高中数学必修五北师大版数列在日常经济生活中的应用作业(含答案)2

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【提高练习】《数列在日常经济生活中的应用》(数学北师大版必修5).doc

《数列在日常经济生活中的应用》提高练习1. 从二楼到三楼共有11级台阶，如果一步可上一级台阶，也可上两级台阶，那么小华从二楼上到三楼，可以有（）种不同上楼梯的方法A. 34B. 55C. 89D. 1442. 夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 °C,已知山顶气温为14.1 °C, 山脚气温是26 °C,那么此山相对于山脚的高度是（）•A. 1 500 mB. 1 600 mC. 1 700 mD. 1 800 m 3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是（）・A. 33B. 64C. 65D. 1274. 某企业在2013年年初贷款M 万元，年利率为in,从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于（）M 1 +m 10Mm A ，1+m 10-11+m 10C '佃 l+“ 1°D 血 * 1+m 10-11+m 10+1 经全国中小学教材审定委灵会2004年初审通过普通高中课程标淮卖验诵弔5.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5 年，这个厂的总产值为（）A. 1. 14aB. 1. 15aC. 11X (1. 15-l)aD. 10(1. 16-l)a6.某工厂2012年生产某种机器零件100万件，计划到2014年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，2013年生产这种零件()万件A. 90B. 100C. 110D. 1207.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2,所有人的不满意度之和为S,为使S最小，电梯应当停在__________________ 层.A. 12B. 13C. 14D. 158.某工厂生产总值的月平均增比率为p,则年平均增长率为___________ .9.某工厂的月生产总值平均增长率为P，则年平均生产总值的平均增长率为 ________ ・10.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存5年定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄，年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行屮取出存款, 则甲、乙所得利息之差为______________ 元.答案和解析1.【答案】D解：设上n级台阶有务种方法.当第一步上一级台阶时，则余下的n-1级台阶有乩-种不同的上法：当笫一步上两级台阶时，则余下的n —2级台阶有Sn_2种不同的上.*.an=an-i + a n-2(n M3),显然31=1, C L2=2.所以a*=3,心=5, a,5=8» 36=13, 37=21, — 34, a.g — 55, Hio—89, al 1 —144.所以共有144种不同的上楼梯方法.2.【答案】C解析由题意知气温值的变化构成了以26 °C为首项，公差为一0.7 °C的等差数列，记此数列为{an}, 31=26 °C, d=-0. 7 °C, A14. 1=26+(n~l) X (-0. 7),解得n = 18,・•・此山相对于山脚的高度为100X(18-l)=l 700 (m).3.【答案】C解析由 an = 2an —l — l=2(2an —2—l)—l = ・・・ = 2n — 12ao —(l+2 + 22 + ・・・ + 2n —l) = 2n+l —2n+ 1,亦=27 — 26+1 = 65.4. 【答案】C［解析］由己知条件和分期付款公式可得,a[(l +m)9+ (1 +m)8 ---------- 卜(1 +m) +1] =M(1 +m) 10,5. 【答案】C [解析]S=a(l + 10%)+a(l + 10%)2+-+a(l + 10%)5=llX (1. 15-1)A.6. 【答案】C[解析]设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2012年起，连续3年的产量依次为 ai = 100, a2=al(1+x), a 3 = a2(1+x),即 a 】 = 100, a 2=100(1 + x), a 3=100(l + x)2,成等比数列. 由 100(1+x) 2 = 121 得(1+x) 2 = 1.21,l+x = l. 1 或 l+x= —1. 1,/.x=0. 1 或 x = —2. 1 (舍去),a 2=100(l+x) =110(万件),所以每年增长的百分率为10%, 2013年生产这种零件110万件.7. 【答案】C[解析]设停在第x 层,贝l 」S=[l+2 + ・・・+(20—x)]X2+[l+2 + ・・・+(x —2)] = 3x2—85x .Ax=—时取最小值，而xE {2,3,…，20}, 6/.x=14时取最小值.8. 【答案】(l+p)12-l［解析］设年平均增长率为x,原来总产值为a,由题意得肛1 + x)=a(l + p)12, /. x= (1+p) 12—1.9. 【答案】(l+p)12-l10. 【答案】219.01解析由己知甲所得本息和a=10 000 + 10 000X2. 88%X5X80%,而乙实际上年利率去掉利息税后为#X2.25%,故乙所得本息和应为：b=10 000XH +|x2. 25%k 经计_ Mni 1 +m 10 =~1+m 10一1 •-b~219.01（元）.答案219.01。

高中数学第一章数列数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5

§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一单利计算问题【例1】有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二关于复利模型问题【例2】小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型．【解】依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)．类型三分期付款模型【例3】用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)．所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元．类型四增长率问题【例4】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列．则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。

【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在日常经济生活中的应用(含答案解析)

§4数列在平时经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实质问题.2.认识“零存整取” ，“定期自动转存”及“分期付款”等平时经济行为的含义．1．有关积蓄的计算积蓄与人们的平时生活亲密有关，计算积蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．依据国家规定，个人所得积蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取按期积蓄一次存入本金金额为 A ，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为 ________，实质拿出金额为：________________.(2)按期存入零存整取积蓄每期初存入金额 A ，连存 n 次，每期利率为p，税率为 q，则到第 n 期末时，应获得全部利息为： _________.应纳税为： ______________，实质得益金额为__________________ ．2．分期付款问题贷款 a 元，分 m 个月将款所有付清，月利率为r，各月所付款额到贷款所有付清时也会_______________________.产生利息，相同按月以复利计算，那么每个月付款款额为：一、选择题1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把1001是较少的两份之个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的7和，则最小的一份的量为()510511A. 3B. 3C.6D. 62．某厂昨年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增添10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为 ()A． 1.14a B ． 1.15aC． 10a(1.15－ 1) D ．11a(1.15－ 1)3．某公司在今年年初贷款 a 万元，年利率为γ，从今年年终开始每年归还必定金额，估计五年内还清，则每年应归还()a(1＋γ)A.(1＋γ)5－1万元5aγ(1＋γ)4．某工厂总产值月均匀增添率为aγ(1＋γ)5B.(1＋γ)5－ 1万元aγD.5万元p，则年均匀增添率为()A． pC． (1＋ p)12B ．12pD ． (1＋ p)12－ 15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批赞同方可投入生产．已1知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n) ＝2n(n＋ 1)(2n ＋ 1)吨，但假如年产量超出150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线制定最大的生产限期是()A．5年B．6 年C．7 年D．8年二、填空题6．据某校环保小组检查，某区垃圾量的年增添率为b,2010 年产生的垃圾量为 a 吨．由此展望，该区2015 年的垃圾量为 ________吨．7．一个堆放铅笔的V 形架的最下边一层放 1 支铅笔，往上每一层都比它下边一层多放1 支，最上边一层放了120 支，这个V 形架上共放了______支铅笔．8．银行一年按期积蓄存款年息为r ，三年按期积蓄存款年息为q，银行为汲取长久资本，鼓舞储户存三年按期的存款，那么q 的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价 2 000 元，推行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每个月付款一次，共付12 次，购置后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期对付款多少？(1.00812＝ 1.1)．10．假定某市2009 年新建住宅400 万平方米，此中有250 万平方米是中廉价房．估计在此后的若干年内，该市每年新建住宅面积均匀比上一年增添8%.此外，每年新建住宅中，中廉价房的面积均比上一年增添50 万平方米．那么，到哪一年年终(1)该市历年所建中廉价房的累计面积(以2009 年为累计的第一年)将初次许多于 4 750万平方米？(2)当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于85%？ (1.085≈1.47)能力提高11．依据市场检查结果，展望某种家用商品从年初开始的n 个月内积累的需求量S n(万件 )近似地知足 S n＝n(21n － n2－ 5)(n＝ 1,2，， 12)．按此展望，在今年度内，需求量90超出1.5 万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7 月、 8月D．8月、9月12．某公司投资 1 000万元用于一个高科技项目，每年可赢利25%，因为公司间竞争激烈，每年年终需要从利润中拿出资本 200 万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增添率，问经过多少年后，该项目的资本能够达到或超出翻两番 (4 倍 )的目标？ (取 lg 2＝0.3)从实质问题转变为数列问题，极易出现弄错数列的项数，所以必定要认真审题，弄清楚数列中的项与实质问题中的时间(比如年份)之间的对应关应．特别是首项a1代表的实质含义必定要弄清楚．§4 数列在平时经济生活中的应用答案知识梳理11 11． (1)nAp nApq nAp(1 － q)＋A(2)2n(n ＋ 1)Ap2n(n ＋ 1)Apq 2n(n ＋ 1)Ap(1 － q)ar(1＋ r)m2.m－ 1(1 ＋ r)作业设计1．A[ 设公差为 d(d>0) ，则 5 份分别为 20－ 2d,20－ d,20,20＋ d,20＋2d ，则7(20－ 2d ＋ 20－ d)＝ 20＋ (20＋d)＋ (20＋ 2d)，解得 d ＝55，最小的一份为 20－55＝ 5 .]63 32．D[ 注意昨年产值为a ，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a ，23451． 1 a,1.1 a,1.1 a,1.1 a.∴ 1.1a ＋ 1.12a ＋ 1.13a ＋ 1.14a ＋ 1.15a ＝ 11a(1.15－ 1)． ]2＋ x(13 453． B [ 设每年归还＋γ)＋ x(1＋γ)＝ a(1＋γ)，x 万元，则： x ＋ x(1＋ γ)＋x(1＋γ)a γ(1＋ γ)5∴x ＝(1＋ γ)5－ 1.]1212(1＋ p)[1－ (1＋ p)]4．D[ 设 1 月份产值为1，年均匀增添率为 x ，依题意得＝1－ (1＋ p)121－ (1＋p)12(1＋ x)，∴ x ＝(1＋ p) －1.]15． C [ 由题意知第一年年产量为a 1＝ × 1× 2× 3＝ 3；此后各年年产量为a n ＝ f(n) －f(n － 1)＝ 3n 2，∴ a n ＝ 3n 2 (n ∈N ＋)，令 3n 2≤ 150，得 1≤n ≤ 5 2，∴ 1≤n ≤ 7，故生产限期最长为7年．]6． a(1＋b) 5 7． 7 260分析从下向上挨次放了 1,2,3 ，， 120 支铅笔，∴共放了铅笔 1＋ 2＋ 3＋＋ 120＝7 260(支 )．138.3[(1＋ r)－1]【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)分析设本金为1，按一年按期存款，到期自动转存利润最大，三年总利润为(1＋ r)3－1；若按三年按期存款，三年的总利润为3q，为鼓舞储户三年按期存款，应使3q>(1 ＋ r)3－ 1.13即 q> [(1 ＋ r) － 1]．39．解方法一设每期对付款x 元．第 1 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 12 期付款没有益息．11x(1＋ 0.008)(元 )．x(1＋ 0.008)10(元 )，所以各期付款连同利息之和为x(1＋ 1.008＋＋ 1.008111.00812－ 1 )＝x，1.008－1又所购电器的现价及其利息之和为 2 000×1.00812，于是有1.00812－ 112x＝2 000× 1.008 .1.008－ 116× 1.00812解得 x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期对付款 176 元．方法二设每期对付款 x 元，则第 1 期还款后欠款 2 000× (1＋ 0.008)－x第 2 期还款后欠款 (2 000×1.008－ x)× 1.008－ x＝2 000× 1.0082－ 1.008x－ x，第 12 期还款后欠款 2 000× 1.00812－ (1.00811＋1.00810＋＋ 1)x，第 12 期还款后欠款应为 0，所以有 2 000× 1.00812－ (1.00811＋ 1.00810＋＋ 1)x ＝ 0.122 000× 1.008∴ x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期应还款176元．1.008－ 110．解(1)设中廉价房面积组成数列{a n} ，由题意可知{a n} 是等差数列．n(n－1)此中 a1＝250， d＝50，则 S n＝ 250n＋× 50＝25n2＋225n.令 25n2＋ 225n ≥ 4 750，即 n2＋9n－ 190≥ 0，而 n 是正整数，∴ n≥ 10.∴到 2018 年年终，该市历年所建中廉价房的累计面积将初次许多于 4 750 万平方米．(2)设新建住宅面积组成数列 {b n} ，由题意可知 {b n} 是等比数列．n－ 1此中 b1＝ 400， q＝ 1.08，则 b n＝ 400× 1.08 .由题意可知 a n>0.85b n，有 250＋ (n－ 1) ·50>400 ×1.08n－1× 0.85.由 1.085≈ 1.47 解得知足上述不等式的最小正整数n＝ 6，∴到 2014 年年终，当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)85%. 11． C分析 n 个月积累的需求量为S n ，∴第 n 个月的需求量为n2n － 1212a n ＝ S n －S n － 1＝ 90(21n － n －5)－ 90 [21(n －1) － (n － 1) － 5]＝ 30(－ n ＋ 15n －9) ． a n >1.5 ，即知足条件，∴1(－ n 2＋ 15n － 9)>1.5 ， 6<n<9(n ＝ 1,2,3，， 12)，30∴ n ＝7 或 n ＝ 8.(可直接代入各个选项进行考证得出答案 )12．解设该项目逐年的项目资本数挨次为 a 1， a 2， a 3，， a n .则由已知 a n ＋ 1＝a n (1 ＋25%) － 200(n ∈ N ＋ )．即 a n ＋1＝ 5a n － 200.455 a n － x ，令 a n ＋1－ x ＝ (a n － x)，即 a n ＋ 1＝444x由＝200，∴ x ＝ 800.5∴ a n ＋1－ 800＝ 4(a n － 800)(n ∈ N ＋)5故数列 {a n － 800} 是以 a 1－800 为首项，为公比的等比数列．∵ a 1＝ 1 000(1＋ 25%) － 200＝1 050.∴ a 1－ 800＝ 250，∴ a n － 800＝ 250 5n －1.4 ∴ a n ＝ 800＋ 2505 n － 14 (n ∈ N ＋ )．由题意 a ≥ 4 000.∴800＋ 2505 n －1≥ 4 000，即5n≥ 16.n4 4两边取常用对数得nlg 54≥ lg 16，即 n(1－ 3lg 2) ≥ 4lg 2.∵ lg 2＝ 0.3，∴ 0.1n ≥ 1.2，∴ n ≥ 12.即经过 12 年后，该项目资本能够达到或超出翻两番的目标．。

北师大版高中数学必修5单元巩固卷数列在日常生活中的应用

单元巩固卷（4）数列在日常生活中的应用1、《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小的一份为( ) A. 53 B. 103 C. 56 D.116 2、通过测量知道,某电子元件每降低6℃,电子数目就减少一半,已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个, 则在室温27℃时.该元件的电子数目最接近( )A.860个B.1730个C.3400个D.3900个3、某厂在2007年底制定生产计划,要使2017年底的总产量在原有基础上翻两番.则年平均增长率为( ) A. 14110- B. 1210 C. 14111- D. 12111- 4、按活期存入银行1000元,年利率是0.72%,那么按照单利,第5年末的本利和是( )A.1036元B.1028元C.1043元D.1026元5、某钢厂的年产值由2006年的40万吨.增加到2016年的50万吨,经历了10年的时间.如果按此年增长率计算,该钢厂2026年的年产量将接近( )A.60万吨B.61万吨C.63万吨D.64万吨6、某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,这四年后价格与原来价格比较,变化情况是( )A.不增不减B.约增1.4%C.约减1.4%D.约减8%7、浓度为%a 的酒精满瓶共m 升,每次倒出n 升(n m <),再用水加满,一共倒了10次,加了10次水后,瓶内酒精浓度为( ) A. 101n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 101m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D. 101%m a n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 8、某电扇厂去年实现利润300万元,计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%,从今年起第5年的利润是__________万元.9、某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数()*n n N ∈等于__________.10、,A B 两物体自相距30m 处同时相向运动, A 每分钟走3m ,B 第一分钟走2m ,且以后每分钟比前1分钟多走0.5?m ,则A 和B 开始运动后__________min 相遇.11、—个卷筒纸,其内圆直径为4cm ,外圆直径为12cm ,—共卷了60层,若把各层都视为一个同心圆, π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为__________m (精确到个位).12、年利率9%,每年复利一次,希望在6年后得到本利和10000元,则本金应是__________.13、某商品提价25%,现又要恢复原价,则降低幅度为__________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：设5个人所分得的面包分别为2a d-,a d-,a,a d+,2a d+(其中0d>)则(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a-+-+++++==,∴20a=,∵较大的三份之和的17是较小的两份之和,∴1(2)27a a d a d a d a d++++=-+-,得337(23),a d a d+=-∴2411d a=,∴556 d=,∴555 220263 a d-=-⨯=2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：D解析：()()22120%120%a aa+--0.921610.0784=-=-.7答案及解析：答案：C解析：第一次操作后的浓度为()%1%m n a n a m m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .如果设各次操作后的浓度构成数列{}n a ,则()2121%m n a n a a m m -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭. ∴10101%n a a m ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭8答案及解析：答案：483解析：9答案及解析：答案：6解析：由题意知第n 天植树2n 棵,则前n 天共植树()2122222n n ++++=-L 棵, 令122100n +-≥,则12102n +≥.又 5162264+==,61722128+==, ∴6n ≥.∴n 的最小值为6.10答案及解析：答案：5解析：设A 和B 开始运动后t min 相遇,则()2210.53302t t t ++-⨯⎡⎤⎣⎦+=,化简得2191200t t +-=,解得15t =,224t =- (舍去).11答案及解析：答案：15解析：∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.∴1260...60l d d d ππππ=+++=⋅()()4124801507.2152cm m π+==≈.12答案及解析：答案：5962.67 解析：设本金为a 元, ()619%100005962.67a a +=⇒=.13答案及解析：答案：20%解析：()()125%120%a r a r +-=⇒=.。

高中数学《1.4数列在日常经济生活中的应用》随堂自测课时作业,含随堂自测含解析北师大版必

2013 年高中数学《 1.4 数列在平常经济生活中的应用》（随堂自测 + 课时作业，含随堂自测（含解析）北师大版必修 51．跟着算机技的迅速展，的价格不停降低，若每隔 4 年的价格降低三分之一，在价格 8100 元的12 年后的价格 ()A． 2400 元B． 2700 元C． 3000 元D． 3600解析： A. 由意可知，可以看作以首28100，公比3的等比数列 { a } ，此中 an n表示 n 个4年后的价格，此2n8a n＝8100×()＝8100×＝ 2400( 元 ) ，故 A.3272．某工厂月均匀增率p，年均匀增率()A．p B． 12pC． (1 ＋p) 12D． (1 ＋p) 12－ 1解析： D. 1月份1，年均匀增率x，一年后1×(1＋ x)＝1＋x，∵工厂月均匀增率p，∴ 一年(12 个月 ) 后的： 1×(1 ＋p) 12，所以 1＋x＝ (1＋p)12，∴x＝(1＋ )12－ 1，故 D.pb, 2011年的垃圾量 a 吨，由此区3．据某校保小，某区垃圾的年增率下一年的垃圾量________吨， 2016年的垃圾量 ________吨．解析：由意可得： 2012 年垃圾量a(1＋b)，2013年 a(1＋ b)2，2014年 a(1＋ b)3,2015年 a(1＋b)4,52016 年a(1 ＋b) .答案： a(1＋ b)a(1＋ b)54．一个七的塔，每所点的灯的数都等于上边一的 2 倍，一共点 381 灯，底所点灯的数是 ________．解析：底所点灯的数a7，61751271 1 67a ＝2a ， a ＝(2) a ，⋯， a ＝(2) a .7717127167∴S ＝ a ＋2a ＋(2)× a ＋⋯＋(2)× aa7177－2×a＝＝ 381，11－2∴a7＝192，故填192.答案： 192[A基达 ]1．《莱因德草》是世界上最古老的数学著作之一，中有一道的目：把100 个面包分 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是少的两份之和，最小的一份的量 ()510 A. 3 B. 315 11 C. 6D. 6解析： A. 公差 d ( d >0) ， 5份分 20－ 2d, 20－ d, 20,20 ＋ d, 20＋ 2d ， 7(20 － 2d5555 5 ＋20－ d ) ＝20＋ (20 ＋ d ) ＋ (20 ＋ 2d ) ，解得 d ＝ 6 ，最小的一份 20－ 3＝3. 故 A.2．(2012 ·淮北研 ) 某企在今年年初款 a 万元，年利率γ ，按复利算，从今年年末开始每年必定金， 5 年清，每年 ()a ＋ γa γ ＋ γ 55－1万元A.＋ γB.＋ γ 5－1万元a γ ＋ γ 5a γC.＋ γ4－1万元D.＋ γ5万元a γn解析： B. 若 n 年清，每年＋ γ＋ γn－ 1万元，是复利分期付款的数学模型．3．人口的化有多种方法．“直接计算法”使用的公式是P n ＝P 0(1 ＋ k ) n ( k ＞－ 1) ，此中 P 期人口数， P 早期人口数， k 期内年增率，n 期隔年数．如n果在某一期有－ 1＜ k ＜ 0，那么在期人口数 ( )A ．奉上涨B ．呈降落C ．化D ．不nn0 减函数，所以期解析： B. 当－ 1<k <0 ， 0<k ＋ 1<1，关于 n 的函数 P ＝ P (1＋ k )人口数呈降落，故 B.4．按活期存入行 1000 元，年利率 0.72%，那么依据利，第 5 年关的本利和 ________元．解析：各年关的本利和{ a n } ，由 a n ＝ a (1 ＋ nr ) ，此中 a ＝ 1000， r ＝ 0.72%，知 a 5＝1000×(1 ＋5×0.72%)＝ 1036( 元 ) ．答案： 1036 5．(2012 ·亳州 ) 某人了一价 10 万元的新，家种每年按 10%的速度折旧， n 年后的价 a n ， a n ＝ ______，若他打算用 4 年掉，他大能获得 ______元．解析： n 年后的价构成等比数列n－ 10%)， q ＝1－ 10%；{ a } ，此中， a 1＝100000×(1nn∴a ＝100000×(1 － 10%) ，4＝100000×(1 － 10%)4＝65610( 元 ) ．an答案： 100000×(1 － 10%) 65610 6．某的生率均匀每个月比上个月提高 2.4%，那么大需多少个月，生率可以翻一翻？ ( 已知 lg2 ≈0.301 ，果精确到个位 ) 解： n 个月生率翻一翻，原来月生率 a ， a (1 ＋ 2.4%) n ＝ 2a ，即 n ＝2.lg2 lg2 lg2 lg2∴n ＝ log 2＝ lg1.024 ＝－3＋ lg1024 ＝－ 3＋ lg2 10＝－ 3＋ 10lg2 ≈ － 3＋3.01 ≈≈30. 即大30 个月，生率可以翻一翻．[B 能力提高 ] 7．某工厂一台机器价格 a 万元，行分期付款，每期付款 b 万元，每期一个月，共付 12 次，假如月利率 5‰，每个月复利一次， a ， b 足 ( )a a ＋12A ． b ＝B ． b ＝121212a＋aa＋C ． b ＝12D. 12<b <12解析： D.∵ b (1 ＋＋ 1.005 2＋⋯＋ 1.005 11) ＝ a (1 ＋ 1.005) 12 ，∴12 < (1 ＋ 0.005) 12，a＋ 12∴b <，然 12b >a ，1212a a＋.即 < <1212 ba ＝ 1，a ＝ a ＋ n ( n ≥2) 制一个程序生成若干个心( a 表示第 n8．一同学在中按1nn －1n次生成的心的个数) 并在每次生成后插入一个空心，当某次生成的心个数达到2016 止，此空心个数 ( ) A ． 445 B ． 64 C ． 63 D ． 62 解析： D.由意可得：1a ＝1，2 －1＝ 2，aa a 3 －a 2＝ 3，4 －3＝4，aa⋯a n －a n － 1＝ n ，n n ＋n n ＋将上式相加，可得 a n ＝ 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝2，令＝ 2016，解得 n ＝ 63，由2意可得，空心 62 个，故 D.9．“嫦娥奔月，国 ”据科学算，运 “天一号”的“ 征二号”系列火箭，在点火第一秒通的行程2 km ，此后每秒通的行程都增添 2 km ，在达到离地面 240 km 的高度，火箭与船分别，一程大需要的是 ________秒．解析：每一秒通的行程挨次a 1， a 2，a 3，⋯， a n ，数列 { a n } 是首 a 1 ＝ 2，公差 d ＝2 的等差数列，由乞降公式可得：1＋nn －× ＝ 240，即 2＋ ( － 1) ＝ 240，解得na2dn n n＝ 15.n答案： 1510．流行性感冒 ( 称流感 ) 是由流感病毒惹起的急性呼吸道患病，某市昨年11 月份曾生流感，据料，11 月 1 日，市新的流感病毒传染者有 20 人，此后，每日的新染者均匀比前一天的新传染者增添50 人，因为市医部采纳措施，使种病毒的播得以控制，从某天起，每日的新传染者均匀比前一天的新传染者减少30 人，到 11 月 30 日止，市在30 天内传染病毒的患者共有 8670 人， 11 月几天，市传染此病毒的新患者人数最多？并求一天的新增者人数．解：由意知， 11 月 1 日到 n 日，每日新传染者人数构成一等差数列 { a n } ，且 a 1＝20， d 1 ＝50,11 月 n 日新传染者人数 a n ＝50 － 30；从＋1 日到 30 日，每日新传染者人数构成等n n差数列 { b n } ，且 b 1＝ 50n －60， d 2＝－ 30， b n ＝ (50 n － 60) ＋ ( n －1) ×( － 30) ＝－ 30n ＋50n － 30，第 30 日的传染者人数 b 30－ n ＝(50 n － 60) ＋ (29 － n ) ×( － 30) ＝ 80n － 930，所以从 11 月 1 日到 n 日，传染者人数：n＝a 1＋ a nnS2＋ 50 －n2＝n2＝ 25n －5n ，从 11 月 n ＋ 1 日到 11 月 30 日，传染者人数：30－ n＝ b 1＋b 30 －n － nT2＝n －＋n －－ n22＝－ 65n ＋ 2445n － 14850，所以 11 月份传染者人数：＝－ 40n 2＋ 2440n － 14850，2有－ 40n ＋2440n － 14850＝ 8670，2整理可得， n － 61n ＋ 588＝ 0.解得 n ＝ 12 或 n ＝ 49( 舍去 ) ，而且 a 12＝50×12－ 30＝ 570.即11月 12 日，市传染此病毒的新增人数最多，新增人数 570 人．11． ( 新 ) 某企 2011 年的利 500 万元，因老化等原由，企生能力逐年降落，若不行技改造，从今年起每年比上一年利减少20 万元，今年初企一次性投入金 600 万元行技改造，在未扣除技改造金的状况下，第n 年( 今1年第一年 ) 的利 500(1 ＋2n ) 万元 ( n 正整数 ) ．A 万元，行技改造(1) 从今年起的前 n 年，若企不行技改造的累利n后的累利 B n 万元 ( 扣除技改造金 ) ，求 A n ， B n 的表达式；(2) 依上述，从今年起企最少多少年，行技改造后的累利超不行技改造的累利？解： (1) 由意可知：[480 ＋－ 20n nA n ＝(500 － 20) ＋ (500 －40) ＋⋯＋ (500 －20n ) ＝＝ 490n － 10n 2，2B n ＝500[(1 11 1＋ )＋(1＋2)＋⋯＋ (1 ＋ n )] － 6002 221 11＝500×(n ＋ 2＋ 2＋⋯＋ 2 ) －6002n112－2 n ＋ 1500＝500×(n ＋1 ) － 600＝500n － 2n － 100.1－ 2(2) 因 n － n ＝(500n500－ 100) － (490 － 10 n 2－n )BA2n250050＝10n ＋ 10n － 2n － 100＝ 10[( n ＋ 1) n － 2n － 10] ．∵函数 y ＝x ( x ＋ 1) － 50 2x － 10 在 [0 ，＋∞ ) 上增函数， ∴当 1≤ ≤3 ， (＋ 1) －50n－10≤12－50－ 10<0，nn n285050当 n ≥4 ， n ( n ＋ 1) － 2n －10≥20－ 16－ 10>0.∴当 n ≥4 ， B n >A n . 故最少 4 年，企行技改造后的累利超不行技改造的累利．。

北师大数学必修五课时分层作业10 数列在日常经济生活中的应用含解析

课时分层作业(十)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为()A．p B．12pC．(1＋p)12D．(1＋p)12－1D[设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故选D．]2．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为()A．214－1 B．215－1C．314－1 D．315－1A[设2012年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝214－1，故选A．]3．某企业2018年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2018年度的产值月平均增长率为()A．12p B．12p－1C．11p－1 D．11pC[设2018年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝11p－1.故选C．]4．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n ∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则a2＋a3＋a4＋…＋a n等于()A ．3n 22 B ．n (n ＋1)2 C ．3n (n －1)2D ．n (n －1)2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2.]5．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13 958，则出版这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000D [设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，∴7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000.]二、填空题6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成________．512 [由题意知a 1＝1，公比q ＝2，经过3小时分裂9次， ∴末项为a 10，则a 10＝a 1·29＝512.]7．根据市场调查预测，某商场在未来10年，计算机销售量从a 台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．10a (1.110－1) [由题意知，该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列，在未来10年大约可以销售计算机总量为S 10＝a (1－1.110)1－1.1＝10a (1.110－1)台．]8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2013年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2018年的垃圾量为________吨．a (1＋b ) a (1＋b )5 [2013年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2013年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a (1＋b )吨；2018年是从2013年起再过5年，所以2018年的垃圾量是a (1＋b )5吨．]三、解答题9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2018年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.[解] (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1(n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3，故2018年最多出口12.3吨．10．某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2004年年底的林地面积为100万公顷，从2005年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：)(1)若不进行从2005年开始的开荒造林，那么到2018年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？(2)如果从2005年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？[解](1)记2005年该林区原有林地面积为a1到2018年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a14，从表中看出{a n}是等差数列，公差d约为－0.2，故a14＝a1＋(14－1)d＝99.8＋(14－1)×(－0.2)＝97.2，所以到2018年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．(2)根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2005年底，n年后林地总面积达102万公顷，结合(1)可知：99．8＋(n－1)×(－0.2)＋n×0.3≥102，解得n≥20，即2024年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．[能力提升练]1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量S n(万件)近似地满足S n＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月C[S n＝n90(21n－n2－5)＝190(21n2－n3－5n)，∴由a n＝S n－S n－1，得a n＝S n－S n－1＝190(21n2－n3－5n)－190[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝1 90[21(2n－1)－(3n2－3n＋1)－5]＝190(－3n2＋45n－27)，令a n>1.5，解得6<n<9，所以n＝7,8.]2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是()A．1 500 m B．1 600 mC．1 700 m D．1 800 mC[由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{a n}，a1＝26 ℃，d＝－0.7 ℃，∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．]3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．126[设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{a n}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝12a1－1，……，依次类推，a n＋1＝12a n－1，∴a n＋1＋2＝12(a n＋2)．∴{a n ＋2}是一个等比数列，公比为12，首项为a 1＋2. ∴a n ＋2＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2. ∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2＝0.∴a 1＝126，即全部资金为126万元．]4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．aγ(1＋γ)5(1＋r )5－1[设每年偿还x 万元，第一年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a (1＋γ)－x ，第二年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为[a (1＋γ)－x ](1＋r )－x ＝a (1＋γ)2－x (1＋γ)－x ，…，第五年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a (1＋γ)5－x (1＋γ)4－x (1＋γ)3－…－x ，由于第5年还清，所以x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋r )5－1.]5．在一次人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出了工资标准：年，经过一番思考，他选择了A 公司，你知道为什么吗？[解]因此，王明选择A公司.。

高中数学北师大版必修5 第一章4 数列在日常经济生活中的应用作业2 含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )A ．pB ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1解析：选D.设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D.2．某种产品计划每年降低成本q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是( )A ．a 3q %B ．a ·(q %)3C ．a (1－q %)3 D.a （1－q %）3解析：选D.设现在的成本为x 元，则x (1－q %)3＝a ，所以x ＝a （1－q %）3，故选D. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )A ．214－1B ．215－1C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A.4．某企业2014年12月份产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2014年度的产值月平均的增长率为( ) A.12p B.12p －1 C.11p －1 D.11p解析：选C.设2014年1月份产值为a ，则12月份的产值为pa ，假设月平均增长率为r ，则a (1＋r )11＝pa ，所以r ＝11p －1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.a p [(1＋p )7－(1＋p )]D.a p[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2007年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )7，2008年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )6，依次类推，则2013年存入的a 元到2014年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝a p [(1＋p )8－(1＋p )]．6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝12（12＋1）2ar ＝78ar .答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，所以a n ＝100 000×(1－10%)n ，所以a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n 65 6108．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 9109．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24＝10 000×1.004 57524(元)．设每月还x 元，则到期时总共还x ＋1.004 575x ＋…＋1.004 57523x ＝x ·1－1.004 575241－1.004 575. 于是x ·1－1.004 575241－1.004 575＝10 000×1.004 57524. 所以x ≈440.91(元)．即每月应还440.91元．10．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝(4－n －15)(万元)(n ＝1，2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×（10－1）×（－15）2＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．[B.能力提升]1．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，所以由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n ＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C. 2．某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2015年1月的产值相等．若甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2016年1月两个企业的产值又相等，那么2015年7月，甲、乙两个企业的产值的大小关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D ．无法确定解析：选A.设从2015年1月到2016年1月，甲企业每个月的产值分别是a 1，a 2，…，a 13，乙企业每个月的产值分别是b 1，b 2，…，b 13.依题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝a 1＋a 132，b 7＝b 1b 13.又因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，a 13>a 1，所以a 7＝a 1＋a 132>a 1a 13＝b 1b 13＝b 7，即2015年7月甲企业的产值大，故选A.3．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0)解析：设原杂质数为1，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{a n }，则a 1＝1－20%，公比q ＝1－20%，所以a n ＝(1－20%)n ，由题意可知(1－20%)n ＜5%，即0.8n ＜0.05.两边取对数得n lg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n ＞lg 0.05lg 0.8，即n ＞lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，又n ∈N ＋，故n ＝14，即至少需要过滤14次．答案：144．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：由已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2，因为b >a ，b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于－1＋52. 答案：－1＋525．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12n ＋n （n －1）2×4]－72＝－2n 2＋40n －72. 获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.又n ∈N ＋，知从第三年开始获利．6．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N ＋)年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a ，24a ，36a ，54a ，81a . 所以该林场第六年植树面积为80a 亩．(2)设第n 年林场植树的面积为a n 亩，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（32）n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，（86－n ）a ，6≤n ≤10，n ∈N ＋.所以当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a ＝16a [1－（32）n ]1－32＝32a [(32)n －1]．当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a＝211a ＋[80a ＋（86－n ）a ]（n －5）2＝211a ＋（166a －na ）（n －5）2. 所以所求S n 的表达式为S n ＝⎩⎨⎧⎣⎡⎦⎤（32）n －1×32a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，211a ＋（166a －na ）（n －5）2，6≤n ≤10，n ∈N ＋.。

2021-2022学年高中数学北师大版必修5作业：1.4 数列在日常经济生活中的应用

课时分层作业(十) 数列在日常经济生活中的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )A ．pB ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1D [设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D ．]2．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？( )A ．38B ．35C ．32D ．29B [由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a 1为首项，公差为－3的等差数列，所以9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35.]3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，数列{}a n 的前n 项和为S n ，则使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12C [记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，则{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n ，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，S n 是关于n 的增函数，而S 10＝1－1210＝1 0231 024<2 0202 021，S 11＝1－1211＝2 0472 048>2 0202 021，所以使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为11.]4．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A ．3n 22B ．n (n ＋1)2C ．3n (n －1)2D ．n (n －1)2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2．] 5．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13 958，则出版这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000D [设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958， ∴7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000．] 二、填空题6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成________．512 [由题意知a 1＝1，公比q ＝2，经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10＝a 1·29＝512．]7．根据市场调查预测，某商场在未来10年，计算机销售量从a 台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．10a (1．110－1) [由题意知，该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列，在未来10年大约可以销售计算机总量为S 10＝a (1－1.110)1－1.1＝10a (1．110－1)台．]8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)40 000 [设一月月底小王手中有现款为a 1＝(1＋20%)×10 000－1 000＝11 000元，n 月月底小王手中有现款为a n ，n ＋1月月底小王手中有现款为a n ＋1，则a n ＋1＝1.2a n －1 000，即a n ＋1－5 000＝1.2()a n －5 000，所以数列{}a n －5 000是以6 000为首项，1.2为公比的等比数列，a 12－5 000＝6 000×1.211，即a 12＝6 000×1.211＋5 000＝50 000元．年利润为50 000－10 000＝40 000元．]三、解答题9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．(1)以2018年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0．910≈0．35．[解] (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0．9，∴a n ＝a ·0．9n －1(n ≥1)．(2)10年的出口总量S10＝a(1－0.910) 1－0.9＝10a(1－0．910)．∵S10≤80，∴10a(1－0．910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12．3，故2018年最多出口12．3吨．10．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的学生改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的学生改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果a1＝300，求a10和b10．[解]依题意，a n＝0．8a n－1＋0．3b n－1，a n＋b n＝500，∴a n＝0．8a n－1＋0．3(500－a n－1)＝0．5a n－1＋150，∴a n－300＝0．5(a n－1－300)，∴a n－300＝(a1－300)×0．5n－1，又a1－300＝0，则a n－300＝0，即a n＝300，∴a10＝300，b10＝200．1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量S n(万件)近似地满足S n＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月C[S n＝n90(21n－n 2－5)＝190(21n2－n3－5n)，∴由a n＝S n－S n－1，得a n＝S n－S n－1＝190(21n 2－n3－5n)－190[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝190[21(2n －1)－(3n 2－3n ＋1)－5]＝190(－3n 2＋45n －27)，令a n >1．5，解得6<n <9，所以n ＝7,8．]2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0．7 ℃，已知山顶气温为14．1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )A ．1 500 mB ．1 600 mC ．1 700 mD ．1 800 mC [由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0．7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0．7 ℃，∴14．1＝26＋(n －1)×(－0．7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．]3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．126 [设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{a n }，则a 1为全部资金，第一名领走资金后剩a 2，a 2＝12a 1－1，…，依次类推，a n ＋1＝12a n －1，∴a n ＋1＋2＝12(a n ＋2)．∴{a n ＋2}是一个等比数列，公比为12，首项为a 1＋2．∴a n ＋2＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1， ∴a n ＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1－2． ∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2＝0．∴a 1＝126，即全部资金为126万元．]4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1[设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋γ)－x](1＋r)－x＝a(1＋γ)2－x(1＋γ)－x，…，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)5－x(1＋γ)4－x(1＋γ)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1．]5．在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？[解]。

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数列在日常经济生活中的应用一、选择题
1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A ．6秒钟
B ．7秒钟
C ．8秒钟
D ．9秒钟
【答案】 B
【解析】依题意，得1＋21＋22＋…＋2n －1
≥100，∴1－2n
1－2
≥100，
∴2n ≥101，∴n ≥7，
则所求为7秒钟．
2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )
A.S 32
B.S 34
C.S 36
D.S 38
【答案】 C
【解析】一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；
二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －5
4x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S
36.
3．某工厂2013年底制定生产计划，要使工厂的年产值到2023
年在原有基础上翻两番，则年总产值的平均增长率为( )
A ．4 110
－1
B ．5 110
－1
C ．3
110
－1
D ．4
111
－1
【答案】 A 二、填空题
4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ，那么年平均增长率为________．
【答案】 (1＋p )12－1
【解析】一年12个月，故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列，设去年年底产值为a ，∴a 12＝a (1＋p )12，∴年平均增长率为a (1＋p )12－a a
＝(1＋p )12
－1. 5．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金________万元．
【答案】
5 0003
(1.37
－1) 【解析】设第n 年投入的资金为a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ，则a n ＋1
a n
＝1.3，
所以数列{a n }是首项为500，公比为1.3的等比数列，所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)
1－1.3＝
5 0003(1.37
－1)(万元)．。