离散数学一阶逻辑
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
离散数学第四章-一阶逻辑基本概念
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
《离散数学》-一阶逻辑-基本概念
《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。
回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。
个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。
具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。
⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。
举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。
举例说明:（1） X是有理数。
“是有理数”是常项谓词。
（2） X与y有具体关系L。
这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。
下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。
我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。
F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。
对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。
Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。
G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。
(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。
离散数学 一阶逻辑
离散数学一阶逻辑离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的学科，它涉及到数学中的逻辑、代数、集合论、图论等多个方面。
其中，一阶逻辑作为离散数学中的重要分支，具有广泛的应用和研究价值。
本文将从逻辑的基本概念、一阶逻辑的语法和语义、一阶逻辑的推理规则、一阶逻辑的应用等几个方面来介绍一阶逻辑，旨在帮助读者全面了解一阶逻辑的基本概念和使用方法，并为其后续学习和应用提供指导。
首先，我们来介绍逻辑的基本概念。
逻辑是研究判断的科学，它主要关注真理与推理的关系。
在逻辑中，我们使用语句来表示判断，语句可以是真或假。
同时，逻辑将语句分为简单语句和复合语句。
简单语句是指不能再分解为更简单语句的语句，而复合语句则由多个简单语句通过逻辑运算连接而成。
逻辑运算包括取反（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）等。
接下来，我们进一步介绍一阶逻辑的语法和语义。
一阶逻辑是最基本且最常用的逻辑系统之一，它包括基本命题、谓词和量词。
基本命题是指具有真或假值的简单语句，如“今天是星期一”。
谓词是一种描述性的语句构造，它通过将一些对象与一些性质关联起来，来表示复杂的判断。
例如，“x是红色”的谓词可以表示成P(x)。
量词则用来表示概括性的判断，包括全称量词∀和存在量词∃。
例如，“对于任意x，P(x)”可以表示成∀xP(x)。
在一阶逻辑中，语义是根据给定的语句和模型来确定语句的真假值。
模型是一种对应关系，它将谓词与具体的对象元素相联系。
通过使用变元（变量）和量化符号（全称量词∀和存在量词∃），我们可以构造出不同的语句并进行语义推理，从而得到推理结论。
此外，一阶逻辑还有一些特殊的推理规则，例如代入规则和全称推广规则。
代入规则是指在一个语句中的某个位置用一个等价的语句替换。
全称推广规则是指在一个语句中添加一个全称量词，将一个具体对象概括为所有对象的性质。
最后，我们来介绍一阶逻辑的应用。
一阶逻辑在人工智能、计算机科学和数学等领域有着广泛的应用。
离散数学-03-一阶逻辑
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
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第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
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3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
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3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
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3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
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3.1.1 命题逻辑的局限性
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3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
《离散数学》一阶逻辑
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
注意量词的变化
注意量词的变化
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证明:设D={a1,a2,…,an}
（1）x(A(x)∨B) (A(a1)∨B) ∧(A(a2)∨B)∧… ∧(A(an)∨B) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∨B xA(x)∨B
设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
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量词否定等值式
❖定理2.1 量词否定等值式
▪ xA(x) xA(x)
▪ xA(x) xA(x)
❖证明:设D={a1,a2,…,an}
▪
xA(x)
A(a(A1)(∨a1)∧AA(a(a2)2∨)∧……∨∧AA(a(na)n))
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明确个体域
例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上
❖ 考虑个体域D为人类集合
▪ F(x)： x是要死的。 x F(x)
个体域不同，符号化不同
▪ G(x)： x活百岁以上。 x G(x)
❖ 考虑个体域为全总个体域
▪ 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。引入新谓词 M(x): x是人。
(此点以后再讨论)； ❖ 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意义可以看出，对于
任意的谓词A(x), 都有：
▪ xA(x) A(a1)∧A (a2) ∧…∧A (an); ▪ xA(x) A (a1)∨A (a2) ∨…∨A (an).
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嵌套量词
❖多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 ❖对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
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第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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个体词,谓词
简单的命题被分解成个体词与 谓词.
① 6是合数； ②王宏是程序员； ③小李比小赵高2厘米。
个体词相关的基本概念
1. 个体词:是可以独立存在的客体. 2. 个体常项:用小写的英文字母 a,b,c,d…. 3. 个体变项:用小写的英文字母 x,y,z…. 4. 个体域:个体的取值范围. 5. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
例题
1. 2是素数且是偶数. ① F(x): x是素数; ② G(x): x是偶数; ③ a:2 ④ 符号化为F(a)^G(a) 2. 如果2大于3,则2大于4. ① L(x,y): x大于y. ② a:2; b:3; c:4 ③ 符号化为L(a,b)->L(a,c)
量词
1. 量词:表示数量的词.
例题
1. 对任意的x，存在着y，使得 x+y=5. ① H(x,y)表示x+y=5 ② 可符号化成：x y H(x,y) ③ 不可符号化成： y x H(x,y)
2. P40. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
指导变项, 辖域, 约束出现,自由出现 定义2.5 在合式公式xA和xA中，称x为指 导变项，称A为相应量词的辖域。 在辖域中，x的所有出现称为约束 出现（即x受相应量词指导变项的 约束），A中不是约束出现的其他 变项的出现称为自由出现。
谓词和命题的关系
通常，n元谓词不是命题，因其真值无法确定。 如： L(x,y)。并没说明其谓词的意思。 当其谓词已为常项，其还不是命题。 如： L(x,y)： x小于y 。其真值仍无法确定。 只有当其谓词为常项，且n元个体词全为常量时， L(a,b)才是命题。 如：a=2, b=3, 其真值可唯一确定。 通常，将不带个体变项的谓词叫0元谓词。此时其不 一定是命题。只有当谓词为常项时，才是命题。 命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。
一阶逻辑
——理学院数学系 仝 辉
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻下面推理的正确性 ① 凡人都是要死的。 ② 苏格拉底是人。 ③ 所以苏格拉底是要死的。 2. 用p,q,r表示三个命题，则（p∧q）→r 并 不是重言式。 3. 原因缺少命题内在的联系的反映。
一阶逻辑合式公式采用字母表
定义2.1字母表 ① 个体常项：a,b,c,…,ai,bi,ci,…., i≥1; ② 个体变项：x,y,z,…,xi,yi,zi,…., i≥1; ③ 函数符号：f,g,h,…,fi,gi,hi,…., i≥1; ④ 谓词符号：F,G,H, …,Fi,Gi,Hi, i≥1; ⑤ 量词符号：，； ⑥ 联结词：┐，∧，∨，→，↔； ⑦ 括号和逗号: ( , ).
明确个体域
1. 考虑个体域D为人类集合
① 凡人都要死的。 xF(x), 其中F(x)：x是要死的。 ② 有人活百岁以上。 xG(x), 其中G(x)：x活百岁以上。
2. 考虑个体域为全总个体域
① 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 引入新谓词M(x): x是人。M(x)称为特性谓词 x(M(x)→F(x)) ② 存在着个体，它是人并且活百岁以上。 x(M(x)∧G(x))
2. 全称量词:对应日常生活中用到的“一切”，“所 有的”，“任意的”，“不存在一个…不…”等词， 用符号“”表示。x表示个体域中的所有个体。 x F(x) 表示个体域中的所有个体具有属性 F。
3. 存在量词: 对应日常生活中用到的“存在着”， “有一个”，“至少有一个”, “不是所有的…都 不…”等词，用符号“”表示。x 表示存在个体 域中的个体。 x F(x) 表示存在个体域中的个体具有属性 F。
谓词相关的基本概念
1. 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词,用F,G,H表示. 2. 谓词变项:表示抽象的性质或关系的谓词,也用F,G,H 表示,但要根据个体变项x,y等来定. ① x具有属性F, 则用F(x)表示. ② x,y具有关系L, 则用L(x,y)表示. 3. 谓词中的个体词数称为元数,含n 个个体词的谓词称 为n元谓词 ,如： P(x1,x2,x3, …,xn). 4. 通常，一元谓词是表示个体词的性质；n(n>1)元谓 词是表示个体词之间的关系，且各个体词顺序不能 随意改动。 如： L(x,y): 代表x小于y；而L(y,x): 代表y小于x。
用量词时的注意点
1. 在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2. 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体 域； 3. 个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化为命 题至少需要n个量词(此点以后再讨论)； 4. 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的 意义可以看出，对于任意的谓词A(x), 都有： ① xA(x) A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); ② xA(x) A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an). 5. 多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
原子公式、合式公式
1. 定义2.3: 原子公式 ① 设R(x1 ,x2 ,…,xn)是任意的n元谓词， t1 ,t2 ,…,tn是 项，则称R(t1 ,t2 , …. , tn)为原子公式。 2. 定义2.4: 合式公式 ① 原子公式是合式公式； ② 若A是合式公式，则(7A)是合式公式； ③ 若A,B是合式公式，则(A∧B),(A∨B), (A→B), (AB)也是合式公式； ④ 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式； ⑤ 只有有限次地应用－构成的符号串才是合 式公式。
项的递归定义
定义2.2 ① 个体常项和变项是项； ② 若（x1 ,x2 , …. , xn ）是任意的n元函数， t1 ,t2 , …. , tn是项，则 （t1 ,t2 , …. , tn ）是项。 ③ 只有有限次地使用①、②生成的符号串 才是项。 a,b, x,y, f(x,y)=x+y，h(x,y)=x•y都是项。