看。
这⾥先给出向量空间的性质：向量空间要求取其任意取两个列向量v和w，v+w或者cv(c是⼀个常数)都要属于该向量空间，并且任意列向量数乘的排列组合cv+dw+ek(c,d,e 表⽰常数，v,w,k表⽰任意的列向量)也要属于该向量空间。
超定方程组的最小二乘解
第六章 第二节
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MATH
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思维的体操 第六章 第二节 ——加里宁
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第六章 第二节
第二节 超定方程组的最小二乘解
设方程组Ax=b中, A=(aij)mn, b是m 维已知向量, x 是n 维解向量,当 m>n 即方程组中方程的个数 多于自变量的个数, 称此方程组为超定方程组.
????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx第六章第二节????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx正规方程组为上页下页返回正规方程组为????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx第六章第二节即解得即解得????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx上页下页返回?????????????????????485146331821xx??????????2418
ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故
AT Ax ATb
的解存在且唯一。可用平方根法或SOR法求解。
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例1 求超定方程组
超定方程组最优解（最小二乘解）推导
超定⽅程组最优解（最⼩⼆乘解）推导⼀、超定⽅程组##超定⽅程组即为有效⽅程个数⼤于未知数个数的⽅程组。
（这⾥只讨论多元⼀次的情况）超定⽅程组可以写成矩阵的形式：Ax=b其中A为m×n的矩阵，其与b组成的增⼴矩阵[A|b]的秩⼤于n。
x为n维列向量未知数。
⼆、超定⽅程组的最⼩⼆乘解##超定⽅程组是⽆解的，但是我们可以求得其最⼩⼆乘解，就是将等式左右两端乘上A的转置。
\begin{equation}\begin{split}A TAx=A Tb\end{split}\end{equation}该⽅程有增⼴矩阵[A T A|A T b]的秩等于n，即该⽅程的未知数的个数等于有效⽅程的个数，所以该⽅程有唯⼀解且为原⽅程的最⼩⼆乘解。
平时记住结论直接⽤就好三、推导过程##（记录，⼤家不要看：其实⼩⽣也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有⼀天看斯坦福⼤学的机器学习公开课的第⼆节，看到了推导过程。
）1.前置结论###1. trAB=trBA2. trABC=trBCA=trCAB3. ∇A trAB=B T4. trA=trA T5. tra=a6)∇A trABA T C=CAB+C T AB Ttr代表矩阵的迹，⼤写字母为矩阵⼩写字母表⽰实数，∇表⽰求导。
2.公式推导###作差[]Ax−b=a T1x−b1⋮a T m−b m构建最⼩⼆乘\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}m(a_i Tx-b_i)^2\end{split}\end{equation}对x求导\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x TA TAx-x TA Tb-b TAx+b Tb)\end{split}\end{equation}利⽤前置结论2)4)5)\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx TA TA-\nabla_xb TAx-\nabla_xb TAx]\end{split}\end{equation}其中利⽤前置结论6)注：⼤括号下的A为前置结论中的A，⼤括号上的A为矩阵A。
超定方程组的最小二乘解原理
超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。
当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。
由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。
这就是最小二乘解的原理。
一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。
这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。
三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。
具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。
假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。
那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。
62第二节 超定方程组的解
2x1 4x2 11.0478 3x1 5x2 2.9119
x1 2x2 5.5239
b1 b2 b3
解得最小二乘解为
x1 x2
3.0403 1.2418
2x1 x2 7.3224 b4
m
n
m
故误差平方和为 I r 2 2
数学学院 信息与计算科学系
nm
m
即有 ( aij aik )xk aij bi ( j 1,2,..., n)
k 1 i1
i 1
此线性方程组写成矩阵形式就是
AT Ax AT b
故x*是 ATAx=ATb 的解.
定理得证.
这里 ATAx=ATb 是关于x1,x2, …,xn的线性 方程组，称为正规方程组或法方程组.
数学学院 信息与计算科学系
解的存在唯一性
由于ATA是n 阶方阵，且是对称阵，当R(A)=n 时， 对任意 y≠0，有Ay≠0 ，所以
yT ( AT A) y ( Ay, Ay) Ay 2 0 2
可见ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故法方程
AT Ax AT b
的解存在且唯一.
2 2 yT AT (b Ax* )
2
Ay
2 2
b Ax*
2
Ay 2
b Ax*
2
2
2
2
所以x*是Ax=b 的最小二乘解.
数学学院 信息与计算科学系
必要性 误差向量r=b-Ax 的第 i 个分量为
n
ri bi aik xk (i 1,2,..., m),
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超定方程组最小二乘
解
超定方程组最小二乘解
最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋
势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。
如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
一、 超定方程组的最小二乘解
当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。
超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即
22*||||min ||||GX b GX b m R
X -=-∈ 该问题是一个优化问题。
命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解
证 由题设可得，G T (b – GX *)=0。
对任意n 维向量Y ，显然有
(X * – Y )T G T (b – GX *)=0
考虑残差2-范数平方，由
22**2
2||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-
上式右端利用内积，得
22*22*22*2
2||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-
从而有
|| b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2
等式仅当Y =X *时成立。
所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。
命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G T b
证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b m R
X -=-∈，利用2-范数与内积关系，知X *是下面二次函数的极小值点
ϕ(X ) = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b )
取任意n 维向量v ，对任意实数t ，构造一元函数
g (t ) = ϕ(X * + t v )
显然， g (t ) 是关于变量t 的二次函数
g (t ) = (G (X * + t v )，G (X * + t v )) – 2(G (X * + t v )，b ) + (b ，b )
= g (0) + 2t [(GX *，Gv ) – (Gv ，b )]+ t 2 (Gv ，Gv )
由题设t =0是g (t )的极小值点。
由极值必要条件，得0)0(='g 。
即
(GX *，Gv ) – (Gv ，b )=0
将左端整理化简，便得
(Gv ，GX * – b ) =0
利用内积性质，得
( v ，G T (GX * – b ) )=0
由v 的任意性，得G T (GX * – b ) =0
二、 最小二乘解的几何意义
首先考虑一个简单的超定方程组
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-6311215342y x 该方程组的右端向量是三维向量，系数矩阵的每一列也是三维向量，但待求的未知向量却是二维向量。
将系数矩阵按列分块，G =[α1，α2]，记右端向量为β。
则方程组求解问题可表示为求组合系数x 和y 使
x α1 + y α2 = β
的向量的线性组合问题。
由于两个向量α1，α2不构成三维空间的一组基，所以一般情况下这一问题无解。
而由向量α1，α2张成的子空间span{α1，α2}是一张平面，记为π。
则超定方程组的最
小二乘解实际上是求X *，使GX *
恰好等于β 在平面π上的投影。
而
最小二乘解所对应的残差向量则垂
直于向量GX *。
事实上，由正规方程组
G T GX=G T b
得
G T (b –GX * ) = 0
上式的几何意义可解释为：最小二乘解的残差向量与超定方程组的系数矩阵G 的所有列向量正交。
从而
(X *)T G T (b –GX * ) = 0
所以
(GX *，b –GX * ) = 0。