中考数学压轴题必考题型二次函数的面积问题考点专练含解析强烈推荐

c＝3
a＝
3 4
解得，
b＝ 9
，
4
c＝3
抛物线的函数表达式为 y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3； 44
（2）过点 D 作 DM⊥x 轴交 BC 于 M 点，
由勾股定理得，BC＝ OC2 OB2 ＝5， 设直线 BC 的解析是为 y＝kx+b，
4k b＝0
则
b＝3
，
解得
k
3 4
，
b 3
44
4
②如图
2，当
0＜t≤1
时，PQ=
yP
yQ
mt 2
mt
=
m(t
1 )2 2
1 4
m
．
∵m＞0，
∴当 t=1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即 PQ 的最大值为 6．
综上所述，PQ 的最大值为 6．
【点睛】 此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答， 因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答． 【变式 1-2】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+mx+m﹣2 的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）． （1）求顶点 A 的坐标 （2）若 P 是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P 的坐标； （3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交 于 C，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值？若是，请求出 这个定值；若不是，请说明理由．
点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图 1，当-1≤t≤0 时；②如图 2，
当 0＜t≤1 时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1， mx2+mx=0，mx（x+1）=0， ∵m≠0， ∴x1=0，x2=-1． ∴抛物线与直线有两个交点． （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
∴直线 BC 的解析是为 y＝﹣ 3 x+3， 4
设点 M 的坐标为（a，﹣ 3 a+3）， 4
DM＝（﹣ 3 a2+ 9 a+3）﹣（﹣ 3 a+3）＝﹣ 3 a2+3a，
44
4
4
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ DE BO ，即 DE ＝ 4 ，
DM BC
DM 5
解得，DE＝ 4 DM 5
∴DE＝﹣ 3 a2+ 12 a＝﹣ 3 （a﹣2）2+ 12 ，
55
5
5
当 a＝2 时，DE 取最大值，最大值是 12 ． 5
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次
函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式 1-1】．已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0．
点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图
1，当-1≤t≤0
时，PQ=
yQ
yP
mt 2
mt
= m(t
1 )2 2
1 4
m．
∵m＞0，
当 t 1 时，PQ 有最大值，且最大值为 1 m ．
2
4
∵0＜m≤3，∴ 1 m ≤ 3 ，即 PQ 的最大值为 3 ．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于
点 Q，当 0＜m≤3 时，求线段 PQ 长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.
【解析】
【Hale Waihona Puke 析】标，根据勾股定理，可得答案． 【详解】 解：（1）把 B（3，﹣3）代入 y=﹣x2+mx+m2 得：﹣3=﹣32+3m+m2， 解得 m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1， ∴顶点 A 的坐标是（﹣1，1）； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q. ∵直线 OB 的解析式为 y=﹣x， 故设 P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n）， ∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n， ∴S△OPB= （﹣n2+3n）=﹣ （n﹣ ）+ ， 当 n= 时，S△OPB 的最大值为 ． 此时 y=﹣n2+2n= ， ∴P（ ， ）； （3）∵直线 OA 的解析式为 y=x， ∴可设新的抛物线解析式为 y=﹣（x﹣a）2+a，
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）
=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（ ， ）；（3） .
【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根 据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得 P 点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA 的解析式，可得 C、D 点的横坐
2020 年中考数学压轴题：二次函数的面积问题考点专练强烈推荐
【考点 1】二次函数的线段最值问题 【例 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直 线 BC 上方抛物线上一动点，DE⊥BC 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段 DE 长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3；（2）最大值是 12 ．
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【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据
相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
a b c＝0 解：（1）由题意得， 16a 4b c＝0 ，