数学九年级下沪科版第25.8正多边形和圆讲义教案
初中数学 正多边形和圆 教案
1.知识结构2.重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置．3.教法建议本节内容需要一个课时．（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点和难点:重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD 的外接圆．（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、引导学生研究．1、边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．第12页教学设计示例1教学目标：（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；（2）通过画图培养学生的画图能力；（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情．教学重点：(1)量角器等分圆心角来等分圆；(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．教学难点：准确作图．教学活动设计：（一）提出问题：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一．问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．教师组织学生进行，方法不限．目的：充分发展学生的发散思维．（二）解决问题：以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可．(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．（三）研究、归纳1、用量角器等分圆：依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．问题2：把半径为2cm⊙O九等份．（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．2、用尺规等分圆：（1）问题3：作正四边形、正八边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……（2）问题4：作正六、三、十二边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．（四）总结（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．（五）作业教材P173中13．教学设计示例2教学目标：1、能应用画正多边形解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的美丽图形；2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育；4、渗透数学建模思想．教学重点：应用正多边形的计算与画图解决实际问题．教学难点：数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题．教学活动设计：（一）知识回顾：分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导．（二）画图应用：例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)教师引导学生分析：①比例尺=；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算．（1）画法：1．以任意一点O为圆心，以4m的，即2cm为半径画⊙O(如图)．2．作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD．3．作平分、的直径EG、FH．4．顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形．（2）解（学生分析解题方法）：（m）（m）（m2）答：（略）我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE 上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例．由已知知道要画正五边形的边CD=20mm．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE．（画法：略．参看教材P170）说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的．有能力的学生课下可以探究和计算．通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点．（三）优美图案欣赏和画法：请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案．组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰．（四）总结1、运用正多边形的知识解决实际问题；2、学习了民间画正五边形的近似画法；3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．（五）作业教材P171中练习1；P173中12；P173中14．探究活动图案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节课主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
教材通过实例引导学生探究正多边形的对称性，进而引入圆的概念，并通过实践活动让学生理解圆的生成和特点。
本节课的内容是学生对平面几何知识的进一步拓展，为后续学习圆的方程和圆与圆的位置关系等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形的性质，对图形的对称性有一定的了解。
但他们对圆的概念和性质还不够熟悉，对正多边形与圆的关系认识不足。
因此，在教学过程中，教师需要通过直观的图形和实践活动，帮助学生建立正多边形与圆的联系，提高他们的空间想象能力。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，掌握正多边形的对称性。
2.认识圆的概念，理解圆的生成和特点。
3.掌握正多边形与圆的关系，能运用相关知识解决实际问题。
4.培养学生的空间想象能力、合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质和与圆的关系。
2.难点：圆的概念的理解和圆的生成过程。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和动画展示，让学生直观地理解正多边形和圆的特点。
2.运用问题驱动法，引导学生主动探究正多边形与圆的关系，培养学生的思维能力。
3.采用合作学习法，鼓励学生分组讨论和实践，提高学生的合作交流能力。
4.利用练习法，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备正多边形的实物模型和动画展示。
2.准备圆的实物模型和动画展示。
3.准备相关的练习题和实践活动材料。
4.准备黑板和投影仪。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型和动画展示，引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）a.讲解正多边形的定义和性质，通过实例展示正多边形的对称性。
b.引入圆的概念，讲解圆的生成过程和特点。
3.操练（10分钟）a.学生分组讨论，探究正多边形与圆的关系。
正多边形与圆教案
1. 让学生了解正多边形的定义及其性质。
2. 让学生掌握正多边形与圆的关系。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 正多边形的定义及性质。
2. 正多边形与圆的关系。
3. 正多边形的计算与应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正多边形的定义、性质及正多边形与圆的关系。
2. 教学难点：正多边形的计算与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究正多边形的性质。
2. 利用几何画板软件，直观展示正多边形与圆的关系。
3. 结合实际例子，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：讲解正多边形的定义，引导学生思考正多边形的性质。
2. 探究：让学生通过观察、操作，发现正多边形与圆的关系。
3. 讲解：讲解正多边形的计算方法，并举例说明。
4. 应用：布置练习题，让学生运用正多边形的知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调正多边形与圆的关系。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
1. 通过课堂提问，了解学生对正多边形定义和性质的掌握情况。
2. 通过练习题，评估学生对正多边形与圆的关系的理解程度。
3. 观察学生在实际问题中的应用能力，评估其对正多边形计算方法的掌握。
七、教学资源1. 几何画板软件：用于直观展示正多边形与圆的关系。
2. PPT课件：用于讲解正多边形的性质和计算方法。
3. 练习题：用于巩固学生对正多边形的理解和应用能力。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍正多边形的定义及性质。
2. 第2周：讲解正多边形与圆的关系。
3. 第3周：讲解正多边形的计算方法。
4. 第4周：实际问题中的应用练习。
九、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生反馈调整教学策略。
2. 考虑如何更好地引导学生发现正多边形与圆的内在联系。
3. 评估作业难度，确保作业能够有效巩固所学知识。
十、拓展与延伸1. 引导学生探究正多边形在现实生活中的应用。
2. 介绍正多边形的相关历史背景和文化意义。
数学教案-正多边形和圆_九年级数学教案_模板
数学教案－正多边形和圆_九年级数学教案_模板教学设计示例1教学目标：（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法．教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．教师组织学生进行，并可以提问学生问题．（二）正多边形的概念：（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．（三）分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？（四）多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．我们以n=5的情况进行证明．已知：⊙O中，= = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．证明：（略）引导学生分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．（五）初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2．求证：正五边形的对角线相等．3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．（六）小结：知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力（七）作业教材P172习题A组2、3．教学设计示例2教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．教学活动设计：（一）提出问题：问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？（二）实践与探究：组织学生自己完成以下活动．实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．) （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（三）拓展、推理、归纳：（1）拓展、推理：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．（2）归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．正五边形的各顶点共圆．正五边形有外接圆．圆心到各边的距离相等．正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．（3）巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．（四）正多边形的性质：1、各边都相等．2、各角都相等．观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．（五）总结知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．能力：探索、推理、归纳等能力．方法：证明点共圆的方法．（六）作业P159中练习1、2、3．教学设计示例3教学目标：（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．教学难点：综合运用知识证题．教学活动设计：（一）知识回顾1．什么叫做正多边形？2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于．5．正多边形的有关的定理．（二）例题研究：例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．求证：五边形ABCDE是正五边形．分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．教师引导学生分析，学生动手证明．证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．∴∠BAO=∠OCB．又∵OB=OB∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．∴五边形ABCDE是正五边形．证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．∠B=∠C ∠1=∠2 = ．同理= = = ，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
正多边形与圆 第1课时正多边形的概念正多边形与圆的关系 教案 沪科数学九年级下
24.6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念正多边形与圆的关系一、教学目标1.理解正多边形的概念,初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理.2.能根据定理通过等分圆的方法画正多边形和用量角器和尺规作图的方法等分圆.二、教学重点及难点重点：了解圆与正多边形的关系；掌握用量角器等分圆心角来等分圆,从而得到正多边形和用尺规作圆内接正方形和正六边形的方法.难点：对正n边形中“n”的接受和理解.三、教学用具多媒体课件．四、相关资源图片《引入》、图片《切线长》、图片《习题2》、图片《习题3》、图片《答案》五、教学过程【课堂导入】教师：将一个圆分成五等份,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗？如果是,证明你的结论.如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论.将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n 边形.插入图片《引入》设计意图：创设情境，引入课堂内容【新知讲解】1.正多边形的概念：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形.观察理解证明过程,得出结论.将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.师：根据上述定理,我们可以通过等分圆周的方法画正多边形,请同学们思考：如何用量角器等分圆？利用等分圆周作正多边形．设计意图：通过练习，使学生掌握正多边形的概念正多边形与圆的关系【知识点解析】正多边形和圆，本微课资源针对正多边形和圆进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。
【典型例题】例1如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．插入图片《习题1》(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝3∶2；(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是3∶2，所以S1∶S2＝3∶4.设计意图：通过练习，灵活运用正多边形的概念正多边形与圆的关系【随堂练习】1．证明.已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且AB＝BC＝CD＝DE＝EA,TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线.求证：五边形PQRST是⊙O的外接正五边形.证明连接OA、OB、OC,则∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB.∵TP、PQ、QR分别是以点A、B、C为切点的⊙O的切线,∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ,∴∠P AB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB.又∵AB＝BC,∴AB＝BC,∴△P AB≌△QBC.∴∠P＝∠Q,PQ＝2P A.同理可得∠Q＝∠R＝∠S＝∠T,QR ＝RS ＝ST ＝TP ＝2P A .∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切,∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形插入图片《习题2》2.如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．插入图片《习题3》 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．插入图片《答案》 设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对正多边形的概念正多边形与圆的关系知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结【知识点解析】正多边形，此知识卡片概括出正多边形及正多边形与圆的相关性质。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。
2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.圆的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。
3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。
4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。
2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。
提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。
展示圆的性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。
华东师大版九年级数学下册《正多边形和圆》教案-新版
（1）图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）
（2）任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？跟边数有何关系？
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
（3）正n边形的每个内角等于多少度？每个外角呢？
2、探索正多边形与圆的关系
（1）你能借助量角器，利用圆来画正三角形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？…….学会利用量角器等分圆周的方法画正多边形。
（2）引入圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心的概念。
4、探索用直尺和圆规作出正方形，正六多边形的方法。
（1）作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（然如何作正八边形？作正十六边形？……）
（2）作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（任何作正三角形？正十二边形？……）
《正多边形和圆》教案
教学目标
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形。
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形。
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
教学重点
正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
教学难点
利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
（2）已知：如图，正五边形，求作：正五边形的外接圆和内切圆。(要求：保留痕迹，不写作法)
五、课堂小结
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
九年级数学下册《正多边形与圆》教案、教学设计
2.强调正多边形在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
-总结：“通过今天的学习，我们知道了正多边形与圆之间有很多有趣的关系。这些知识不仅可以解决数学问题，还可以应用于我们的日常生活。”
3.鼓励学生继续探索正多边形与圆的奥秘，为下一节课的学习打下基础。
4.培养学生的空间想象能力，通过观察正多边形与圆的关系，提高学生的图形感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下方法与过程：
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现并提出问题，激发学生的学习兴趣。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在自主探究、合作学习中发现正多边形的性质，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握正多边形与圆的关系：
1.通过动态演示，引导学生观察正多边形与圆的相互关系，发现正多边形的半径、边长、中心角之间的关系。
-解释：“正多边形的每个内角都相等，外角也相等。当我们把正多边形的外接圆画出来时，可以发现圆的半径与正多边形的边长有一定的关系。”
-设计与生活相关的题目，如城市规划中的正多边形地砖铺设，让学生在解决问题的过程中应用所学知识。
4.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-基础题：主要针对正多边形的基本性质和简单计算。
-提高题：涉及正多边形与圆的综合应用，以及解决实际问题的能力。
5.开展课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的思考过程和解题策略，促进知识的内化和深化。
3.培养学生的审美情趣，让学生感受正多边形与圆的和谐美，激发学生对美的追求。
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正多边形和圆(一）一．内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。
实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。
掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。
在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n 和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn= ；②a n=2R n·sin ；③r n=R n·cos ；④+ ；⑤P n=na n；⑥S n= P n r n；⑦S n= n sin .（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2、准确记忆相关公式。
在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L 表示弧长，则有：①圆周长：C=2πR。
②弧长：L=③圆面积：S=πR2④扇形面积：S扇形= = LR⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△（2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△（3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积二．例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A、B、C、D、解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，又∵∠FAG=60°，故选B。
说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm, 的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。
解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= ,∴OA= , OB= .又∵AB=OB-OA,∴12= - ,∴α=60°,∴OA= =18, OB= =30.∴阴影部分的面积为：- = =96π说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证.证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图∵OM⊥AB,ON⊥BC,……,∴S△OAB= OM·AB＝R·AB,= ON·BC＝R·BC……,S△OBC∴正多边形ABCD……面积为S= R(AB+BC+……)= R·P.说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。
例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。
分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长2πr，及弓形的弧AB的长，找到r与⊙O的半径R的关系，结论易证。
证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r，∵∠AOB=120°，∴的长= ×= πR，又∵∠OAB= (180°-120°)=30°，∴OC= OA= R,r= (OD-OC)= (R- R)= R,∴又⊙O1的周长=2πr=2π·R= πR,∴⊙O1的周长等于弧长的.例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,而S扇形OAB= =12π(cm2),∴S△ACO= ×6×3·sin60°= (cm2),∴S阴影ABC=(12π- )cm2.说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与S DAOC的差，也可以折分为S DABC与S弓形AB 的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。
例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。
解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切⊙O的内接正三角形的一条边长,过O点作OE⊥CD于E,分别连结OA、OB、OC、OD.∴OC=R,AB=a6,BC= a6,∠BOC=30°,CD=a3,CE= a3,OE=r3,∠COE=60°,∵S6=6·S△OAB,∴S6=6×a6·OC=6 ,∵OC=BC·cot30°,∴OC= a6,∴6×a6·a6=6 ,∴a6=2,∴OC= ,∵OE=OC·cos60°,∴OE= ,∵CE=OC·sin60°,∴CE= ,∴CD=2CE=3,∴S3=3×CD·OE,∴S3=3××3×= .说明:(1)此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形.(2)因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且∠AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+ )和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积)解:连结OP ，∵ PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B, ∴ ∠OAP=∠OBP=90°, 又PA=PB,AO=BO∴ Rt △PAO ≌Rt △PBO,∴ Rt △PAO 的面积= ×四边形PAOB 的面积=8 .又Rt △PAO 的面积= ×AO ·PA,∴ OA ·PA=16 . 已知OA+PA=×8(1+)=4(1+ ).∴ OA 、PA 为方程x 2-4(1+ )x+16=0的两根，解得x 1=4，x 2=4 ，但∠AOB 是钝角，∴ PA>OA,∴ PA=4,OA=4.在Rt △PAO 中,tan ∠POA= = .∴ ∠POA=60°,∠AOB=120°, 扇形OAB 的面积=×42π=π.∴ 劣弧AB 与两切线所夹部分的面积为16 - π.说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB 的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形. 例8.如图,∠AOB=90°,AC ∥OB,OA=1, 是以O 为圆心的弧, 是以A 为圆心的弧,求图中阴影部分ABC 的面积.分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？ 解:连结AB,∵ △AOB 为等腰直角三角形, ∴ AB=,∵ ∠C=90°,OA=OB=1, ∴ S 扇形OAB = πR 2= , S 扇形ABC =π()2=,S 弓形AmB =S 扇形OAB -S △AOB = - AO ·BO=-.S 阴影=S 扇形ABC -S 弓形AmB= -( - )=说明：（1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。
（2）进行分析时，一般注意：第一：求阴影部分的面积，因不是一个规则的图形，不易直接求，需要从整体结构进行分析，将图形分解，转化为规则的能操作的基本图形，运用好面积的割补方法。
第二：求阴影部分的面积，可转化为先求空白部分的面积，再进行面积的加减运算。
测试选择题1．已知两圆的直径分别为20cm和8cm，一条外公切线为8cm，则这两圆的位置关系是（）A、相离B、外切C、相交D、内切2．下列说法正确的是（）A、各边相等的圆外切多边形是正多边形；B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；C、任何一个正多边形绕中心旋转，都与原来的正多边形重合；D、任何正多边形都相似。
3．如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个正多边形的边数为（）A、16B、18C、20D、224．正六边形的边长为1，则它的面积为（）A、3B、2C、3D、5．正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是（）A、1∶B、2∶C、∶1D、∶26．如图，已知点A在两个同心圆的大圆上，ABC是小圆的割线，且AB·AC=8，则圆环的面积为（）A、4πB、8πC、12πD、16π7．扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为（）A、7cmB、cmC、(14+7 )cmD、7 cm8．扇形的圆心角是150，面积是60πcm2, 则扇形的弧长为（）A、6πcmB、8πcmC、10πcmD、12πcm9．正三角形的边心距、半径和高的比是（）A、1∶2∶3B、1∶∶C、1∶∶3D、1∶2∶10．如图3，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b, 则a与b之间的关系是（）A、a=bB、a=nbC、a= bD、a=πb答案与解析答案：1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C9.A10.A 解析：1.关键是求出O1O2，∵O1O22=(R-r)2+82=36+64=100，∴O1O2=10，R+r=14，R-r=6，则R-r<O1O2<R+R∴两圆相交。
2.选项为C。
反例：A，菱形各边相等，四边可以与同一圆相切，但不是正四边形。
B，正三角形不是中心对称图形。
D，边数不同，不可能相似。
3.设正多边形边数为n，外角和为360°，内角和为(n-2)·180°，则一个外角度数为，一个内角，∴= ·∴n=22。
6.如图：作AE切小圆于E，连AO，OE，则AE2=AB·AC=8，S圆环=OA 2π-OE2π=(OA2-OE2)π=AE2π=8π。