第 5 讲 线性变换 (2)

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定义3.16和定理3.3.13。
定义3.16 A(������ሻ中非零的全部k阶子式的最(大)高公因式(首
一)称为A(������ሻ的k阶行列式因子,记为������������ ������ ,且则������������ ������ =
������������ ������ ������������−1 ������
������������ 1

称为Jordan块矩阵,������1, ������2, ⋯ , ������������是
1 ������������ A的特征值,可以是多重的。
CQU
4
Jordan 标准型
说明: ������������(������������ሻ中的特征值全为������������,但是对于不同的i,j,有可能������������ =
其它五阶子式均含 ������ − 2 因式,故������5(������ሻ = (������ − 2ሻ。
特征值行列式为������6(������ሻ = ������ − 2 3 ������ − 4 3,从而有
������1(������ሻ = ������2(������ሻ = ������3(������ሻ = ������4(������ሻ = 1,������5(������ሻ = (������ − 2ሻ,
阶子式为。
������ − 2 0 1 1
−1 0 0 1 ������ − 4 −1
1 0
= − ������ − 4 2
0
0 0 ������ − 4
这两个子式的公因式为1,故������4(������ሻ = 1, ⇒ ������1(������ሻ =
������2(������ሻ = ������3(������ሻ = 1。
CQU 再根据不变因子得出������(������ሻ 的Smith标准型。例7见教材。
13
Jordan 标准型
将每个不变因子化为不可约因式,这些不可约因式称
为������(������ሻ的初等因子,全体初等因子称为初等因子组。例如:
������1(������ሻ = ������ − 2 2(������ − 3ሻ → ������ − 2 2和(������ − 3ሻ ������2(������ሻ = ������ − 2 2 ������ − 3 5 → ������ − 2 2和 ������ − 3 5 注1:初等因子有可能相同,如上应包括两个 ������ − 2 2。
CQU 注:行变对应于左乘、列变对应于右乘一个矩阵。
8
Jordan 标准型
定义(P47) 若多项式矩阵������(������ሻ通过有限次初等变换变为
������(������ሻ,称������(������ሻ与������(������ሻ等价,记为A(������ሻ ≅ ������(������ሻ。
都可以通过初等变换化为一个多项式对角矩阵,即:
������1(������ሻ
0
������2(������ሻ

������(������ሻ →
������������(������ሻ
0

0
0
CQU
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Jordan 标准型
其中,多项式������������ ������ 是是首一多项式(首项系数为1,即最 高幂次项的系数为1),且������1 ������ |������2 ������ ,������2 ������ |������3 ������ ,…, ������������−1 ������ |������������ ������ .即������������ ������ 是������������+1 ������ 的因式。 此对角阵称为������(������ሻ 的Smith标准型。
矩阵理论及其应用
第五讲 线性变换(2)
李东 重庆大学 数学与统计学院
CQU
本节内容
Jordan 标准型 Hamilton‐Cayley定理 最小多项式 正交变换、酉变换
CQU
2
Jordan 标准型
Problem:矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似? Solution: 理想情况下:A为对角形 并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形理论。 复数域上的矩阵相似最简形---Jordan标准形的应用
(2)写出各Jordan块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan块矩
������������ 0
0
阵) ������ − ������������ ������������ → ������������(������������ሻ = 1
������������ ⋱
⋱ ⋱
0

0
1 ������������ ������������������������
定理3.3.11 设A和B是两个数字方阵,则������~������的充分必要
条件是������������ − A ≅ ������������ − ������。
CQU
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Jordan 标准型
定理3.3.12(*) 任意一个秩为r的������ × ������ 的多项式矩阵������(������ሻ
称 ������(������ሻ =
������21(������ሻ ⋮
������22(������ሻ ⋮
⋯ ⋱
������2������(������ሻ ⋮
为 ������ 的多项式矩阵,
������������1(������ሻ ������������2(������ሻ ⋯ ������������������(������ሻ
CQU
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Jordan 标准型
解:(方法一)写出特征矩阵
������ − 2 −1 0
−1 ������ − 2 0
(������������ − ������ሻ =
1 0
1 ������ − 4
1
0
0
0
0
−1 0
0
1 0 −1 ������ − 3 0 0
1 1 0 −1 ������ − 4 1
������������,即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。
Jordan标准形是唯一的,这种唯一性是指:各Jordan块矩
阵的阶数和对应的特征值是唯一的,但是各Jordan块矩
阵的位置可以变化。
CQU
5
Jordan 标准型
二、多项式矩阵(������矩阵)
������11(������ሻ ������12(������ሻ ⋯ ������1������(������ሻ
证明:(略)
注:多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换而变,
故称������������ ������ 为不变因子。
CQU
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Jordan 标准型
例6.(P48)用初等变化求出������矩阵������(������ሻ 的Smith标准型。
为了更加灵活地求出������矩阵的Smith标准型,给出如下
CQU
3
Jordan 标准型
Байду номын сангаас
一、 Jordan标准形的定义与存在定理
任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形:
������1(������1ሻ
0
������ =
������2(������2ሻ
.

0
������������(������������ሻ
������������
其中������������(������������ሻ = 1
6
Jordan 标准型
定义3.14 若������(������ሻ是一个n级������方阵,若存在n级������方阵������(������ሻ,使 得������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ = ������,称������(������ሻ是可逆������矩阵,并称 ������(������ሻ是������ ������ 的逆阵。
定理3.3.9:一个n级������方阵������(������ሻ可逆的充分必要条件是|������ ������ |
为非零常数。
注:逆阵唯一。
CQU
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Jordan 标准型
三、多项式矩阵的初等变换 初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下形
式上变得简单。 互换两行(列) 以非零常数乘以某行(列) 将某行(列)乘以������的多项式加到另一行(列)。
CQU
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Jordan 标准型
四、Jordan标准形的求法
(1) 求出特征矩阵 ������������ − ������ 的初等因子组,设为 ������ − ������1 ������1、
������ − ������2 ������2、…、 ������ − ������������ ������������。
其中矩阵元素������������������ (������൯为������的多项式。 定义3.13 若������矩阵������(������ሻ有一个r (������ ≥ 1)级子式不恒为0,而所有
CQU 的������ + 1级子式全为0,则称������(������ሻ的秩为r,记为rank������(������ሻ=r(A)=r。
,������0
������
= 1。。
CQU
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Jordan 标准型
定理3.3.13 若A(������ሻ ≅ ������(������ሻ,则������(������ሻ与������(������ሻ有相同的秩和 行列式因子。
于是,求������(������ሻ 的Smith标准型既可以通过有限次初等变 换得到,又可采用通过行列自因子得到不变因子:
定理3.3.10 两个������ × ������的多项式矩阵������(������ሻ、 ������(������ሻ等价的
充分必要条件是存在可逆������阶������(������ሻ阵和n阶Q(������ሻ阵,使得
������ ������ ������ ������ Q ������ = ������ ������ 。
(2) ������(������ሻ与������(������ሻ具有相同的Smith标准型
(3) ������(������ሻ与������(������ሻ具有相同的各级行列式因子
(4) ������(������ሻ与������(������ሻ具有相同的不变因子
(5) ������(������ሻ与������(������ሻ具有相同的秩及初等因子
0 −1 1 0 0 ������ − 3
第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为。
������ − 2 −1 1 0
−1 ������ − 2
1 1
1 0 −1 ������ − 3
1
1 0
= (������ − 2ሻ(3������ − 4ሻ
−1
CQU
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Jordan 标准型
第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四
注2:对于数字矩阵A,������������ − ������的初等因子就是A的初等因
子。例8-9见教材
CQU
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Jordan 标准型
定理3.3.14 若������(������ሻ与������(������ሻ都是������ × ������ 的多项式矩阵,则下
列命题等价。
(1) A ������ ≅ ������ ������
第1、2、3、4、6行与第1、2、4、5、6列交叉的元素
形成的五阶子式为
CQU
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Jordan 标准型
������ − 2 −1 1 1 0
−1 ������ − 2 0 1 −1
1
1 −1 0 1 = 4 ������ − 2 3
0
1 ������ − 3 −1 0
−1 0
0 1 ������ − 3
������6(������ሻ = ������ − 2 2 ������ − 4 3
CQU
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Jordan 标准型
初等因子组为 ������ − 2 , ������ − 2 2, ������ − 4 3。相应的
Jordan块为
2

2 1
0 2

4 1 0
0 4 1
0 0。
4
2
0
2
Jordan标准形为
CQU
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Jordan 标准型
������1
0
(3) 合成Jordan矩阵:������ =
������2 ⋱

0
������������
2 1 0 −1 −1 0
1 2 0 0 −1 1
例:求矩阵������ =
−1 0
−1 −1
4 0
1 3
0 1
−1 0
的Jordan标准形。
0 000 4 0 1 0 0 0 −1 3
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