矩阵和行列式复习知识点

矩阵和行列式复习知识点
矩阵和行列式复习
知识梳理
9.1矩阵的概念：
矩阵：像[2
7
]，[42
02
]，[945
354
]的矩形数字（或
字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A、B、C…表示
三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；
①矩阵行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素
也相等的两个矩阵，称为A＝B。

行向量、列向量
单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵
增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。

通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。

9.2矩阵的运算
【矩阵加法】
不同阶的矩阵不可以相加；
记
11
1221
22A A A A A =⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
11
1221
22B B B B B =⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，那么
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡++++=+22222121121211
11B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】，
[A 1A 2]×[B 1B 2]=111
2
2
1
2
2
A B A B A B A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij
kA Ak ka == 【矩阵变换】
相似变换的变换矩阵特点：k [10
01]等
轴对称变换的变换矩阵：[−1001]、[10
0−1
]、
[0110
]等 旋转变换的变换矩阵：[0−1
10
]等
9.3二阶行列式
【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式；
行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，
而行列式则用线段。

行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。

二阶行列式的值a d
D ac bd
b c
==-
展开式ac - bd
【二元线性方程组】
对于二元一次方程组1
1
1
222
a x
b y c
a x
b y c
+=⎧⎨
+=⎩
，通过加减消元法转化为方程组
x y
D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
其中111111
2
22
22
2
,,x y a
b c b a c D D D a
b c b a c ===
方程的解为{
x =
D x D
y =
D y D
用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。

（I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D = ○1 ,x y
D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○2
0x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。

系数行列式1
1
2
2
a b D a b =
也为二元一次方程组解的判
别式。

9.4三阶行列式
三阶行列式展开式及化简
12
3
1
231232313121
2
3
a a a D
b b b a b
c a b c a b c c c c ==++321213132()a b c a b c a b c -++（对角线法
则）
三阶行列式的几何意义：直角坐标系中A 、B 、C 三点共线的充要条件(沪教P95)
|x1y11
x2y21x3y31|=0
【余子式】把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；添上符号（-1）
i+j 后为代数余子式。

|a1b1c1
a2b2c2a3b3c3|=a1A1+a2A2+a3A3 其中A1=|b2c2b3c3|, A2=-|b1c1b3c3|, A3=|b1c1
b2c2
|,
分别为a1,a2,a3的代数余子式。

三阶行列式可以按照其任意一行或列展开成该行或列元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

【三元线性方程组】
设三元一次方程组 {a1x +b1y +c1z =d1
a2x +b2y +c2z =d2a3x +b3y +c3z =d3，其
中x 、y 、z 是未知数，通过加减消元化简为{D ∙x =D x D ∙y =D y D ∙z =D z
, D ≠0，方程组（*）有唯一解；
{
x =D
x
D y =D y D z =D z D
巩固习题
1.
（2018上海数学）行列式4125
的值
为 ．
2. （2017上海数学）关于x 、y 的二元一次方程组{
x +5y =0
2x +3y =4
的系数行列式
D 为。

3. （2015上海数学）若线性方程组的增广矩阵为[
2
3c 10
1c 2
]解为{x =3
y =5，则
c 1-c 2= 。

4.
函数1
sin cos 2)(-= x x
x f 的值域是 .
5. (2018江苏数学)已知矩阵A=[23
12
]，若点P 在矩阵 对应的变换作用下得到
点，求点P 的坐标．
6. 已知1x 12=0，1x 1
y =1，则y= .
7. 若行列式|45x
1x 3789
|中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是
________________ . 8. 行列式|a
b c
d
e f g
ℎ
i
|(a,b,c,d,e,f,g,ℎ,i ∈{−1,1,2})所有可能的值中，最大的是_____ ____ 。

9. 在n 行n 列矩阵[
12⋯n −1n 23⋯n 13
4⋯12⋯⋯⋯⋯⋯n
1
⋯
n −2n −1]
中，记位于第i 行第j 列的数为。

当时，
_____ ____ 。

(,1,2,)
ij a i j n =⋅⋅⋅9n =11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=
10. 在数列
{}
n a 中，
21
n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素
,i j i j i j
a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==L L ）则该矩阵元素能取到的不
同数值的个数为_____ ____ 。

11. (2014上海数学)已知P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是y=kx+1（k 为常数）上的两个
不同点，则关于x 和y 的方程组{
a 1x +
b 1y =1
a 2x +
b 2y =1
的解的情况是（）。

A ．无论k,P 1,P 2如何，总是无解 B. 无论k,P 1,P 2如何，总有唯一解 C ．存在k,P 1,P 2，使之恰有两解 D. 存在k,P 1,P 2，使之有无穷多解
12. 当a 为何值时，关于x,y,z 的三元一次方程组{x +y +z =1
x +y +az =1x +ay +a 2z =2
有唯一解，
并写出该条件下方程组的解。

参考答案
1. 18
2. |15
23
| 3. 16
4. [−5
2,−3
2
]
5.（3，-1）
6. 1
7. x>8
3
8. 27
9. 45
10. 18
11.B 解析：由已知条件b1=ka1+1, b2=ka2+1 D=|a1b1
a2b2| =a1b2-a2b1=a1(ka2+1)- a2(ka1+1)= a1 - a2≠ 0 ，∴有唯一解。

12. 当a≠1时方程组的解为{x=a−2
a−1
y=1
a−1 z=0。