参数方程终结版教案

x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.
x2 y2 1 上求一点M，使点M到直线 11、 在椭圆 9 4
分析：直接用直角坐标，则点M(x，y)到直线x+2y-10=0的距 离的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一 个变量，但是表达式比较复杂。因此，考虑用椭圆的参数方 程求解.
其圆心为C（ 1， 2），半径为2. 由于圆心到直线l的距离d = 3 1 4 2 12 （ ） 32 42 7 2 5
故直线l与圆C的公共点个数为2
x2 y2 7、设x=3cosφ，以φ为参数，求椭圆 1 9 4 的参数方程. 分析：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参
了防止转化过程中出现范围的变化，可以先由参数方程讨论x，
y的变换范围， 再对方程进行转化；从普通方程化为参数方程，必须先指定参
数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同一个普通方程，由
于选择的参数不同，得到的参数方程也不同.
2.通过求过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程，应进 一步明确参数方程中参数的几何意义. 由直线l的倾斜角α可得，直线l的单位方向向量（单位长度 与坐标轴的单位长度相同）是e=(cosα,sinα).设M(x，y)为直
参数方程
知识梳理
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐
标x，y都是某个变数t的函数
x f (t ) (*) y g (t )
并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点
M(x，y)都在这条曲线上，那么方程（*）就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程
叫做普通方程.
2.圆的参数方程
圆(x-x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2的参数方程为 x=x0 r cos , ( 为参数） y y0 r sin 特别的，圆心在原点，半径为r的圆x2 +y 2 =r2的参数 x=r cos 方程式 , ( 为参数） y r sin
数与x，y中之一的函数关系.
9 cos 2 y 2 解析： x 3cos 代入椭圆方程，得到 把 1 9 4 所以y 2 4(1 cos 2 ) 4sin 2 , 即y 2sin . x2 y 2 由参数的随意性，可取y 2sin , 所以椭圆 1 9 4 x 3cos 的参数方程是 (为参数） y 2sin
法有代入法，加减（或乘除）消元法，三角代换法等.消参时应
特别注意参数的取值范围对x，y的限制. 由参数方程化为普通方程一般是唯一的.
（2）由普通方程化为参数方程——选参数，参数选法多种多
样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的.
x 1 t (t为参数） 1.（2009年天津卷）设直线l1的参数方程为 y 1 3t
答案：
3 10 5
x 1 2t 2.(2009年广东卷）若直线l1 : (t为参数）与直线 y 2 kt x s l2 : ( s为参数）垂直，则k = y 1 2s
解析：直线l1 : kx 2 y k 4, 直线l2 : 2 x y 1, l1和l2垂直， 2k 2 0， k 1.
直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为_________
x 1 t 解析：直线l1的参数方程 , (t为参数） y 1 3t x 1 y 1 化为普通方程是： , 1 3 即3 x y 2 0, 又l2 : 3 x y 4 0 由两平行线间距离公式知： d= c1 c2 a 2 b2 4 (2) 10 3 10 5
x 3cos 因为椭圆的参数方程为 (为参数） y 2sin 所以，可设点M的坐标为(3cos , 2sin ).
由点到直线的距离方程，得到点M到直线的距离为 3 4 5( cos sin ) 10 3cos 4sin 10 5 5 d 5 5 1 5cos( 0 ) 10 5 3 4 其中，0满足 cos 0 ,sin 0 . 5 5 由三角函数性质，当 0 0时，d 取最小值 5，此时 9 8 3cos 3cos 0 , 2sin 2sin 0 5 5 9 8 所以，当点M位于（ ，）时，点M与直线x+2y-10=0 5 5 的距离取最小值 5。
5、（2009年宁夏海南卷）已知曲线C1 :
x 4 cos t x 8cos (t为参数），C2 : ( 为参数） y 3 s通方程，并说明它们分别表示什
么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=π/2,Q为C2上的动点，求 PQ中点M到直线C3：
x x0 t cos (t为参数） y y0 t sin
于是参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离. 由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义，所以在解决 直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来 解决，方便了很多.
x x0 at (2)点斜式 (t为参数） y y0 bt
点评：如何恰当地选择参数，成为解决这类问题的关键.
10、如图所示，经过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O任作两条互 相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率为参数，求线段AB 的中点M的轨迹的参数方程. 解析： 依题意可得：直线OA的方程为y kt
1 直线OB的方程为y t k
y kx 2p 2p 解方程组 2 , 得点A的坐标为（ 2 , ); k k y 2 px 1 y x 2 解方程组 k , 得点B的坐标是（2 pk , 2 pk ) y 2 px 2p 2 pk 2 p k2 设点M的坐标是（x,y),则x= 2 pk 2 2 k 2p 2 pk p y k pk 2 k 所以，线段AB的中点M的轨迹的参数方程 x p pk 2 k2 p y pk k
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时， OM0转过的角度.
3．椭圆的参数方程
x2 y2 中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆 2 2 1( a b 0) a b x a cos 的参数方程是 (为参数） y b sin 其中参数的取值范围是 [0, 2 ).
点评：本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子，可以感 受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用.利用参数方程， 一方面椭圆上的点的坐标只含有一个参变量，距离表达式得到
简化；另一方面，可以用上三角变换，从而拓广了解决问题的
途径.
1.普通方程是相对于参数方程而言的，适当选择参数，普通方 程可以化为参数方程；同样地，消去参数，参数方程就化为普 通方程. 需要注意的是，在化参数方程为普通方程时，坐标x，y的取值 范围不能扩大或缩小，即对应曲线上点的坐标不能有增减，为
x 2 cos , ( 为参数） y 2sin
动.所以，点M的运动可以看成是由
角θ决定的.于是，选θ为参数是合 适的.
解析：设点M的坐标是(x，y)，∠xOP=θ，则点P的坐标是
(2cosθ，2sinθ).由中点坐标公式可得
2cos 6 2sin cos 3, y sin 2 2 x cos 3 所以，点M的轨迹的参数方程是 ( 为参数） y sin x
x 3 2t (t为参数） y 2 t
距离的最小值.
解析： （1）C1：(x+4)2 ( y 3) 2 1,
x2 y 2 C2 : 1 64 9 C1为圆心是（ 4， 3），半径是1的圆。 C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短 半轴长是3的椭圆。 （2）当t= 时，P(-4,4),Q(8cos ,3sin ), 2 3 故M(-2+4cos ,2+ sin ) 2 C3为x-2y-7=0, M到C3的距离d= 5 4 cos 3sin 13 5
4．双曲线的参数方程
3 其中参数的取值范围是 [0, 2 ), 且 ， 2 2 1 （注意： sec ) cos
x2 y 2 中心在原点O,焦点在x轴上的双曲线 2 2 1(a b 0) a b x a sec 的参数方程是 (为参数） x b tan

5．抛物线的参数方程
开口向右，焦点在x轴上的抛物线y 2 2 px x 2 pt 2 的参数方程是 (t为参数） y 2 pt 其中参数t 表示抛物线上除定点外的任意一点与原点 连线的斜率的倒数，其范围为： t (, )
6．直线的参数方程 直线参数方程的几种形式 （1）标准式 直线经过点M0(x0，y0），倾斜角为θ的直线的参数方程为 其中，t是直线上的定点M0（x0，y0）到动点M（x，y） 的有向线段 M 0 M 的数量，即 M0 M = t ，当点（x，y）在点 （x0，y0）的上方时，t＞0； 当点（x，y）在点（x0，y0）的 下方时，t＜0，当点（x，y）与点（x0，y0）重合时，t=0，以 上反之亦然.
x 2 pt 2 是抛物线y 2 2 px( p 0)的参数方程。 y 2 pt x 2 pt 2 答案： （t是参数） y 2 pt
9、 如图所示，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参数方程. 分析：取∠xOP=θ为参数，则圆O 的参数方程是 当θ变化时，动点P在定圆O上运动， 线段PQ也随之变动，从而使点M运
答案：-1