第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和

第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
知识提要
1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A
（1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）.
如果n n a ∞
→lim =A ，n n b ∞
→lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim ；
②B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n
n a a A B b b B →∞
→∞→∞
==≠. （2）数列极限的几种类型：
①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和.
③指数型0(1)
1(1)lim ;(1)(1)
n n q q q q q →∞
<⎧⎪
=⎪
=⎨=-⎪⎪>⎩不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞⎧⎪⎨⎪⎩表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和
2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1
lim 1n n a S S q
→∞
==
-存在. （1）1
1,0;1q q a S q <≠⎧⎪⎨=⎪-⎩
注意区别： (a)11lim ≤<-⇔∞→q q n n 存在; (b)1||0lim <⇔=∞
→q q n
n ; (c)无穷等比数列各项和存在1,0q q ⇔<≠
（2）无穷等比数列建模：①求出首项1a ；②找到1n n a a +与的关系式；③利用q
a S -=
11
求出答案. 典型例题
【例1】求极限：（1）(51)(1)
lim 3(21)n n n n n →∞--=+ ； （2）()()21
1223lim 23n n n n n ++→∞--=-+ ； （3）()2111lim 2n n n n a a a ++
+-→∞-∈=+R ；
（4）若234lim()62
n n an b n →∞+-+=+，则a b += .
【例2】已知无穷等比数列{}n a ，且()12lim n n a a a a →∞
++
+=，求首项1a 的取值范围.
【例3】在半径为R 的圆内作内接正三角形，在这三角形内作内切圆，在第二个圆内又作内接正三角形，如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和是 ( )
(A) 234R π (B) 23
5
R π (C) 22R π (D) 都不是
【例4】已知数列{}n a ()0n a >是一个首项为a ，公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，求lim
.n n n
a a
S →∞+
巩固练习
1、数列 ,11
)1(,,41,31,211+--+n n 的极限为 . 2、=-+++∞→)1
21(lim 222n
n n n n .
3、计算：()11
1
1111112482lim 111
1393
n n n n --→∞--+-++-=++++ .
4、=+-++⨯+⨯+⨯∞
→))
13)(23(1
1071741411(
lim n n n . 5、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项为n S 、n T ，若
2453++=n n T S n n ，则
=∞→n
n
n b a lim . 6、若b an n n n =-+∞→)4
5(
lim 2
，则常数b a ,构成点),(b a 的坐标为 . 7、求和.
.
.
0.90.090.009+++
= .
8、已知数列{}n a 与{}n b 都是等差数列，且lim 2,n n n a b →∞=则∞→n lim 12212n
n
a a a
b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为 .
9、若()
21
lim 21n n x +→∞
+存在,则实数x 的取值范围是 .
10、下列命题中假命题的个数为（ ）
①若)0(lim 2
2
>=∞
→A A a n n ，则A a n n =∞→lim 或A a n n -=∞
→lim
②若n n b a >且q b p a n n n n ==∞
→∞
→lim ,lim ，则q p >
③若0)(lim =-∞
→n n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞
→=lim lim
④若数列{}{}n n b a ,均无极限，则数列{}n n b a ⋅和{}n n b a +也一定无极限 ⑤首项为1，公比为2的无穷等比数列各项和1
112
S =
=-- （A ） 1 （B ） 5 （C ） 2 （D ） 4
11、若0log log <<ππb a ，则lim n n
n n
n a b a b →∞-+的值为 .
12、已知数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，则0lim =∞
→n n a 是1
lim 1n n a S q
→∞
=
-成立的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 13、一个无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则（ ）
（A ） 10<<S （B ） 2<S （C ） 20<<S （D ） 21<<S 14、已知点)0,2
4(),2,0(),2,0(n
C n B n A +
-，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞
→n n S lim .
15、已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009
n n a n n ，
，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列说法正确的有 . ①lim 1n n a →∞
=②lim 0n n a →∞
= ③⎩
⎨
⎧≥-≤≤=+∞
→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，
（*N n ∈）④2008lim =+∞→n n S ⑤1lim -=+∞→n n S
16、若()2
3lim 51,,73n n n
n n a pb c
a b c p R a b c →∞++=-<<∈-+，则p = . 17、已知数列23
11111
sin0,
sin ,sin ,,
sin ,332332
n n πππ-，则该数列所有项之和为 .
18、已知13n n b kb +=+，若lim 5n n b →∞
=，则k = . 19、设正数等比数列{}24,4,16,n a a a == ∞
→n lim (
2
221lg ...lg lg n a a a n
n n +++++)
20、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，公比为()0x x >，求lim n
n n
a S →∞.
21、已知数列{}n a 中, 0n a >，前n 项的和为n S ，且满足()2
28n n a S =+. （1）求证: 数列{}n a 是等差数列 （2）若数列{}n b 满足()()24
11,n a n b t t +->=n T 为数列{}n b 的前n 项和, 求lim n n T →∞
22、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1
n n n
a b a +=，并说明理由.。