天津一中2012届高三第三次月考文科数学试题
天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三､解答题（本大题共5小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2） ， 或 ，
【17题答案】
【答案】（1）证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析
（2）
（3）正弦值为1
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析（3）
C. D.
4.已知函数 是偶函数，则 的值是（）
A. B. C.1D.2
5.已知函数 是 上的偶函数，且 ，当 时， ，则 的值为（）
A.1B.2C. D.0
6 已知函数 ，则（）
A. B.
C. D.
7.已知 且 ，则a的值为（）
A. B. C. D.
8.设函数 ，不等式 对 恒成立，则实数a的最大值为（）
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ##20立方米
每户每月用水量
水价
不超过 的部分
3元/
超过 但不超过 部分
6元/
超过 部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
2014届天津市天津一中高三上学期第二次月考文科数学试题(含答案解析)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1．复数 z 满足: ( z − i )(2 − i ) = 5 ，则 z = （ A． −2 − 2i 2. 下列结论错误的是（ B． −2 + 2i ） ） C． 2 − 2i D． 2 + 2i来自第 2 页 共 9 页
（Ⅰ）如果 X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差 （Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率。
16． （本小题满分 13 分） 已知 △ ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 cos A = （Ⅰ）求 cos( A + B ) 的值
− x 2 + 4 x − 10( x ≤ 2) 13. 已知函数 f ( x) = ,若 f (6 − a 2 ) > f (5a) ，则实数 a 的取值范围是_______________ log 3 ( x − 1) − 6( x > 2)
14． 设函数 f ( x) = x −
A．命题“若 p ，则 q ”与命题“若 ¬q, 则 ¬p ”互为逆否命题;
x 2 B．命题 p : ∀x ∈ [0,1], e ≥ 1 ，命题 q : ∃x ∈ R, x + x + 1 < 0, 则 p ∨ q 为真;
C．“若 am < bm , 则 a < b ”的逆命题为真命题;
2 2
D．若 p ∨ q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题． 3． 如下框图，当 x1 = 6, x2 = 9, p = 8.5 时， x3 等于（ A. 7 B. 8 C.10 ） D.11 ）
【解析】天津市天津一中2013届高三上学期一月考文科数学
天津一中2012-2013学年高三年级一月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1.i 是虚数单位,复数2i1iz -==-( ) A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i -【答案】A 【解析】2i (2i)(1+i)3311i (1i)(1+i)222i z i --+====+--，选A. 2.已知全集U R =，{|21}xA y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =（ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤C ．{|1}x x <D ．{|01}x x <<【答案】B【解析】{21}{1}x A y y y y ==+=>，15{||1||2|2}{}22B x x x x x =-+-<=<<，所以{1}U A y y =≤ð，所以1(){1}2U A B xx =<≤ð，选B. 3. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ）A. p q >B. p q ≥C. p q <D. p q ≤【答案】D【解析】22222222()b a b a b a a b p q a b a b a b a b a b---=+-+=-+-=+2222211()()()()()b a b a a b b a b a a b ab ab--+=--=-⨯=，因为0a <，0b <，所以0,0a b ab +<>，2()0b a -≥，所以0p q -≤，所以p q ≤，选D.4. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2- 【答案】C【解析】22()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin sin )1f x x x x x x x =+=-+=--+2132(sin )22x =--+,因为1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，函数有最大值32，当sin 1x =-时，函数有最小值3-，选C.5. 已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数【答案】D【解析】222211()(1cos 2)sin 2cos sin sin 2(1cos 4)24f x x x x x x x =+===-,所以函数为偶函数，周期2242T πππω===，选D. 6. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【答案】C 【解析】将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)4y x π=+，然后向左平移4π个单位得到函数442y x x x πππ=+++，选C.7. 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）【答案】A【解析】函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除B,D.又0cos 1x <<，所以ln cos 0y x =<，排除C ，选A.8. 定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则 （ ）.A ．12()()f x f x < B. 12()()f x f x > C. 12()()f x f x =D. 1()f x 与2()f x 的大小不确定【答案】B【解析】由(4)()f x f x -=可知函数的关于2x =对称，当2x >时，'()0f x <，函数单调递减，当2x <时，'()0f x >，函数单调递增，因为12x x <，且124x x +>，所以讨论：若122x x <<，函数因为函数单调递减，则有12()()f x f x >，若122x x <<，由124x x +>得124x x >-，即2142x x -<<，函数在2x <时，单调递增，即21(4)()f x f x -<.即21()()f x f x <，综上可知，12()()f x f x >，选B.二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 已知3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.【答案】6556-【解析】因为3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,22παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos()0αβ+>，即4cos()5αβ+=.又3244πππβ<-<，所以cos()04πβ-<，即5cos()413πβ-=-.又cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()4444ππππααββαββαββ+=+--=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-. 10. 在ABC △中，若1tan 3A =，150C =︒，1BC =，则AB = ．【解析】由1tan 3A =，得sin A =，根据正弦定理得sin sin BC AB A C =，即01sin sin150ABA =，解得AB =11. 已知向量()()()2 111 2m =-=-=-a b c ，，，，，，若()+a b c ，则m = ．【答案】1m =-【解析】()()2 11(1,1)m m +=-+-=-，，a b ，因为()+a bc ，所以12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，即210m +-=，解得1m =-.12. 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【答案】6π【解析】因为⊥m n，所以sin 0A A -=sin A A =，所以tan A =，所以3A π=.又cos cos sin a B b A c C +=，所以根据正弦定理得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，即sin()sin sin A B C C +=，所以sin sin sin C C C =，即sin 1C =，所以2C π=，所以236B ππππ=--=.13.如右图，AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=，则tan θ= ．【解析】设圆的半径为R ，因为5AD DB =，所以2AD DB R +=，即62DB R =，所以13DB R =,23OD R =,53AD R =,由相交弦定理可得2259CD AD BD R ==,所以CD R =，所以tan CD OD θ===. 14. 在四边形ABCD 中，()1 1AB DC ==，，113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积为 ． 【解析】由()1 1AB DC ==，，可知四边形ABCD 为平行四边形，2AB DC ==，因为113BA BC BD BABCBD+=，所以可知平行四边形ABCD 的角平分线BD 平分∠ABC,四边形为菱形,，且对角线BD倍，即BD==,则22212CE =-=,即CE =所以三角形BCD 的面积为12，所以四边形ABCD 的面积为2三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，且.21222ac b c a =-+（I ）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．16．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域17．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(2sin B,2cos 2B)m =-，2B(2sin (), 1)42n π=+-, m ⊥n ．（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =1b =，求c 的值．18. 已知函数32()92f x ax bx x =-++,若()f x 在1x =处的切线方程为360 x y +-=.（I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的1[,2]4x ∈，都有2()21f x t t ≥--成立，求函数2()2g t t t =+-的最值.19．已知函数22()ln ().f x x a x ax a R =-+∈ （I ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若函数()f x ∞在区间(1,+)上是单调减函数，求实数a 的取值范围.20．设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．天津一中2012—2013高三年级一月考数学试卷（文科）答案一、选择题：ABDCDCAB 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．6556-1011．1m =- 12613 三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分） 15．（I ）由余弦定理：c o nB =14 si n 22A C ++c os2B = -14（II ）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2， a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38,S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为315 16．（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =+-sin(2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 对称轴方程 ()23k x k Z ππ=+∈ （II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 17．（I ）20,4sin sin ()cos 22042Bm n m n B B π⊥∴⋅=∴⋅++-=222sin [1cos()]cos 220,22sin 2sin 12sin 20,15sin , 0, .266B B B B B B B B B ππππ∴-++-=∴++--=∴=<<∴=或（II ）6,3π=∴>=B b a 此时，2222:::2cos ,320,2 1.,sin sin 12sin 0,,1332,,,2;36222,,, 1.3366b ac ac B c c c c b aB AA A A ABC c A C c b c πππππππππππ=+-∴-+=∴===∴=∴=<<∴====∴===--=∴=∴=方法一由余弦定理得或方法二由正弦定理得或若因为所以角边若则角边综上2 1.c c ==或18. （I ）923)(2'+-=bx ax x f ,(1)3(1)3f f =⎧⎨'=-⎩解得412a b =⎧⎨=⎩32()41292f x x x x ∴=-++（II ）2()122493(23)(21)f x x x x x '=-+=-- (),()f x f x '∴的变化情况如下表：min ()2f x = min ()2f x ∴=122--≥t t ，31≤≤-t 2()2g t t t ∴=+- (31≤≤-t ), 当12t =-时,最小值为94-,当3t =时，最大值为1019．（I ）函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞222121(21)(1)'()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-∴=-+==① 当0a =时，1'()0f x x=>，()f x ∴的增区间为(0,)+∞，此时()f x 无极值； ② 当0a >时，令'()0f x =，得1x a =或12x a=-（舍去）()f x ∴的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞()f x ∴有极大值为1()ln f a a=-，无极小值；③ 当0a <时，令'()0f x =，得1x a =（舍去）或12x a=-()f x ∴的增区间为(0,)2a -，减区间为(,)2a-+∞ ()f x ∴有极大值为1133()ln ln(2)2244f a a a ⎛⎫-=--=--- ⎪⎝⎭，无极小值； （II ）由（1）可知：①当0a =时，()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意；②当0a >时，()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞，依题意，得110a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，得1a ≥；③当0a <时，()f x 的单调递减区间为1,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，依题意，得1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞.法二：①当0a =时，1'()0f x x=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意； ②当0a ≠时，()f x 在区间(1,)+∞上为减函数，只需'()0f x ≤在区间(1,)+∞上恒成立.220210x a x ax >∴--≥只要恒成立，2211, 1.42210aa a a a a ⎧≤⎪∴≤-≥⎨⎪--≥⎩解得或20. （I ）232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+ 222sin 12sin 434x t t t t =--++-+223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和12⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间22⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．。
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无锡新领航教育特供：天津一中2012—2013学年高三数学三月考
试卷(文科)
一、选择题：
1．复数2i
2i
-=+ A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+【答案】A 【解析】2(2)(2)
343
4
2(2)(2)555i
i i i
i i i i ----===-++-,选A.
2．“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】若0m =，两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线垂直.若12m =，两直线方程为2x =-和13302x y +
+=，此时两直线相交.当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为11212m
y x m
m =+--和33y x m m =--，两直线的斜率为12m m -和3m -.若两直线垂直，
则有3()112m m m ⨯-=--，解得1m =-，所以直线(21)10mx m y +-+=和直线330x m y ++=垂直时的条件为1m =-或0m =.所以1m =-是直线(21)1m x m y +-+=和直线330x my ++=垂直的充分不必要条件，选A.。
天津南开中学2024届高三第三次月检测答案
，
4
4
而
3
(125
4 3
4
− 803 )
210.2
，
3
(126
4 3
4
− 813 )
210.9
，
4
4
由[S] 的定义，得[S] = 211 ，
所以[S] 的值是 211.
6/6
=3
2，
解得 k =
2 2
，所以直线 l1
的斜率为
2. 2
所以
P
2c , 6 5
2c 5
，△APQ
的外接圆圆心
C
−
c 5
,
0
， kCP
=
62
5 3c
c
=
2
2，
5
因为 CP ⊥ PT ，所以直线 l2 的斜率为 k2 = −
2. 4
（3）设直线 l2 的方程为 y = −
2 x + 13 2 c ，与椭圆方程联立可得：
1
−
−
1 4
2
=
15 ， 4
△ABC 的面积为 3
15
，可得
1 2
bc
sin
A
=
3
15 ，即 1 bc 2
15 = 3 15 ，则 bc = 24 ， 4
联立 b − c = 2 ，解得 b = 6 ， c = 4 ，
由
a2
=
b2
+
c2
−
2bc cos
A
=
36
+ 16
−
26
4
−
1 4
=
64
=1504 ；
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
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2011-2012-1天津一中高三年级第三次月考考试数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1． i 是虚数单位，复数ii215-的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-2．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．93．下列命题中，假命题是（ ） A ．0,>∈∀x e R xB ．1sin ,≤∈∀x R xC ．0lg ,=∈∃x R xD ． 11,=+∈∃xx R x4．如图所示，运行相应的程序框图，则输出k 的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．175．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 （ ）A ．214 B ．214- C ． 414 D ．414- 6．已知函数,log )31()(2x x f x-=实数c b a ,,成公差为正数的等差数列，且满足：0)()()(<c f b f a f ；实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①;a d <②;b d >③;cd <④c d >中有可能成立的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．6C ．2D ．38． 已知二次函数x ax x f +=2)(，对任意R x ∈，总有1|)1(|2≤+x xf ，则实数a 的最大整数值为（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）9．设集合},2|2||{R x x x A ∈≤-=， }21,|{2≤≤--==x x y y B则=)(B A C R ．10．一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．11．如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上的中点，BC AE //，ED 交AB 于点G ，交BC 延长线于点F ，若1:3:=GA BG ，10=BC ，则AE 的长为 ．12．在ABC ∆中，角C B A ,,为所对的边分别是c b a ,,，若ABC ∆的面积)(41222c b a S -+=，则C ∠的度数为 ．13．若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 ．14．已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ，则AB OC ⋅的值为 ．三、解答题：15．（本小题满分13分）已知函数),,0(cos 2)2sin(sin 3sin )(22R x x x x x x f ∈>+++=ωωπωωω在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 的最大值及单调递减区间．16．（本小题满分13分）在两个袋内，分别装有编号为4,3,2,1四个数字的4张卡片，现从每个袋内任取一张卡片． （Ⅰ）利用卡片上的编号写出所有可能抽取的结果； （Ⅱ）求取出的卡片上的编号之和不大于4的概率；（Ⅲ）若第一个袋内取出的卡片上的编号记为m ，第二个袋内取出的卡片上的编号记为n ，求2+<m n 的概率．17．（本小题满分13分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，,2==PA AD ,22=CD F E ,分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ）求证：平面⊥PCE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角D EC F --的大小． 18．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，且02212121=-+++++n n n n n n a a a a a a ．（Ⅰ）求32,a a 的值； （Ⅱ）求证：}1{na 是等差数列； （Ⅲ）若12++=n n nnn a a a b ，求数列}{n b 的前n 项和．19．（本小题满分14分）设函数)0()(223>+-+=a m x a ax x x f ．（Ⅰ）若1=a 时函数)(x f 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为21，点B 在x 轴上，AF AB ⊥，F B A ,,三点确定的圆C 恰好与直线033=++y x 相切． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F 作斜率为k )0(≠k 的直线l 交椭圆于N M ,两点，P 为线段MN 的中点，设O 为椭圆中心，射线OP 交椭圆于点Q ，若OM ON OQ +=，若存在求k 的值,若不存在则说明理由．2011-2012-1天津一中高三年级第三次月考考试数学试卷（文）答案一．选择题 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．C7．B8．C二．填空题 9．{x|x ≠0} 10．18+π29 11．512．450 13．1814．51-三．解答题2215.(1)()sin cos 2cos 1'1cos 2()1223()sin(2)4'623()162sin()13636212'f x x x x x x f x x f x x f ϖϖϖϖϖϖπϖπππϖπππϖϖ=⋅++=++=++∴=+∴+=∴+=∴='123)621sin()(23)621sin()('123)62sin()(23]6)6(2sin[)(23)62sin()()2(211+-=∴+-=→+-=++-=→++=ππππππx x g x x f x x f x x f x x f'2)(]3104,344[:'225231)(max Z k k k x g ∈++=+=ππππ 单减区间16．（1）第一个袋内卡片分别为A 1、A 2、A 3、A 4第二个袋内卡片分别为B 1、B 2、B 3、B 4 （A 1B 1） （A 1B 2） （A 1B 3） （A 1B 4） （A 2B 1） （A 2B 2） （A 2B 3） （A 2B 4） （A 3B 1） （A 3B 2） （A 3B 3） （A 3B 4） （A 4B 1） （A 4B 2） （A 4B 3） （A 4B 4） 共16种 4‘（2）卡片之和不大于4（小于或等于4）共6种634'168(3)213135'16P n m P ==<+=共种 17．（1）取PC 中点G ∴AFGE 是□ ∴AF ∥EG ∴AF ∥平面PCE 4‘ （2）AF ⊥平面PCD ∴EG ⊥平面PCD∴平面PCE ⊥平面PCD 4‘63331Q tan )3(πθθ=∴===H FH H AD 中点取 5‘11111111111223318.(2)()()()0()()0011101111{}11(1)22113'3111(3)22((1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a AP a a a a a a b n n nn n n +++++++++++⋅++-⋅+=∴+⋅⋅+-=∴-+⋅=∴-+=∴-=∴=∴==∴==∴=⋅+=⋅+-+ 是 ５' ２111)12n (1)2211n 11{}n :Sn+Tn=(1)221n n n n n n n n S n nT n n n nb n n +++⋅=-⨯+-=++∴-⨯+++｛｝的前项和：｛｝的前项和：前项和 ６'19．（1）当a=1时，f(x)=x 3+x 2-x+m f ’(x)=3x 2+2x-1 令f ’(x)=0 则x 1=-1或x 2=31 x (-∞, -1) -1 (-1,31) 31 (31, +∞) f ’(x) + 0 - 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴y 极大值=f(-1)=-1+1+1+m=m+1 y 极小值=f(312753191271)-=+-+=m m105027515'27m m m +>⎧⎪∴⎨-<⎪⎩∴-<< (2) f ’(x)=3x 2+2ax-a 2 依题意：3x 2+2ax-a 2=0 在[-1, 1]上无实根'(1)0(0)'(1)035'f a f a -<⎧>⎨<⎩∴> (3)f ’(x) =(x+a)·(3x-a) (a>0) x (-∞, -a) -a (-a,3a ) 3a (3a,+∞) f ’(x) + 0 - 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ a ∈[3, 6]3a∈[1, 2], -a ∈[-6, -3] x (-2, 3a ) (3a, 2]f ’(x) - + f(x) ↓ ↑ ∴f(x)max =max{f(-2), f(2)} f(-2)=-8+4a+2a 2+m f(2)=8+4a-2a 2+m f(2)-f(-2)=16-4a 2<0 ∴f(x)max =f(-2)=2a 2+4a-8+m依题意: f(x)max ≤1 ∴m ≤-2a 2-4a+9 当a=6时m ≤-87 4‘11120.(1),(,0)(0,)2220210()2:32330(,0)22AF AB AB e c a b F a A k k a l y x y x a B a =∴==∴--∴==∴=--∴=-+=∴=∴ 令221(,0),23013222143a r ax da d aa x y ∴=∴++=+==∴=∴+=圆心半径圆心到直线的距离椭圆方程为 6'⎩⎨⎧=++=)2(1243)1()1(:)2(22y x x k y l将(1)代入(2)可得：(3+4k 2)x 2+8k 2x+(4k 2-12)=0 2’'24362438222433)1('2434243820220222212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+-==∴=∴=+=++=+=+-=+=∴+-=+k k y y k k x x O O O OP ON OM k kx k y k k x x x k k x x p p p p p 且又12)436(4)438(3134222222020=+++-∴=+kk k k yx 又3×64k 4+4×36k 2=12(4k 2+3)2 64k 4+48k 2=4(16k 4+24k 2+9) 48k 2=96k 2+362’-48k 2=36 ∴k 无解 ∴不存在。