2014-2015年宁夏银川市唐徕回民中学高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，则A∩B=（）A．[﹣2，3）B．（﹣2，3]C．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（5.00分）设全集U={x∈N*|x＜10}，已知A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，则集合∁U（A∪B）的真子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．83．（5.00分）设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A．B．0 C．D．14．（5.00分）=（）A．B．C． D．5．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，则=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．6．（5.00分）设M={x|x2+4x≤0}，则函数f（x）=﹣x2﹣6x+1的最值情况是（）A．最小值是1，最大值是9 B．最小值是﹣1，最大值是10C．最小值是1，最大值是10 D．最小值是2，最大值是97．（5.00分）已知幂函数y=f（x）图象经过点，则f（3）=（）A．3 B．C．D．8．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．C． D．9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）=0，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，+∞）10．（5.00分）设a=log0.73，b=2.3﹣0.3，c=0.7﹣3.2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c11．（5.00分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，3） C．（0，1） D．（0，3）12．（5.00分）已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1）时，均有f （x）＜，则实数a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，+∞）B．[，1）∪（1，2]C．（0，]∪[4，+∞） D．[，1）∪（1，4]二、填空题（每题5分，共计20分）13．（5.00分）设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则=．14．（5.00分）（lg5）2+lg2×lg50=．15．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，设F（x）=f（x）+3，且F （x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．16．（5.00分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围为．三、解答题（本题包括六道小题共计70分）17．（10.00分）（1）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣a＞0}，若A∩B=A，求a的范围；（2）设集合M={x∈R|ax2﹣3x﹣1=0}，若集合M中至多有一个元素，求a的范围．18．（12.00分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|（1）在如图所示直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若方程f（x）﹣2a+4=0有解，求实数a的范围．19．（12.00分）设f（x）=，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明函数f（x）在[2，+∞）单调递增．20．（12.00分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3，（1）若函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，求实数a的范围；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最小值．21．（12.00分）设，（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．22．（12.00分）已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0且a ≠1（1）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的范围．2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，则A∩B=（）A．[﹣2，3）B．（﹣2，3]C．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：∵A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜1}，故选：A．2．（5.00分）设全集U={x∈N*|x＜10}，已知A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，则集合∁U（A∪B）的真子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8【解答】解：∵A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，∴A∪B={1，2，3，4，5，7，9}，又全集U={x∈N*|x＜10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U（A∪B）={6，8}，则集合∁U（A∪B）的真子集为：∅，{6}，{8}，个数为3．故选：B．3．（5.00分）设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A．B．0 C．D．1【解答】解：∵f（）=|﹣1|﹣||=0，∴f[f（）]=f（0）=1﹣0=1．故选：D．4．（5.00分）=（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，﹣m≥0，则=﹣（﹣m）•（﹣m）=﹣（﹣m）=﹣．故选：D．5．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，则=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，∴当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣x）﹣3，∴=﹣﹣3=2﹣3=﹣1．故选：B．6．（5.00分）设M={x|x2+4x≤0}，则函数f（x）=﹣x2﹣6x+1的最值情况是（）A．最小值是1，最大值是9 B．最小值是﹣1，最大值是10C．最小值是1，最大值是10 D．最小值是2，最大值是9【解答】解：由题意知M={x|x2+4x≤0}={x|﹣4≤x≤0}，f（x）=﹣x2﹣6x+1=﹣（x+3）2+10，又∵﹣4≤x≤0，∴函数f（x）在区间[﹣4，﹣3]上是增函数，在区间（﹣3，0]上是增函数，∴当x=﹣3时，函数的最大值f（﹣3）=10；当x=0时，函数的最小值f（0）=1，∴函数f（x）的值域是[1，10]．故选：C．7．（5.00分）已知幂函数y=f（x）图象经过点，则f（3）=（）A．3 B．C．D．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，因为幂函数f（x）图象经过点，所以，解得α=，即f（x）=，所以f（3）===，故选：D．8．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．C． D．【解答】解：要使函数有意义，则需即有解得，，定义域为（，1]．故选：C．9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）=0，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，+∞）【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f （﹣3）=0，∴f（3）=0，f（x）=f（|x|），∴f（|2x﹣1|）＜f（3），∴|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2．∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，2）．故选：A．10．（5.00分）设a=log0.73，b=2.3﹣0.3，c=0.7﹣3.2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c【解答】解：∵a=log0.73＜0，0＜b=2.3﹣0.3＜1，c=0.7﹣3.2＞1．∴c＞b＞a．故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，3） C．（0，1） D．（0，3）【解答】解：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则有即有，解得a＜1．故选：A．12．（5.00分）已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1）时，均有f （x）＜，则实数a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，+∞）B．[，1）∪（1，2]C．（0，]∪[4，+∞） D．[，1）∪（1，4]【解答】解：若当x∈（﹣1，1）时，均有f（x）＜，即a x＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=a x，m（x）=x2﹣，由图象知：若0＜a＜1时，g（1）≥m（1），即a≥1﹣=，此时≤a＜1；当a＞1时，g（﹣1）≥m（1），即a﹣1≥1﹣=，此时a≤2，此时1＜a≤2．综上≤a＜1或1＜a≤2．故选：B．二、填空题（每题5分，共计20分）13．（5.00分）设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则=．【解答】解：∵函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，∴g（x）=log3x．∴==．故答案为：．14．（5.00分）（lg5）2+lg2×lg50=1．【解答】解：（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2×（lg10+lg5）=（lg5）2+lg2+（lg5）（lg2）=lg5（lg5+lg2）+lg2=1．故答案为：1．15．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，设F（x）=f（x）+3，且F （x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=6．【解答】解：∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又F（x）=F（x）+3的最大值为M，最小值为m，所以F（x）的最大最小值分别为M﹣3，m﹣3，由奇数的性质可得（M﹣3）+（m﹣3）=0，解得M+m=6，故答案为：616．（5.00分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a 的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）三、解答题（本题包括六道小题共计70分）17．（10.00分）（1）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣a＞0}，若A∩B=A，求a的范围；（2）设集合M={x∈R|ax2﹣3x﹣1=0}，若集合M中至多有一个元素，求a的范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞a}∵A∩B=A，故A⊆B，∴a≤﹣1；（2）当a=0时显然符合题意．当a≠0时，由题意，△≤0，即9+4a≤0，解得．综上，18．（12.00分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|（1）在如图所示直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若方程f（x）﹣2a+4=0有解，求实数a的范围．【解答】解：（1）图象如图所示，（2）由题意，2a﹣4≥3，解得．19．（12.00分）设f（x）=，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明函数f（x）在[2，+∞）单调递增．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又∵，∴f（x）是奇函数．（2）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则=∵x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[2，+∞）单调递增．20．（12.00分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3，（1）若函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，求实数a的范围；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+3的对称轴为x=a，∴函数f（x）在区间（﹣∞，a]上单调递减；在区间[a，+∞）上单调递增．∵函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，∴a≥3或a≤﹣2．（2）①当a＜﹣2时，∵f（x）在区间[﹣2，3]是单调递增函数，∴[f（x）]min=f（﹣2）=4a+7；②当﹣2≤a＜3时，∵f（x）在区间[﹣2，a]是单调递减函数，f（x）在区间[a，3]是单调递增函数，∴[f（x）]min=f（a）=3﹣a2；③当a≥3时，∵f（x）在区间[﹣2，3]是单调递减函数，∴[f（x）]min=f（3）=12﹣6a．∴．21．（12.00分）设，（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．【解答】解：（1）由2x﹣1≠0得x≠0，故函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）（2）证明：当x＞0时，因为2x＞1，显然f（x）＞0因为==f（x）所以，当x＜0时，﹣x＞0，故f（x）=f（﹣x）＞0综上，f（x）＞0，命题得证．22．（12.00分）已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0且a ≠1（1）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的范围．【解答】（本题12分）解；（1）设log a x=t，则x=a t，所以故当a＞1时，a2﹣1＞0，设g（x）=a x﹣a﹣x，设x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，因为=因为，x1＜x2且a＞1，故，所以所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当0＜a＜1时，a2﹣1＜0，同理可证f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增又，所以f（x）是奇函数由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）因为f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以1﹣m＜m2﹣1即m2+m﹣2＞0解得m＜﹣2或m＞1（2）由上，f（2）﹣4≤0即．解得。