矩阵论 第7讲
矩阵理论-第七讲
由内积的
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-5
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 det A 12 L n 0 易知
矩阵理论-第七讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
• 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基 AH A I
• 酉相似下的标准形
AH A1
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
U Cnn U 1 U H
U 1AU U H AU T
是Cn
上的向量范数。如果
ACnn x Cn
都有：
Ax A x
v
m
vБайду номын сангаас
则称矩阵范数 g m 与向量范数 gv 是相容的
矩阵范数中的第4条是矩阵范数与向量范数相容的必要条件：
ABx A(Bx) A Bx
v
v
m
v
因为 T sup{ Tx x : x 0}
T Tx x (x 0)
所以 AB sup{ ABx x : x 0} sup{( A Bx ) x : x 0}
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-3
Hermite矩阵的正定性
使得
U H AU diag(1, 2 , L n )
上式右边同乘以列向量：
1
y
2
M
n
左边同乘以行向量 yH，可得
矩阵论_精品文档
矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
矩阵论课件
第二章
第一节
矩阵与约当标准形
矩阵
第二节 不变因子及初等因子
第三节 约当标准形 第四节 凯莱—哈米尔顿定理 最小多项式
4 December 2014 河北科技大学
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矩阵论
第一节
定义 设 P
矩阵
为数域, 为数字，P[ ] [ ]为关于 中的元素(数)为元素的矩
4 December 2014
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定理 设 矩阵 A( ) aij
阵，且 rank( A( )) r ，则
矩阵论
m n
为非零的多项式矩
A( )
d1 ( ) d 2 ( ) r ( ) 0 J ( ) 0 0 d ( ) r 0 0 0 diag d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0 --称为 A( )的 Smith (史密斯)标准形.
矩阵论
Dn ( ) a ;
n
Dn1 ( )
4 December 2014
D1 ( ) 1.
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矩阵论
定义 把 矩阵 A( ) 的每个次数大于零的不变因子
在复数域 [ ]中分解成标准分解式，即分解成首项 系数为1的互不相同的一次因式方幂的乘积，所有 这些一次因式 的方幂 ( 相同的必须按出现次数 计 算) ，称为 A( )的初等因子.
[ ]中分解成标准分解式，所有出现的一次因式的
标准形)
方幂就是 A( )的全部初等因子.
矩阵论引论
矩阵论引论矩阵论是现代数学中的一个重要分支，它研究了矩阵及其相关性质和运算规律。
矩阵论具有广泛的应用领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学、工程学等等。
本文将介绍矩阵论的基本概念、运算规则以及其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的基本概念矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
一个矩阵由m行n列的元素组成，记作A=[a_ij]_(m×n)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素。
矩阵的大小由其行数和列数决定，可以是任意的正整数。
2. 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则，即对应位置的元素相加或相减。
数乘指的是将矩阵中的每个元素与一个标量相乘。
矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，它不同于数乘。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵，上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为0的矩阵，下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为0的矩阵。
4. 矩阵的性质和定理矩阵具有许多重要的性质和定理，如矩阵的转置、矩阵的迹、矩阵的秩等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。
5. 矩阵的应用矩阵论在实际问题中有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵论用于解线性方程组、求矩阵的逆和特征值等。
在概率论和统计学中，矩阵论用于描述和分析随机变量之间的关系。
在物理学中，矩阵论用于描述量子力学中的算符和态矢量的变换。
在工程学中，矩阵论用于信号处理、图像处理、控制系统设计等领域。
总结：矩阵论是一门重要的数学学科，它研究了矩阵的基本概念、运算规则以及其在各个领域中的应用。
矩阵论的研究为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
通过对矩阵的深入理解和应用，我们可以更好地理解和分析复杂的现象，并为实际问题的解决提供有效的解决方案。
矩阵论课件
2、向量的长度—（—f (模x),或g(范x)数） f (k)g(k)
k 1
3、Cauchy-Schwarz不等式 （常见的要记住）
Hale Waihona Puke （| ，）|| | | |
n
n
n
| ai bi |
| ai |2
| bi |2
4、施密i特1 正交化方i法1
i 1
三、向量空间的正交性
向量正交：（，） 0 正交
（1） a111 a212 am1m （2） a121 a222 am2m ：
（m） a1m1 a2m2 ammm
(（1）,（2）,（m）） (1,2 ,m ) A a11 a12 a1m
称A为线性变换 在基1，2，m下的矩阵
A
a21 :am1
a22 a2m
am2 amm
（3）酉阵的行列式之模为1 （4）酉阵的特征值之模为1
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
6、基R与2 中维，数常的用几基何i解 释(1—,0—),直j 观 (解0,释1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
矩阵论课件
矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在， 且 AA1 A1 A I ， 故当然有
AA-1 A A A-1 AA-1 A ( AA-1 )* AA-1 ( A-1 A)* A-1 A
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示．
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
第一节 和相容方程组求解问题相应的广 义逆矩阵 A
1.广义逆矩阵的定义及性质
设 线 性 方 程 组 AX b 是 相 容 的 ， 其 中
A C mn , X C n , b C m ，
则 AX b相容 b R( A) （矩阵 A 的象空间） ．
0 ，Ar 为 r 阶满 0
0 1 1 Ar 1 Q P I 0 Q r 0 0 1 Ar 令 C P , D I r 0 Q 1 0
1 1 C L D* ( DD* )1(C *C )1C * . 则 A - DR
3. 反射 g 逆
定义 设 A C mn ，若存在G C nm ，使得
（1） AGA A；
和
（2） GAG G ；
同时成立，则称G 为 A 的一个反射（或自反）广 义逆矩阵，简称为反射 g 逆，记作： Ar ，其全体 记作： A{1, 2}．
4 December 2014
河北科技大学
（4） 若G1G2 A{1}，则G1 AG2 A{1, 2}；
（5） A{1, 2} A{1}；
R
L
4 December 2014
矩阵论浙大研究生第7讲
矩阵论2015年秋学期第七讲2015年10月12日第3章矩阵微分第4章梯度分析与最优化矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵实解析函数：对于实变量域内都是实解析的，但对于复变量不一定是复解析（全纯）的。
复解析在现代数学中常用“全纯”代替，复解析函数常称为全纯函数。
2矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵3矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵形式偏导定义实部与虚部的独立性假设4矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵单个复变量的微分复变元向量的微分单个复变量的梯度5矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵标量函数的梯度向量和共轭梯度向量其中梯度算子共轭梯度算子6矩阵论－梯度分析与最优化梯度分析与最优化-实变量函数无约束优化的梯度分析最优化：极大值或极小值主要讨论：☐极值存在的条件（梯度分析）☐优化算法的设计以及收敛性分析典型的优化问题无约束优化问题：通过松弛和逼近的思想迭代求解优化问题中需产生松弛序列7矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析利用松弛和逼近，可实现以下目的：8矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析单变量函数的平稳点与极值点全局极小点严格全局极小点（开）领域闭领域9正数矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析单变量函数的平稳点与极值点：极小值（或极大值）5101500.511.52-50510020406080（弱）局部极小点严格局部极小点10局部极小点/局部极大点矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析单变量函数的平稳点与极值点寻找极值点？11平稳点、极值点、鞍点矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析多变量函数的平稳点与极值点多变量函数无约束极小化问题邻域闭合邻域12矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析多变量函数的平稳点与极值点二阶泰勒级数逼近13矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析多变量函数的平稳点与极值点局部极小严格局部极小全局极小严格全局极小局部极小14矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析多变量函数的平稳点与极值点()f X 邻域二阶泰勒级数逼近15矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析16矩阵论－梯度分析与最优化复变函数的平稳点和极值点条件17矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析无约束最小化问题的梯度分析18矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——极值点的辨识或或则z 0为严格局部最小点19矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——闭式解梯度向量20极大值/极小值？矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——闭式解与最小二乘解具有等效性21极大值/极小值？矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析—实值目标函数的最速下降方向以复矩阵为变元的实值目标函数的平稳点存在两种选择在设计优化迭代算法时，应该选哪一种梯度？曲率定义22矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析—实值目标函数的最速下降方向23。
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第七讲
主要内容：矩阵范数，特殊的矩阵范数，矩阵范数与向量范数的关系
4.2 矩阵范数
定义4.3 对上的一个范数，
令
(1)
称是矩阵由空间上的量范数所诱
导的算子范数。
性质1 算子范数满足如下性质
(2) 定义4.4记为的全部特征值，
称为的普半径。
定理 4.2.4 对上的三个重要的向量范数
所诱导的矩阵的算子范数分
别为
(3)
(4)
(5) 证明 ，
所以。
另一方面，设，
取，，其余分量
均为零，则，，
从而(3)真。
注意到是一个半正定Hermite矩阵，
设其特征值为，相应的
规范正交化特征向量为，记
，则是一个酉矩阵，且。
从而
，
所以。
另一方面，取是相应于的最大特征值
的特征向量，且，则
从而(4)真。
，
所以。
另一方面，设，
取，则
，且
从而(5)真。
定义 4.4 上的一个矩阵范数是指
满足(2)中。
若还存在
上的一个向量范数使得(2)中成立，则称
该矩阵范数和向量范数相容。
定义4.5 ，是上的一个
矩阵范数，若则称按
范数收敛到，记。
性质 与范数的选取无关，等
价于按分量收敛。
定理 4.2.5 上的每一个矩阵范数都存
上与之对应的相容的向量范数。
证明 取，对上的矩阵范数
，令，则就是上的一
个与矩阵范数相容的向量范数（课堂练习：
验证这一论断）。
由证明可知，一个矩阵范数可以和无数个向量范数相容。
每一个向量范数又可以引导出相应的算子范数，显然这算子范数不一定
就是原来的矩阵范数。
例1 （Frobenius范数）对,定义
(6) 证明是一个矩阵范数，求出一个与之相
容的向量范数。
证明 易见满足(2)的，下面验证。
. 即三角不等式。
为此将按列分块，则(6)
可改写为，从而
. 即相容性。
首先注意到
即
(7)
从而对任意，
所以。
最后，取，则由定理
4.2.5可得与相容的一个向量范数
///
注： 取，则由定理4.2.5可得与相容的一个向量范数
取，则由定理4.2.5可得与
相容的一个向量范数
注： 由例1知道是与相容的一个向量范数，由定理4.2.4知
道向量范数所引导的矩阵的算子范数为
，它不等于。
习题 p88 ，6，7，8，9
Fun Note
弗罗6—德格丁选为包括用到von Gru 等。
不变来悬数和等。
中。
罗贝尼乌斯—1917.8.3德国数学家丁根学习数为柏林普鲁括伽罗瓦理到二次型的n vertaus uppen ，1论述的核变因子和初悬而未决的和发散级数其主要论
斯 FRO 3
家。
生于柏林数学。
1870鲁士科学院院理论的置换群复合与加法chbaren 895)和《群核心是群的特初等因子的性问题。
另外数等方面也有
论文收集在BENIUS,F 林，卒于柏0年获博士学院士。
他的群;②几何，法群。
代表Elemente 群特征标》特征理论，性质。
这种理外，他在超复有建树。
其著
《弗罗贝尼Fer dinan 柏林夏洛滕堡学位，187的研究涉及群与有穷和表作有《关于en ，1879)(U-ber d 为此引入理论有着广复数系，微著作还有《可尼乌斯全集》d Georg 堡(Ch arlo 74年任柏林群论的三个和无穷变换群于可换元素)、《有限群die Grupp “秩”的概念广泛的适用性微分方程的级可换群》(18》(3卷，11849. 10ottenburg 林大学教授个方面：①代群及李群相素群》(Ueb 群》(Uber encharak 念。
还研究了性，解决了级数解、解879)和《有968，施普. )。
1867年授。
1893年代数方程的相联系;③数ber Gru pp r endliche ktere ，18了特征多项了一大批长期解析函数的幂有限群》(18普林格出版年在年当的解，数论，pen e 96)项式，期以幂级895)版社)。