高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (4)(含答案解析)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天， 则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2， 所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个， 故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2． 故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（ ）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。
高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (34)(含答案解析)
高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (34)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）,m∈R，1.设函数f(x)=lnx+mx(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)=f’(x)−x零点的个数；22.已知函数f(x)=2e x+ax．(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数．3.已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．4. 已知函数关于x 的函数f(x)=x +1x −2．(1)当x ∈[12,2]时，求f(x)的值域； (2)若不等式对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若方程f(|2x −1|)+2t |2x −1|−3t =0有3个实根，求非零实数t 的取值范围．5. 已知函数y =f 1(x)，y =f 2(x)，定义函数f(x)={f 1(x ),f 1(x )≤f 2(x )f 2(x ),f 1(x )>f 2(x)． (1)设函数f 1(x)=x +3，f 2(x)=x 2−x ，求函数y =f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，g(x)=mx +2(m ∈R)，函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；(3)设函数f1(x)=x2−2，f2(x)=|x−a|，函数F(x)=f1(x)+f2(x)，求函数F(x)的最小值．6.已知函数f(x)=x2+ax+1，g(x)=x−1．(Ⅰ)若函数y=|g(x+m)|为偶函数，求实数m的值；,3]，使得不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)存在实数x∈[12(Ⅲ)若方程|f(x)|=g(x)在(0,+∞)上有且仅有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．7.若数列{A n}满足A n+1=A n2，则称数列{A n}为“平方递推数列”.已知数列{a n}中，a1=9，且a n+1=a n2+2a n，其中n为正整数．(Ⅰ)证明数列{a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n+1)}为等比数列．(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前n项之积为T n，即T n=(a1+1)(a2+1)…(a n+1)，求lgT n．(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，记b n=1gT n，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n>4030的n的最小1g(a n+1)值．8.已知函数f(x)=log a(3−ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．9.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为f(x)的上界．已知函数f(x)=1+a(b2)x+(c4)x．(1)当a=b=c=1时，求函数f(x)在(−∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(−∞,0)上是否有上界，请说明理由；(2)若b=c=1，函数f(x)在[0,+∞)是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．(3)已知s为正整数，当a=1,b=−1,c=0时，是否存在整数λ，使得对任意的n∈N+，使得不等式s≤λf(n)≤s+2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．10. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，已知b 1=1，b 2+2b 3=1，(a 2+a 6)b 4=1，a 4b 2=a 5−a 3(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n =1+1n(n+2)，S n =c 1⋅c 2⋅c 3⋯c n (n ∈N ∗)(i)求S n(ii)求∑b k −b k+1kS k n k=1(n ∈N ∗)．11. 已知函数y =√4−x 2+lg(−x 2+4x −3)的定义域为M ．(Ⅰ)求M ；(Ⅱ)当x ∈M 时，求函数f(x)=a ⋅2x+2+3⋅4x (a <−3)的最小值．(a>0,a≠1)且f(x)为奇函数。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 4.1 指数
6.已知 f()=
.
解析:因为
f(m)= 3m-1
3m+1
=
3,所以
4
f(-m)=33--mm+-11
=
1-3m =-3m-1 =-3.
1+3m 3m+1 4
第4页 共5页
答案:-3
4
7.已知
a=3,求
1
1
1+a4
+
1
1
1-a4
+
2
1
1+a2
+
4 的值.
1+a
解:因为
a=3,所以
1
1
1+a4
+
1
1
第1页 共5页
解析: a2
√a· 3√a2
=
a2 √a·a23
=
a2 √a53
=
aa53×212=a2·a-56
=
a2-56
=
7
a6.
答案:C
4.若 2<a<3,则化简√(2-a)2 + 4√(3-a)4的结果是( )
A.5-2a
B.2a-5 C.1
D.-1
解析:因为 2<a<3,所以 a-2>0,a-3<0,所以√(2-a)2 + 4√(3-a)4=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1. 答案:C
÷
(a-1-12
b-12-1
-2
)3
=
a b 23+12
1-1
23
÷
(a-32b
-3
2
-2
)3
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(19)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于二分法的叙述，正确的是 ( ) A ．用二分法可以求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循D ．只有在求函数的零点时才用二分法2. 下列函数中，在区间 (0,+∞) 上为增函数的是 ( ) A ． y =log 2x B ． y =−√xC ． y =(12)xD ． y =1x3. 下列计算正确的是 A ．(a 3)2=a 9 B ．log 26−log 23=1 C ．a−12⋅a 12=0D ．log 3(−4)2=2log 3(−4)4. log 223+log 26 等于 ( )A ． 1B ． 2C ． 5D ． 65. 若函数 f (x )=x 2−4x +m 存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则 m 的取值范围是 ( ) A ． {4} B ． (−∞,4) C ． [4,+∞) D ． (4,+∞)6. 化简 [(−√3)2]−12的结果是 ( ) A ． √3 B ． −√3 C ．√33D ． −√337. 全集 U =R ，集合 A ={x∣ y =√(13)x−1}，则 ∁U A 等于 ( )A ． [0,+∞)B ． (−∞,0)C ． (0,+∞)D ． (−∞,0]8. 函数 f (x )=x 2+x +3 的零点的个数是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 39. 函数 y =1+1x 的零点是 ( )A ． (−1,0)B ． −1C ． 1D ． 010. 已知 f (x )=log 3x ，f (a )>f (2)，那么 a 的取值范围是 ( ) A ．{a∣ a >2} B ．{a∣ 1<a <2} C ．{a∣ a >12}D ．{a∣ 12<a <1}二、填空题（共6题） 11. 计算：log 2√22= ．12. 函数 y =lgx −1 的零点是 ．13. 函数 y =2x 的值域为 ．14. 在用二分法求方程 x 3−2x −1=0 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间 (1,2) 内，则下一步可以断定该根所在区间为 ．15. 如果函数 f (x +1) 定义域为 [0,3]，那么函数 f (2x ) 的定义域为 ．16. 函数 y =log a (2x −1)+2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，则 f (−1)= ．三、解答题（共6题）17. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1) 53=125； (2) 4−2=116；(3) log 15125=−3；(4) log 3127=−3．18. 指数函数的定义．一般地，函数 y =a x （a >0，且 a ≠1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R ． 问题：为何指数函数的概念中规定 a >0 且 a ≠1？19. 函数的零点是不是点？(a>0,且a≠1)．20.已知f(x)=log a1+x1−x(1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3) 求使f(x)>0的x的取值范围．21.借助信息技术，用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x−1.4在区间(0,1)内零点的近似值（精确度为0.1）．22.有一批同一型号的数码词典原销售价为每台1200元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场促销方法：买一台单价1180元，买两台单价1160元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于800元；乙商场一律按原价的80%销售．某学校需购买一批文曲星，去哪家商场购买花费较少？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】只有函数的图象在零点附近连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数零点的近似值，所以A 错；二分法是有规律可循的，可以用计算来进行，所以C 错；求方程的近似值也可以用二分法，所以D 错．故选B ． 【知识点】二分法求近似零点2. 【答案】A【解析】选项A ，y =log 2x ，底数 2>1，在 (0,+∞) 上单调递增，故A 正确；选项B ，y =√x 在 (0,+∞) 上单调递增，则 y =−√x 在 (0,+∞) 上单调递减，故B 错误； 选项C ，y =(12)x，底数 12<1，在 (0,+∞) 上单调递减，故C 错误； 选项D ，y =1x ，在 (0,+∞) 上单调递减，故D 错误． 故选A ．【知识点】指数函数及其性质、幂函数及其性质、对数函数及其性质3. 【答案】B【解析】解析：A 中 (a 3)2=a 6，故 A 错；B 中 log 26−log 23=log 263=log 22=1，故 B 正确；C 中，a −12⋅a 12=a−12+12=a 0=1，故 C 错；D 中，log 3(−4)2=log 316=log 342=2log 34．【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算4. 【答案】B【解析】 log 223+log 26=log 2(23×6)=log 24=2． 【知识点】对数的概念与运算5. 【答案】A【解析】依题意知，函数 f (x )=x 2−4x +m 只有一个零点，即方程 x 2−4x +m =0 有两个相等的实数根，所以 Δ=0，即 (−4)2−4m =0，解得 m =4，则 m ∈{4}． 【知识点】函数的零点分布6. 【答案】C【解析】 [(−√3)2]−12=3−12=√3=√33． 故选C ．【知识点】幂的概念与运算7. 【答案】C【知识点】指数函数及其性质、交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】令 x 2+x +3=0，Δ=1−12=−11<0, 所以方程无实数根，故函数 f (x )=x 2+x +3 无零点． 【知识点】函数的零点分布9. 【答案】B【知识点】函数零点的概念与意义10. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −12【知识点】对数的概念与运算12. 【答案】 10【解析】根据题意，函数 y =lgx −1．若 f (x )=lgx −1=0，解可得 x =10，则函数 y =lgx −1 的零点是 10．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 (0,+∞)【知识点】指数函数及其性质14. 【答案】 (32,2)【知识点】零点的存在性定理15. 【答案】 [0,2]【解析】对于函数 y =f (x +1)，该函数的定义域为 [0,3]，即 0≤x ≤3，得 1≤x +1≤4． 对于函数 f (2x )，则有 1≤2x ≤4，解得 0≤x ≤2． 因此，函数 f (2x ) 的定义域为 [0,2]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、指数函数及其性质16. 【答案】 12【解析】根据题意，令 2x −1=1，得 x =1， 此时 y =2，所以定点 P 的坐标是 (1,2) 因为点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上， 所以 f (x )=2x ， 所以 f (−1)=12．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 53=125， 所以 log 5125=3．(2) 因为 4−2=116， 所以 log 4116=−2．(3) 因为 log 15125=−3，所以 (15)−3=125．(4) 因为 log 3127=−3，所以 3−3=127．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】①若 a =0，则当 x >0 时，a x =0；当 x ≤0 时，a x 无意义；②若 a <0，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义．如 (−2)x ，这时对于 x =14，x =12，⋯，在实数范围内函数值不存在； ③若 a =1，则对于任何 x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性．【知识点】指数函数及其性质19. 【答案】函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】(1) 由1+x1−x>0得(x+1)(x−1)<0，所以−1<x<1，所以f(x)的定义域为(−1,1)．(2) 函数f(x)为奇函数．证明如下：对定义域内任意x，f(−x)=log a1+(−x)1−(−x)=log a1−x1+x=log a(1+x1−x )−1=−log a1+x1−x=−f(x),即f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3) 当a>1时，若使f(x)>0，则1+x1−x >1，即2x1−x>0，所以x∈(0,1)；当0<a<1时，若使f(x)>0，则0<1+x1−x<1，所以x∈(−1,0)．【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法、函数的奇偶性21. 【答案】0.625．【知识点】二分法求近似零点22. 【答案】设该学校需购买x台文曲星，在甲、乙两家商场购买的费用分别为y甲，y乙，由题意：y甲={x⋅(1200−x⋅20),x≤20800x,x>20，x∈N，y乙=x⋅1200⋅80%=960x，x∈N；y 甲=y乙⇒1200−20x=960⇒x=12得，当x=12时，去甲、乙两商场的花费一样多；当x<12(x∈N)时，去乙商场花费较少；当x>12(x∈N)时，去甲商场花费较少．【知识点】函数模型的综合应用。
人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 第四章过关检测
第四章过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞),可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).2.函数y=lo g12x,x∈(0,8]的值域是( )A.[-3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,3]y=lo g12x在定义域内单调递减,又x∈(0,8],∴lo g12x≥lo g128,∴lo g12x≥-3,∴y≥-3.3.函数f(x)=x+1x2+1的零点是( )A.1B.-1C.±1D.0f(x)=0,得x+1x2+1=0,即x+1=0,所以x=-1.4.若2<a<3,化简√(2-a )2+√(3-a )44的结果是( )A.5-2aB.2a-5C.1D.-12<a<3,∴√(2-a )2=|2-a|=a-2,√(3-a )44=|3-a|=3-a,∴原式=a-2+3-a=1.故选C.5.设f(x)=3x -x 2,则下列区间中,使函数f(x)有零点的是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0]f(-1)=3-1-(-1)2=13-1=-23<0,f(0)=30-02=1>0,∴f(-1)f(0)<0,∴有零点的区间是[-1,0].6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是( )A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}g(x)=y=log 2(x+1),在同一直角坐标系中画出函数g(x)的图象如图所示.易得线段BC 在直线x+y=2上,由{x +y =2,y =log 2(x +1),得{x =1,y =1.结合图象知不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集为{x|-1<为实数)为偶函数,记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<af(=0,所以a=f(log 0.53)=2|log 0.53|-1=2log 23-1=2.b=f(log 25)=2|log 25|-1=2log 25-1=4,c=f(0)=2|0|-1=0,所以c<a<b.故选B. 8.已知函数f(x)={x 2+2x ,x ≤0,3x x+1,x >0,若函数y=f(的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,+∞)D.[-1,+∞),函数y=f(x)-m 有两个不同的零点,等价于函数f(x)={x 2+2x ,x ≤0,3x x+1,x >0的图象与直线y=m 有两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象,如图所示.由图象可知,-1<m<3.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k.对于A,ab+bc=2ac,即bc +ba=2.因为bc+ba=log6klog9k+log6klog4k=log69+log64=log636=2,故A中等式成立,B中等式不成立;对于C,2a +1b=2log4k+1 log6k =2log k4+log k6=log k96≠2c=2log k9=log k81,故C中等式不成立;对于D,2b −1a=2log k6-log k4=log k364=log k9=1c,故D中等式成立.10.有一组实验数据如下表所示:则下列所给函数模型不适合的有( )A.y=log a x(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=log a x+b(a>1)y 随x 的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D 中的函数增长速度越来越慢,B 中的函数增长速度保持不变,故选ABD. 11.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),则下列说法正确的是( ) A.f(x)在区间(-1,3)内单调递增 B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.f(x)的值域为R的定义域是(-1,3),f(x)=lnx+13-x,令t(x)=x+13-x=-4x -3-1(x ∈(-1,3)),则t(x)∈(0,+∞),且t(x)在区间(-1,3)内单调递增,所以f(x)=lnt(x)在区间(-1,3)内单调递增,且值域为R,故A,D 正确; 又f(1+x)=ln2+x 2-x,f(1-x)=ln2-x2+x,所以对定义域内的任意x,有f(1+x)=-f(1-x),而f(1+x)≠f(1-x)(只有当x=0时,才有f(1+x)=f(1-x)),故B 不正确,C 正确.故选ACD.12.已知函数f(x)={kx +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是( ) A.当k>0时,有3个零点 B.当k<0时,有2个零点 C.当k>0时,有4个零点 D.当k<0时,有1个零点y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=-1等价于f(t)=-1.①若k>0,作出函数f(x)的图象如图①.则此时方程f(t)=-1有两个根,其中t 2<0,0<t 1<1,由f(x)=t 2<0,知此时方程有两个解,由f(x)=t 1∈(0,1),知此时方程有两个解,此时共有4个解,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.图①图②②若k<0,作出函数f(x)的图象如图②.则此时方程f(t)=-1有一个根t 3,且0<t 3<1,由f(x)=t 3∈(0,1)知此时方程只有1个解,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.故选CD. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数f(x)={3x ,x ≤1,-x ,x >1,若f(x)=2,则x= .32x ∈(-∞,1]时,f(x)∈(0,3]; 当x ∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,-1).∵f(x)=2,∴3x =2⇒x=log 32.14.若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则a 的取值范围是 .∞,2)f(x)=3x 2-5x+a.由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,得a<2.15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:h,y 表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个病毒能繁殖为 个(第一空2分,第二空3分).1 024t=0.5时,y=2.则2=e 12k ,得k=2ln2,于是y=e 2tln2.故当t=5时,y=e 10ln2=210=1024.16.已知函数f(x)={log 2(x +a ),x ≤0,x 2-3ax +a ,x >0有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .,log 2(x+a)=0在区间(-∞,0]上有一个根,x 2-3ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根.由log 2(x+a)=0,得x=1-a,所以1-a≤0,所以a≥1;x 2-3ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根,所以实数a 满足{9a 2-4a >0,3a >0,a >0,解得a>49.综上所述,实数a 的取值范围为[1,+∞).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算:(279)12+(lg 5)0+(2764)-13;(2)解方程:log 3(6x -9)=3.原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]-13=53+1+43=4.(2)由方程log 3(6x -9)=3,得6x -9=33=27,则6x =36=62,得x=2.经检验,x=2是原方程的解.故原方程的解为+6有两个零点x 1,x 2,且满足0<x 1<1<的取值范围.解由题意可得{f (0)>0,f (1)<0,f (4)>0,即{2m +6>0,1+2(m -1)+2m +6<0,16+8(m -1)+2m +6>0,解得-75<m<-54.故实数m 的取值范围为-75,-54.19.(12分)已知函数y=log 4(2x+3-x 2). (1)求函数的定义域;(2)求y 的最大值,并求取得最大值时的x 值.由2x+3-x 2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}.(2)原函数为y=log 4u,u=2x+3-x 2(-1<x<3)两个函数的复合函数.因为u=2x+3-x 2=-(x-1)2+4≤4,所以y=log 4(2x+3-x 2)≤log 44=1.所以y 的最大值为1,此时x=1.20.(12分)直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式.据统计,某职业主播的粉丝量不低于2万人时,其商品销售利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如表所示:(1)根据表中数据,分别用模型①y=log a (,b ∈R)和②y=c √x +n +d(c,n,d ∈R)求y 关于x 的函数解析式.(2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理?说明理由.(参考数据:√57≈7.55) 对于模型①y=log a (,b ∈R),由题意得{ log a (2+m )+b =14,log a (3+m )+b =54,log a (5+m )+b =94,解得{a =2,m =-1,b =14, 所以y=log 2(x-1)+14(x≥2).对于模型②y=c √x +n +d(c,n,d ∈R),由题意得{ c √2+n +d =14,c √3+n +d =54,c √5+n +d =94,解得{ c =√2,n =-158,d =-14,所以y=√2·√x -158−14(x≥2).(2)对于函数y=log 2(x-1)+14(x≥2),当x=9时,y=134=3.25.对于函数y=√2·√x -158−14(x≥2),当x=9时,y=√572−14.因为√572−14-3.3≈0.225>|3.25-3.3|=0.05,所以选择模型①更合理. 21.(12分)已知函数f(x)=√x .(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.(2)函数g(x)=f(x)+log 2x-2在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由. (参考数据:√1.25≈1.118,√1.5≈1.225,√1.75≈1.323,log 21.25≈0.322,log 21.5≈0.585,log 21.75≈0.807)函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=√x 1−√x 2=√x 1-√x 2)(√x 1+√x 2)√x +√x =12√x +√x <0,所以f(x 1)<f(x 2).故函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.(2)由(1)可得,g(x)=√x +log 2x-2,易知g(x)在区间(1,2)内单调递增,且g(1)=√1+log 21-2=-1<0,g(2)=√2+log 22-2=√2-1>0,所以函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点x 0.因为g(1.5)=√1.5+log 21.5-2≈1.225+0.585-2<0,所以x 0∈(1.5,2).又因为g(1.75)=√1.75+log 21.75-2≈1.323+0.807-2>0,所以x 0∈(1.5,1.75).又1.75-1.5=0.25<0.3,所以g(x)的精确度为0.3的零点的近似值可取1.5.(注:函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]上的任意一个数都可以)22.(12分)已知定义域为R 的函数f(x)=b -2x 2x +a是奇函数.(1)求a,b 的值;(2)证明:f(x)在R 上为减函数;(3)若对于任意t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立,求k 的取值范围.f(x)为R 上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1,又f(-1)=-f(1),即1-2-12-1+a=-1-22+a,得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.(1)可知,f(x)=1-2x 1+2x.任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1-2x 12x 1+1−1-2x 22x 2+1=(1-2x 1)(2x 2+1)-(1-2x 2)(2x 1+1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1).因为x 1<x 2,所以2x 2−2x 1>0.又(2x 1+1)(2x 2+1)>0,所以f(x 1)>f(x 2),所以f(x)为R 上的减函数.t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立,所以f(t 2-2t)<-f(2t 2-k).因为f(x)为奇函数,所以f(t 2-2t)<f(k-2t 2).因为f(x)为R 上的减函数,所以t 2-2t>k-2t 2,即k<3t 2-2t 恒成立,而3t 2-2t=3(t-13)2-13≥-13,所以k<-13,即k 的取值范围为(-∞,-13).。
人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 4.1 指数
4.1 指数课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列各式中一定成立的有( )A.(nm)7=n 7m 17B.√(-3)412=√33C.√x 3+y 44=(x+y )34D.√√93=√332.化简√-a 3·√a 6的结果为( ) A.-√a B.-√-a C.√-a D.√aa≥0.∴√-a 3·√a 6=-a 13·a 16=-a 13+16=-a 12=-√a .3.当a>0时,√-ax 3=( ) A.x √ax B.x √-ax C.-x √-ax D.-x √ax√-ax 3中,-ax 3≥0, ∴由a>0得x 3≤0,即x≤0,∴√-ax 3=√-ax ·x 2=√-ax ·√x 2=√-ax |x|=-x √-ax .故选C. 4.(3-2x )-34中x 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,32)∪(32,+∞)C.(-∞,32)D.(32,+∞))-34=1(3-2x )34=√(3-2x )4,要使该式有意义,需3-2x>0,即x<32.5.化简(a 3b 12)12÷(a 12b 14)(a>0,b>0)的结果为( ) A.a B.b C.abD.ba3b 12)12÷(a 12b 14)=(a 32b 14)÷(a 12b 14)=a32-12b14-14=a.故选A.6.若a+b=m 13,ab=16m 23(m>0),则a 3+b 3=( ) A.0 B.m2C.-m2D.3m 23+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=(a+b)·[(a+b)2-3ab]=m 13·(m 23−12m 23)=12m.7.化简√(1-2x )2x>12的结果是 .x>12,∴1-2x<0,∴√(1-2x )2=|1-2x|=2x-1.8.化简√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33的值为 .√(-6)33=-6,√(√5-4)44=|√5-4|=4-√5,√(√5-4)33=√5-4,∴原式=-6+4-√5+√5-4=-6.9.若10x =3,10y =4,则102x-y = .10x =3,∴102x =9,∴102x-y=102x 10y=94.10.化简下列各式(式中字母均为正数):(1)√b 3a√a6b6;(2)4x 14(-3x 14y -13)÷-6x -12y -23(结果为分数指数幂).√b 3a√a 6b 6=b 32×a -12×a 64×b -64=a.(2)4x 14(-3x 14y -13)÷(-6x -12y -23)=2x14+14+12y-13+23=2x y 13.11.已知x+y=12,xy=9,且x<y,求: (1)x 12+y 12; (2)x 12−y 12; (3)x-y.∵(x 12+y 12)2=x+y+2√xy =18, 又x 12+y 12>0,∴x 12+y 12=3√2. (2)(x 12−y 12)2=x+y-2√xy =6, ∵x<y,∴x 12−y 12=-√6.(3)x-y=(x 12)2-(y 12)2=(x 12+y 12)(x 12−y 12)=3√2×(-√6)=-6√3.能力提升1.代数式x √-2x 恒等于( )A.√2x 3B.√-2x 3C.-√-2x 3D.-√2x 3-2x≥0,∴x≤0, ∴x √-2x =-√-2x 3.故选C.2.当√2-x 有意义时,化简√x 2-4x +4−√x 2-6x +9的结果为( ) A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x√2-x 有意义时,x≤2,则√x 2-4x +4=√(x -2)2=|x-2|=2-x,√x 2-6x +9=√(x -3)2=|x-3|=3-x, ∴√x 2-4x +4−√x 2-6x +9=2-x-(3-x)=-1.故选C. 3.若√9a 2-6a +16=√1-3a 3,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,3) B.(-∞,13]C.[13,+∞)D.(13,+∞)√9a 2-6a +16=√(1-3a )26=|√1-3a 3|=√1-3a 3,∴1-3a≥0,解得a≤13.故选B. 4.若x<0,则|x|-√x 2+√x 2|x |= .x<0,∴原式=-x-(-x)+-x-x=-x+x+1=1.5.若a>0,且a x=3,a y=5,则a2x+y2= .√52x+y2=(a x)2·(a y)12=32×512=9√5.6.已知3a2+b=1,则a·3b√3a的值为.解析因为3a2+b=1,所以a·3b√3a=32a·3b3a2=332a+b=31=3.7.已知2a·3b=2c·3d=6,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)·(c-1).2a·3b=6,∴2a-1·3b-1=1.∴(2a-1·3b-1)d-1=1,即2(a-1)(d-1)·3(b-1)(d-1)=1.①又2c·3d=6,∴2c-1·3d-1=1.∴(2c-1·3d-1)b-1=1,即2(c-1)(b-1)·3(d-1)(b-1)=1.②由①②知2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).8.已知函数f(x)=x 13-x-135,g(x)=x13+x-135.(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.x 1>x 2>0,∵y=x 13在R 上是增函数,∴x 113>x 213. 又(x 1x 2)-13>0,∴f(x 1)-f(x 2)=15(x 113−x 1-13−x 213+x 2-13)=15[(x 113-x 213)-(1x 113-1x 213)]=15(x 113−x 213)[1+(x 1x 2)-13]>0.∴函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0, 由此猜想:当x≠0时,f(x 2)-5f(x)g(x)=0.证明如下:当x≠0时,f(x 2)-5f(x)g(x)=15(x 23−x -23)-15(x 13−x -13)(x 13+x -13)=15(x 23−x -23)-15(x 23−x -23)=0.。
人教A版(2019)必修第一册第四章指数函数与对数函数综合提升检测题(解析版)
专题08：人教A 版（2019）必修第一册第四章指数函数与对数函数综合提升检测题（解析版）一、单选题 1．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D 【分析】利用指数运算化简求得表达式的值. 【详解】原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦. 故选：D2．已知152a =，5log 2b =，121log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【分析】利用指对数的性质，比较指对数式的大小. 【详解】2521511log log 521l 5og 22b a c ==>=>>=>，∴c a b >>. 故选：C.3．在同一直角坐标系中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，二次函数2y ax bx =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项. 【详解】指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数2()y ax bx ax b x =-=-，有零点,0b a ．A ，B 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故1b a >，故A 错误、B 正确．C ，D 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故01ba<<，故C ，D 错误． 故选：B4．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．23天 B ．33天C ．43天D ．50天【答案】B 【分析】根据题设条件先求出m 、a ，从而得到1101220t h =⋅，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. 【详解】1010202,10%120%20a m a m a m ⎧⎧==⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，故1102a =，故1101220t h =⋅， 令12h =，∴10210,lg 2110tt=∴=，故10330.3t =≈， 故选：B.5．已知函数2()() g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则(1)g -=（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．1【答案】B 【分析】先求出0x >时，()f x 的解析式，即可求得0x >时()22xg x x =+，再利用()g x 是奇函数()()11g g -=-，即可求解. 【详解】因为0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称， 所以0x >时，()2xf x =，所以0x >时，()22xg x x =+，又因为()g x 是奇函数，所以()()()11213g g -=-=-+=-， 故选：B6．已知x ，y 为正实数，则（ ） A ．()22lg (lg )lg x y x y ⋅=+ B．1lg(lg lg 2x x y =+C ．ln ln x y e x y +=+D ．ln ln x y e xy ⋅=【答案】B 【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果. 【详解】A 中，()22lg lg lg =2lg lg x y x y x y ⋅=++，故A 不正确；B 中，(1lg lg lg lg 2x x x y =+=+，故B 正确；C 中，ln ln ln ln x y x y e x e e y +=⋅=，故C 不正确；D 中，()ln ln ln ln ln yx y x y e e x ⋅==，故D 不正确.故选：B.7．已知263a b ==，2111a b ab α=-+，则3α=（ ） A ．3 B ．13C ．9D ．19【答案】B 【分析】利用指对互化得到2log 3a =，6log 3b =，代入2111a b abα=-+，利用对数运算求解即可. 【详解】由263a b ==得，2log 3a =，6log 3b =， 则31log 2a=，31log 6b =，所以21111111a b ab a b b a α⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， ()3333log 2log 6log 6log 2=--，33log 2log 6=-，31log 13==-， 所以133α=，故选：B. 8．函数()e xf x x -=-的零点所在的区间是（ ）A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用函数x y e -=和y x =的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断． 【详解】 解：函数()exf x x -=-，画出e x y -=与y x =的图象，如下图：当12x =时，102e y =>， 当1x =时，110ey =-<， ∴函数()e x f x x -=-的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：D ．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知()13213x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0,3-B ．{}0,1-C ．{}0,1,2--D ．{}1,0,1,2--【答案】C 【分析】结合指数函数性质求得()f x 的值域，然后再根据新定义求[()]y f x =的值域． 【详解】111173321733()133133(31)x xx x x f x ++++--===-+++，显然1311x ++>，177(0,)3(31)3x +∈+，所以()f x 的值域是1(2,)3-， 当2()1f x -<<-时，[()]2f x =-，10x -≤<时，[()]1f x =-，当10()3f x ≤<时[()]0f x =，所以所求值域是{2,1,0}--． 故选：C ．10．若25a b c z ==，且111a b c+=，则z 的值可能为（ ） ABC ．7D ．10【答案】D 【分析】设20a m =>，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解． 【详解】设25a b c z m ===，则0m >且1m ≠，25log ,log ,log z a m b m c m ===，2510111111log 2log 5log 10log log log log m m m z a b m m m m+=+=+===， 10log log z m m =，所以10m =．故选：D ．11．已知()231xf x a =-+（a 为常数）为奇函数，则满足()()1f ax f >的实数x 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【分析】由奇函数的定义可求得a 的值，分析函数()f x 的单调性，可得出关于x 的不等式，即可得解. 【详解】因为函数()231x f x a =-+为奇函数，则()()()()2132222322222031313131331x xx x x x x x f x f x a a a a --+⋅+-=--=--=-=-=+++++，解得1a =，所以，()2131x f x =-+， 任取12x x >，则1233x x >， 则()()()()()12122112121233222211031331313131x x x x x x x x f x f x +-⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭， 所以，()()12f x f x >，则函数()f x 为R 上的增函数， 由()()1f x f >，解得1x >. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.12．已知a ∈R ，设函数()222,1,ln 1,1,x ax a x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若关于x 的方程()14f x x a =-+恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B．58⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(],0⎫-∞⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．5,4⎛⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭ 【答案】D 【分析】根据1x >时，方程1ln 104x x a ++-=无实根，求出54a ≤，然后分别讨论54a >，54a =，54a <时根的情况，进而可求得结果【详解】解：当1x >时，令1ln 14x x a +=-+，则1ln 104x x a ++-=， 因为1ln 4y x x =+在(1,)+∞为增函数，所以当该方程在1x >时无实数根时，1104a +-≥，解得54a ≤， ①当54a >时，1x >时，1ln 14x x a +=-+有一个解，所以1x ≤时，21224x ax a x a -+=-+有一个解，因为当1x ≤时，函数21(2)4y x a x a =+-+是递减的，且1512044a a a +-+=-<，所以当1x ≤时有一个解，所以54a >成立；②当54a =时，1ln 14x x a +=-+在1x >时无解，而21224x ax a x a -+=-+在1x ≤时有两个解，所以54a =时成立；③当54a <时，1ln 14x x a +=-+在1x >时无解，当1x ≤时，21224x ax a x a -+=-+，所以方程21224x ax a x a -+=-+要在1x ≤时有两个解，所以2144016a a a ∆=-+->，解得a >a <因为54a <，所以58a -<，且当1x =时，11204a a +-+≥，所以54a ≤，所以58a -<，综上a <或54a ≥，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的零点与方程根的问题，考查分类讨论思想，考查计算能力，解题的关键是分1x >和1x ≤分别讨论方程1ln 14x x a +=-+，21224x ax a x a -+=-+根的情况，进而可得答案，属于中档题二、填空题13．已知常数m ∈R ，若函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，则m =________ 【答案】0 【分析】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果. 【详解】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =. 故答案为：0. 14．已知函数1()ln 21xf x x=+-，则122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭___________.【答案】1010 【分析】根据函数解析式可得()()10f x f x +-=，进而可得结果. 【详解】 ∵1()ln 21xf x x=+-， ∴()()111()1ln ln 21211x x f x f x x x ⎛⎫-⎛⎫+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 111lnln 1ln 111x x x x x x x x --⎛⎫=++=+⋅= ⎪--⎝⎭， ∴122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120202019202120212021221002120212021011011f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭120201010101020212021f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1010.15．方程()()55log 4111log 23xx--=-的解为x =___________． 【答案】2【分析】结合对数运算以及指数运算，解方程求得x 的值. 【详解】依题意()()55log 4111log 23xx--=-，()55411log log 235x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4112305x x -=->， ()225240x x -⋅+=，()()21240xx --=，即21x =或24x =， 解得0x =或2x =，当0x =时，2320x -=-<，不符合题意，舍去. 所以2x =. 故答案为：216．已知a 、b 、c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为12,x x ，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为___________. 【答案】9． 【分析】依题意212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩从而可得1x ，2(1,0)x ∈-，则有2212404(1)0.1.b ac b ac f a b c b a c c c a x x a ⎧⎪⎧->>⎪⎪-=-+>⇒<+⎨⎨⎪⎪<⎩⎪=<⎩结合a ，b ，c 为正整数可求a b c ++得最小值 【详解】依题意，可知212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩， 从而可知1x ，2(1,0)x ∈-， 所以有240(1)01b ac f a b c c a⎧⎪-⎪-=-+>⎨⎪⎪<⎩，故24b ac b a c c a ⎧⎪<+⎨⎪<⎩，又a ，b ，c 为正整数，取1c =，则1a b a b +>⇒，所以22444a b ac a a =⇒，所以2416b ac ．又415b <+=，所以4b =，因此a b c ++有最小值为9．故答案为：9【点睛】方法点睛：二次方程的根的分布常从以下几个方面考虑：（1）抛物线的开口方向；（2）对称轴的问题；（3）判别式的大小；（4）与坐标轴的交点位置；（5）端点函数值的大小. 要结合已知条件灵活分析解答.三、解答题17．化简求值：（1） ()()40133370.06428--⎛⎫⎡⎤--+- ⎪⎣⎦⎝⎭； （2）5log 3333322log 2log log 859-+-. 【答案】（1）2516；（2）1-. 【分析】 （1）利用指数的性质、运算法则直接求解；（2）利用对数的性质、运算法则直接求解．【详解】（1）()()()()401134333370.06420.4128----⎛⎫⎡⎤--+-=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭ 14151250.411221616-=-+=-+=； （2）5log 3333322log 2log log 859-+- 33332log 4log log 839=-+- 39log 48323132⎛⎫=⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<【分析】（1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若1m =，()()22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809m ≤< 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知函数()x f x a b =+（0a >且1a ≠）.（1）若()f x 的图象如图①所示，求a 、b 的取值范围；（2）若()f x 的图象如图②所示，()f x m =有且仅有一个实数解，求m 的取值范围.【答案】（1）01a <<，1b <-；（2）0m =或3m ≥.【分析】（1）根据函数()f x 的单调性及其在y 轴上的交点位置可求得实数a 、b 的取值范围；（2）作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由()xf x a b =+为减函数可得01a <<，又()010f b =+<，解得1b <-； （2）图②中(0)12,3f b b =+=-∴=- ，函数()y f x =的图象如图所示.由图象可知使()f x m =有且仅有一解，则0m =或3m ≥.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52． 【分析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a ≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a >，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩； （Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119； 当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54； 因此g （a ）min =g （32）=﹣54； 对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52． 21．设0a >且1a ≠，t R ∈，已知函数()log (1),()2log (2)a a f x x g x x t =+=+. （1）当1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间1,2上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2t ≤-或24t ≥. 【分析】 （1）根据题意得log (1)2log (21)a a x x +≤-，进而分01a <<和1a >两种情况求解即可；（2）由题知2()22F x tx x t =+-+，进而根据已知条件得2122(2)422x x t x x -⎡⎤=-=-+++⎢⎥++⎣⎦，再结合对勾函数性质即可得1102t -≤<或104t<≤-. 【详解】解：（1）1t =-，不等式()()f x g x ≤可化为log (1)2log (21)a a x x +≤-若01a <<，则21(21)210x x x ⎧+≥-⎨->⎩，解得1524x <≤， 所以不等式()()f x g x ≤的解集为1524⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 若1a >，则201(21)210x x x ⎧<+≤-⎨->⎩，解得54x ≥， 所以不等式()()f x g x ≤的解集为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述：01a <<，()()f x g x ≤的解集为1524⎛⎤⎥⎝⎦，；1a >，()()f x g x ≤的解集为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）()222()2112122f x F x atx t x tx t tx x t =+-+=++-+=+-+. 令2220tx x t +-+=，即2(2)(2)t x x -=-+，∵(]1,2x ∈-，∴(]21,4x +∈，∴20,20t x ≠-≠；∴ 2122[(2)]422x x t x x -=-=-+++++. 设(]21,4m x =+∈，则2122()42x m t x m-=-=-+++，∴1102t -≤<或104t<≤-，解得2t ≤-或24t +≥. 【点睛】本题考查对数函数的性质，对数运算，函数的零点求参数，考查分类讨论思想，运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为2122[(2)]422x x t x x -=-=-+++++，(]1,2x ∈-有解，进而求解. 22．已知函数()22x x f x a -=+⋅(a 为常数，a ∈R ).（1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）当()f x 为偶函数时，若方程((23))f x k f x -⋅=在[0,1]x ∈上有实根，求实数k 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1122k -≤≤. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数()f x 为偶函数时，1a =，列出方程((23))f x k f x -⋅=，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数k 的取值范围．【详解】（1）∵函数()22x x f x a -=+⋅的定义域为x ∈R ，又∵()22x x f x a --=+⋅∴①当()()f x f x -=时，即2222x x x x a a --+⋅=+⋅时，可得1a =即当1a =时，函数()f x 为偶函数；②当()()f x f x -=-时，即2222()22x x x x x x a a a ---+⋅=-+⋅=--⋅时，可得1a =-即当1a =-时，函数()f x 为奇函数.（2）由（1）可得，当函数()f x 为偶函数时，1a =，即()22x x f x -=+时，222()(222)222x x x x f x --=+=+- 由题可得，22()()2222()2(32)22250x x x x x x x x k k ----+--+=⇔+-+-=令22x x t -=+，则有250t kt t --=⇒=∵[0,1]x ∈∴2[1,2]x ∈，12,12x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 又∵122222x x x x -+=+≥，当且仅当1202x x x =⇒=时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，5222,2x x -⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①221242081622k k k k k k -≥⇒≤-⇒+≤-+⇒≤-22515201025222k k k k k k -≤⇒≥-⇒+≥-+⇒≥ 此时k 的取值不存在；②221242081622k k k k k k +≥⇒≥-⇒+≥-+⇒≥-2251520102522k k k k k ≤⇒≤-⇒+≤-+⇒≤ 此时，可得k 的取值为1122k -≤≤ 综上可得1122k -≤≤ 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令22x x t -=+，则方程化简为250t kt --=，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．。
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高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高
训练 (4)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1.已知函数f(x)=log3x，g(x)=9x．
(1)若f(g(a))=g(f(a))，求g(1
a
)的值；
(2)若f(x)+g(x)>m对x∈(1,2)恒成立，求m的取值范围．
2.已知函数f(x)=lnx−2x+2a2−4a
x+a2
，a∈R
(Ⅰ)当a>0时，证明：f(a2)≥0；
(Ⅱ)若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数a的范围．
3.(Ⅰ)设x≥1，y≥1，证明：x+y+1
xy ≥1
x
+1
y
+xy
(Ⅱ)1≤a≤b≤c，证明：log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c.
4. “双十一”期间，某电商店铺A 的活动为：全场商品每满60元返5元的优惠券(例如：买130
元的商品，可用两张优惠券，只需付130−5×[13060]=130−5×2=120(元).其中[x]表示不大于x 的最大整数).此外，在店铺优惠后，电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如：店铺A 原价880元的一单，最终价格是880−5×14−40×2=730(元))，店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动．小明打算在店铺A 买一款250元的耳机和一款650元的音箱，是下两单(即耳机、音箱分两次购买)划算？还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算？
5. (1)求值：(279)−0.5−(−2)sinπ+lg100−log 2√235
；
(2)求值：sin17°sin(−137°)−sin253°cos43°．
6.计算
(1)log3√27+lg25+lg4+7log72+(−9.8)0
(2)sinα=−1
，α为第四象限角，求α角的正切
2
7.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
x+b有实数根，求b的取值范围；
(2)若方程f(x)=1
2
(3)设ℎ(x)=log9(a·3x−4
a)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取
3
值范围．
8.已知函数f(x)=x2−2x+c．
(1)若方程f(x)=1−x在(−∞,1]上有两个不等的实根，求实数c的取值范围．
(2)是否存在实数c，当a+b≤2且a<b时，使得函数f(x)=x2−2x+c在定义域[a,b]上的值
域恰为[a,b]?若存在，求出c的取值范围;若不存在，请说明理由．
9.“秃发”是一种常见的毛发疾病，随着发病人群年龄结构的年变化，逐渐引起了社会的广泛关
注．一个人出生时头发数量约为100000根，数学徐老师建立了“秃发”函数模型作预估：一个
人x(x∈N∗)岁时的头发根数为f(x)=100000−ax−50000
x
，其中a称为“脱发指数”．
(1)杜老5岁时有74375根头发，请依据模型求出杜老师的“脱发指数”a的值；
(2)徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点：
①头发的根数应该为整数；②头发的根数不能为负数；
徐老师感觉很有道理，将模型作了两处修正，请写出修正后(1)问中杜老师的“秃发”函数模型，并求出杜老师几岁时头发最多．
10.已知α∈(0,π
2)，β∈(0,π
2
)，tanα=1−sinβ
cosβ
(1)用α表示β；
(2)若关于α的方程为sinα+sinβ+m =0，试讨论该方程根的个数及相应实数m 的取值范围．
11. (1)计算：2log 32−log 3329+log 38−25log 53；
(2)已知x =27,y =64，化简并计算：5x 23y 12
(−14x −1y 12)·(−56x 13y 16)．
12. 2
√a √a 23>0)
(2)2log 525−3log 264+(0.008)− 2
3×2
25．
13.已知集合A={x|1
2≤2x≤8,x∈R}，B={y|y=log2x,1
8
≤x≤2}，C={x|x2−(2m+1)x+
m2+m<0}．
(1)求集合A和B；
(2)若C⊆(A⋂B)，求实数m的取值范围．
14.(1)已知集合A={x|3<3x<9}，B={x|1<log2x<4}，求(C R A)⋂B；
(2)计算−5log
94+log332
9
−5log53−(1
64
)−
2
3
15.已知指数函数y=(1
a )
x
，过点(2,4).
(1)求a的值；
(2)解关于x的不等式log a(x−1)≤log a(x2+x−6).
16.已知A,B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处的D处建一核电站给A,B两城供电，为保证
城市安全.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
17.已知函数f(x)=2−x，g(x)=log3x
(1)请在给定的同一个坐标系中画出f(x)和g(x)函数的图像；
(2)设函数ℎ(x)=f(x)−3，求出ℎ(x)的零点；
(3)若g(x)<1
，求出x的取值范围。
2
18.已知函数f(x)=a x
(a>0且a≠1,a∈R)．
x
(1)若a=e，求关于x的不等式f(2x)>f(x)的解集；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若1≤f(x)≤a2对任意x∈[1,3]恒成立，求实数a的取值范围．
,g(x)=2lnx．
19.已知函数f(x)=mx−m
x
(Ⅰ)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当m=1时，判断方程f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根．
(Ⅲ)若x∈(1,e]时，不等式f(x)−g(x)<2恒成立，求实数m的取值范围．
20.已知函数f(x)=xln x+x．
(1)求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程；
(2)若不等式f(x)>mx−m对任意x∈(0,1)恒成立，求正整数m的最小值．
,(a>0,a≠1)．
21.已知函数f(x)=log a x+1
x−1
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(2)=1，写出f(x)的单调区间；
(3)当x∈(n,a−2)时，是否存在实数a和n，使得函数f(x)的值域为(1,+∞)，若存在，求出实
数a和n的值，若不存在，说明理由．
22.对于函数f(x)=a−2
2x+1
(1)是否存在实数a，使得该函数是奇函数？
(2)如果该函数存在零点，求a的取值范围．。