2016届高考数学一轮复习 题组层级快练51(含解析)

题组层级快练(五十一)1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．2．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a.∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案 B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．4．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)．设AB＝1，则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝5＋2－125·2＝31010，选C.5．(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N ＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.6．ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与( ) A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直答案 B解析∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.7.如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C ．①②④D ．①②③答案 C解析 将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意不等于k π2(k ∈Z )的角度，所得的平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③错误，排除A ，B ，D ，选C.8.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D解析 由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确． 由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确．A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值， 故V A －BEF 为定值，即C 正确．9.如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ③④解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM 与ED 为异面直线，故命题①不成立；而CN 与BE 平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN.∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.10．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②，④中GH与MN异面．11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．答案③④解析AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．12.如图所示，在正四面体S －ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是________．答案36解析 取AC 中点E ，连接DE ，BE ，则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角． 设SA ＝a ，则BD ＝BE ＝32a ，DE ＝a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE ＝36. 13．有下列四个命题：①若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点共线； ②若三条直线a ，b ，c 互相平行且分别交直线l 于A ，B ，C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；④若a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 在①中，因为P ，Q ，R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上，既P ，Q ，R 三点共线，所以①正确．在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A ，B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a ，b ，l 三线共面于α；同理a ，c ，l 三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a ，l ，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a 与α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线l 与a 共面，所以④错． 14.(2015·上海徐汇二模)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．答案66解析 由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1＝1，BC 1＝5，cos ∠BA 1C 1＝6＋1－526×1＝66.15．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 答案 (1)略 (2)共面，证明略解析 (1)证明：∵G ，H 分别为FA ，FD 的中点，∴GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点，得BE 綊GF .所以EF 綊BG .由(1)知，BG 綊CH ，所以EF 綊CH .所以EC ∥FH . 所以C ，D ，F ，E 四点共面．16.(2014·上海黄浦一模)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1的体积． 答案 (1)π4 (2)223解析 (1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边上的中点． ∵点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O ＝O ，∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ，即四边形BCC 1B 1为正方形， ∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2，∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.1．下面三条直线一定共面的是( ) A ．a ，b ，c 两两平行 B ．a ，b ，c 两两相交 C ．a ∥b ，c 与a ，b 均相交 D ．a ，b ，c 两两垂直答案 C2．如图所示是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .。