线性变换的定义
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
工程数学第六章 线性变换
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
线性变换总结篇高等代数
第 7章 线性变换知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ,都有：()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=; 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈;性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关;性质3. 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,ααα线性无关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关;注：设V 是数域P 上的线性空间,12,,,m βββ,12,,,s γγγ是V 中的两个向量组,如果：11111221221122221122s s s s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是,若()dim V n =,12,,,n ααα是V 的一组基,σ是V 的线性变换, 12,,,m βββ是V 中任意一组向量,如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组,那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B ;4. 线性变换举例1设V 是数域P 上的任一线性空间;零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈;幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m 0,就称σ为幂零变换;幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换;2nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈; 4n nV P⨯=,()ij A a =是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈;二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法1 定义： 设V 是数域P 上的线性空间,,στ是V 的两个线性变换,定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换;2()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间;2. 线性变换的矩阵1定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα是V 的一组基,如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵;此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==2线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B ;1():n n f L V P ⨯→,A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅;2σ可逆⇔A 可逆3①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++ε为V 的恒等变换在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++;三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式;注： 1若()ijnnA a =,则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程;2 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值根,设0λ∈C 是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量;3求法：1求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,重根按重数计算；2对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数复数;4 重要结论：1设0λ∈C 是A 的特征值,0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式;① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值,如果A 还是可逆矩阵,则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值,12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2若12λλλn,,,是矩阵A的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++n A ,12λλλ=n A ;2. 线性变换的特征值与特征向量1定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量;2线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n ααα,设σ在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式;3求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换;1取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；2求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值;3若0>m ,对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数;3. 矩阵相似1定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为A B ;2性质：1矩阵相似是等价关系,即：设A,B,C 都是n 级方阵,那么：①A A ； ② 若A B ,那么B A ；③ 若A B 且B C ,则A C ;2若AB ,那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ,因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值,相同的迹()()tr tr =A B ,相同的行列式=A B ;3两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值;3有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似;4若1-=T AT B ,那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z ;4. 线性变换与矩阵可对角化 1矩阵可对角化1设A 是n 级方阵,如果存在n 级可逆矩阵T ,使得1-T AT 为对角阵,则称A 可对角化;2n 级方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关特征向量; 3如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值,则A 可对角化; 4设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值,()()()()1212λλλλλλλλ=-=---klll A n k f E A称()12=i l i ,,,k 为λi 的代数重数；称=-i s n 秩()()12λ-=i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；()12≤=i i s l i ,,,k ；n 级方阵A 可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ,则()dim =i i s W2. 称{}λααλα=∈=i ni V CA 为n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间,那么()dim λ=i i s V2线性变换可对角化1 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果存在V 的一组基,使得σ 在该基下的矩阵为对角阵,就称σ可对角化;2数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化⇔σ有n 个线性无关特征向量; 3设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果σ有n 个不同的特征值,则σ可对角化;4设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,σ在V 的一组基下的矩阵为A , 设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值;① 若12λλλ∈k ,,,P ,那么：σ可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;② 若12λλλk ,,,不全在数域P 中,则σ不可对角化;注：λi 的几何重数 =()dim λi V ,其中(){}λασαλα=∈=i iV V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间;四．线性变换的值域与核1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,将()(){}100V σασα-=∈=,(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域()10σ-与V σ也分别记为ker σ与Im σ;2.线性变换的秩与零度： V σ与()10σ-都是V 的子空间,将()dim V σ 与()()1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度;3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα为V 的一组基,σ 在该基下的矩阵为A ,=r 秩()A ,1122n n a a a V αααα=+++∈;1()1210n a a a ασ-⎛⎫ ⎪ ⎪∈⇔ ⎪ ⎪⎝⎭是齐次线性方程组0=AX 的解;2若12,,,ηηη-n r 是0=AX 的一个基础解系,那么12,,,γγγ-n r 其中()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r 就是()10σ-的一组基,于是：()()1dim0n r σ-=-()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈因此σ的秩和零度为n r -; 3()()()()12n V L,,,σσασασα=于是()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基,而()()()12σασασαn ,,,的秩等于秩()A =r ,所以()dim V r σ=,即σ的秩为秩()A =r ; 4()()()1dim dim 0V n σσ-+=;3. 求法：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换; 1()10σ-的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 解齐次线性方程组0=AX ,得其一个基础解系12,,,ηηη-n r =r 秩()A ；③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r ,得()10σ-的一组基12,,,γγγ-n r ,()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈2V σ的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηη,求出12,,,n ηηη的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηη就得到()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组()()()12σασασαri i i ,,,,()()()12σασασαri i i ,,,就是V σ的一组基;()()()()12ri i i V L ,,,σσασασα=()()(){}112212σασασα=+++∈r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P五．不变子空间1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间,如果对α∀∈W ,都有()σα∈W 即()σ⊆W W ,就称W 是σ的不变子空间,也称σ-子空间; 2. 设V 是数域P 上的线性空间,那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间; 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,λ是σ的任意一个特征值,那么σ的特征子空间(){}λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间;4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换,任取0V α≠∈,必存在正整数m ,使得()()1m ,,,ασασα-线性无关,而()()m ,,,ασασα线性相关,令()()()1m W L ,,,ασασα-=,则W 是σ的不变子空间,称W 为σ的循环子空间;5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,W 是σ的不变子空间,()0<dim =<W m n ,取W 的一组基12,,,αααm ,将其扩充为V 的一组基121,,,,,,ααααα+m m n ,那么σ在该基下的矩阵为1230⎛⎫⎪⎝⎭A A A ,其中1A 为σW在W 的基12,,,αααm 下的矩阵;六．若尔当 Jordan 标准形1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1若尔当块：形式为()0000100000100001t tJ ,t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数;2若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如：12s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且12s ,,,λλλ中有些可以相等;2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换,那么必存在V 的一组基,使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵;2每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似;3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换,那么σ幂零⇔σ的特征值都为零;。
7线性变换的定义.
x cos sin x
y
sin
cos
y
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一 个线性变换
设 是几何空间中一固定非零向量， 把每个向量 变到 它在 上的 内射影的 变换也是一个线性变换，以 表示 它.用 公式表示就是
这是一个线性变换，称为由数 k 决定 的数乘变换，可用K表示.显然当k 时1， 便得恒等变换，当 k时 ，0 便得零
变换.
二、线性变换的简单性质 设A是的线性变换，则
A (0)=0, A ( )=-A ( ).
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换 句话说，如果 是1,2, ,r的线性组合：
k11 k22 krr
那么经过线性变换A之后，A ( )是A (1), A (2 ),…, A (r)同样的线性组合. A( )=A(1)+A(2)+…+ A (r )
线性变换把线性相关的向量组变成 线性相关的向量组.但线性变换把线 性无关的向量组可能变成线性相关 的向量组.例如零变换就是如此.
定义中等式所表示的性质，有时 也说成线性变换保持向量的加法 与数量乘法
平面上的向量构成实数域上的二维线性
空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向 旋转 角，就是一个线性变换，用ℐ 表示. 如果平面上一个向量 在直角坐标系下的
坐标是 (x, y) ，那么像ℐ ( )的坐标 (x, y)，源自()
(, ) (, )
这里( , ), ( , ) 表示内积.
线性空间V中的恒等变换或称单位变 换E，即
E () ( V ) 以及零变换ℴ，即
线性变换
(3) 特征值是由特征向量唯一确定的。
线性变换
§4 特征值与特征向量
二、求特征值与特征向量的方法
定义2 设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵， 是一个文字，矩阵
E A 的行列式 - a11 - a12 - a1n
f () | E A | - a21 - a22 - a2n
线性变换的数量乘法满足以下运算规律：
(1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A
结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和 数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
线性变换
§2 线性变换的运算
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A(x1, x2 , x3 ) (x1 x2 , x2 x3, x3 x1) (2) A(x1, x2 , x3 ) (1, x1x2 x3,1)
(3) A(x1, x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3, 0) (4) A(x1, x2 , x3 ) (x12 , x2 x3, x32 )
线性变换
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； (2) 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； (3) 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； (4) 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
线性变换
四、线性变换的多项式
§2 线性变换的运算
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章
线
性
变
换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
第六章 线性变换 线性变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
线性代数课件PPT第五章 线性变换 S1 线性变换的定义
由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间，k是F中的某个数 ， 定义V的变换如下：
k
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 线 性 变 换
§ 1 线性变换的定义
上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象.
下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间.
定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有
()()A A αβαβ+=+
()()A k kA αα= （1）
以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表 元素α在变换下的象.
定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？
下面我们来看几个简单的例子 ，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。
如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式
cos sin sin cos x x y y θθθ
θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.
例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是
(,)()(,)
ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积.
例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即
()E αα= ()V α∈
以及零变换0，即
0()0α= ()V α∈
都是线性变换.
例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数 ，定义V 的变换如下：
,k αα→ ()V α∈
不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换.
例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=，
(())()D f x f x '=
例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换
(())()x
a J f x f t dt =⎰ 是一线性变换 .
例7 在线性空间V 中，定义0,.a a a V σ=∀∈其中0a 是V 中一个固定向量，试问σ是否为线性变换？
解 当00a ≠时,.V αβ∀∈则有
00(),(),.σαασβασαβα==0及(+)=
但
0()()2().σασβασαβ+=≠+
因此当00a ≠时，α不是线性变换。
若00a =则有()()()0.σαβσασβ+=+=
()()0.k k σασα==
故当00α=时,σ是线性变换（此时σ为零变换）。
不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：
1. 设 A 是V 的线性变换，则(0)0,()().A A A αα=-=-
这是因为
(0)(0)0()0,A A A αα===
()((1))(1)()().A A A A αααα-=-=-=-
2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是12
,,r ααα 的线性组合：
1122r r k k k βααα=+++
那么经过线性变换A 之后, ()A β 是 12(),(),
,()r A A A ααα 同样的线性组合：
1122()()()()r r A k A k A k A βααα=+++
又如果12,,r ααα 之间有一线性关系式 11220r r k k k ααα++
+= 那么它们的象之间也有同样的关系
1122()()()0r r k A k A k A ααα+++=
以上两点，根据定义不难验证，由此即得
3. 线性变换把线性性相关的向量组变成线性相关的向量组。
但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组.例如零变换就是这样。
例8 设 12,,,s ααα 及 12,,,s βββ是线性空间V 中两组等价的向量组，又
()L V σ∈，试证：12(),(),
,()s σασασα与12(),(),,(),s σβσβσβ也是两个等价的向量组。
证明 因为 12,,,s ααα与12,,
,s βββ可以互相线性表出。
记 11221(1,2,
)s i i i is s ij j j k k k k i s αββββ==+++==∑则由线性变换性质(3)可知:
11221()()()()()(1,2,
,)s i i i is s ij j j k k k k i s σασβσβσβσβ==+++==∑
上式说明了向量组 12(),(),
,()s σασασα可由向量组12(),(),,(),s σβσβσβ线性表出。
同理可证, 12(),(),,(),s σβσβσβ可由12(),(),,()s σασασα线性表出。
因此12(),(),
,()s σασασα与向量组12(),(),,(),s σβσβσβ等价。