线性变换的运算
高等代数课件
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
8.2线性变换的运算一、加法及其算律
8.2 线性变换的运算V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数乘和乘法。
这样()L V 构成F 上的向量空间。
我们可以利用这些运算来研究线性变换。
20第二个手段。
在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。
在解析几何中，点与坐标的对应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。
这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而得到解决。
一、加法及其算律定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即+στ：()()+στξξξ或()()()()+=+στστξξξ.求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。
+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。
例8.2.1 设向量空间3F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，()+L V στ∈。
事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+=.a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη所以+στ是V 的一个线性变换.容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，（1）+=+σττσ；（2）()()++=++ρστρστ；（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有+=θσσ；（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射()σσ--：ξξ.σ-也是V 的线性变换，并且()+σσθ-=.命题2 σ-也是V 的线性变换。
线性变换的运算解读
一. 线性变换的加法 二. 线性变换的乘法 三. 线性变换数量乘法 四. 可逆的线性变换 五. 线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线
性空间V上的 一种运动，变 化。本节将研 究这样的运动、 变化之间的运 算，联系及进 一步的特征性 质。
证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上
的变换；且对向量加法和数乘保持不变.
, V, (A ＋B )( ) = A ( )＋B ( ) = A ( )＋
B ( ) = (A ＋B )( ) → A ＋B 是 V 上的变换.
证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持
向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β ∈V, k ∈P, A, B (α+β ) = A, (B (α+β )) = A, (B (α) +B (β )) = A, (B (α)) +A, (B (β )) = A, B (α) +A, B (β )； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 5. 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.
4) 据三角形法则, R x ( ) 2 ( ) E( ) → (R x 2 )( ) E( )
( R 3 )→ R x E － 2 . 因 E ， L(R 3 ) ， 故 R x E － 2 L(R3 ) .
三、线性变换的乘积
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
1212
第一章 线性变换 第七章 行列式
注：
① 易证
m n
,
m n
m
n
mn ,
m, n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
注：① 在 P[ x] 中，若
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 来自 k 1
( 1 )(k( 1 ( ))) k 1
1．定义 设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
4 4
注：交换律一般不成立，即一般地，
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
7 7
第一章 线性变换 第七章 行列式
例1 线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
线性变换的运算
主要内容
线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的乘积 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的和 A+ B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
可以用公式
x ( ) = - ( )
来表示 (如图 7-7 ).
因此
( )
x( )
x R x ( )
图 7-7
x = E - ,
对于平面 x 的反射
R x也是一个线性变换，且 R x ( ) = - 2 ( )
所以
R x = E - 2 .
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
三、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f ( A ) g(A ) = g( A ) f (A ) .
§2 线性变换的运算
4. 线性变换的多项式 （1）线性变换的幂 因为线性变换的乘法满足结合律，所以当 n 个 (n是正整数)线性变换A 相乘时，可以用 AA L A
n 来表示，称为A 的n次幂，简单地记作 A . 此外，作为定义，令 A 0 = E.
n个 个
上页
下页
返回
结束
指数法则： 指数法则：
AB = BA = E. −1 这时，变换B 称为A 的逆变换，记为 A . A −1也就作为映射A 的逆映射，如果它存在，当 然就是唯一的.
上页 下页 返回 结束
A −1 下证如果线性变换A是可逆的，则它的逆变换 也是线性变换.
事实上， A −1 (α + β ) = A −1[( AA −1 )(α ) + ( AA −1 )( β )]
§2 线性变换的运算
1.乘积 1.乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可 以定义乘法. 设A, B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们 的乘积 为 乘积AB 乘积 AB (α ) = A (B (α )) (α ∈ V ). 容易证明，线性变换的乘积也是线性变换.
上页
下页
返回
结束
事实上，
上页
下页
返回
结束
线性变换的多项式的简单性质 如果在多项式P[x]中， h( x) = f ( x) + g ( x), p ( x) = f ( x) g ( x), 则
h( A ) = f ( A ) + g ( A ), p ( A ) = f ( A ) g ( A ).
特别地，
f ( A ) g ( A ) = g ( A ) f ( A ).
A m+ n = A m + A n ,( A m ) = A mn .
机械原理课件-线性变换及其矩阵表示
(c) 线性变换的运算 设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们 T1 T2 x T1 x T2 x , x V . 的和为： T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换 为： (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘 变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。 注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
这是一个线性变换。来自 ( )例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换：
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间 C[a,b]上的积分变换：
J : C a , b C a , b , J f x f x dx ,
√
×
2 T f ( x ) f ( x ). 2．在 Pn[ x ] 中，
×
√ × .√
T , V 非零固定. 3．在线性空间V中，
4． 在 C
n n
nn 固定. T X AX , A C 中，
T ( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
(b) 线性变换 从集合S 到集合S的映射也称为变换。 设V为数域K上线性空间，若变换 T : V V 满足： T x y T x T y, T kx kT x , x , y V , k K , 则称T是线性空间V上的线性变换。 单位变换(恒等变换)：Te : Te x x , x V , 零变换： T0 : T0 x 0, x V , 数乘变换：K : K x kx , x V . 上述定义中的条件可以等价的写成： T kx ly kT x lT y .
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
第22页共24页
假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
第4页共24页
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
k11 k22 krr 0
由 1,2 , ,r 线性无关，有 k1 k2
故 A(1), A(2 ), , A(r ) 线性无关.
第17页共24页
kr 0.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 A 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
(1) (kl)A k(l A) (2) (k l)A k A l A (3) k( A B) k A kB (4) 1A A
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
第10页共24页
四、 线性变换的逆
1．定义
从而，A 为单射. 故 A 为一一对应.
由(2)， A 为可逆变换.
第16页共24页
(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关
的向量组.
证：设 A 为线性空间V的可逆变换，1,2 , ,r V
线性无关. 若 k1A 1 k2A 2 kr A r 0.
则有， A(k11 k22 krr ) 0
An A A,
n
称之为 A 的n次幂. 当 n 0 时，规定 A0 E（单位变换）.
第18页共24页
注：
① 易证 Amn Am An , Am n Amn ,
m,n 0
② 当 A为可逆变换时，定义A 的负整数幂为
An A1 n
③ 一般地， AB n AnBn .
第19页共24页
A1A A1 A1
A1 A1
A1 k A1 k AA1 A1 k A A1 A1 A k A1 k A1 kA1
A1 是V的线性变换.
第12页共24页
(2) 线性变换 A 可逆 线性变换 A 是一一对应.
A 为满射.
第15页共24页
n
n
其次，任取 , V , 设 aii , bii ,
i 1
i 1
若 A( ) A( ), 则有
n
n
ai A(i ) bi A(i ),
i 1
i 1
A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关
ai bi , i 1,2, , n, 即 .
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
第1页共24页
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 A,B为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积AB为： AB A B , V
则AB也是V的线性变换.
事实上，(AB)( ) A(B( )) A(B( ) B( )) A(B( )) A(B( )) ( AB)( ) ( AB)( ),
第6页共24页
2．基本性质 （1）满足交换律：A B B A
（2）满足结合律： A B C A B+ C
（3）0 A A 0 A, 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：
A B C AB AC B C A BA CA
第7页共24页
3．负变换
设 A 为线性空间V的线性变换，定义变换 A 为：
故 A 为一一对应.
第13页共24页
" " 若 A 为一一对应，易证 A的逆映射 B 也为V 的线性变换，且 AB BA E. 故 A 可逆，B A 1 .
(3) 设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，A 为V的
线性变换，则 A 可逆当且仅当 A(1 ), A( 2 ), , A( n )
AkB ABAk1 (k 1)Ak1,
③
对①两端右乘 Ak1, 得
ABA k1 BA k A k1,
④
③＋④，得 A kB BA k k A k1.
由归纳原理，命题成立..
第23页共24页
小结
▪ 线性变换的运算包括线性变换的线性运 算、乘积运算及幂运算。重要的是经过 各种运算后还是线性变换。这意味着我 们对线性变换的讨论内容将是十分广泛 的。
设 A 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 B 使 AB BA E
则称 A 为可逆变换，称 B 为 A 的逆变换，记作 A 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 A 的逆变换 A1 也是V的线性变换.
第11页共24页
证：对 , V , k P,
A1 A1 AA1 AA1 A1 A A1 A1
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
A 为V的一个线性变换，则 f ( A) am Am a1A a0E
也是V的一个线性变换，称 f (A)为线性变换 A 的 多项式.
第20页共24页
注： ① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h A f A g A,
(AB)(k ) A(B(k )) A(kB( )) kA(B( )) k(AB)( )
第2页共24页
２．基本性质
（1）满足结合律： AB C A BC
（2） E A AE A，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
AB BA.
第3页共24页
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
A A , V
则 A也为V的线性变换，称之为 A的负变换.
注： ( A) A 0
第8页共24页
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 A 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k与 A 的数量乘积 kA为：
kA kA , V
则 k A 也是V的线性变换.
第9页共24页
2．基本性质
▪ 基于乘积运算，还介绍了线性变换的逆 作变业换：。P317:3,4,6
第24页共24页
感谢下 载
则 A,B 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
(AB)( X ) A(B( X )) A( XB) A( XB) AXB,
(BA)( X ) B(A( X )) B( AX ) ( AX )B AXB.
AB BA.
第5页共24页
二、 线性变换的和
1．定义
设 A,B为线性空间V的两个线性变换，定义它们
线性无关.
证：" " 设k1A(1 ) k2 A( 2 )
于是 A(k11 k2 2 kn n ) 0
kn A( n ) 0.
因为 A 可逆，由(2)， A 为单射，又 A(0) 0,
第14页共24页
k11 k2 2 kn n 0 而 1, 2 , , n线性无关，所以 ki 0, i 1, 2, , n.
pA f AgA
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f A gA gA f A f AgA gA f A
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
第21页共24页
练习：设 A,B 为线性变换，若 AB BA E,
证明： AkB BAk k Ak1, k 1.
证：对k作数学归纳法.
的和 A B为： A B A B , V
则A B也是V的线性变换.
事实上，(A B)( ) A( ) B( ) A( ) A( ) B( ) B( ) (A B)( ) (A B)( ), (A B)(k ) A(k ) B(k ) k A( ) kB( ) k(A( ) B( )) k(A B)( ).