(一)线性变换的基本性质
线性变换的基本性质
点和线是构成平面图形的基本元素。
自然地，我们就会提出问题： 直线在线性变换作用下变成什么图形呢？
第一环节：请同学们自主学习； 第二环节：师生共同探究。
线性变换的基本性质
性质 1（运算律） 设 A 是一个二阶矩阵， ， 是平面上 的任意两个向量， 是一个任意实数，则 （1） ； （2） .
定理 1 设 A 是一个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个 向量， 1 ， 2 是两个任意实数，则
1 2 1 2 .
教材是用什么方法得出上述结论的？
从特殊到一般，再对一般结论给出逻辑证明。
问题： 直线在线性变换作用下变成什么图形呢？
第一环节：请同学们自主学习； 第二环节：师生共同探究。
2. 教材第 27 页习题 1.3 第 2 题
反思学习：
1.本节课你学到了什么知识？ 2.我们是怎样得到线性变换的基本性质的？有什么特 别值得注意的地方？ 3.从数学思想与方法上，你还有哪些收获？ 4.拓展探究：具有什么性质的线性变换才把直线变成 直线？ （可逆的线性变换，请查阅资料）
分层作业：
基础题：教材第 27 页习题 1.3 第 1、3 题
提高题：如图，向量 OA 、 OB 在矩阵 M 对应的 线性变换作用下分别变成 / OA 、 OB/ ． （Ⅰ）求矩阵 M ； （ Ⅱ ） 求 y sin( x ) 在 3 M 对应的线性变换作用下 的函数解析式．
线性变换键是把直线表示成向量的形式。
（1）对于任意两个不同向量 ， ，由它们的终 点所确定的直线 l 可表示为： 1 2 ，其中
1 , 2 是实参数，且 1 2 1 .
第八章 线性变换(第一讲)
(k )( ) k ( ), V .
kσ亦可记为σk，易证. kσ= k* σ.
对于线性空间V的变换σ ，定义它的负变换-σ为
- σ=（-1）σ 对于任意的α∈V ，便有
( )( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ).
定义1.3 对于线性空间V的变换σ ，若有V的变换τ ，使
(0) (0 ) 0 ( ) 0.
( ) (1) (1) ( ) ( ).
性质2 线性变换σ保持线性组合关系，即对V中任意向 量α1，α2 ，· αs及数域F中任意数k 1， k2 ，·， k s， · · · · 总有
(k11 k2 2 ks s ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) ks (s ).
又，对于V中任意向量α及F中任意数k ，有
k k ( 1 )( ) k 1 ( ) k 1 ( ) .
以σ -1作用两端，得
1 (k ) k 1 ( ).
综上，知σ -1为线性变换，从而是可逆线性变换. 可逆线性变换性质良好，应用广泛，在线性变换中居 于重要地位.
则τ是一个线性变换.
证明 首先τ显然是一个变换.又对R[x]n中任意的多项 式f(x),g(x)及任意k∈R的，有
1)
d f ( x) g ( x) f ( x) g ( x x) f ( x) g ( x) ; dx dx d d 2) kf ( x) kf ( x) k f ( x) k f ( x). dx dx
上述定义中1）、2）两条所表明的σ的性质，通常称 为保持加法、保持数乘，合起来称为保持线性运算.线性 变换就是保持线性运算的变换. 容易验证，恒等变换，零变换及数乘变换都是线性变
2。2线性变换的基本性质
§2.2线性变换的基本性质教学目标:一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。
三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。
增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。
教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 称为二阶矩阵。
特别地，称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。
称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。
（2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。
同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。
2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dycx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性变换。
（2）旋转变换坐标公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ααααcos sin sin cos （3）反射变换①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==yy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y y x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110； （4）伸缩变换坐标公式为⎩⎨⎧==yk y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210k k ； （5）投影变换①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==yy x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000 （6）切变变换①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s 二、新课讲解定理1 设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。
线性变换的基本概念与定理
R X(t) R
温敏电阻
Y(t)
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换 线性变换、非线性变换
X (t )
线性放大器 线性滤波器
2 T × β ( )
Y (t )
平方律检波 全波线性检波
线性变换
非线性变换
1、变换的基本概念
线性变换：设 Y (t ) = L[ X (t )] , 如果
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
X (t )
T
Y (t )
1、变换的基本概念
分类： 确定性变换、随机变换
设e1和e2分别为两个随机试验的结果，Y(t)=T[X(t)]，如果
x (t , e1 ) = x (t , e2 )
则T称为确定性变换。
y (t , e1 ) = y (t , e2 )
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换
其中 A1 ， A2 为随机变量， X1(t) ， X2(t) 为随机过 程。则称L为线性变换。 对于线性变换, 若有
Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )]
则称线性变换L是线性时不变的。
2、线性变换的基本定理
定理1： 设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 E {Y (t )} = L{E[ X (t )]}
定理2：设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 RXY (t1 , t 2 ) = Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
RY (t1 , t 2 ) = Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] = Lt1 ⋅ Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
高中数学—线性变换的基本性质
向量 则11直的线直l 的线向. 量方程为
x y
=
1 0
t
1 2
,
2.
过点 M0(x0,
y0) 且平行于向量 v =
v1 v2
的直线
l 的向量方程为: OX =OM0 tv, tR, 即
x y
=
x0 y0
t
v1 v2
,
tR,
其中 X(x, y) 是直线上的任意一点.
试利用直线的向量方程来求解下列问题:
一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线 或一个点.
如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变
换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点.
y
l
A
O
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点).
对性质 2 的证明我们简述如下:
设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使 P1P2 = lOP1 mOP2,
变换所得的①式表示的是以 Ai , Aj 为邻边的
平行四边形区域. 下面我们将对 Ai , Aj 进行讨论.
1. 恒等变换
把平面上任一点变成它本身的几何变换称为恒等
变换, 记为 I. 恒等变换公式应为
y
x y
=பைடு நூலகம்=
x, y.
1 j
恒等变换 I 对应的矩阵是单位矩阵
O i1 x
E2=
1 0
0. 1
(2) A(ab) =AaAb.
由性质 1 很容易推出下面的定理.
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上
的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则 A(l1al2b) =l1Aal2Ab.
线性代数上21线性变换与矩阵
线性空间 V 到其自身的映射通常叫做 V 的一个变换, 而线 性变换是线性空间 V 的最简单也是最重要的一种变换. 定义1 设σ : V→V 是线性空间 V 到自身的一个映射(变换), 如果 σ 保持加法及数乘运算, 即对任意 α, β∈V, 对任意常 数 k, 都有
= ∑ kx i β i = k ∑ x i β i = kσ (α ).
i =1 i 满足条件的线性变换.
13
定理5 设 α1, α2,…, αn, 是 n 维线性空间 V 的一组基, A = (aij) 是任一 n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换 σ 满足 σ(α1, α2,…, αn) = (α1, α2,…, αn)A. 证明 以矩阵 A 的第 j 列元素作为坐标构造向量 βj: βj = a1jα1+ a2jα2+…+ anjαn, (j = 1, 2,…, n). 由定理4存在线性变换 σ 使 σ(αj) = βj. 于是 σ(α1, α2,…, αn) = (β1, β2,…, βn) = (α1, α2,…, αn)A. 即有线性变换 σ 在基 α1, α2,…, αn 下的矩阵是 A. 如果 σ, τ 这两个线性变换都在基 α1, α2,…, αn 下的矩阵都 是 A, 那么 σ(α1, α2,…, αn) = (α1, α2,…, αn)A = τ(α1, α2,…, αn), 这就有 σ(α1) = τ(α1), σ(α2) = τ(α2),…, σ(αn) = τ(αn). 根据 14 定理2知 σ = τ, 所以满足要求的线性变换是唯一的.
σ(α1, α2,…, αn) = (α1, α2,…, αn)A.
(2)
n 阶矩阵 A 叫做线性变换 σ 在基 α1, α2,…, αn 下的矩阵. 其 中 A 的第 j 列就是基向量 αj 的象 σ(αj) 在这组基下的坐标.
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A( ) A A 。 （2）
定理1：设A是一个二阶矩阵， , 是平 1，2是任意两个 面上的任意两个向量， 实数，则 A(1 2 ) 1 A 2 A .
探索性质
研究 y kx b 分别在以下变换 下的像所形成的图形：
1 0 ①伸缩变换： 0 2
②旋转变换：
3 1 2 2 1 3 2 1 ③切变变换：
2 0 1
结论 性质2：二阶矩阵对应的变换（线性 变换）把平面上的直线变成直线 （或一点）。
A( ) A
探索性质
问题2：
A( ) A A成立吗？
A( ) A A成立。
结论
性质1：设A是一个二阶矩阵， , 是平 面上的任意两个向量， 是任意一个实 数，则 （1） A( ) A ；
线性变换的基本性质
复习回顾
实数的乘法运算有哪些性质？
实数的乘法运算满足交换律、结合律、 消去律。
问题1： 线性变换满足这些性质吗？
A( ) 与A是否相等呢？
探索性质
已知A= 例1、
1 0 0 2
计算 A( ) , A .
x ， ， 是任意实数 ， y