等比数列教学设计

§2.4.1等比数列（第一课时）
天津市第一〇二中学纪洪伟
一、教学目标：
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导.
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系.
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度.
二、教学重点：
理解等比数列的定义，探索并掌握等比数列的通项公式.
三、教学难点：
灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.
四、教学模式：
问题驱动式教学模式.
五、教学过程：
1、复习旧知
完成表格
2、情境导入
首先请同学们看以下几个事例：
情境1：我国古代算书《孙子算经》上的名题:出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。

问各几何？”
情境2：《庄子》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．
情境3：年初某人在银行存款a 万元，年利率为
p ，每年年末的本息为多少？ 3、合作探究
类比等差数列的定义形式，归纳等比数列的定义.
得到以下3个数列：
① 9，29，39，…，89
② 1，12，14，…，-112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…
③(1)a p +，2(1)a p +，3(1)a p +，…，(1)n a p +，…
学生活动1——观察、联想，发现，交流
问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？
问题2：上述例子有何共同特点？
通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等. 问题3：观察数列① ② ③，，分类：(为研究等比数列单调性做铺垫)
按项数分：有穷数列： 无穷数列：
按单调性分：递增数列： 递减数列：
板书1：等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q 表示（q ≠0），即：1
n n a a -=q （q ≠0）. 学生活动2——对等比数列概念深化理解
问题4：上述三例的公比分别为多少？
问题5：你能举一个公比小于0的等比数列吗？
问题6：有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列？
（对问题6，根据学生的回答作短暂的讨论）
（1）形如a ，a ，a ，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a =0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a ≠0时，此数列为等比数列．
（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．
＜小组互动＞互考
每组出一道判断题，判断是否为等比数列？加强组间合作与交流，同时加深了等比定义中“从第二项起”“同一个常数”的关键词的理解。

教师并通过学生的问题适当变形，引出等比中项。

问题7：若a,G,b 三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？
板书2： 等比中项：2G ab =（注意G 的取值）
学生活动3——探寻等比数列的通项公式
问题8：回忆等差数列的推导方法，比较两个数列定义的不同，推出等比数列通项公式。

学生展示迭代法：∵21a a q =，
()23211a a q a q q a q ===，
()234311a a q a q q a q ===，
……11n n a a q -=．
学生展示叠乘法：
1n n a q a +=，1n n a q a -=，12n n a q a --=，…，32a q a =，21a q a =． 将各式相乘便有1
1n n a q a -=，11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ），
当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．
板书3：等比数列的通项公式:
)0,(111均不为q a q a a n n -⋅= 问题9：知道m a 与q 如何表示n a ？
学生展示：
(0)n m n m m a a q a q -=⋅⋅≠ 4、实际应用
例题：在等比数列{}n a 中，已知3a =20，6160a =，求n a ．
解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==1602051
21q a q a ，解得
⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ．
变式1：在等比数列{}n a 中，已知3a =20，160n a =，公比2q =，求n ．
变式2：在等比数列{}n a 中，1210a a +=，4554
a a +=，求n a . 变式3：在等比数列{}n a 中，n+2n+12,()n a a a n N *+=∈，求n a .
其中变式3在缺少基本量的情况下，让学生任意添加条件，培养严谨的思维习惯。

从方程的观点去考虑，方程中有四个量，在
n a ，1a ，q 和n 中只要知道其中三个，可求第四个.
5、达标检测：
1. 数列{}n a 中, 111,0n n a a a +==+，求通项公式n a .(1(1)n n a -=-)
2. 在等比数列{}n a 中，256,48a a ==，则8a = 384
3.2的等比中项为 ±1
4.9是数列012222
333...，
，，中的第 5 项. 5.数列{}n a 中，首项为1，若1(2)n n na n a +=+，求通项公式n a . （2=2
n n n a +） 6、课堂小结
问题10：你学会了什么？ 等比数列的定义，即1
n n a q a -=.(q 为非零常数，n ≥2) 等比数列的通项公式：111(,0)n n a a q a q -=⋅均不为及推导过程.
7、留疑思考
问题11：探索等比数列与指数函数的关系，以此研究等比数列的单调性等比数列
｛n a ｝的通项公式
)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线上的一些孤立的点。

借助与指数函数之间的关系，讨论等比数列的单调性情况。

当10a >，1q >时，等比数列｛n a ｝是递增数列；
当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；
当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列；
当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；
当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。

8、布置作业：
教材习题2.4A 组第1,2题. 将等差等比数列相关知识汇总成表。

六、板书设计：
七、教学反思
等比数列是在等差数列之后介绍的，学生对等差数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公式．这样从学生的最近发展区出发，不仅符合学生的认知规律，而且充分发挥了学生的主体作用。

通过达标检测统计，学生对累乘法的变形应用不灵活，通过对定义的推导，通过学生的讲解学生能够加深印象，但不能达到灵活应用的程度，因此要在后面的学习中继续落实累加、累乘法的应用。

同时要培养学生的想象能力和知识迁移能力。