重庆八中2021届高三上学期适应性月考(一)数学试题 Word版含答案
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考(一)数学试题(解析版)
解：首先从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，
同理可得选第二名同学到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，依此类推，
由分步计数原理可得6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者共有 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的分步计数原理，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题型.
12．已知函数 若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是（）
（1） ， ，
，
，
令 ，解得 ，
当 或 ， ，
当 时， ，
在区间 上， 为减区间，在 上为增区间，
；
（2） ，
使 无极值，即使 无解或只有一个解，
，
.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，考查利用函数的极值求参数，属于中档题.
18．“云课堂”是一类面向教育的互联网服务，通过网络互动直播技术服务的方式，就可以实现面向全国的高质量的网络同步和异步教学，是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取1000人对“云课堂”倡议的了解程度进行了问卷调查，并对参与调查的1000人的性别以及是否了解“云课堂”倡议情况进行了分类，得到的数据如下表所示：
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面 的法向量 ，可得 ，取平面 的法向量为 ，利用 ，即可得出.
【详解】
（1）证明：如图所示的等腰梯形 中，经过点 分别作 、 ，垂足为 ，
则 为正方形，在 中，可得 ，故 ，
在 中，利用余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，故 ，
又∵ 平面 ，而 平面 ，即 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
【答案】
【解析】所拨数字共有 种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，然后分个位数字为5和个位数字为0两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的概率公式求解即可
重庆八中2021届高三第一学期高考适应性月考(二)数学试题【含答案】
重庆八中2021届高考适应性月考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，若复数(2)(1)i z m m =-++对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是A ．(1,2)-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞2．设a ∈R ，则“2a a <”是“||1a <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136a a +=，4233S a S +=+，则等比数列的公比为A ．13B ．12C ．2D ．34．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为000,()n N n t n n N N <⎪⎪=⎨⎪⎪⎩（0t ，0N 为常数）。
已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为 A ．16小时 B ．11小时 C ．9小时 D ．8小时5．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X 是取出球的编号，数学期望为()E X ，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y 是取出球的编号，数学期望为()E Y ，则A ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y >B ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y <C ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y >D ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y <6．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=A ．45B ．65C ．69D ．-1057．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若22cos C =，且．3sin sin 3sin c C a A b B -=，则a b= A ．32B ．3C ．22D ．28．从某个角度观察篮球（如图1甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是 A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b ⋅的最大值为310．如图2，长方体1111ABCD A B C D -的底面是正方形，12AA AB =，E 是1DD 的中点，则 A ．1B EC 为直角三角形 B ．1//CE A BC ．三棱锥11C B CE -的体积是长方体体积的16D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积是正方形ABCD 面积的6π倍11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()2(3)f x f x f +-=，且()f x 在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是 A ．(3)0f = B ．()f x 在(6,3)--上单调递增 C ．(2020)(2021)f f <D ．()f x 可以是sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭12．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线$BE$的斜率为12kD ．90PAB ︒∠>三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知x ，y 满足约束条件40,0, 1x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩则3z x y =-的最大值为____________。
2021届重庆第八中学高三上学期第一次月考数学(文)试卷
2021年重庆第八中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}22|{<<-=x x A ，}1|{<=x x B ，则=B A （ ）A ．)2,(-∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),2(+∞2．已知数列}{n a 为等差数列，且2265=+a a ，73=a ，则=8a （ ）A ．11B ．15C ．29D ．303．设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数3log 2)(2-+=x x f x 在区间)2,1(内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量3||=，17=⋅，则=⋅（ ）A ．0B ．14C ．8-D ．86．若 73sin 17sin 77sin 2λ=-，则=λ（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-7．已知直线a y =与函数1331)(23+--=x x x x f 的图象相切，则实数a 的值为（）A ．26-或38B ．1-或3C ．8或38-D ．8-或388．已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且面积为6，周长为12，53cos =B ，则边b 为（ ）A ．3B ．24C ．4D ．349．已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．10．函数c x bax x f ++=2)(的图象如下图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0,0>>c aB ．0,0<>c aC ．0,0><c aD ．0,0<<c a11．已知数列}{n a 的前n 项和为)11ln(n S n +=，则=++987a a a e （ ） A ．43 B ．2120 C ．2726 D ．3635 12．已知函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，若3tan =α，则=)2sin 2015(αf （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2016二、填空题13．已知复数z 满足321)1(i i z +=-⋅，其中i 为虚数单位，则=z .14．在正项等比数列}{n a 中，有162534231=++a a a a a a ，则=+42a a .15．已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，且2π=C ，则B A 22sin 9sin 4+的最小值为 .16．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01<a ，公差0>d ，01020<a S ，则n S 最小时，=n .三、解答题17．已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，求实数m 的最小值.18．一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示.将月用电量落入该区间的频率作为概率.若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元.记X （单位：度，32525≤≤X ）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费.（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将T 表示为X 的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费)115,5.37[∈T 的概率.19．已知在斜三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 为菱形， 90=∠ACB ，2==BC AC ，点D 为AC 的中点，⊥D A 1平面ABC .（1）求证：11AC B A ⊥；（2）设直线1AC 与D A 1交于点M ，求三棱锥MBC C -1的体积.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为21FF、，过2F作直线l与椭圆分别交于两点NM、，求NFMF11⋅的取值范围.21．已知函数)(1)1(ln)(2Raxxaxxxf∈+---=.（1）当0=a时，求)(xf的极值；（2）若0)(<xf对),1(+∞∈x恒成立，求a的取值范围.22．如图，已知AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，点D是劣弧AC上的一点，过点D作ABDH⊥于H，交AC于E，延长线交⊙O于F.（1）求证：ACAEAD⋅=2；（2）延长ED到P，使PCPE=，求证：PFPDPE⋅=2.23．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin3cos31yx（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是33)6cos(=-πθρ，射线OT：）（03>=ρπθ与曲线C 交于A点，与直线l交于B点，求线段AB的长.24．已知实数0>a，0>b，且3322=+ba，若mba≤+5恒成立.（1）求实数m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-5|||1|2对0>a ，0>b 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：(,2)A B =-∞．考点：集合并集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．B【解析】试题分析：等差数列中5638822,15a a a a a +=+==.考点：等差数列的基本概念．3．C【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以为 考点：全称命题与特称命题4．B【解析】试题分析：根据零点与二分法，()()10,20f f <>，且函数是增函数，故有唯一零点. 考点：零点与二分法．5．D【解析】试题分析：()1798OA AB OA OB OA ⋅=⋅-=-=.考点：向量运算．6．A【解析】试题分析：2sin 77sin17sin 73λ-=可化为()22sin 77sin17cos171sin 17λλθ=+=++，所以60λθ==.考点：三角函数恒等变形．7．D【解析】试题分析：即求导数为零的极值点，令()'2230,1,3f x x x x x =--==-=，()()81,383f f -==-. 考点：导数与切线．8．C【解析】试题分析：222413sin ,sin 6,12,cos 5225a b c B ac B a b c B ab +-==++===，解得4b=. 考点：解三角形．9．C【解析】试题分析：()2324a b c a c b c ++=+++≥=.考点：基本不等式．10．A【解析】试题分析：()()200,0,ax f b f x x c ===+，()()()()()()22'22222a x c ax x a x c f x x c x c +---==++，故0,0a c >>.考点：函数图象与性质．11．B【解析】试题分析：()()1ln 2,1,ln(1)ln ln ln 1ln 12ln ln(1)n a n a n n n n n n n =>=+----=+-+-⎡⎤⎣⎦，故78920ln 21a a a ++=，所以7892021a a a e ++=. 考点：数列求通项．【思路点晴】已知n S 求n a 是一种非常常见的题型，这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示．12．B【解析】 试题分析：2222sin cos 2tan 3tan 3,sin 2sin cos tan 15αααααααα====++，()f x 是周期为3的奇函数，故()()(2015sin 2)120900f f f α===.考点：函数的单调性、奇偶性与周期性．【思路点晴】弦化切是三角函数题目中一种常见的解法.如已知tan 2θ=，求sin cos sin cos θθθθ+-，我们只需分子分母除以cos θ就能转化为正切，即tan 1tan 1θθ+-.如果要求的是二次的，则除以2cos θ.如果要求的式子是整式，则需先除以1，如本题中的222sin cos 2sin cos sin cos θθθθθθ=+，然后再分子分母同时除以2cos θ，转化为正切值来求.13．12i z -= 【解析】 试题分析：121,2i z i z -⋅=-=. 考点：复数的运算．14．4【解析】试题分析：()21324352424216,4a a a a a a a a a a ++=+=+=．考点：等比数列的基本性质．15．25【解析】试题分析：有一个角是直角，故()()222222224sin cos 9sin cos 49sin sin sin cos A A A A A B A A+++=+ 224139tan 131225tan A A=++≥+=． 考点：解三角形、基本不等式．【思路点晴】本题主要考查同角三角函数关系、1的代换、基本不等式三个知识点. 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．16．10【解析】 试题分析：()()10112010101110111010100,0,0,0a a S a a a a a a a +=<+<<>，故前10项和最小. 考点：等差数列的基本概念．【思路点晴】若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+.熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．17．（1）π，Z k k k ∈++],127,12[ππππ；（2）3π 【解析】试题分析：（1）将cos(2),cos(2)66x x ππ+-展开后再次合并，化简得()2sin(2)13f x x π=++，进而求得周期和单调递减区间；（2）先按题意平移，得到2sin(22)13x m π+++，即1)322sin(2±=++ππm ，由此求得Z k k m ∈-=,62ππ，最小值为3.试题解析：（1）6sin 2sin 6cos 2cos 1)22cos()62cos()62cos()(πππππx x x x x x f -=++--++= 1)32sin(212sin 2cos 312sin 6sin2sin 6cos2cos ++=++=++++πππx x x x x x∴函数)(x f 的最小正周期πωπ==||2T ， 当Z k k x k ∈+≤+≤+,2323222πππππ，即Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ时，函数)(x f 单调递减.∴函数)(x f 单调递减区间为Z k k k ∈++],127,12[ππππ. （2）由已知1)322sin(21]3)(2sin[2)(+++=+++=ππm x m x x g又)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，∴当4π=x 时，)(x g 取得最大值或最小值，∴1)322sin(2±=++ππm ，∴Z k k m ∈+=+,2652πππ，∴Z k k m ∈-=,62ππ，又0>m ，∴1=k 时，m 取得最小值3π.考点：三角函数图象与性质． 18．（1）161；（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）0.7【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图估计平均数的公式，计算平均值为161；（2）依题意，易得⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）[37.5,115)[75,225)T X ∈⇔∈，由频率分布直方图求得概率为0.7. 试题解析：（1）月用电量的平均值1610.063000.122500.222000.31500.181000.1250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （度）（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T（3）)225,75[)115,5.37[∈⇔∈X T ，则7.050)0044.00060.00036.0())225,75[())115,5.37[(=⨯++=∈=∈X P T P考点：频率分布直方图．19．（1）证明见解析；（2）9【解析】试题分析：（1）依题意有，BC D A ⊥1，由⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥，所以⊥1AC 平面BC A 1，从而11AC B A ⊥；（2）利用割补法111223C MBC C ABC M ABC M ABC ABC V V V V S MD ----∆=-==⨯⨯⨯，9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V .试题解析：（1）证明：一方面，∵⊥D A 1平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC D A ⊥1， 又∵AC BC ⊥，∴⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥ ① 另一方面，∵四边形11ACC A 为菱形，∴11AC C A ⊥ ②由①②可得：⊥1AC 平面BC A 1，再加上⊂B A 1平面BC A 1，从而11AC B A ⊥. （2）解：∵D 为线段AC 的中点，∴2111=C A AD ，从而211=MC AM ，即3211=A C M C ， 于是MD S V V V V V V ABC ABC M ABC M ABC M ABC M ABC C MBC C ⨯⨯⨯==-=-=∆------3122311， 而22221=⨯⨯=∆ABC S ，33331311=⨯==D A MD ， ∴9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V . 考点：立体几何证明垂直与求体积．20．（1）1222=+y x ；（2）7[1,]2- 【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求得1c =，由2c a =求得22a =，椭圆C ：1222=+y x ；（2）①若直线l 斜率不存在，求出,M N 坐标，进而求得2711=⋅N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入11F M F N ⋅，求得表达式为2972221k -+，由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅F F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅F F .试题解析：（1）依题意⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c ac θθ椭圆C ：1222=+y x . （2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为1=x ，)22,1()22,1(-N M 、 ∴)22,2(1=F ，)22,2(1-=N F ，故2711=⋅F F . ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得：0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则2221214k k x x +=+,22212122kk x x +-=. ),1(111y x F +=，),1(221y x F +=，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅x k x k x x y y x x F F2212212111))(1()1(k x x k x x k F F +++-++=⋅⇒代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅k k k k k k k k k F F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅N F M F .考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示. 21．（1）)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）21≥a 【解析】试题分析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增.故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）本题转化为01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立，令x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，利用导数并分类讨论，可求得21≥a . 试题解析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增. 故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值. （2）解法一：01)1(ln )(2<+---=x x a x x x f 在),1(+∞恒成立，∵0>x ，即01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立， 不妨设x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，),1(+∞∈x ，则2)1)(1()('x a ax x x h -+--=.①当0≤a 时，01<-+a ax ，故0)('>x h ，∴)(x h 在），（∞+1上单调递增，从而0)1()(=>h x h ，∴0)(<x h 不成立. ②当0>a 时，令0)1)(1()('2=-+--=x a ax x x h ，解得：11=x ，112-=ax若111>-a ，即210<<a ， 当)11,1(-∈a x 时，0)('>x h ，)(x h 在)11,1(-a上为增函数，故0)1()(=>h x h ，不合题意； 若111≤-a ，即21≥a ， 当)0(∞+∈，x 时，0)('<x h ，)(x h 在），（∞+1上为减函数，故0)1()(=<h x h ，符合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a . 解法二：由题)1(2ln )('--=x a x x f ，),1(+∞∈x . 令)(')(x f x g =，则xaxx g 21)('-=①当0≤a 时，在1>x 时，0)('>x g ，从而0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上单调递增，∴0)1()(=>f x f ，不合题意； ②当0>a 时，令0)('=x g ，可解得ax 21=. （Ⅰ）若121≤a ，即21≥a ，在1>x 时，0)('<x g ，∴0)1()(=<g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上为减函数，∴0)1()(=<f x f ，符合题意； （Ⅱ）若121>a ，即210<<a ，当)21,1(a x ∈时，0)('>x g ，∴)21,1(a x ∈时0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（a211上单调递增，从而)21,1(ax ∈时0)1()(=>f x f ，不合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a .考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证Rt AHERt ACB ∆∆，利用相似比，可得故AH AB AC AE ⋅=⋅，所以AC AE AD ⋅=2；（2）连结OC ，利用等腰三角形和直角，证明PC OC ⊥，由切割线定理，有PF PD PC ⋅=2，由于PE PC =，所以2PE PD PF =⋅.试题解析：（1）解法一：连结DC 、AF .∵DF AO ⊥，∴弧DA =弧AF ，∴ADF DCA ∠=∠在ADC ∆与AED ∆中，EAD DAC ∠=∠，ADF DCA ∠=∠， ∴ADC ∆∽AED ∆，∴ADAE AC AD =，∴AC AE AD ⋅=2. 解法二：由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证AHE Rt ∆∽ACB Rt ∆， 可得ACAH AB AE =，故AH AB AC AE ⋅=⋅，∴AC AE AD ⋅=2（2）连结OC .∵PC PE =，∴PEC PCE ∠=∠， 又∵PEC AEH ∠=∠，∴AEH PCE ∠=∠，∵在AHE Rt ∆中，90=∠+∠AEH EAH ，∴90=∠+∠EAH PCE ， ∵OC OA =，∴ACO EAH ∠=∠，∴90=∠+∠ACO PCE ，即PC OC ⊥， ∴PC 为⊙O 的切线，PF PD PC ⋅=2， ∵PC PE =，∴PF PD PE ⋅=2.考点：几何证明选讲．23．（1）02cos 22=--θρρ；（2）4【解析】试题分析：（1）先消参，化为直角坐标方程3)1(22=+-y x ，利用极坐标与直角坐标相互转化的公式，有02cos 22=--θρρ；（2）联立圆的极坐标方程和3πθ=，可求得射线OT与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；联立直线的极坐标方程和3πθ=，考前求得射线OT与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π，故4||||=-=A B AB ρρ.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为3)1(22=+-y x ,又θρcos =x ，θρsin =y ，∴曲线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.（2）由2020302cos 222=⇒=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧>==--ρρρρπθθρρ）（， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；由60333)6cos(=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-ρρπθπθρ）（，故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π. ∴4||||=-=A B AB ρρ. 考点：坐标系与参数方程． 24．（1）4；（2）32-≤x 或2≥x 【解析】试题分析：（1）由柯西不等式有222116(3)(5))3a b b =++≥+，故实数m 的最小值为4；（2）由（1）知45≤+b a .即4|||1|2≥+-x x ，利用零点分段法去掉绝对值，解得32-≤x 或2≥x .试题解析：（1）∵m b a ≤+5恒成立，∴m b a ≤+max )5(.∵0>a ，0>b ，由柯西不等式222)5()315)(3(b a b a +≥++，∴45)5(31632≤+⇒+≥⨯b a b a （当且仅当453=a ，41=b 时取等号） 故4)5(max =+b a ，∴4≥m ，实数m 的最小值为4. （2）由（1）知45≤+b a . 若b a x x +≥+-5|||1|2对任意的0>a ，0>b 恒成立，只需4|||1|2≥+-x x ，该不等式等价于⎩⎨⎧≥--<4)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤4)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->4)1(21x x x解得32-≤x 或2≥x . 考点：不等式选讲．。
重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷(一)数学-答案
………………………………………………………（2 分） 评分的平均值为 55 0.05 65 0.1 75 0.3 85 0.4 95 0.15 80 ．
………………………………………………………（4 分）
数学参考答案·第 4 页（共 7 页）
（2）完成 2 2 列联表如下表：
3．∵
cos
B
1 7
，故
sin
B
43 7
，由正弦定理
AC sin B
BC sin A
AC
BC sin B sin A
8
，故选
D.
4．由题知：
BM
1 2
BA
1 2
BC
，则
AB
2BM
BC
，从而
2
，
1
，故选
C.
5．1 a3 a5 a7 a9 … a2019 a2 a3 a5 a7 a9 … a2019 a4 a5 a7 a9 … a2019 a6 a7 a9 … a2019 a8 a9 … a2019 a10 a11 … a2019 a2018 a2019 a2020 ， 则 k 2020 ，故选 B．
重庆市第八中学 2021 届高考适应性月考卷（一） 数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10 11 12
答案 A B D C B B B B BCD BD AD ABD
【解析】 1．由题 A {1，0，1，2，3，4} ，∴ (U A) B {2，2，3} ，故选 A． 2． a3 a4 a6 a7 4a5 28 ，故选 B．
（2）设 BDA ， CD x ， AB y ，则 AD 2x ，
数学丨重庆市主城区2021届高三上学期高考适应性试卷(一)数学试卷及答案
重庆市主城区2021届高考适应性试卷（一）数 学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}5)2)(2(＜-+=x x x A ，{}N a a x x B ∈-=，＞1)(log 2，若B A ⋂为空集则a 的可能取值组成的集合为（ ） A.{}0B.{}1C.{}10，D.*N2.若复数aii Z -2-13=为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.-1B.1C.-2D.23.设A 、B 、C 是直径为1的圆上三点，若2=AB ，则AC AB ⋅的最大值为（ ） A.33+B.323+C.21+D.24.62)1)(21(xx x -+的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A.-40B.-25C.25D.555.已知球面上A ，B ，C 三点，如果3===AC BC AB ，且球的体积为π3520，则球心到平面ABC 的距离为（ ） A.1B.2C.3D.26.已知双曲线0)b 01(a -2222＞，＞=by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，圆2222b a y x +=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A 、B ，四边形12BF AF 的周长p 与面积S 满足S p 24=，则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C.26 D.332 7.设直线系)20(1sin )2(cos πθθθ≤≤=-+y x M ：，则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个直线与所有直线相交；②M 中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数)3(≥n n ，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④ A.0 B.1C.2D.38.若函数)]4sin()3sin()2sin()lg[sin()(x x x x x f ππππ⋅⋅⋅=的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为（ ）A.4B.3C.2D.1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学(文)试题Word版含答案
2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,1,2,3A =，301x B x x ⎧-⎫=⎨⎬-⎩⎭≤，则A B ⋂=（ ）A ．1,2B ．1,2,3C ．2.3D ．22.复数()()2234i R z a a a =-+-∈的实部与虚部相等，且z 在复平面上对应的点在第三象限，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1-3.函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图1所示，则（ ）A ．3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4.直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C.12π D ．323π5.已知直线40x y ++=被圆22220x y x y a ++-+=所截得弦长为2，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．4- C.7- D ．10-6.已知直线3y x =-与两坐标轴围成的区域为1Ω，不等式组3,0,2y x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥所形成的区域为2Ω，现在区域1Ω中随机放置一点，则该点落在区域2Ω的概率是（ ） A ．14 B ．13 C.12 D ．237.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A．123π+ B．136π C.73πD．52π8.已知直线l过点()0,1，且倾斜角为6π，当此直线与抛物线24x y=交于A，B时，AB=（）A．163B．16 C.8 D．16339.阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．8 B．9 C.10 D．1110.已知函数()12log,02,12,2,2x xf xx x⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩＜≤＞且()2f a=，则()2f a+=（）A．12B．14C.58D．7811.设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin θ=（ ） A ．35 B ．45 C.35- D ．45-12.设函数()211121x f x x+⎛⎫=+⎪+⎝⎭，则使得()()()21122f x f x f x -+-＜成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()22,2a =，()0,2b =，(),2c m =，且()2a b c +⊥，则实数m = ．14.若双曲线()221024x y a a -=＞的一条渐近线过点()2,1，则a = ． 15.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 5A =-，1sin 2C =，1c =，则ABC ∆的面积为 ．16.重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料，由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时，可加工出14箱水煮鱼火锅底料，每箱可获利80元；乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时，可加工出8箱麻辣鱼火锅底料，每箱可获利100元.甲、乙两车间每天总获利最大值为 元．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知n a 是递增的等差数列，1a ，2a 是函数()21021f x x x =-+的两个零点. （1）求数列n a 的通项公式；（2）记3n n n b a =⨯，求数列n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）发改委10月19日印发了《中国足球中长期发展规划（2016-2050年）重点任务分工》通知，其中“十三五”校园足球普及行动排名第三，为了调查重庆八中高一高二两个年级对改政策的落实情况，在每个年级随机选取20名足球爱好者，记录改政策发布后他们周平均增加的足球运动时间（单位：h ），所得数据如下：高一年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 1.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.2 2.8 4.2 2.5 4.5 3.5 2.5 3.3 3.7 4.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.2 高二年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 4.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.6（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个年级政策落实得更好？ （2）根据两组数据完成图4的茎叶图，从茎叶图简单分析哪个年级政策落实得更好？ 19. （本小题满分12分）如图5所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDFE 是平行四边形，点M ，N 分别是BE ，CF 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）若ABE ∆是等边三角形且平面ABE ⊥平面ABCD ，记三棱柱E ABF -的体积为1S ，四棱锥F ABCD -的体积为2S ，求12S S 的值. 20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的长轴是圆224x y +=的一条直径，且右焦点到直线230x y +-=的距离（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线():l y kx m k R =+∈与椭圆C 交于A ，B 两点，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分） 设函数()()3x f x k x e x =---.（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜对任意0x ＞恒成立，求整数k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆O 和圆C 的极坐标方程分别为2ρ=和4sin ρθ=，点P 为圆O 上任意一点． （1）若射线OP 交圆C 于点Q ，且其方程为3πθ=，求PQ 的长；（2）已知32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，若圆O 和圆C 的交点为A ，B ，求证：222PA PB PD ++为定值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若0a ＞，0b ＞且223ab a b =++． （1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ，b 使得22417a b +=？并说明理由．2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:CACCC 6-10:BBABD 11、12：CB 【解析】1.{}13B x x =＜≤，{}2,3A B ∴⋂=，故选C .2.由题意2234a a-=-，解得1a=或2，当2a=时，22iz=+，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，所以1a=，故选A.3.24362 Tπππ=-=，2Tπ∴=，2Tπω=，又,06π⎛⎫⎪⎝⎭为“五点法”的第一个点，则06πϕ+=，6πϕ=-，sin6y xπ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，故选C.4.设D，1D分别为AC，11A C的中点，则1DD的中点O为球心，球的半径223R CD OD=+=，故表面积为2412S Rππ==，故选C.5.圆的方程为()()22112x y a++-=-，圆心为()1,1-，由22114122a⎛-++⎫+=-⎪⎝⎭得7a=-，故选C.6.如图1所示，OAB∆对应的区域为1Ω，OBC∆对应的区域为2Ω，所以该点落在区域2Ω的概率13OBCOABSPS∆∆==，故选B.7.该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，2211131211236Vπππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B.8.直线3:1l y=+与24x y=联立得24340x-=，643∆=，故21211611333AB k x x=+⋅-=+=，故选A.9.当1i=时，1lg12S=-＞；当2i=时，1lg13S=-＞；当3i=时，1lg14S=-＞……当9i=时，1lg110S==-，故输出9i=，故选B.10.（1）当2a＞时，()1212f a a=-+＜，不成立；（2）当02a＜≤时，()12log2f a a==，则14a=或4a=（舍），所以()9197224248f a f⎛⎫+==-⨯+=⎪⎝⎭，故选D.11.()()343sin4cos5sin cos5sin55f x x x x x xϕ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中4sin5ϕ=，3cos5ϕ=，由()()5sin5fθθϕ=+=-得()sin1θϕ+=-，所以22kπθϕπ+=-+，k Z∈，22kπθϕπ=--+，k Z∈，所以3 sin sin2sin cos225kππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.12.由解析式可知，()f x为偶函数且在[)0,+∞上单调递减，则()()()2112221f x f x f x-+-=-，所以()()()()()()()()()2112222122121f x f x f x f x f x f x f x f x f x-+-⇔-⇔-⇔-⇔＜＜＜＜()222212121213x x x x x x x-⇔-⇔-⇔＞＞＞＜或1x＞，故选B.二、填空题13.3- 14.4 15.83625-16.60800【解析】13.()222,6a b+=，由()20a b c+⋅=得22620m+=，所以3m=-.14.渐近线方程为2y xa=±，故41a=，所以4a=.15.22sincRC==，则482sin255a R A==⨯=，又()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+=4331433525210-⎛⎫⨯+-⨯=⎪⎝⎭，118433836sin12251025S ac B--∴==⨯⨯⨯=.16.设甲车间加工原材料x吨，乙车间加工原材料y吨，甲、乙两车间每天获利为z元，则0,0,70,106480,x yx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤目标函数1120800z x y=+，作出可行域，如图2所示.当1120800z x y=+对应的直线过直线70x y+=与106480x y+=的交点A时，目标函数1120800z x y=+取得最大值.由70,106480x yx y+=⎧⎨+=⎩得15,55,xy=⎧⎨=⎩故max1120158005560800z=⨯+⨯=，即甲、乙两车间每天总获利最大值为60800元.三、解答题17.解：（1）函数()21021f x x x =-+的两个零点为3，7， 由题意得13a =，37a =.()()213353213213n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯， ()()23133353213213n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯，两式相减得()()()()23111292333213939213n n n n n S n n +++-=+⨯+++-+⨯=+--+⨯，所以13n n S n +=⨯.18.解：（1）设高一年级所得数据的平均数为x ，高二年级所得数据的平均数为y . 由记录数据可得 ()11.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.22.8 4.2 2.5 4.53.5 2.5 3.3 3.74.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.220x =⨯+++++++++++++++++++3.3=，()14.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.620y =⨯+++++++++++++++++++2.6=，由以上计算结果可得x y ＞，因此可看出高一年级政策落实得更好. （2）由记录结果可绘制如图3所示的茎叶图：从以上茎叶图可以看出，高一年级的数据有710的叶集中在茎3，4上，而高二年级的数据有710的叶集中在茎1，2上，由此可看出高一年级政策落实得更好.19.（1）证明：如图4，取DF 的中点H ，连接MH ，NH ， 点N ，H 分别是CF ，DF 的中点，NH CD ∴∥. EBDF 是平行四边形，且点M ，H 是BE ，DF 的中点， MH BD ∴∥，又MH NH H ⋂=，BD CD D ⋂=，所以平面MNH ∥平面ABCD ， 又MN ⊂平面MNH ，MN ∴∥平面ABCD.（2）解：法一：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， DF ∴∥平面ABE ，1=E ABF F ABE D ABE E ABD S V V V V ----∴===，又EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，2122F ABCD E ABCD E ABD S V V V S ---∴====，1212S S ∴=. 法二：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，DF ∴∥平面ABE ,平面EAB ⊥平面ABCD ，DA AB ⊥，平面EAB ⋂平面ABCD AB =， DA ∴⊥平面EAB ，11123=3233E ABF D EAB EAB S V V S DA --∴==⋅⋅==， EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于E 到AB的距离，即h =113F ABCD ABCD S V S h -∴==⋅⋅=， 1212S S ∴=. 20.解：（1）由已知24a =， 解得2a =，c =，所以1b =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在这样的直线.由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216410k m ∆=-+＞，()*设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++ ()22222224484141k m k m m k k -=-+++ 222441m k k -=+， 由22OA OB OA OB +=-得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 故22454k m =-，代入()*式得m -＜m 21.解：（1）当1k =时，()1x f x xe '=--， 则()01f '=-，()02f =-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()210y x --=-⨯-， 即20x y ++=.（2）()30x k x e x ---＜对任意0x ＞恒成立3x x k x e+⇔+＜对任意0x ＞恒成立 min 3x x k x e +⎛⎫⇔+ ⎪⎝⎭＜， 令()()30xx h x x x e +=+＞，则 ()221x x xx e x h x e e ----'=+=. 令()2x x e x ϕ=--，则()10x x e ϕ'=-＞，()x ϕ∴在()0,+∞上单调递增，又()130e ϕ=-＜，3237022e ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ∴存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，其中()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()0000min 3x x h x h x x e +∴==+， 又()00x ϕ=，即0020x e x --=，002x e x ∴=+，()()0000000min 00331122x x x h x h x x x x x x e ++∴==+=+=++++， 031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0512,2x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，0110,22x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭， ()00112,32x x ∴++∈+， k Z ∈，2k ∴≤，k ∴的最大值为2.22.（1）解：把3πθ=代入4sinρθ=得到Q 点的极径4sin 3Q πρ==， 而点P 的极径为2P ρ=，所以2Q P PQ ρρ=-=.（2）证明：联立2ρ=和4sin ρθ=解得52,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为()A ，)B，()0,2D -，圆O 的直角坐标方程为224x y +=.则(()(()()22222222211224PA PB PD x y x y x y ++=+-+-+-+++=. 23.解：（1）由条件知()21230a b b -=+＞，12b ＞.所以2321b a b +=-，23422212262121b a b b b b b ++=+=-++=--≥. 当且仅当212b -=，即32b =，3a =时取等，所以2a b +的最小值为6. （2）因为22224269222a b a b ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥，当且仅当32b =，3a =时取等， 所以22418a b +≥，故不存在a ，b 使得22417a b +=.。
2021年重庆八中高考数学适应性试卷(原卷+答案)(一)
12．（5 分）设函数 f (x) cos(x )( ， 是常数， 0 ， 0 ) ，若 f (x) 在区间 [ , 5 ] 上具有单调性，
2
24 24
且 f ( ) f (5 ) f (11 ) ，则下列说法正确的是 (
)
24
24
24
A． f (x) 的周期为
B． f (x) 的单调递减区间为 [ k , k ](k Z )
衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图，该数列从第一项起依次是 0，2，
4 ， 8 ， 12 ， 18 ， 24 ， 32 ， 40 ， 50 ， 60 ， 72 ， ， 若 记 该 数 列 为 {an} ， 则 a2021 a2020 (
第 1页（共 19页）
| PB | 正确的是 ( )
A． C 的方程为 (x 4)2 y2 9
B．在 x 轴上存在异于 A ， B 的两个定点 D ， E ，使得 | PD | 2 | PE |
C．当 A ， B ， P 三点不共线时， APO BPO
D．若点 Q(0, 6) ，则在 C 上存在点 M ，使得 | MQ || MB |
2021 年重庆八中高考数学适应性试卷（一）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5
分）若复数
z
i 1 i
，则
|
z
|
(
)
A． 1 4
B． 1 2
C． 2 2
D． 2
2．（5 分）已知全集U {x N |1x8} ，集合 A {2 ，4，5， 6} ， B {1 ，3，5， 7} ，则 A (ðU B) (
重庆八中2024—2025学年度(上)高三年级入学适应性训练 数学答案
重庆八中2024—2025学年度（上）高三年级入学适应性训练数 学 试 题 参 考 答 案一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A B A C C A D B 【1】{|61}A x x x =><−或，{|3,}{4,5,6,}B x x x N =>∈=，{|16}R A x x =−≤≤【2】1x y +>−不能推出0x y +>，A ∴错误；00x y x y >>⇒+>，当2x =−，3y =时，满足0x y +>，但不满足0x y >>，B ∴正确；当2x =−，3y =−时，满足0xy >，但不满足0x y +>，C ∴错误；当3x =−，2y =−时，满足220x y −>，但不满足0x y +>，D ∴错误，故选：B ．【3】()()f x f x −=−⇒函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；1()0f eπππ−−=<，故选A 【4】由题意可得，1531922a a a +==，313313192288128192a a b b b b ∴=⇒=⇒=，选C ． 【5】由题知020θ=，180θ=，50θ=，所以()0.025*******e t−=+−，可得0.021e 2t −=， 所以10.02ln ln 22t −==−，50ln 2345t ∴=≈．，即某物体的温度从80C ︒下降到50C ︒以下，至少大约需要35分钟.故选C.【6】令()f x t =，若函数2()[()]()1g x f x af x =−−有三个零点，则方程2()10h t t at =−−=有一根在(0,)+∞上，一根在(0,)+∞上，则只需(1)0h −>即可，故0a >，选A【7】因为()()2()x f xy f f x y+=，所以()()()()x f xy f x f x f y −=−，所以1(2)(2)k k f f −−=121(2)(2)(2)(1)2k k f f f f −−−==−=，所以(2)2k k f =，所以11(2)(1)4kk nf n n ==+∑.【8】由题可知函数()g x 图象为()f x 图象向左平移一个单位得到，()f x 图象与两坐标轴围成的图形面积即为()g x 图象与10x y =−=，所围成的图象面积，32()log 22xg x x x −=−++，定义域为(2,2)−，32()log 22xg x x x +−=++−+，则有()()4g x g x +−=，函数()g x 的图象关于点(0,2)成中心对称，又(1)4(1)0g g −==，，且点(1,4)−与点(1,0)也关于点(0,2)成中心对称，由基本初等函数的单调性可得函数()g x 在区间(1,1)−上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是12442⨯⨯=．故选：B ．二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项题号9 10 11 答案AD ACD BCD详细解答：【9】设原样本为1x ，2x ，⋯，n x ，其平均数为0x ，则10ni i xx n=∑=，混入后为0x ，1x ，2x ，⋯，n x ，平均数为x ，于是0000(1)111nniii i ix x x n x x x n n n ==+∑∑+====+++，则这两组数据的平均数相同，故A 正确；取这组数据为1,2,3,4,10，则其中位数为3，加入平均数4后，中位数变为3.5，于是可得这两组数据的中位数不一定相同，故B 错误；取这组数据为1,2,3,4,5，则其标准差为2315，于是可得这两组数据的标准差不同，故C 错误；不妨设12n x x x ≤≤≤，由于10n x x x ≤≤，故这两组数据的极差相同，故D 正确．故选：AD ． 【10】由0a >，0b >，22a b ab +=，变形为1112a b +=．A ，由“乘1法”可得：11222(2)()2224222a b a ba b a b a b b a b a+=++=+++⋅=，当且仅当22a b b a=，即2a =，1b =时取等号，A 正确； B ，由“乘1法”可得：11333()()22222222a b a b a b a b a b b a b a +=++=+++⋅=，当且仅当2a bb a =，即22122a b ++==B 错误； C ，222a b ab +，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时取等号，∴222ab ab ，化为2ab ，当且仅当2a =，1b =时取等号，C 正确；D ，2244a b ab +，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时取等号，由C 知2ab ，当且仅当2a =，1b =时取等号，2248a b ∴+，当且仅当2a =，1b =时取等号，D 正确．【11】()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞+，()()21201f x x x '=+>−在定义域上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，()1,+∞，故A 错误；1122ln 1ln 1111x f x x x x x⎛⎫=−−=−−+ ⎪−⎝⎭−，所以()122201x f f x x x −⎛⎫+=−+= ⎪−⎝⎭，又202420251log 2025log 2024=，所以()()20242025log 2025log 20240f f +=，故B 正确；()()e 1221ln e ln e 1e e 1e 1e1b b b b bbbf a b f −−−+=−=+−=−−=−−−，因为()0,b ∈+∞，所以0<e 1b −<，又()0,1a ∈，所以e b a −=，即e 1b a =，故C 正确.(1)()f a f a −>即12(1)()ln(1)(2)(1)f a f a a a a −−=−−−−，由1ln 1x x>−，2(1)()101(2)(1)(1)(2)a af a f a a a a a a −−−>−−=>−−−−−，故选：BCD题号 12 1314 答案 2 382e −1【12】解法一：12F PF △的面积为1222cot 22F PF b b θ=⋅==△S解法二：设12||,||()PF x PF y x y ==>，由定义4x y −=，1290F PF ∠=︒，2224x y ∴+=，2222()8xy x y x y ∴=+−−=，4xy ∴=，12F PF ∴的面积为122xy = 【13】设直线l 与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，由()22e xf x '=，得()0202e x k f x '==，因为l 与曲线()2xf x e =相切，所以0002002()2e e 1x x y x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩，消去0y ，解得032x =，32k e =． 设l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x y ，由()112g x x '=，得3122k e x ==，即131x e=，331131(1)2(1)22e y k x e e =−=−=−，因为11(,)x y 是l 与曲线()2ln g x x a =+的公共点， 所以331222ln()e a e−=+，解得382a e =−．【14】因为函数()y f x =的定义域为R ，()1f x −为奇函数，()1f x +为偶函数，所以，函数()f x 的图象关于点()1,0−对称，也关于直线1x =对称，所以，()()2f x f x −=+，()()2f x f x −=−−，所以，()()22f x f x +=−−，则()()()84f x f x f x +=−+=，所以，函数()f x 是周期为8的周期函数，当(1,1]x ∈−时，()21f x x =−，则()11f =，()()710f f =−=，()()801f f ==−，()()201f f ==−，()()310f f =−=，()()()4621f f f =−−=−=，()()()5311f f f =−=−=−，()()()6801f f f =−−=−=，所以，()81110111010k f k ==−++−++−=∑，又因为20248253=⨯，所以，()()2025811253(1)253011k k f k f k f ===+=⨯+=∑∑四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15】（1）在14(21)1n n S n a +=−+中，令1n =，得241a =+，解得23a =，因为14(21)1n n S n a +=−+，所以当2n ≥时，14(23)1n n S n a −=−+，两式相减，得14(21)(23)n n n a n a n a +=−−−，所以1(21)(21)n n n a n a ++=−，即12121n n a n a n ++=−(2n ≥)，当1n =时，213a a =符合该式， 所以()13211221212353···121,2232531n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n −−−−−=⋅⋅⋅⋅=⋅⨯⨯=−≥−−， 又因为11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =−． ……………………6分（2）因为11111()(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===−+−+−+，所以12n n T c c c =++⋅⋅⋅+11111111111(1)()()()2323525722121n n =−+−+−+⋅⋅⋅+−−+11(1)22121n n n =−=++，所以21n n T n =+. …13分【16】（1）()e 212x f x ax a −=−+，则()e 2xf x a '=−. ……………………1分 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增； ……………………3分 当0a >时，令()0ln 2,()0ln 2f x x a f x x a ''>⇒><⇒<，所以()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增，在(,ln 2)a −∞上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增，在(,ln 2)a −∞上单调递减. ………………………7分（2）由()()f x g x ≥，得e 212(1)ln(1)x ax a x x −−+≥−−，即e 1(1)ln(1)2(1)xx x a x −≥−−+−，令1t x =−，则1e1ln 2(0)t t t at t +−≥+>，即不等式1e 12ln t a t t+−≤−在(0,)+∞恒成立，…9分 设1e 1()ln (0)t h t t t t+−=−>，则12(1)(e 1)()t t h t t +−−'=， ………………………11分 令()001,()01h t t h t t ''<⇒<<>⇒>，所以()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则2()(1)e 1h t h ≥=−，所以22e 1a ≤−，即实数a 的取值范围为2e 1(,]2−−∞. …………15分【17】（1）椭圆22184:1x y C +=的焦点(2,0)±，椭圆222:1912x y C +=的焦点(0,3)± 易知椭圆C 的焦点在x 轴上，且23a b =⎧⎪⎨⎪⎩2243:1x y C +=. …………6分（2）证明：因为点00(1,),0P y y >在椭圆2243:1x y C +=上，解得032y =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:AB y kx m =+．联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=，则()2248340k m ∆=+−>，122834km x x k −+=+，212241234m x x k −=+， 进而()121226234m y y k x x m k +=++=+， ()()()222121212122212334km k m y y kx m kx m k x x x m x k−+++=++=++=…………9分因为PA PB ⊥，所以12123322111PA PBy y k kx x −−−=⋅=⨯−−，即()()12123311022x x y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()12121212391024x x x x y y y y −+++−++=，即2241234m k −−+28134km k −+++2222123369()0243434k m m k k −+−+=++ 即22079894km m k m +−−+= …………12分法一（双十字相乘法）03(7)2)(23m k m k +−+=+法二（待定系数法）0())(am bk c dm f ek +++=+或0(9)()())4(77m k m k m k a k m b ++++−+=+ 法三（主元法）233(89)))027((2m k k m k +−−+=+⇒03(7)2)(23m k m k +−+=+因为PA PB ⊥，所以点P 不在直线AB 上，则032m k +−≠，所以3714k m −−=所以直线13:()714AB y k x =−−过定点13(,)714−． …………15分【18】（1）依题意得：每次抛游戏币2a 落下时正面向上的概率均为为14，故1(,10)4X B ，于是15()1042E X =⨯=，当2k =时，()P X k =最大． …………4分 （2）记事件k A 为“第k a 枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则1()2k P A k=，1,2,3k =，Y 可取0，1，2，3．由事件k A 相互独立，则1231231115(0)()()()()(1)(1)(1)24616P Y P A A A P A P A P A ====−−−=．123123123(1)()P Y P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)246246246=⨯−⨯−+−⨯⨯−+−−⨯135115131246246246=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2348=． 123123123(2)()()()P Y P A A A P A A A P A A A ==++111111111(1)(1)(1)246246246=⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯15131186124224=⨯+⨯+⨯316=．1231111(3)()24648P Y P A A A ===⨯⨯=． X0 1 2 3 P516 2348 316148（3）不妨假设按照1a ，2a ，，n a 的顺序抛这n 枚游戏币．记抛第k a 枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为k P ，1k =，2，，n ．于是1111(1)(1)22k k k P P P k k−−=⋅−+−⋅1111_222k k k P P P k k k −−−=−+111(1)2k P k k −=−+． …13分即1112k k k P P k k−−=⋅+．即11(1)2k k kP k P −=−+，2k ． 记k k b kP =，则112k k b b −−=，2k ，故数列{}n b 为首项是1112P ⨯=，公差为12的等差数列． 故11(1)222k k b k =+−⨯=，则2k k kP =，故12k P =，1k =，2，3，，n ．则12n P =．故公平．……………………………17分【19】（1）据题意，()g x 的定义域为(),1−∞，由()1111xg x x x '=+=−−，知()g x 在(),0−∞单调增，在()0,1单调减，所以()()max 00g x g ==． …………4分（2）据题意，()f x 的定义域为()(),00,1−∞，由()()2ln 11x x x f x x−−−'=．令()()ln 11x x x x ϕ=−−−，则()()()2211111x x x x x ϕ'=−−=−−−−，于是知()x ϕ在(),0−∞单调增，在()0,1单调减，所以()()00x ϕϕ≤=，则()()20x f x x ϕ'=≤，即()f x 在(),0−∞单调减，也在()0,1单调减． …………8分【如果回答在定义内单调递减，则需要证明，过程如下：由（1）知：()ln 1x x −<−，则有()()()()1010f x x f x x ⎧<−>⎨>−<⎩，所以对()()12,0,0,1x x ∀∈−∞∀∈，都有()()121f x f x >−>，故()f x 是其定义域上的减函数．若没有以上证明，此处扣1分】（3）令()()ln 11x h x x ax =−−−，则()()()()()2222121111111111a x a ax ax x h x x x x ax ax ax +−−−'=−=+=⋅−−−−−− ①当12a >时，有120a −<，于是对()2210,10,a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，有()0h x '>，()h x 单调增，存在()12210,10,a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，使得()()100h x h >=，即()111ln 11x x ax −>−，即()1111f x ax >−，矛盾； …………11分 ②当12a <时，有120a −>，于是对221,0a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，有()0h x '>，()h x 单调增，存在2221,0a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭使得()()200h x h <=，即()222ln 11x x ax −<−，即()2211f x ax >−，矛盾； …………14分③当12a =时，()()()22012x h x x x '=<−−，则()h x 在(),1−∞单调减，又()0h x =， 所以()()()()0000h x x h x x ><⎧⎨<>⎩，则()0h x x <，即()11f x ax <−，符合题意．综上：12a =．……17分。
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数学
一、选择题
1．设全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等差数列 中， ，则 （）
A．21B．28C．35D．42
3．在 中， ， ， ，则 （）
A．9B． C． D．8
4．在三角形 中， 为 的中点，若 ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
（1）求 和 ；
（2）若 ，求正整数 的值．
18．已知函数 ，将曲线 向右平移 个单位，得到的曲线关于原点对称．
（1）求 ；
（2）求 在 上的值域．
19．2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．
（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）
（2）结合频率分布直方图，请完成以下 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
女生
10
合计
100
20．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
（1）求角 的大小；
（2）若 在线段 上，且 ， ，求 的面积．
21． ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是 上一点， 与 轴垂直，且 ．
（1）求 的方程；
（2）设 ， ， ， 是椭圆 上的四点， 与 相交于 ，且 ，求四边形 的面积的最小值．
22．已知函数 ， ．
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ；
（2）若 ， 的极大值大于 ，证明： ．
重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（一）
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
B
B
B
B
BCD
BD
AD
ABD
【解析】
1．由题 ，∴ ，故选A．
2． ，故选B．
3．∵ ，故 ，由正弦定理 ，故选D．
4．由题知： ，则 ，从而 ， ，故选C．
5． ，则 ，故选B．
6．如图所示，直三棱柱 向上方补形为直三棱柱 ，其中 ， ， 分别为各棱的中点，取 的中点 ，可知 ，异面直线 与 所成角即为 与 所成角．设 ，则 ， ， ， ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选B．
A． B． C． D．3
二、多项选择题
9．在 的展开式中，下列说法正确的有（）
A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项D．展开式中含 项的系数为
10．对于函数 ，说法正确的有（）
A．对 ，都有
B．函数 有两个零点，且互为倒数
C． ，使得
A．2019B．2020C．2021D．2022
6．已知在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 满足： ，函数 ，若 ，则 （）
A． B．0C．0D．4
8．设双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，若圆 与直线 交于坐标原点 及另一点 ，且 ，则双曲线的离心率为（）
D．对 ， ，都有
11．如图所示，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 反射坐标系中，若 ，则把有序数对 叫做向量 的反射坐标，记为 ．在 的反射坐标系中， ， ．则下列结论中，正确的是（）
A． B．
C． D． 在 上的投影为
12．若方程 和 的根分别为 和 ， ，则下列判断正确的是（）
5．斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列 满足 ， ，设 ，则 （）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若复数 满足 ，则 ______．
14．已知 ，且 ，则 ______．
15．数列 满足 ， ，则 的最小值是______．
16．设函数 ，若存在 的极值点 ，满足 ，则 的取值范围是______．
四、解答题
17．设 是等差数列，前 项和为 ； 是各项均为正的等比数列，其前 项和为 ，已知 ， ， ， ．
二、填空题
题号
13
14
15
16
答案
8
【解析】
13． ．
14．由 ，得 ，因为 ，所以 ，从而 ， ．
15． ， （ 时取等）．
16．令 ， ，得 ， ．因为 是 的极值点，所以 ，原问题即为：存在 ，使得 ，故 ，从而 ．
三、解答题
17．解：（1）设等比数列 的公比为 ，
由 ， ，可得 ，
∴ ，∴ ．
7．由 知，函数 的图象关于 对称，故函数 是奇函数，又 是奇函数，所以函数 为奇函数，故 ，解得 ，故选B．
8．如图所示，∵为1，错误；展开式中奇数项的二项式系数和为 ，B正确；易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C对；展开式中含 的项为 ，故D正确，故选BCD．
∴ ．
又设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ；
由 ，可得 ，
∴ ，∴ ．
（2） ，
由 有 ，
∴ ，解得 或 （舍），
故 的值为4．
18．解：（1） ，
将曲线 向右平移 个单位，
得到 ．
由条件， ， ，得 ， ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）知： ，
因为 ，所以 ．
10．由对数运算法则知，选项A错误；选项B中， ，即 或 ，互为倒数，故选项B正确．由 的图象特征知，选项C错误，选项D正确，故选BD．
11． ，则 ，故A正确； ，故B错； ，故C错；由于 ，故 在 上的投影为 ，故D正确，故选AD．
12．由题， ， 和 ， 分别是 和 的两个根，即 与 和 交点的横坐标．作出函数 ， 的图像如图所示（注意到：当 时， ）．由图可知， ， ，从而 ，解得 ，所以选项AD正确，选项C错误，又 ，故选ABD．