10-有限元参数单元-数值积分
数值计算的例子
数值计算的例子数值计算在现代科学和工程中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们解决各种实际问题，从物理学到金融学，从天文学到工程学。
下面是一些以数值计算为主题的例子：1. 迭代法求方程的根迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来求解一个非线性方程的根。
假设我们要求解方程f(x)=0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逐步逼近方程的根。
2. 数值积分数值积分是一种计算定积分近似值的方法。
例如，我们可以使用梯形法则来计算一个函数在给定区间上的定积分。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，我们可以将这个区间分成n个小区间，然后使用梯形面积的近似值来计算整个区间上的定积分。
3. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
例如，我们可以使用高斯消元法来求解一个线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
高斯消元法可以将这个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出方程的解。
4. 数值微分数值微分是一种计算导数近似值的方法。
例如，我们可以使用中心差分法来计算一个函数在某一点的导数。
假设我们要计算函数f(x)在点x0处的导数，我们可以选择一个很小的步长h，然后使用中心差分公式f'(x0) ≈ (f(x0+h) - f(x0-h))/2h来估计导数的值。
5. 最优化问题最优化问题是数值计算中的一个重要问题，它可以帮助我们找到一个函数的最小值或最大值。
例如，我们可以使用梯度下降法来求解一个无约束的最小化问题。
梯度下降法通过迭代地沿着函数的负梯度方向更新变量的值，从而逐步接近最优解。
6. 插值和拟合插值和拟合是数值计算中常用的技术，它们可以帮助我们从离散数据中推测出连续函数的形状。
例如，我们可以使用拉格朗日插值法来构造一个通过给定数据点的插值多项式。
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
c3d10的积分点
c3d10的积分点C3D10元素是有限元分析软件中常用的一个十节点立方体元素（brick element）。
它对于复杂的三维结构的有限元分析提供了很大的便利，能够有效地模拟力学行为并预测结构的响应。
本文将详细介绍C3D10元素的积分点，以及如何使用这些积分点进行分析。
首先，我们来了解C3D10元素的基本信息。
C3D10元素有十个节点，它按照正立方体的八个顶点和中心点的顺序进行编号。
同时，它有六个面，每个面都有四个节点。
此外，C3D10元素的两条棱上各带有一个节点，总共有十条棱。
这种节点的分布方式使得C3D10元素能够更好地适应结构的几何形状。
在有限元分析中，C3D10元素经常用于模拟具有复杂几何形状的结构，例如汽车车身、飞机机身和建筑物等。
其三维形状可以更好地模拟真实结构，并且由于具有足够的节点数目，能够精确地捕捉结构的力学行为。
在C3D10元素中，为了进行数值积分和力学计算，需要在元素内部选择一系列积分点。
这些积分点通常按照高斯积分点的规则进行选择，以获得更准确的结果。
积分点的数量和位置可以根据具体的分析要求进行选择。
一般来说，积分点越多，结果越准确，但计算量也会增加。
C3D10元素的常见积分点数目有1、8、27和64等。
1个积分点用于代表整个单元，它的位置位于单元的质心上。
8个积分点位于单元的八个顶点上，27个积分点则按照某种规律分布在元素内部的各个位置，64个积分点则进一步增加了积分精度，用于需要更高精度的分析场合。
使用C3D10元素进行有限元分析时，我们需要在每个元素内部选择合适数量的积分点，并计算每个积分点处的场量值。
这些场量通常包括位移、应力、应变等。
通过选择适当的积分点数量，我们能够获得足够准确的场量值，从而在整个结构中分析出力学响应。
C3D10元素的积分点选择与力学计算有着紧密的联系。
在弹性力学中，通常使用高斯积分点进行数值计算，以获得足够精确的结果。
在非线性力学中，由于材料性质的变化，可能需要更多的积分点来获得准确的结果。
有限元基本理论
2、虚应力原理
第1章 预备知识
1.4.4 线弹性力学的变分原理
1、最小位能原理
第1章 预备知识
设：
第1章 预备知识
2、最小余能原理
第1章 预备知识
第1章 预备知识
第2章 弹性力学有限元
2.1 平面问题3结点三角形单元
第2章 弹性力学有限元
2.1.1 单元位移模式及插值函数
第2章 弹性力学有限元
取：
则：
2.3.3 3结点环状单元的等效结点荷载
第2章 弹性力学有限元
例：计算3结点环状单元自重荷载
由面积坐标
第2章 弹性力学有限元
积分
则：
2.4 空间问题有限元
2.4.1 4结点四面体单元
第2章 弹性力学有限元
1、位移函数
第2章 弹性力学有限元
其中：
代入结点坐标得：
有限元基本理论
目 录
第1章 预备知识 第2章 弹性力学有限元 第3章 单元插值函数的构造 第4章 杆件结构力学问题 第5章 平板弯曲问题 第6章 应用中的若干问题 第7章 材料非线性问题
第1章 预备知识
1.1 引言
数值分析方法
有限差分法
微分方程近似解法
有限单元法
几何形状规则
几何形状规则
则两项近似解为：
力矩法
一项近似解，取W1=1（0≤x≤1）
则一项近似解为：
由
第1章 预备知识
两项近似解，取W1=1，W2=x
由
则两项近似解为：
伽辽金法
第1章 预备知识
一项近似解，取W1= N1 = x(1-x)
由
则一项近似解为：
两项近似解，取W1= N1= x(1-x) ，W2= N2 = x2(1-x)
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
有限元计算误差的影响因素
有限元计算误差的影响因素1.网格划分网格划分是有限元方法中最关键的一步，网格的划分对计算结果具有很大的影响。
当网格划分不够细致时，会导致网格近似真实物理结构的能力较差，从而引入较大的误差。
而当网格划分过于细致时，会增加计算量，造成不必要的计算误差。
因此，网格划分需要根据具体问题的特点进行合理选择。
2.材料参数有限元方法在计算中需要使用材料的本构模型和材料的物理性质等参数。
如果这些参数的值与真实材料参数相差较大，就会引入较大的误差。
因此，确定准确的材料参数对于减小有限元计算误差非常重要。
3.边界条件边界条件是指在计算区域内界面及周边所给出的条件。
边界条件的选择和给定不准确都会对计算结果产生很大影响。
合理选择边界条件是保证计算结果准确性的关键。
4.计算方法和算法不同的有限元计算方法和算法对计算结果的准确性也有影响。
例如高阶元素和低阶元素、隐式算法和显式算法等的选择都会对计算误差产生影响。
5.近似假设有限元方法在对实际问题进行数值计算时，通常要对问题进行简化和近似处理。
这些简化和近似假设可能会导致误差的产生。
因此，在进行有限元计算时需要对问题的简化和近似假设进行合理的评估。
6.数值积分在有限元分析中，求解离散形式的形式方程通常需要进行数值积分。
数值积分是将连续函数在一个有限区间中近似表示为离散点的加权和。
数值积分的精度和稳定性会直接影响到计算结果的准确性。
7.迭代收敛有限元求解器通常会使用迭代算法来求解非线性和时间依赖问题。
迭代算法的收敛速度和稳定性对计算误差也会有一定影响。
8.舍入误差总结起来，有限元计算误差的影响因素包括网格划分、材料参数、边界条件、计算方法和算法、近似假设、数值积分、迭代收敛和舍入误差等。
在进行有限元计算前，需要认真评估这些影响因素，并采取相应的措施来减小计算误差，以获得准确可靠的计算结果。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
10-有限元参数单元-数值积分
(x2
3 5
)
x 根 x1
15 5
, x2
0, x3
15 5
四阶 Legendre多项式
L4
(x)
35 8
(x3
15
120 35
)(x 2
15
120 35
)
根 x1、4
15
120 35
, x2、3
15 120 35
一般n阶Legendre多项式的定义为
Ｌ n
(
x)
1 2n n!
dn dx n
(x2
1) n
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x2 y 2xy nn 1y 0
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ 0
(
x)
1
11 1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n dx＝ 1 d n1 2n n! dx n1
(x2
1) n
1 1
0
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
Lm (x) Ln (x)dx
1
1
1 dn
2mn m!n! 1 dx n
(x2
1) n
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
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Legendre多项式的定义域为[-1,1]
-1
x 1
-1 1
x
x 1
零阶 Legendre多项式 一阶 Legendre多项式 二阶 Legendre多项式
L0 ( x) 1
L1 ( x) x 根 x1 0
L２( x)
3 2 1 3 3 ( x ) 根 x1 , x 2 2 3 3 3 5 3 15 15 三阶 Legendre多项式 L3 ( x) ( x 2 ) x 根 x1 , x 2 0, x3 2 5 5 5
解决这一矛盾的办法是探索新型单元，比如非协调元就是其中的一类。
n 1 d m 1 2 m d m 1 ( x 1) ( x 2 1) n dx dx dx n 1 1 1 m 1 n 1
1
1
1
1 d n m n (1) m n 1 ( x 2 1) m 2 m!n! dx
m n 1
1
0
1
当 m=n
1 2
时则有
1 1
1 1 2 Lm ( x)dx 2 m (1) m ( x 2 1) m dx 2 m (1 x 2 ) m dx 1 2m 1 2 (m!) 2 2 (m!) 2 1 1
(2) 若在 (1) 的证明中将 Ln (x) 换成任何次数不超过m-1次的多项式 P m－１(x) 则有
f(x)
f(xi)
n
f(xi+1)
f(x)
I f x dx Wi f xi
a i 1
b
n
W
i 1
i
ba
a
xi h xi+
1
x
Wi：权系数；
b
xi ：积分样点； f xi ：积分样点的函数值。
n
b
梯形法的求积公式为
I f x dx
a i 1
一般来说，对于一个2n-1阶的多项式，需用2n个样点及其样点值才能 精确重构该多项式，或者说，需用2n个积分样点才能给出精确积分。
常见的高斯点坐标和权系数
积分阶数n
１ ２ ３ X = 1，2
高斯点坐标
x1=0 0.5773502692
权系数
W1=2 W1,2=1 W1,3=5/9 W1=8/9
2n－1
T e 1 1
1 1
k WiW j BT E B t det J ( i , j )
n n i 1 j 1
注意： (1) 其中(ξi，ηj )为积分点的自然坐标。 (2) [Ｂ]矩阵在积分点上的函数值是确定的，因为它与形函数相关，而形函数 是一个确定的函数。 (3)对于每个积分点都必须计算detJ 的值。
1
L
1
m
( x)Pm 1 ( x)dx 0
这表明：Lm(x) 与任何一个次数不超过 m-1的多项式正交。
(3) 若q(x) 是（－１，１）上平方可积的函数，则可将q(x)展开成
q ( x ) C m Lm ( x )
m 0
对于n次多项式Pn(x)有
n
2m 1 Cm 1 Lm ( x)q( x)dx 2
I
1 1
f ( x, y)dxdy W W
i 1 j 1 i
1 1
n
n
j
f ( xi , y j )
积分阶数n是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总数在二维情 况下为n2，在三维情况下为n3。
1 1
2 2
3 3
4 4
单元刚度公式的数值积分形式
k B E Btdxdy BT DBt det J dd
（1）1点Gauss积分公式 n=1时 (4-149)
(2) 2点Gauss积分 n=2时 (4-150)
3.数值积分的Gauss方法
高次多点 Gauss积分
4. Gauss -Legendre (高斯-勒让德)积分
L0=1 L1= x 1 L2 1 x1 -1 -1/2 x2 1 x -1 L3
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
1
n
n 1
1
0
1
1 dn 2 dm 2 Lm ( x) Ln ( x)dx m n ( x 1) n m ( x 1) m dx 1 2 m!n! 1 dx n dx 1 d 2 m d ＝ m n m 1 ( x 1) ( x 2 1) n 2 m!n! dx dx n
数值积分
1. 问题的提出
对于一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标系的变换计算，即
2. 数值积分的基本概念 任何积分工作取决于三个要素： (1) 给定的积分区间; (2) 给定的被积函数; (3) 具体的积分方法。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念。 (i) 梯形法
函数 f(x) 在区间 (a,b) 的积分可以表达为
f xi f xi 1 h 2
ba h n 1
(ii) 当被积函数为n-1次多项式Pn-1(x)时，则由n个样点及其样点值（xi, Pn1(xi),i=1,n）可以确定这个多项式。
(iii)对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法。
3.数值积分的Gauss方法
(4-148)
1 3 5 7
x 1，3 = 0.7745966692 x2=0 X 1,4 =
X 2,3 =
４
0.8611363116
0.3399810436
W1,4= 0.3478548451
W2,3= 0.6521451549
5. 二维情况
一种经常采用的（并非唯一可能的）选择方式是：沿x、y方向取同样个数的积分点
四阶 Legendre多项式
L4 ( x )
35 3 15 120 2 15 120 (x )( x ) 8 35 35 15 120 15 120 , x 2、 3 35 35
根 x1、 4
一般n阶Legendre多项式的定义为
1 dn 2 Ｌn ( x) n n ( x 1) n 2 n! dx
结束语
等参数单元是目前应用最广的一类单元，它的边可直可曲，精度可高可低。 由于采用数值积分，处理材料非线性问题不会遇到新的困难。鉴于这些优点，在 一些通用分析程序中，等参元成为处理二阶问题的主要单元。 等参数单元也有它的不足之处：精度和计算量之间在存着矛盾。在二维情况
下，结点个数取到20单元才有较满意的适应能力，而这时计算量往往相当可观。
Ｌ0 ( x)、 Ｌ ( x) 、Ｌ ( x) 、 Ｌn ( x)、 １ ３
多项式的性质，涉及下面的关系：
dk 2 ( x 1) n ＝( x 2 1) n k Pk ( x) dx k
显然有
d 2 dk ( x 1) n ( x 2 1) n 1 n 2 x ( x 2 1) n 1 p1 ( x) ( x 2 1) n ＝0 dx k dx 2 x 1 d 2 n 2 n 1 2 n2 2 ( x 1) ( x 1) n 2 ( x 1) n(n 1) 4 x 2 dx ＝( x 2 1) n 2 P2 ( x)
1
Pn ( x) C m Lm ( x)
m 0
一般若取任取n个积分点x1、x2、… xn，作n-1次插值多项式，积分Ｉ的 近似值可表示为
I Wi f ( xi )
i 1
n
(a)
当积分点取为n 阶Legendre多项式的零点时，如果被积函数f(x) 为次 数不超过2n－1次的多项式，（a）将给出积分的精确值。这就是高斯求 积分法，上述积分点又称为高斯点。高斯点的个数又称为积分阶数，有限 元分析中一般n=2~4。
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x y 2xy nn 1y 0
2
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ0 ( x) 1
则得一个定义在[-1, 1]上的多项式系列 对于任何 k<n 都有
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
其中H为
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 具体计算等参元的
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
６. 有限元解的误差
有限元解的误差是四个方面因素综合影响的结果。 (i) 插值误差 这是在单元内用多项式代替真实解（在整个求解域内则表现为用有 限自由度代替了无限自由度）所引起的。 （ii）边界形状以及边界条件的误差 即使采用了曲边单元，单元边界仍有它本身的特点（例如是某个 自然坐标的二次函数），不可能作到与实际曲线边界完全吻合。边界形 状的误差使得实际边界条件不能得到精确满足。这种误差一般只在边界 附近影响较大（奇点除外）。 (iii) 数值积分误差 这种“误差”如果利用得好，可以与（i）引起的误差“抵消”， 但处理不当也将影响解的精度。 （iv）截断误差 可以加大计算机的字长（例如用双精度量）使其减少。
关于Legendre多项式有如下重要结论
(1) 任何两个阶数不同的Legendre多项式正交，对于n≥1
1 d 1 d 2 n L0 ( x) Ln ( x)dx n ( x 1) dx＝ n ( x 2 1) n 1 2 n! dx n 2 n! dx n 1 1