大学物理复习(15级)

问题7-14如图，一无限长圆柱形导体管外半径为R 1，管内空心部分的半径为R 2，空心部分的轴与圆柱的轴相平行，且相距为a ，现有电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，求(1) 圆柱轴线上磁感应强度的大小；（2）空心部分轴线上磁感应强度的大小。

解：在圆管横截面单位面积上通过的电流：)
(2
221R R I
j -=
π① 将空心柱体电流等效为由半径为R 1的无限长实心大圆柱体电流I 和半径为R 2的无限长实心小圆柱体反向电流2I I =-的合成，两者产生的磁场分别B 1为和B 2，任意场点的磁感应强度为这两个电流的磁感应强度的矢量和。

（1）在圆柱轴线上，易见B 1 = 0
取以O 为圆心a 为半径的安培环路，由对称性可知，在环路上，B 2处处沿切线方向，且大小相等，于是
2
2
00222R I a B l d B i
i l
πμμπ===⋅∑⎰ )
(2221R R I
-π
)
(22
2212
202R R a IR B -=
πμ
所以圆柱轴线上磁感应强度大小为：21B B B +=)
(222
212
2
0R R a IR -=
πμ
（2）在空心圆柱轴线上，易见B 2 = 0
取以O 为圆心a 为半径的安培环路，由对称性可知，在环路上，B 1处处沿切线方向，且大小相等，于是
200112a I a B l d B i
i l
πμμπ===⋅∑⎰
)
(2221R R I
-π
)
(22
2212
01R R Ia B -=
πμ
21B B B +=)
(222
2
1
2
0R R Ia -=
πμ
问题8-5如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ。

磁感应强度与转轴平行。

求OP 棒在图示位置处的电动势。

解：在棒上沿OA 、距O 端为l 处取微元dl ，微元的动生电动势为
()i d v B dl ε=⨯
①v B ⨯
的方向垂直于Oz 轴，
故()cos()sin 2
v B dl vBdl rB dl πθωθ⨯=-=
，又sin r l θ=
将此两式代入①式中，积分有：
θωθωε2202sin 2
1
sin BL ldl B L i ==⎰
由右手定则可知电动势方向为由O 端指向P 端。

11-8 如图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k ，滑轮的转动惯量为J ，半径为R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证
明物体作简谐振动，并求振动周期． 证明：
①以开始位置为势能零点，②以平衡位置为坐标原点，③整个过程机械能守恒由上有：
任意时刻有：=+-+++=)(sin )(2
1
2121222a x mg a x k J mv E θω常数
上式两边对时间求导：
0sin )(=-+++dt dx mg dt dx a x k dt d J dt dv mv θωω① 又：R v ω=②
且在平衡位置时：ka mg =θsin ③
且
22dt
x
d dt dv =；v dt dx =④ ②③④代入①式整理有：
022
22=++x mR
J kR dt x d 其中22
2
kR J mR ω=+所以该运动为简谐振动。

所以周期为：2
2
22kR mR J T +==πωπ
11-12 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：10.04cos(2)6
x t m π
=+，
250.03cos(2)6x t m π
=-，试求其合振动的振幅、初相位和振动表达式。

解：2010566
ππ
φφπ-=-
-=-，二者反相； 0.040.030.01A =-=
利用旋转矢量图，合矢量A 的方向就是1A 的方向，易得：0=6
π
φ
0.01cos 26x t π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
12-3如图所示，一列平面余弦波以速度400/u m s =沿着OAB 传播，已知A 点的振动表达式为()3310cos 400/2A y t m ππ-=⨯-，OA ＝3.0m ，AB=1.5m 。

求（1）该波的波长；（2）B 点的振动表达式；（3）以O 为坐标原点的波动表达式。

解：（1）由A 点的振动表达式与400/u m s =, 由题意，得
3310,0.005,400/,2A m T s rad s uT m ωπλ-=⨯====
（2）波沿x 轴正方向传播，且AB = 1.5m ，所以 B 点的振动相位落后A 点
1.5400 1.5(2 1.5)400A B x x
u φωππφφφππλ
∆∆∆===∆=-==或
B 点的振动表达式为
[]33310cos 400 1.5310cos 40022B y t m t m πππππ--⎡⎤
=⨯--=⨯-⎢⎥⎣⎦
（3）O 点的振动相位超前A 点3
4003400
x u φωππ∆∆=== O 点的振动初相位0522
2
π
πφπ=-
+=
波动表达式3310cos 400() 2.5400A x y t m ππ-⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦ 12-7如图所示，已知一沿x 轴正方向传播的平面余弦
波的周期2T s =，且在1
3
t s =时的波形如图所示。

试证
明该波的波动表达式为：
()0.1cos /0.2/3y t x m ππ=-+⎡⎤⎣⎦。

14-15白光垂直射到空气中一厚度为0
3800A 的肥皂水膜上。

试问(1)肥皂水膜正面呈何颜色？（2）肥皂水膜背面呈何颜色？（肥皂水的折射率为1.33）
解：对肥皂水膜正面，反射光1在上表面反射时有半波损失，而反射光2在下表面反射时无半波损失，所以两束光之间有附加光程差，即：
22
ne λ
∆=+
因为反射加强有：2(1,2)2
ne k k λ
λ+==
22 1.333801010.8(1,2,3,4)111222ne k k k k λ⨯⨯====---
可见光范围400-760nm ，则当k = 2，有：2673.9nm λ=，k = 3，有3404.3nm λ= 对应为红紫光，即膜的正面为红、紫色；
对肥皂水膜背面，因为透射最强时，反射最弱，所以
2(21)/2(1,2)2
ne k k λ
λ+=+=
则有：22 1.333801010.8
(1,2,3,4)ne k k k k
λ⨯⨯==== 可见光范围400-760nm ，则当k=2，有：2505.4nm λ=，绿光，即背面呈现绿色。