(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题6.3 等比数列及其求和(测)

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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题6.1_数列的概念与简单表示法(练)(有解析)

专题6.1 数列的概念与简单表示法【基础巩固】一、填空题1．数列－1,3，－5,7，－9,11，…的一个通项公式a n ＝________. 【答案】(－1)n(2n －1)【解析】观察可知a n ＝(－1)n(2n －1)．2．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．【答案】－20213．(2017·南京、盐城调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝________. 【答案】2n－1【解析】由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.4．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝________. 【答案】n 2n －2【解析】设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －2.5．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝________. 【答案】4【解析】依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.6．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.【答案】85【解析】借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.8．(2017·扬州期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________. 【答案】1【解析】因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 二、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.【能力提升】11．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________．【答案】0【解析】∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.12．(2017·苏北四市期末)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________．【答案】－113．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 【答案】2n 2－n ＋2【解析】由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2，又因为a 1＝1，所以1a n＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.14．(2017·镇江期末)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．。

(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题6.3等比数列及其求和测

专题6.3 等比数列及其求和一、填空题1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为_____【解析】由a9＝a2a3a4得a1q8＝a31q6，所以q2＝a21，因为等比数列{a n}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.2．在等比数列{a n}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则a15a5＝_____【解析】根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧a3q52＝3，a31＋q10＝4，化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或13，所以a15a5＝a5q10a5＝q10＝3或13.3．(2017·长沙模拟)已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝_____4．在等比数列{a n}中，a1＝2，前n项和为S n，若数列{a n＋1}也是等比数列，则S n＝_____ 【解析】因为数列{a n}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则a n＝2q n－1，因为数列{a n＋1}也是等比数列，所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，即a2n＋1＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，则a n ＋a n＋2＝2a n＋1，即a n(1＋q2－2q)＝0，所以q＝1，即a n＝2，所以S n＝2n.5．(2017.福州质检)已知等比数列{a n}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝_____ 【解析】由题意知，a3a4a7q＝a3a7(a4q)＝a3a7a5＝a35＝8，Ⅱ9＝a1a2a3 (9)(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a95，所以Ⅱ9＝83＝512.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_____【解析】设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q＝12，依题意有a1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96 里7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．【解析】因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2a 1＋a 2＝310. 8．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 【解析】因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.9．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 【解析】∵S 99＝30，∴a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 11－8331－8＝4a 1299－17＝47×30＝1207.10．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．二、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.12．已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．。

第01章测试题-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________. 【答案】4【解析】M＝{5,6,7,8}，所以集合M中共有4个元素．2. 设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|0<x<2.5}，B＝{x∈Z|(x－1)(x－4)<0}，则∁U(A ∪B)＝________.【答案】{0,4,5}【解析】∵A＝{x∈Z|0<x<2.5}＝{1,2}，B＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,4,5}3. 已知集合M满足M⊆{0,1,2,3}，则符合题意的集合M的子集最多有________.【答案】16【解析】集合M是集合{0,1,2,3}的子集，当M＝{0,1,2,3}时，M的子集最多，有24＝16个4. 设集合A＝{x|y＝ln(x－a)}，集合B＝{－1,1,2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是________.【答案】(－∞，－1)5. 已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是．【答案】[1，＋∞)【解析】由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由非q的一个充分不必要条件是非p，可知非p是非q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.6. 设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩(∁R B)＝．【答案】{－1,2}【解析】∵B＝{x|x>4或x<－2}，∴∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}，∴A ∩(∁R B )＝{－1,2}．7. 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对任意的(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列5个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |y ＝－1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }；⑤M ＝{(x ，y )|y ＝sin(2x ＋3)}．其中所有“理想集合”的序号是．【答案】③⑤8. 命题“若x ≥1，则a 2x－a x＋2≥0”的否命题为________．【答案】必要不充分【解析】由否命题的定义可知，命题“若x ≥1，则a 2x－a x＋2≥0”的否命题为“若x <1，则a 2x －a x ＋2<0”．9. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |y ＝1－x 2＋4x －3，B ＝{y |y ＝4x－1，x ≥0}，则A ∩B ＝________. 【答案】{x |1<x <3}【解析】由题意得，集合A ＝{x |－x 2＋4x －3>0}＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，集合B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |1<x <3}．10. 已知命题p ：f (x )＝1－2m x2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x >m －1的解集为R.若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】对于命题p ，由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，解得m <12；对于命题q ，不等式x 2－2x >m －1的解集为R 等价于不等式(x －1)2>m 的解集为R ，因为(x －1)2≥0恒成立，所以m <0，因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m ≥0，得0≤m <12；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥12，m <0，此时m 不存在，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12. 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

2018年江苏高考数学复习：第1部分专题6 数列含答案

专题六数列———————命题观察·高考定位——————— (对应学生用书第21页)1．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.32[设{a n}的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q＝74，a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]2．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d.所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.]3．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．4 [因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.]4．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为______． 2011[由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n(n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－111＝2011.]5．(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列.【56394035】[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，因此等差数列{a n }是“P(3)数列”．(2)数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件文

a ＋a ＝5， 3 1 2 ∵ 5 a ＋a4＝4， 2 a ＋a q2＝5， 1 1 2 ∴ 5 3 a q＋a1q ＝4， 1
① ②
1＋q2 由①除以②可得 3＝2， q＋q
1 n－1 4 1 解得q＝，代入①得a1＝2，∴an＝2×( ) ＝ n， 2 2 2
跟踪训练2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)证明：{an＋ 1 }是等比数列，并求{an}的通项公式； 2
1 1 由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋ ). 2 2 1 3 又 a1＋2＝2， 3 所以{an＋1 }是首项为，公比为3的等比数列. 2 2
故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二等比数列的判定与证明例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋„＋nan＝(n－1)Sn ＋2n(n∈N*). (1)求a2，a3的值；解答 ∵a1＋2a2＋3a3＋„＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
1 13 (2)证明：Sn＋S ≤ 6 (n∈N*). n
思想方法指导规范解答
答案
解析
②两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；
③两个负数a，b的等比中项为± ab ；
所以①、②、③错误，易知④正确.
63 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝____.
答案解析
根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1. 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2· (S6－S4)，
S －11 5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则 5 ＝_____. S2

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1.(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1＝________. 答案 35解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －(6a 1＋15d )＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为________.答案－3581解析设第三个数为a ，公差为d ，则这五个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________. 答案 98解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.4.设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一等差数列基本量的运算例1 (1)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________. 答案 (1)6 (2)179解析 (1)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是______. 答案 20解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d ＝20.题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数.所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为________.(2)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为________. 答案 (1)a n ＝1n(2)2解析 (1)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)因为a 4＋a 6＝10，所以2a 5＝10，则a 5＝5，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故a 3＝1，从而2d ＝a 5－a 3＝4，故d ＝2.(3)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式.①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列. ②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1(a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值为_____.答案 (1)114 (2)－2 018解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.答案 (1)88 (2)3727解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝________。

(江苏专用)2018版高考数学专题复习专题6 数列第36练等比数列练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题6 数列第36练等比数列练习理1．(2016·肇庆二统)在等比数列{a n}中，已知a6a13＝2，则a6a7a8a9a10a11a12a13＝________.2．(2017·苏锡常联考)已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a4＝a22，a2＋a4＝516，则a5＝________.3．(2016·安庆一模)已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________. 4．在等比数列{a n}中，a3＝1，q＞0，满足2a n＋2－a n＋1＝6a n，则S5的值为________．5．(2016·河北衡水中学四调)在正项等比数列{a n}中，若a1a20＝100，则a7＋a14的最小值为________．6．(2016·镇江模拟)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a3，a5成等差数列，且S k＝33，S k＋1＝－63，其中k∈N*，则S k＋2＝________.7．已知{a n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{a n＋a n＋1}是等比数列；③{a n·a n＋1}是等比数列；④{lg|a n|}是等比数列．其中正确命题的个数是________．8．(2016·广东肇庆三模)设数列{a n}(n＝1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＋a1＝2a n，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.9．(2016·聊城期中)在等比数列{a n}中，a1＝9，a5＝4，则a3＝________. 10．(2016·衡阳期中)等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.11．(2016·南平期中)已知等比数列{a n}中，a1＋a6＝33，a2a5＝32，公比q＞1，则S5＝________.12．(2016·兰州模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为________．13．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．(2016·淮安五模)已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n ＋14，则a 3b 3＝________.答案精析1．4 2.132 3.－7 4.3145.206.129 7．3解析由{a n }是等比数列可得a n a n －1＝q (q 是定值)，2a 3n －12a 3n －4＝q 3是定值，故①正确；a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q 是定值，故②正确；a n a n ＋1a n －1a n ＝q 2是定值，故③正确；lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故④错误． 8．34解析由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.9．6解析因为在等比数列{a n }中，a 1＝9，a 5＝4，又a 3＞0，所以a 3＝a 1·a 5＝6. 10．5解析 log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2a 1a 2a 3a 4a 5＝log 2a 53＝5log 2a 3.又正项等比数列{a n }中，a 1a 5＝4，所以a 3＝2.故5log 2a 3＝5log 22＝5.11．31解析 ∵a 1＋a 6＝33，a 2a 5＝32，公比q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋q 5＝33，a 21q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，则S 5＝25－12－1＝31. 12．54解析设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 4＋a 3－2a 2－a 1＝8，得(2a 2＋a 1)·q 2－(2a 2＋a 1)＝8，∴(2a 2＋a 1)(q 2－1)＝8，显然q 2＞1,2a 8＋a 7＝(2a 2＋a 1)q 6＝8q 6q 2－1，令t ＝q 2，则2a 8＋a 7＝8t 3t －1，设函数f (t )＝8t 3t －1(t ＞1)，f ′(t )＝8t 2t －t －2，易知当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f (t )为减函数，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (t )为增函数，∴f (t )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，故2a 8＋a 7的最小值为54. 13．12解析设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3，得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11＞1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26＜27－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 12＞a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28＞28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13＜a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.14．9解析由题意可知，a 1b 1＝1，不妨设a 1＝b 1＝t (t ≠0)，{a n }，{b n }的公比分别为q ，p ，易知p ≠1，q ≠1，则S 2T 2＝t ＋tq t ＋tp ＝1＋q 1＋p ＝104＝52，S 3T 3＝t ＋tq ＋tq 2t ＋tp ＋tp 2＝1＋q ＋q 21＋p ＋p 2＝284＝7，由上述两式可解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，q ＝4(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝3，q ＝9，所以a 3b 3＝tq 2tp 2＝819＝9.。

江苏专版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列教案文含解析苏教版

江苏专版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列教案文含解析苏教版第三节等比数列1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)；(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k. [小题体验]1．设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________. 答案：72．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a 24＝4(a 4－1)，即a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：43．(2018·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1q 4＝－78，a 11＋q ＋q 2＝13，两式相除得q 2－q －6＝0，即q ＝3或q ＝－2(舍去)，从而得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝ 3n －1.答案：3n －11．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．(2019·扬州质检)在等比数列{}a n 中，若a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q ＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，则1＋q ＋q2q2＝3，整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.答案：1或－122．各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40＝_______. 解析：依题意有S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30仍成等比数列，则2(14－S 20)＝(S 20－2)2，解得S 20＝6.所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，即为2,4,8,16，所以S 40＝S 30＋16＝30.答案：30考点一等比数列的基本运算重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2019·苏北四市调研)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{}a n 的公比为q ，由a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，则a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．(2018·南通一调)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝________. 解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝3，a11－q 41－q＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－3.所以S 6＝a 11－q 61－q ＝1×1－261－2＝63或S 6＝a 11－q 61－q ＝－3×[1－－26]1－－2＝63.法二：由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列可得(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，所以S 6＝63. 答案：63[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q[即时应用]1．(2019·如东调研)设等比数列{}a n 的前n 项和为S n .若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________.解析：设等比数列的公比为q ，则a 6a 3＝q 3＝27，所以S 6S 3＝a 1＋a 2＋…＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＋q 4＋q 51＋q ＋q2＝1＋q 3＝28.答案：282．(2018·苏北四市期末)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q ＝________.解析：显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝2a 1q ＋3，a 11－q 31－q＝2a 1q 2＋3，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q ＝3，a 11＋q －q2＝3，解得q ＝2.答案：2考点二等比数列的判定与证明重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2019·南京高三年级学情调研)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求证数列{a n }为等比数列，并求其通项公式；(3)若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．解：(1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1＞0，所以a 1＝1.(2)证明：因为3T n ＝S 2n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1， ② ②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1. 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2， ④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对∀n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，故数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)由(2)可知S n ＝2n－1.因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，所以2t＝(2k )2－3·2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3·2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2. 当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3. 当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3·2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3·2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·苏州高三期中调研)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)在数列{b n }中，b 1＝3，b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n(n ∈N *)，若不等式λa n ＋b n ≤n 2对n ∈N *有解，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＝3S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又当n ＝1时，由S 2＝3S 1＋1，得a 2＝3，符合a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3，所以{b n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以b n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以λa n ＋b n ≤n 2，即3n －1·λ＋3n ≤n 2，即λ≤n 2－3n3n －1对n ∈N *有解，设f (n )＝n 2－3n3n －1(n ∈N *)，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－3n ＋13n－n 2－3n 3n －1＝－2n 2－4n ＋13n，所以当n ≥4时，f (n ＋1)＜f (n )，当n ＜4时，f (n ＋1)＞f (n )，所以f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＞f (5)＞f (6)＞…，所以f (n )max ＝f (4)＝427，所以λ≤427，即实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，427. 考点三等比数列的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·南京调研)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________.解析：由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.答案：82．设等比数列{}a m 的前n 项积为T n (n ∈N *)，若a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m＝________.解析：因为{}a m 为等比数列，所以a m －1·a m ＋1＝a 2m .又a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，所以得a m ＝2.因为T 2m －1＝a 2m －1m，所以22m －1＝128，解得m ＝4.答案：43．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158×⎝ ⎛⎭⎪⎫－89＝－53.答案：－53[由题悟法]掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n ＞0，则{log a a n }(a ＞0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.[即时应用]1．(2019·张家港调研)已知等比数列{}a n 的各项均为正数，且满足a 1a 9＝4，则数列{log 2a n }的前9项之和为________．解析：∵a 1a 9＝a 25＝4，∴a 5＝2，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 9＝log 2(a 1a 2…a 9)＝log 2a 95＝9log 2a 5＝9. 答案：92．(2018·镇江调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14. 答案：14一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东中学检测)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝________.解析：a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5q a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.答案：－22．(2018·盐城期中)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝q 2(a 1＋a 2)，所以q 2＝2，所以a 9＋a 10＝q 8(a 1＋a 2)＝16.答案：163．(2018·苏州期末)设各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，a 3－3a 1＝12，则S 5＝________.解析：∵a 2＝6，a 3－3a 1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 2－3a 1＝12且q ＞0，解得a 1＝2，q ＝3， ∴S 5＝21－351－3＝242.答案：2424．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________. 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝4，所以a 6＝a 4q 2＝32. 答案：325．(2019·南京一模)若等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________．解析：设等比数列{}a n 的公比为q ，因为a 1＝1，S 6＝3S 3，当q ＝1时，不满足S 6＝3S 3；当q ≠1时，可得q 6－1q －1＝3q 3－1q －1，化简得q 3＋1＝3，即q 3＝2，所以a 7＝a 1q 6＝4. 答案：46．(2018·常州期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 11＋q ＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 2＋q 3＋q 4＋q 5＝40，两式相除可得q 2＋q 4＝90，即q 2＝－10(舍)或q 2＝9.又a n ＞0，所以q ＝3，故a 1＝19，所以a 7＋a 8＋a 9＝34＋35＋36＝1 053，即a 7＋a 8＋a 99＝117.答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·徐州期末)设等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S 2是S 3与S 4的等差中项，则实数q 的值为________．解析：∵S 2是S 3与S 4的等差中项， ∴2S 2＝S 3＋S 4，∴2a 3＋a 4＝0，解得q ＝－2. 答案：－22．(2019·如皋模拟)已知数列{}a n 是正项等比数列，满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2，则log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝________.解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ， ∴log 2a n ＋1a n＝1，可得q ＝2. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2， ∴log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝log 2[(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 50]＝log 2251＝51. 答案：513．设等比数列{}a n 的公比为q (0＜q ＜1)，前n 项和为S n .若存在m ∈N *，使得a m ＋a m ＋2＝52a m ＋1，且S m ＝1 022a m ＋1，则m 的值为________．解析：∵a m ＋a m ＋2＝52a m ＋1，S m ＝1 022a m ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q m －1＋a 1q m ＋1＝52a 1q m，a 11－q m1－q ＝1 022a 1q m，解得m ＝9，q ＝12.答案：94．(2018·启东检测)数列{a n }满足a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n－1}是等比数列，则λ＝________.解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.因为数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：25．(2019·姜堰模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝2728，则a 5a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3S 6＝2728，得q ≠1，a 11－q 31－q a 11－q 61－q ＝2728，化简得11＋q 3＝2728，解得q ＝13. 所以a 5a 3＝q 2＝19.答案：196．(2018·海安中学测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m ＝________.解析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.答案：57．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 0228．(2019·徐州调研)已知正项等比数列{}a n 的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为________．解析：因为S 8－2S 4＝6，所以S 8－S 4＝S 4＋6.由等比数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，所以S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝S 4＋62S 4＝S 4＋36S 4＋12≥24，当且仅当S 4＝6时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为24. 答案：249．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，所以a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ，所以b n ＝2n，所以b n ＋1b n＝2，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.10．(2018·苏州高三期中调研)已知数列{a n }各项均为正数，a 1＝1，a 2＝2，且a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2对任意n ∈N *恒成立，记{a n }的前n 项和为S n .(1)若a 3＝3，求a 5的值；(2)证明：对任意正实数p ，{a 2n ＋pa 2n －1}成等比数列；(3)是否存在正实数t ，使得数列{S n ＋t }为等比数列．若存在，求出此时a n 和S n 的表达式；若不存在，说明理由．解：(1)因为a 1a 4＝a 2a 3，所以a 4＝6，又因为a 2a 5＝a 3a 4，所以a 5＝32a 4＝9.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2，a n ＋1a n ＋4＝a n ＋2a n ＋3，两式相乘得a n a n ＋1a n ＋3a n ＋4＝a n ＋1a 2n ＋2a n ＋3，因为a n ＞0，所以a n a n ＋4＝a 2n ＋2(n ∈N *)，从而{a n }的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q 1，q 2，则a 2n ＝a 2q n －12＝2q n －12，a 2n －1＝a 1q n －11＝q n －11，又因为a n ＋3a n ＋2＝a n ＋1a n ，所以a 4a 3＝a 2a 1＝2＝2q 2q 1，即q 1＝q 2，设q 1＝q 2＝q ，则a 2n ＋pa 2n －1＝q (a 2n －2＋pa 2n －3)，且a 2n ＋pa 2n －1＞0恒成立，所以数列{a 2n ＋pa 2n －1}是首项为2＋p ，公比为q 的等比数列．(3)法一：在(2)中令p ＝1，则数列{a 2n ＋a 2n －1}是首项为3，公比为q 的等比数列，所以S 2k ＝(a 2k ＋a 2k －1)＋(a 2k －2＋a 2k －3)＋…＋(a 2＋a 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3k ，q ＝1，31－q k1－q ，q ≠1，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2q k －1，q ＝1，31－q k 1－q －2q k －1，q ≠1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ，因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 2＋t 2＝S 1＋t S 3＋t ，S 3＋t2＝S 2＋tS 4＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋t2＝1＋t 3＋q ＋t ，3＋q ＋t 2＝3＋t3＋3q ＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q 1＋t，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3，q ＝0(舍去)．所以S 2k ＝4k－1＝22k－1，S 2k －1＝22k －1－1，从而对任意n ∈N *有S n ＝2n－1，此时S n ＋t ＝2n，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，又a 1＝1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n－1(n ∈N *)．法二：由(2)知a 2n ＝2qn －1，a 2n －1＝qn －1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ，因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 2＋t 2＝S 1＋t S 3＋t ，S 3＋t2＝S 2＋tS 4＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋t2＝1＋t 3＋q ＋t ，3＋q ＋t2＝3＋t3＋3q ＋t ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q 1＋t ，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，q ＝0(舍去)．所以a 2n ＝2qn －1＝22n －1，a 2n －1＝22n －2，从而对任意n ∈N *有a n ＝2n －1，所以S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，此时S n ＋t ＝2n，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n －1(n ∈N *).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________．解析：设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2， ∴32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥92，a 4＝a 2q 2≤8，∴a 4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，8. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，8 2．(2018·泰州中学高三学情调研)设正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，则m ＋n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q .正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，则2a 3q 2＝a 3(1－q )，可得2q 2＋q －1＝0，q ＞0，解得q ＝12，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，可得a 1＝4a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋n －2，所以m ＋n ＝6. 答案：63．(2019·苏锡常镇调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且对任意的正整数n ，都有S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，其中常数λ＞0.设b n ＝a n3n (n ∈N *)．(1)若λ＝3，求数列{}b n 的通项公式； (2)若λ≠1且λ≠3，设c n ＝a n ＋2λ－3·3n (n ∈N *)，证明数列{}c n 是等比数列； (3)若对任意的正整数n ，都有b n ≤3，求实数λ的取值范围．解：因为S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，n ∈N *，所以当n ≥2时，S n ＝λS n －1＋3n，从而a n ＋1＝λa n ＋2·3n，n ≥2，n ∈N *﹒ 在S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝λa 1＋2×31，满足上式，所以a n ＋1＝λa n ＋2·3n，n ∈N *.(1)当λ＝3时， a n ＋1＝3a n ＋2·3n，n ∈N *，从而a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋23，即b n ＋1－b n ＝23，又b 1＝a 13＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为23的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，c n ＝a n ＋2λ－3·3n ＝λa n －1＋2·3n －1＋2λ－3·3n＝λa n －1＋2λ－3·3n －1(λ－3＋3) ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋2λ－3·3n －1＝λ·c n －1，又c 1＝3＋6λ－3＝3λ－1λ－3≠0，所以{}c n 是首项为3λ－1λ－3，公比为λ的等比数列，故c n ＝3λ－1λ－3·λn －1.(3)在(2)中，若λ＝1，则c n ＝0也可使a n 有意义，所以当λ≠3时，c n ＝3λ－1λ－3·λn－1.从而由(1)和(2)可知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1·3n －1， λ＝3，3λ－1λ－3·λn －1－2λ－3·3n，λ≠3.当λ＝3时，b n ＝2n ＋13，显然不满足条件，故λ≠3.当λ≠3时，b n ＝λ－1λ－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3n －1－2λ－3. 若λ＞3,λ－1λ－3＞0，b n ＜b n ＋1，n ∈N *，b n ∈[1，＋∞)，不符合，舍去．若0＜λ＜1，λ－1λ－3＞0，－2λ－3＞0，b n ＞b n ＋1，n ∈N *，且b n ＞0. 所以只需b 1＝a 13＝1≤3即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ＝1，b n ＝1，满足条件．故λ＝1符合条件；若1＜λ＜3，λ－1λ－3＜0，－2λ－3＞0，从而b n ＜b n ＋1，n ∈N *，因为b 1＝1＞0.故b n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－2λ－3，要使b n ≤3恒成立，只需－2λ－3≤3即可．所以1＜λ≤73.综上所述，实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，73.。

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专题6.3 等比数列及其求和
一、填空题
1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比
q 的值为_____
【解析】由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8
＝a 31q 6
，所以q 2
＝a 2
1，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.
2．在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则
a 15
a 5
＝_____ 【解析】根据等比数列的性质得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 3q
5
2
＝3，a 3＋q 10
＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q
10
＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10
a 5＝q 10
＝3或13
.
3．(2017·长沙模拟)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝
_____
4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝_____ 【解析】因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q
n －1
，因为数列{a n ＋
1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2
＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a 2
n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，则a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2
－2q )＝0，所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .
5．(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝_____ 【解析】由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7(a 4q )＝a 3a 7a 5＝a 3
5＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 9
5，所以Ⅱ9＝83
＝512.
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_____
【解析】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝1
2，依题意有
a 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
61－12
＝378，解得a 1＝
192，则a 2＝192×1
2
＝96，即第二天走了96 里
7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2
a 1＋a 2
的值为
________．
【解析】因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 2
2＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以
b 2
a 1＋a 2＝310
. 8．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 【解析】因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3
a 2
＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3
n －1
＝3
n －1
.
9．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 【解析】∵S 99＝30，∴a 1(299
－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝
4a 1
－8
33
1－8
＝
4a 199
－
7
＝47×30＝1207
. 10．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．
二、解答题
11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.
解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1
.
又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2
n －1
－2
n －2
＝2
n －2
.
当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，
2n －2
，n ≥2.
(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝
－4
n
1－4
＝
n
－3
.
∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋
n
－3
＝
2
2n ＋1
＋13
.
12．已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．
(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；
(2)求数列{a n}的通项公式．。