浙江高考模拟试卷数学卷和答案
浙江数学高考模拟试卷附答案
浙江数学高考模拟考试数学试题卷姓名________________ 准考证号________________本试题卷共3大题，共X页。
满分0分，考试时间X分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡和试卷上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡规定位置上。
3.所有试题均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效。
4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题0分，共0分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
1.经过点（3,-2）,且与直线x+2y-1=0垂直的直线方程是（）A.x+2y+8=0B.2x+y+8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-8=02.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式为23000200.1,y x x=+-(0,240)x∈,若每台产品售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量是（）A.100台B.120台C.150台D.180台3.已知等差数列{a n}中，a1＝－5，d＝7，a n≤695，则这个数列至多有（）A.98项B.99项C.100项D.101项4.有6把椅子排成一排，3人随机入座，任意两人不相邻的坐法有（）A.144种B.120种C.72种D.24种5.函数f（x）＝x＋1x的定义域是（）A .{x |x >0}B .{x |x ≥0}C .{x |x ≠0}D .{x |x <0或x >0}6.下列函数在指定区间上为单调递增函数的是 （ ）A .y ＝15log x ＋1，x ∈（0，＋∞）B .y ＝2x ＋3，x ∈（－∞，＋∞）C .y ＝－x －2，x ∈（－∞，＋∞）D .y ＝1x，x ∈（－∞，0）7.下列函数在其定义域上单调递增的是（以下选项中的参数，均使函数表达式有意义） （ ） A .f （x ）＝2x ＋b B .f （x ）＝－x 2＋c C .f （x ）＝3log ax D .f （x ）＝3ax8.设y ＝f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （2x －3）＞f （x ＋5），则x 的取值范围是________. （ ） A .x ＞2 B .x ＞8 C .x ＜2D .x ＜89.已知点A （2，1），点B （－3，－2），且2AM AB =u u u u r u u u r，则点M 的坐标是________. （ ）A .11(,)22--B .4(,1)3--C .1(,0)3D .1(0,)5-10.已知二次函数f （x ）＝x 2－2ax ＋3有最小值－1，则a ＝________.（ ）A .4B .±4D.±211.若120是一个数列中的一项，则这个数列可以是________.（）A.{n2＋1}B.{n2－1}C.{n2－2n＋1}D.{n2－n－1}12.有6名同学站成一排照相，若甲同学必须站在中间的一个固定位子，共有________种不同的排法________.（）A.120B.60C.30D.2413.已知tanα＝2，则cos2α＝________.（）A.4 5B.－4 5C.3 5D.－3 514.两个球的表面积之比是1∶16，那么这两个球的体积之比是________.（）A.1∶32B.1∶24C.1∶64D.1∶25615.有三个同学选报外语课程，每个同学只选报一项，分别有英语、日语、俄语、韩语四门课程，则不同的选法种数为________.（）B .12C .81D .16二、填空题（本大题共10小题，每小题0分，共0分）16.若!321n x =⨯⨯,则x ＝ .（用含排列组合的式子表示）17.某四边形的周长为14，四条边依次成等差数列，最短边为2，则最长边的长为 . 18.与椭圆x 24＋y 23=1具有相同的焦距，且过点（2，0）的椭圆的标准方程为 . 19.如图，正方体棱长为a ，则球的半径为 .20.若x ，y ，x 成等差数列，则代数式（z －x ）2－4（x －y ）（y －z ）的值为 . 21.方程x 2＋y 2＋4mx －2y －10＝0表示圆时，圆心为（2，1），则圆的半径为________. 22.设m ，n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，有下列四个命题 ①若m ⊥n ，n //α，则m ⊥α ②若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α则n ⊥β③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m ∩n ＝P ，则α∥β ④若m ∥β，β⊥α则m ⊥α写出所有正确结论的序号________.23.若sin θtan θ≤0，则角θ的终边在________.24.若a ＞0，b ＞0，则a bb a+的最小值是________.25.在数列{a n }中，若1121nn n a a a a +=+，＝1，则a 6＝________. 三、解答题（本大题共6小题，共0分。
浙江省高考模拟试卷数学(有答案)
绝密★考试结束前高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B =锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式24S R =π11221()3V S S S S h =++球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343VR =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（原创）已知U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x A ，集合{}1|>=y y B ，则A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B.(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,231,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23, （命题意图：考查集合的含义及运算，属容易题） 2.（原创）已知i 是虚数单位，若iiz 213-+=，则z 的共轭复数z 等于 A.371i - B.371i + C.571i - D.571i +（命题意图：共轭复数的概念，属容易题）3.（原创）若双曲线122=-y mx 的焦距为4，则其渐近线方程为 A. x y 33±= B. x y 3±= C. x y 55±= D.x y 5±= （命题意图：考查双曲线性质，属容易题）4.（原创）已知α，β是两个相交平面，其中α⊂l ，则 A.β内一定能找到与l 平行的直线 B.β内一定能找到与l 垂直的直线C.若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行D.若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直（命题意图：直线与平面间垂直、平行的概念，属容易题）5.（原创）等差数列}{n a 的公差为d ，01≠a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则“0=d ”是“∈nnS S 2Z ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （命题意图：充分必要条件的判定，属容易题） 6.（原创）随机变量的分布列如下：其中a ,b ,c 成等差数列，若()9=ζE ,则()ζD = A.811 B.92 C. 98 D.8180 （命题意图：考查离散型随机变量的分布、数学期望和方差，属中档题） 7.（原创）若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为 A.51 B. 45C. 1D. 4 （命题意图：考查不等式和函数性质，属中档题）8.（原创）从集合{}F E D C B A ,,,,,和{}9,8,7,6,5,4,3,2,1中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）。
浙江数学高考模拟试卷附答案
浙江数学⾼考模拟试卷附答案浙江数学⾼考模拟考试数学试题卷姓名________________ 准考证号________________本试题卷共3⼤题，共X页。
满分0分，考试时间X分钟。
注意事项：1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号⽤⿊⾊字迹的签字笔填写在答题卡和试卷上。
2.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
⾮选择题⽤0.5毫⽶⿊⾊字迹的签字笔将答案写在答题卡规定位置上。
3.所有试题均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答⽆效。
4.考试结束后，将试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、单项选择题（本⼤题共18⼩题，每⼩题0分，共0分）在每⼩题列出的四个备选答案中，只有⼀个是符合题⽬要求的。
错选、多选或未选均⽆分。
1.不等式x+6-x2≥0的解集是（）A.［-6,1］B.［-2,3］C.［2,3］D.［-6,3］2.数列0.25,0.25,0.5,2,16,…的第6项为（）A.32B.64C.128D.2563.已知3sin5α=,且π,π2α??∈ ?,则tanα等于（）A.34± B.43±C.34- D.43-4.4名同学报名参加2项不同的竞赛,每项均选⼀⼈,不同的选择种数为（）A.24种B.42种C.24A种 D.种5.｛5的正因数｝的真⼦集个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是（）A.若a∥b，则α∥βB .若α⊥β，则a ⊥bC .若a 与b 相交，则α与β相交D .若α与β相交，则a 与b 相交7.函数y ＝x 2－2x －34－x 2的定义域为（）A .{x |－1≤x ≤3且x ≠2}B .{x |－3≤x ≤1且x ≠2}C .{x |x ≥3或x ≤－1且x ≠－2}D .{x |x ≥1或x ≤－3且x ≠－2}8.“将⼀枚硬币先后抛两次，⾄少出现⼀次正⾯”的概率是（）A .1B .12C .34D .149.⼀元⼆次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满⾜a >0，b 2-4ac <0，则ax 2+bx +c <0解集为（）A .RB .R +C .R -D .?10.过平⾯β外⼀点P ，且平⾏于平⾯β的直线（）A .只有⼀条，且⼀定在平⾯β内B .只有⼀条，但不⼀定在平⾯β内C .有⽆数条，但都不在平⾯β内D .有⽆数条，都在平⾯β内11.如图所⽰，阴影部分可表⽰为（）A .?UB ∩A B .?U A ∩BC .?U A ∩?U BD .?U A ∪?U B12.＋1x）10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数为（）A .0B .2C .4D .613.已知sin （π2＋α）＝14，则cos2α＝（）A ．±78B ．－78C ．78D ．15814.满⾜条件{0，1}∩P ＝的集合P 共有________. （）A .0个B .1个C .2个D .⽆数个15.________. （） A.B .3C .1 D.416.两列⽕车从同⼀站台沿相反⽅向出发，⾛了相同的路程，已知两列⽕车的位移向量分别为a 、b ，则下列说法错误的是________. （） A .两向量为平⾏向量 B .两向量的模相等 C .两向量为共线向量D .两向量为相等向量17.苹果的进价是每千克2元，销售中估计有5%的损耗，商家⾄少要把每千克苹果的价格定为x 元才能不亏本，则可列不等式为________. （）A .5%x ≥2B .（1－5%）x ≥2C .5%x ≤2D .（1－5%）x ≤218.函数y ＝log 2x 和y ＝12log x 在同⼀坐标系中图象之间的关系是________.（）A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .关于直线y ＝x 对称⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题0分，共0分）19.将log 0.27,log 27,2-0.2按从⼩到⼤的顺序排列：____________. 20.已知f （2x ）＝log 2（3x －4），则f （8）＝ .21.以椭圆4x 2＋y 2＝1的短轴顶点和焦点为顶点的四边形的⾯积为 . 22.已知等轴双曲线过点（4，3），则其标准⽅程为 . 23.若tan （π－α）＝2，则sin α－2cos α3sin α＋2cos α＝ .24.＝ . 25.若a ＞1，当41a a +-取得最⼩值时，a 的值为________，最⼩值为________. 26.化简：2sin （－1110°）－cos240°（－120°）＝________.三、解答题（本⼤题共7⼩题，共0分。
浙江省高考数学模拟试卷(含答案)
浙江省高考数学模拟试卷（含答案）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|0≤log 3x ≤9}，C ={x|x =2n,n ∈N}，则A ∩B ∩C =( )A. {2}B. {0,2}C. {0,2，4}D. {2,4}【答案】A【解析】解：集合A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}=[0,2]， B ={x|0≤log 3x ≤9}={x|1≤x ≤2}=[1,2]， C ={x|x =2n,n ∈N}={0,2，4，…}， 则A ∩B ∩C ={2}． 故选：A ．化简集合A 、B 、C ，根据交集的定义计算即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 复数z 满足(z −2i)⋅(1+i)=2(i 为虚数单位)，则复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：由(z −2i)⋅(1+i)=2得：z −2i =21+i =1−i ， ∴z =1+i ，z −=1−i.则z −对应的点(1,−1)在第四象限， 故选：D ．先求出z ，然后求出z 的共轭复数，由此即可求解．本题考查了共轭复数的概念，考查了复数对应的点的位置，属于基础题．3. 如果点P(x,y)在平面区域{2x −y +2≥0x −2y +1≤0x +y −2≤0上，则y+1x−2的取值范围是( )A. [−2,−13]B. [−2,−32]C. [−2,13]D. [−13,2]【答案】A【解析】解：如图，先作出点P(x,y)所在的平面区域．y+1x−2表示动点P 与定点Q(2,−1)连线的斜率．联立{x −2y +1=0x +y −2=0，解得{x =1y =1．于是k QE =1+11−2=−2，k QF =0+1−1−2=−13． 因此−2≤y+1x−2≤−13． 故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，利用y+1x−2的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．4. 条件p ：x 2−4x −5<0是条件q ：x 2+6x +5>0的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：∵P ：由x 2−4x −5<0，解得：−1<x <5， q ：由x 2+6x +5>0，解得：x >−1或x <−5， 由p ⇒q ，而q 推不出p ， ∴p 是q 的充分不必要条件， 故选：A ．分别解出关于p ，q 的不等式的解集，从而判断出p ，q 的关系． 本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．5. 函数f(x)=2xe x +e −x 的部分图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=−2xe−x+e x=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项B和C，当x→+∞时，e x比x增长的快，∴f(x)→0，排除选项D，故选：A．先判断函数的奇偶性，再考虑x→+∞时，f(x)的取值情况，即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=√3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A−BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A−BCD中AC长为()A. 32B. √3 C. √102D. 2【答案】C【解析】解：根据矩形的折叠，得到：平面ABD⊥平面BCD．如图所示：在平面ABD 中，作AE ⊥DB ，在平面BCD 中，作CF ⊥BD ， 利用射影定理：AB =1，BC =√3， 所以BD =2，AB 2=BE ⋅BD ，解得BE =12， 同理：DF =12，所以EF =2−12−12=1， 则：AE 2=BE ⋅ED =12×32=34， 同理：CF 2=34所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34+34+1=104． 故AC =√102．故选：C ．直接利用矩形的折叠的应用和射影定理，线面垂直的应用，勾股定理，向量的线性运算，向量的模的应用求出结果．本题考查的知识要点：射影定理，线面垂直的应用，勾股定理，向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7. 已知直线l 过第一象限的点(m,n)和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，则1m +4n 的最小值为( )A. 4B. 9C. 23D. 32【答案】D【解析】解：根据题意，直线l 过第一象限的点(m,n)和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°， 则n−5m−1=−1，变形可得m +n =6， 则1m +4n =16×(1m +4n )(m +n)=16(5+4m n+nm )，又由点(m,n)在第一象限，即m >0，n >0， 则有4m n+n m ≥2√4m n×n m =4，当且仅当n =2m 时等号成立，故1m +4n =16(5+4m n+nm )≥32，即1m +4n 的最小值为32， 故选：D ．根据题意，由直线的斜率计算公式可得n−5m−1=−1，变形可得m +n =6，则有1m +4n =16×(1m +4n )(m +n)=16(5+4m n+nm )，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题．8. 设0<a <13，随机变量ξ的分布列为ξ 01 2Pa 1−3a 2a那么，当a 在(0,13)内增大时，D(ξ)的变化是( )A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】B【解析】解：由随机变量ξ的分布列，得： E(ξ)=1×(1−3a)+2×2a =1+a ， E(ξ2)=1×(1−3a)+4×2a =1+5a ，D(ξ)=E(ξ2)−E 2(ξ)=(1+5a)−(1+a)2=−(a −32)2+94， 当0<a <13时，D(ξ)单调递增． 故选：B ．先求出E(ξ)=1+a ，E(ξ2)=1+5a ，再求出D(ξ)=E(ξ2)−E 2(ξ)=(1+5a)−(1+a)2=−(a −32)2+94，从而得到当0<a <13时，D(ξ)单调递增．本题考查离散型随机变量的方差的变化趋势的判断，涉及到离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．9. 如图，在△ABC 中，AB =1，BC =2√2，B =π4，将△ABC 绕边AB 翻转至△ABP ，使平面ABP ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ等于()A. √52B. 3√55C. 2√55D. 2√53【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，考查利用向量法求线段长与直线所成的角，还考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，是中档题．根据题意过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB 为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与DQ 所成角的余弦值，再结合导数即可求得PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长．【解答】解：因为平面ABP⊥平面ABC，交线为AB，故过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，，在△ABC中，AB=1，BC=2√2，B=π4将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则B(2,0，0)，A(1,0，0)，O(0,0，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，设Q(x,y ，z)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,0，2)，λ∈[0,1]， 即(x −1,y ，z)=(−λ，0，2λ)，∴Q(1−λ,0，2λ)， 又D 是BC 的中点，故D (1,1，0)， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)， |cos <DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√5λ2+1⋅2√2=√2√(1+2λ)25λ2+1，令f(λ)=(1+2λ)25λ2+1，λ∈[0,1]，∴f′(λ)=2(1+2λ)(2−5λ)(5λ2+1)2，由f′(λ)=0，λ∈[0,1]，得λ=25，λ∈[0,25)时，f′(λ)>0，λ∈(25,1]时，f′(x)<0，∴当λ=25时，f(λ)取最大值，此时PC 与DQ 所成角取得最小值，|AQ|=25|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25√5． 故选：C ．10. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1−a n >1n+1(n ∈N ∗)，则一定成立的是( )A. a 100>ln102B. a 99>ln100C. a 99<ln100D. a 100<ln99【答案】B【解析】解：∵a 1=1,a n+1−a n >1n+1(n ∈N ∗)， ∴a n −a n−1>1n ，a n−1−a n−2>1n−1，…，a 2−a 1>12， 将上面的式子相加得到：a n −a 1>12+13+⋯+1n (n ≥2)，即a n >1+12+13+⋯+1n ，n ≥2，令f(x)=ln(x +1)−x(x >−1)，当x >0时，f′(x)=1x+1−1<0，故当x >0时，f(x)<f(0)=0，即ln(x +1)<x ， ∴lnn+1n=ln(1+1n )<1n ，又ln(n +1)=lnn+1n+ln n n−1+⋯+ln 21，∴a n >1+12+13+⋯+1n >ln2+ln(1+12)+ln(1+13)+⋯+ln(1+1n )=ln(n +1)，即a n >ln(n +1)，n ≥2， ∴a 99>ln100， 故选：B ．根据递推关系a n+1−a n >1n+1，可知a n −a n−1>1n ，a n−1−a n−2>1n−1，…，a 2−a 1>12，累加可得a n −a 1>12+13+⋯+1n(n ≥2)，即a n >1+12+13+⋯+1n ，令f(x)=ln(x +1)−x(x >−1)，利用导数研究函数的单调性，再结合对数函数的性质进行求解．本题主要考查数列中的不等式问题、累加法的应用及不等式的放缩，有一定的难度．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知函数f(x)=sinπx +acosπx 图象的一条对称轴为x =16，则a = ______ ，函数f(x)在区间[−16,13]上的值域为______ ． 【答案】√3 [1,2]【解析】解：因为函数f(x)的对称轴为x =16，由辅助角公式可得f(x)=√1+a 2sin(πx +θ)(tanθ=a)，所以，|f(π6)|=√1+a 2，即|sin π6+acos π6|=√1+a 2，即|12+√32a|−√1+a 2，两端平方，可得a =√3．所以，f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3)． 由x ∈[−16,13]，得πx +π3∈[π6,2π3]，所以sin(πx +π3)∈[12,1]，所以2sin(πx +π3)∈[1,2]，故函数f(x)在区间[−16,13]上的值域为[1,2]， 故答案为：√3；[1,2]．由题意利用辅助角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12. 若(x +a)(√x −√x )4的展开式的常数项为2，则a = ______ ，所有项系数的绝对值之和是______ ． 【答案】1 32【解析】解：∵(√x −√x )4 的通项公式为T r+1=C 4r⋅(−1)r ⋅x 2−r ，∴(x +a)(√x √x )4的展开式的常数项为C 43×(−1)+a ⋅C 42=2，则a =1．所有项系数的绝对值之和，即(x+a)⋅(√x+1√x)4的各项系数和，令x=1，可得为(x+a)⋅(√x+1√x)4的各项系数和(1+a)⋅24=32，故答案为：1；32．由题意利用二项展开式的通项公式，求得a的值，再通过给x赋值，可得所有项系数的绝对值之和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.已知△ABC，∠BAC=120°，BC=2√3，AD为∠BAC的角平分线，则(ⅰ)△ABC面积的取值范围为______ ．(ⅰ)AB+4ACAD的最小值为______ ．【答案】(0,√3]9【解析】解：(ⅰ)可设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−2bc⋅(−12)≥2bc+bc=3bc，即有bc≤13a2=13×12=4，当且仅当b=c=2取得等号，则S△ABC=12bcsinA=12bc⋅√32≤√34×4=√3，所以△ABC面积的取值范围为(0,√3]；(ⅰ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC，可得12bcsin120°=12c⋅AD⋅sin60°+12b⋅AD⋅sin60°，化为√32bc=√32AD(b+c)，即为AD=bcb+c，所以AB+4ACAD =c+4bAD=(b+c)(c+4b)bc=cb+4bc+5≥2√cb⋅4bc+5=9，当且仅当c=2b时，取得等号，则AB+4ACAD的最小值为9．故答案为：(ⅰ)(0,√3]，(ⅰ)9．(ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；(ⅰ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC，结合三角形的面积公式，可得AD，再由基本不等式计算可得所求最小值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．14. 已知直线l ：mx +y −2=0与圆(x −1)2+(y −m)2=2，若m =2，直线l 与圆相交于A ，B 两点，则|AB|= ______ ，若直线l 与圆相切，则实数m = ______ ． 【答案】2√3052±√3【解析】解：当m =2时，直线l ：2x +y −2=0，圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=2， 圆心坐标为(1,2)，半径为√2， 圆心到直线2x +y −2=0的距离d =√5=2√55， 则|AB|=2(2√55)=2√305；直线l 与圆相切，则(1,m)到直线mx +y −2=0的距离d =√m 2+1=√2，整理得：m 2−4m +1=0，解得m =2±√3． 故答案为：2√305；2±√3．由m =2求得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；若直线l 与圆相切，则由圆心到直线的距离等于半径列式求得m 值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．15. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查利用基本不等式求最值，考查运算转化能力，属于较难题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出，注意检验取等号的条件是否成立． 【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b时取等号，解得a +b =4，结合ab =1，a ，b 为方程x 2−4x +1=0的两根，∴a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号， ∴12a+12b+8a+b的最小值为4，故答案为4．16. 电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有______ 种.(用数字作答) 【答案】24【解析】解：根据题意，电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场， 则有A 44=24种不同的顺序， 故答案为：24．根据题意，这个一共排列问题，由排列数公式直接计算可得答案． 本题考查排列数公式的应用，注意区分排列组合的定义，属于基础题．17. △ABC 中，(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且对于t ∈R ，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为65|BC|，则∠BAC = ． 【答案】π4 【解析】 【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得到5b 2−5c 2=a 2，化简|BA⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，并利用二次函数求最值，求出|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最小值，且使最小值等于3625a 2，可得c 2=85a 2，进而得出b 2=95a 2，最后利用余弦定理即可得解．本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大．利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得出三角形三边的关系是解题的关键． 【解答】解：设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ， 又(3AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2−3c 2+bccos∠BAC=2b 2−3c 2+b 2+c 2−a 22，∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2b 2−3c 2+b 2+c 2−a 22=0，∴5b 2−5c 2=a 2，又|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+t 2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗=c 2+t 2a 2−2taccosB =c 2+t 2a 2−2t ⋅a 2+c 2−b 22=a 2t 2−45a 2t +c 2=a 2(t −25)2+c 2−425a 2，∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为c 2−425a 2， ∴c 2−425a 2=3625a 2，解得c 2=85a 2， ∴b 2=95a 2，∴cos∠BAC =b 2+c 2−a 22bc=95a 2+85a 2−a 22√95a 2⋅√85a 2=√22，又0<∠BAC <2π，∴∠BAC =π4． 故答案为：π4．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tanB tanA+tanB =bc ．(1)求角A ；(2)若a =7，b =5，求△ABC 的面积． 【答案】解：(1)由2tanBtanA+tanB =bc 及正弦定理可知：2sinB cosB sinA cosA +sinBcosB=sinBsinC ，所以2sinBcosB ⋅cosA⋅cosB sin(A+B)=sinBsinC ，所以2cosA=1，即cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=25+c2−5c，所以c2−5c−24=0，所以c=8(c=−3舍去)，从而S△ABC=12bcsinA=12×5×8×√32=10√3．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA=12，结合A∈(0,π)，可得A的值．(2)由已知利用余弦定理可得c2−5c−24=0，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．19.在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=2DE，∠DAB=∠EBA=60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．(1)求证：平面ABED⊥平面BCFE；(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)证明：过点E作EH⊥AB于H，∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，EH⊂平面ABED，∴EH⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴EH⊥BC，又BC⊥BE，BE、EH⊂平面ABED，∴BC⊥平面ABED，∵BC ⊂平面BCFE ， ∴平面ABED ⊥平面BCFE ．(2)解：将三棱台ABC −DEF 补成三棱锥P −ABC ， ∵AB =2DE ，∠DAB =∠EBA =60°，∴D ，E ，F 分别为PA ，PB ，PC 的中点，且△PAB 为正三角形，以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，作Bz ⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则A(0,2，0)，P(0,1，√3)，C(2,0，0)，D(0,32,√32)，F(1,12,√32)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,√32)， 设平面ABF 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0x +12y +√32z =0， 令z =2，则x =−√3，y =0，∴n ⃗ =(−√3,0，2)，设直线DF 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3√7×√2=√4214， 故直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值为√4214．【解析】(1)过点E 作EH ⊥AB 于H ，由平面ABED ⊥平面ABC ，推出EH ⊥平面ABC ，有EH ⊥BC ，再根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证；(2)将三棱台ABC −DEF 补成三棱锥P −ABC ，则D ，E ，F 分别为PA ，PB ，PC 的中点，且△PAB 为正三角形，以B 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABF 的法向量n ⃗ ，设直线DF 与平面ABF 所成角为θ，由sinθ=|cos <n ⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20. 设{a n }是等比数列，公比大于0，{b n }是等差数列，(n ∈N ∗).已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }满足c 1=c 2=1，c n ={1,3k <n <3k+1a k ,n =3k，其中k ∈N ∗． (ⅰ)求数列{b 3n (c 3n −1)}的通项公式；(ⅰ)若{nan (n+1)(n+2)}(n ∈N ∗)的前n 项和T n ，求T 3n +∑b i 3n i=1c i (n ∈N ∗)．【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，则 a 2=q ，a 3=q 2， 则q 2−q −2=0，解得q =−1(舍去)，或q =2， ∴a n =2n−1，n ∈N ∗， 设等差数列{b n }的公差为d ，则 由a 4=b 3+b s ，可得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，可得3b 1+13d =16， 联立{b 1+3d =43b 1+13d =16，解得{b 1=1d =1，∴b n =n ，n ∈N ∗， (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)，可知c n ={1,3k <n <3k+1a k ,n =3k ={1,3k <n <3k+12k−1,n =3k，∴b 3n (c 3n −1)=b 3n (a n −1)=3n (2n−1−1)=3×6n−1−3n ， (ii)由题意，可得na n (n+1)(n+2)=n×2n−1(n+1)(n+2)=2n n+2−2n−1n+1， 则T n =213−202+224−213+⋯+2n n+2−2n−1n+1=2n n+2−12，∴T 3n =23n 3n+2−12=8n3n+2−12，∵∑b i 3ni=1c i =∑[3ni=1b i (c i −1)+b i ]=∑b i 3ni=1(c i −1)+∑b i 3ni=1=∑b 3i ni=1(c 3i −1)+∑b i 3ni=1=∑(ni=13×6i−1−3i )+∑i 3ni=1=∑3ni=1×6i−1−∑3i ni=1+∑i 3ni=1=3×(1−6n )1−6−3×(1−3n )1−3+(1+3n )×3n2 =3×(6n −1)5−3×(3n −1)2+(1+3n )×3n2=6n+1+910+32n −2×3n2，∴T 3n +∑b i 3ni=1c i =8n 3n +2−12+6n+1+910+32n −2×3n2=8n 3n+2+6n+1+410+9n −2×3n2．【解析】(Ⅰ)先设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，然后根据题干列出关于q 的方程，解出q 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，再根据a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6列出首项b 1与公差d 的方程组，解出b 1与d 的值，即可得到数列{b n }的通项公式； (Ⅱ)(ⅰ)先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，然后代入计算出数列{b 3n (c 3n −1)}的通项公式；(ⅰ)先代入计算出数列{nan (n+1)(n+2)}(n ∈N ∗)的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n 的表达式，代入计算出T 3n 的表达式，计算∑b i 3n i=1c i 时将其转化为∑b i 3ni=1(c i −1)+∑b i 3ni=1，然后根据(Ⅱ)(ⅰ)的结果以及第(Ⅰ)题的结果代入进行计算，再根据等比数列的求和公式进行计算，最后即可算出T 3n +∑b i 3ni=1c i 的值．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求通项公式，求前n 项和，求和的计算．考查了转化与化归思想，方程思想，整体思想，定义法，求和的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题．21. 已知抛物线C ：2px =y 2(p >0)的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点P ．(Ⅰ)若P 的坐标为(−1,4)，求直线的斜率；(Ⅱ)若P 始终不在椭圆4x 2+y 2=1的内部(不包括边界)，求△ABP外接圆面积的最小值．【答案】解：(1)记A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB：x=my+p2，与抛物线方程联立可得方程y2−2pmy−p2=0，由韦达定理可知y1+y2=2pm，y1y2=−p2，另一方面，可求得过A的切线方程为y−y1=p y1(x−x1)，过B的切线方程y−y2=py2(x−x2)，联立解得P(−p2,pm)，结合题意解得m=2，故k AB=1m =12．(2)由(1)知两条切线的斜率之积为k1k2=p2y1y2=−1，即AP⊥BP，则△ABP的外接圆半径即为12AB=12√1+m2⋅|y1−y2|=p√m2+1，又由题意知4⋅(−p2)2+(pm)2≥1，即p2+p2m2≥1，可知p√m2+1≥1，又所以外接圆的半径最小值为1，故外接圆的最小面积为π．【解析】(1)记A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB：x=my+p2，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合切线方程，转化求解P的坐标，然后求解AB的斜率即可．(2)由(1)判断AP⊥BP，求出△ABP的外接圆半径的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，切线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.已知函数f(x)=lnx+m2．(1)若ℎ(x)=f(x)+1x⋅sinα，α∈(0,π2)，ℎ(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，求α的取值范围；(2)若g(x)=m2x，对任意x∈(1,+∞)，f(x)的图象总在g(x)图象的下方，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=lnx+m2，所以ℎ(x)=lnx+m2+1xsinα，所以ℎ′(x)=1x −1x2sinα=xsinα−1x2sinα，因为ℎ(x)在x ∈[2,+∞)上为增函数，所以xsinα−1≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立， 即sinα≥1x 在x ∈[2,+∞)上恒成立，因为y =1x 在x ∈[2,+∞)上单调递减，故(1x )max =12， 所以sinα≥12，又因为α∈(0,π2)，所以α∈[π6,π2)；(2)因为对任意x ∈(1,+∞)，f(x)的图象总在g(x)图象的下方， 所以lnx +m 2−m 2x <0在x ∈(1,+∞)上恒成立，设M(x)=lnx +m 2−m2x ，x ∈(1,+∞)，则M′(x)=1x−m 2=2−mx 2x，①当m ≤0时，因为x ∈(1,+∞)，则M′(x)>0，故M(x)在(1,+∞)上单调递增，所以M(x)>M(1)=0，不符合题意； ②当m ≥2时，则0<2m ≤1，因为M′(x)=−m(x−2m)2x<0在x ∈(1,+∞)恒成立，所以M(x)在x ∈(1,+∞)上单调递减，则有M(x)<M(1)=0，故m ≥2符合题意； ③当0<m <2，即2m >1时，由M′(x)>0，解得1<x <2m ，由M′(x)<0，解得x >2m ，所以M(x)在(1,2m )上单调递增，在(2m ,+∞)上单调递减， 所以M(2m )>M(1)=0与M(x)≤0恒成立矛盾，不符合题意． 综上所述，实数m 的取值范围是m ≥2．【解析】(1)利用导数的正负与函数单调性的关系将问题转为sinα≥1x 在x ∈[2,+∞)上恒成立，求出y =1x 的最值，得到sinα≥12，求解三角不等式即可； (2)将问题转化为lnx +m 2−m2x <0在x ∈(1,+∞)上恒成立，构造函数M(x)=lnx +m 2−m 2x ，x ∈(1,+∞)，分m ≤0，m ≥2，0<m <2三种情况进行研究，利用导数研究函数的单调性逐一求解即可．本题考查了利用导数研究函数的性质，主要考查了导数的正负与函数单调性关系的应用，三角不等式的求解，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想以及逻辑推理，属于较难题。
2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)
宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省五校联考2024届高考数学模拟卷含答案
2024年浙江省高考数学模拟卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足1i3i z=+-，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算性质求出z ，再利用共轭复数的性质求出z ，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得1i 3iz=+-，故2(1i)(3i)33i i i 2i 4z =+-=+--=+，故2i 4z =-+，显然z 在复平面上对应的点是(4,2)-，在第四象限，故D 正确.故选：D2.设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂=（）A.{}21,Z x x k k =+∈B.{}31,Z x x k k =-∈C.{}61,Z x x k k =+∈ D.{}61,Z x x k k =-∈【答案】D 【解析】【分析】利用最小公倍数排除A ，B ，利用奇数和偶数排除C ，求解即可.【详解】易知集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂中k 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A ，B ，对于C ，当1k =时，集合{}61,Z x x k k =+∈为{}7x x =，而令317k -=，可得k 不为整数，故{}31,Z N x x k k ==-∈不含有7，可得M N ⋂中不含有7，故C 错误，故选：D3.已知不共线的平面向量a ，b满足()()2a b a b λλ++∥ ，则正数λ=（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解.【详解】方法一：由已知有12λλ⋅=⋅，0λ>，解得λ=方法二：设()()2,R a b a b λμλμ+=+∈ ，由题意120μλλμ=⎧⎨=>⎩，解得λ=故选：B.4.传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1i i m Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍A.B.mC.32mD.2m 【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.【详解】由Y 服从正态分布()2,N ms m σ，则Y的信噪比为22s m σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又接收一次信号1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22s m m s σσ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的m 倍.故选：B5.已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】一方面，当，()ππ8k k θ=+∈Z 时，()ππcos 22πsin 244f x x k x θ⎛⎫+=+++=- ⎪⎝⎭是奇函数，()ππcos 22πcos 244f x x k x θ⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭是偶函数，故充分性成立，另一方面，当5π8θ=时，有()π5πcos 2sin 244f x x x θ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭是奇函数，()π5πcos 2cos 244f x x x θ⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭是偶函数，但此时关于k 的方程()π5ππ88k k +=∈Z 没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的情况下，“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +-+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（）A.12-或112-B.－1或－6C.32-或132- D.－2或－7【答案】C 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据2π3ACB ∠=，得到圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式求得t 的值即可.【详解】由题意可知，圆C ：22240x y x y +-+=，标准化后可得圆C ：()()22125x y -++=因为，2π3ACB ∠=，过点C 作AB 的垂线CD ，AB CD ⊥.如图所示，AC BC ==，在Rt ACD 中，π5cos 32CD ==.所以，圆心C 到直线l 的距离:52d ==因此，542t +=，解得，12313,22t t =-=-故选：C .7.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（）A.12 B.14C.16D.18【答案】B 【解析】【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可.【详解】依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻，当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种，情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有8614+=种，故B 正确.故选：B.8.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.)+∞B.)+∞C.()2,+∞ D.,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设点(),A x y，则可取),C ，代入双曲线方程整理可得22222233y a b x a b+=+，结合渐近线列式求解即可.【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为b y x a=±，设点(),A x y，则可取),C，则222222221331x y a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得2222222233y a b b x a b a +=<+，解得22b a >，即222c a a ->，可得222c a>，则c e a ==所以该双曲线离心率的取值范围是)∞+．故选：A.【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点(),A x y，根据垂直和长度关系可取),C；2.根据渐近线的几何意义可得：2222y b x a<.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在区间()2,-+∞上单调递增B.()f x 的最小值为21e -C.方程()2f x =的解有2个D.导函数()f x '的极值点为3-【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A ，B ，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C ，对()f x '构造函数再次求导，判断极值点即可.【详解】易知()()1e x f x x =+，可得()()2e x f x x +'=，令()0f x '<，(),2x ∞∈--，令()0f x '>，()2,x ∞∈-+，故()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，故()f x 的最小值为()212e f -=-，故A ，B 正确，若讨论方程()2f x =的解，即讨论()()1e 2xg x x =+-的零点，易知()2122eg -=--，()10g >，故()()120g g ⋅-<，故由零点存在性定理得到存在()02,1x ∈-作为()g x 的一个零点，而当x →-∞时，()g x →-2，显然()g x 在(),2∞--内无零点，故()()1e 2xg x x =+-只有一个零点，即()2f x =只有一个解，故C 错误，令()()()2e xh x f x x =+'=，故()()3e xh x x =+'，令()0h x '=，解得3x =-，而(0)0h '>，(4)0h '-<，故3x =-是()h x '的变号零点，即3x =-是()h x 的极值点，故得导函数()f x '的极值点为3-，故D 正确.故选：ABD10.南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A.由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B.1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C.1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D.此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡【答案】BCD【解析】【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的.【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,故选：BCD.11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OA OB +=恒成立，则l 始终和曲线C1+=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A.曲线C 关于直线y x =和y x =-都对称B.曲线C 上的点到11,22⎛⎫⎪⎝⎭和到直线y x =-的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦D.曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14-【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.【详解】对于A ，曲线C1+=中，0,0x y ≥≥，所以不关于直线y x =-对称，故错误；对于B ，设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy =⇔+---+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=--⇔+---+=，故正确；对于C，2221OP x y =+≤=，()22222112228x y x y ⎛⎫++ ⎪+≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭，所以221[,1]8x y +∈，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦，故正确；对于D ，(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy =-+-=+--+=+≥，故曲线C 位于圆()()22111x y -+-=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14-．故选：BCD .三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为160-，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6662166C 2(()2C r r r r r r rr a T x a x x ---+=-=-，令620r -=，可得3r =，代入可得333346()2C 160160T a a =-=-=-，解得1a =.故答案为：1.13.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =-+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．【答案】2【解析】【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到62026S S +=，进而得到132da =-，最后写出n S ，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设{}n b 的公比为q ，故()()2223414222S b b b b q =-+=-+，()()()24612561266S b b b b b b q =++=+，可得62026S S +=，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，故得110212665a d a d++=+，化简得1230a d +=，解得132da =-，故23(1)2222n d n n S n d n n d d ---=+=，故当n S 最小时，2222d n d -=-=⨯，故得2S 是n S 的最小项，即{}n S 的最小项是第2项．故答案为：214.已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC 绕点O 逆时针旋转角2π03θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ''' ，使得两三角形所在平面的距离为3，连接AA '，AC '，BA '，BB '，CB '，CC '，得到八面体ABCA B C '''，则该八面体体积的取值范围为______．【答案】3⎛ ⎝⎦【解析】【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,A C AB a C A B CAB α==∠=∠=，三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.引理的证明如下：()1111111111111111111112223C A AB C A AB C A ABB ABC A B C C ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V V V -------⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭111221111sin sin 3326ABC A B C V a h a h αα-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，引理得证.事实上上述引理等价于，若三棱锥11C A AB -满足，11A C AB a ==，异面直线11,C A AB 所成夹角为α，且异面直线11,C A AB 之间的距离为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.从而由上述引理有ABCA B C A ABC C A B C A B BC A C ACV V V V V ''''''''---''-'=+++213261π261262222sin 22sin 34363363θθ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭π1sin sin333θθ⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11sin cos 22θθ⎫=++⎪⎪⎭π1sin 6θ⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭．若2π03θ<<，则ππ5π663θ<+<，从而πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦，π1sin6ABCA B C V θ'''⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭的取值范围是3⎛ ⎝⎦.故答案为：3⎛ ⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C -．【答案】（1）12（2）24-【解析】【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得1tan 2B =；（2）由（1）得2sin cos sin sin BB A C=，再借助角B 的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.【小问1详解】因为a ，b ，c 是等比数列，所以2b ac =，有2sin sin sin B A C =，因为1tan A ，1cos B ，1tan C 是等差数列，所以211cos cos sin cos tan tan sin sin sin sin A C BB AC A C A C =+=+=.故22sin sin 1cos sin sin sin sin B B B A C B B===.所以1tan 2B =．【小问2详解】由（1）的过程可知2sin cos sin sin B B A C =，若π3B =，则13sin sin sin cos 28A CB B ==.又由()13cos cos cos cos sin sin cos cos 28B AC A C A C A C -=-=+=-=-，得1cos cos 82A C =-，故()12cos cos cos sin sin 8284A C A C A C -=+=-+=．16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分别为1+1-．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）；（3）4.【解析】【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可.（2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【小问1详解】令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.【小问2详解】记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''.【小问3详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，1222||y y m -==+，因此122|1322|||22ABFS QF y y m =-=+，令0t =>，于是24224ABF S t t =≤=+⨯ ，当且仅当2t =，即m =时取到等号，所以FAB面积的最大值4.17.如图，已知三棱台111ABC A B C -，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点.（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，利用平行四边形的性质证明AD OM ∥，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性质证明1A O OM ⊥，建立空间直角坐标系，设))1cos C αα-，利用平面11BCC B ⊥平面11ACC A 求得,0,33C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，再利用线面角的向量公式求解即可；法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N ，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义得1AVC ∠即为所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据三余弦定理求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,,CM MO CO ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得，ODAM 为平行四边形，故AD OM ∥，因为AD ⊄平面1OCC ，OM ⊂平面1OCC ，所以AD ∥平面1OCC .【小问2详解】法1（建系）：连接OA ，因为BA ∥1B O ，且1=2BA B O =，所以1BAOB 为平行四边形，故12AO BB ==，又点D 为线段1OA 的中点，所以1AO AD ⊥，由AD OM ∥得1A O OM ⊥，故以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则)()())11,0,2,0,0,2,0,1,0AA B B--，因为2AB BC CA ===，AB 的中点M ，所以AB CM ⊥，又AB OM ⊥，CM OM M = ,,CM OM ⊂平面CMO ，所以AB ⊥平面CMO ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以平面CMO ⊥平面11ABB A ，设CMO α∠=，CM =，则))1cos ,0,Cαα-，设平面11ACC A 的法向量为()1111,,n x y z =，()))1,,1cos ,2,AC A C αααα=-=-- ，则()111111cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧-+=⎪--+=，取11x =，则111cos sin y z αα+==，则平面11ACC A的法向量为11cos sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；设平面11BCC B 的法向量为()2222,,n x y z =，()))1,1cos ,2,BC B C αααα==- ，则()222222cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧+=⎪-+=，取21x =，则221cos sin y z αα+==，则平面11BCC B的法向量为21cos 1,sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，所以120n n ⋅=，即(1cos 1cos 110sin sin αααα++⨯+⨯=，即23cos 2cos 10αα+-=，解得1cos 3α=或cos 1α=-（舍去），故,0,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(21,n =，记直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为θ，()1AA =，则1212sin 2AA n AA n θ⋅===，故π4θ=，即直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角π4.法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面11BCC B 平面11ACC A ，1CA ⊂平面11ACC A ，故1CA ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin 2A C AVC AV ∠==，所以1πsin 4AVC ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小为π4.法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令OAC θ∠=，1OAB θ∠=，2BAC θ∠=，则这三个角存在一个余弦关系：12cos cos cos θθθ=(其中1θ和2θ只能是锐角)，称为三余弦定理，又称最小张角定理.证明：如上图，自点O 作OB AB ⊥于点B ，过B 作BC AC ⊥于C ，连接OC ，因为OB ⊥平面α，AC ⊂平面α，所以OB AC ⊥，又BC AC ⊥，BC OB B ⋂=，,BC OB ⊂平面CBO ，所以AC ⊥平面CBO ，又OC ⊂平面CBO ，所以AC OC ⊥，则cos ,cos ,cos AC AB ACOAC OAB BAC OA OA AB∠=∠=∠=，所以cos cos cos OAC OAB BAC ∠=∠⋅∠，即12cos cos cos θθθ=.延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，所以2111cos 2C VA ∠=，所以112cos 2C VA ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为11π4C VA ∠=.18.第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N .甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N N X i =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =-作为N 的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果.例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅-=<.（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值.当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明.【答案】（1）16（2）分布列见解析，()365E M =（3）()E M N <，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别求出()5P M =和()5P Y M M <=且，代入条件概率公式计算即得；（2）根据题意，列出M 的可能取值4,5,6,7,8，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可；（3）直观判断()E M N <，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得.【小问1详解】由5N =，3n =知，当5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C 种可能，故()2435C 35C 5P M ===，由Y M <，有215X -<，解得3X <，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故()35115C 10P Y M M <===且，因此()()()1511053565P Y M M P Y M M P M <=<=====且；【小问2详解】依题意，用M 作为N 的估计值，因8N =，则M 的可能取值有4,5,6,7,8，于是3348C 1(4)C 70P M ===，3448C 42(5)C 7035P M ====，3548C 11(6)C 707P M ====，3648C 202(7)C 707P M ====，3748C 351(8)C 702P M ====，于是M 的分布列如下：M 45678P170235172712故()12121364567870357725E M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】直观上可判断()E M N <，证明：因()()(1)(1)()E M nP M n n P M n NP M N ==++=+++= [()(1)()]N P M n P M n P M N N <=+=+++== .【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握,,M n N 的含义，求出()5P M =和()5P Y M M <=且；以及用M 作为N 的估计值时，M 的可能值的概率；最后对于()E M N <的推理证明.19.卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11N nn k n kk c a bn +-+==∈∑，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2nn b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n i d a n i+-<⎧=⎨≥⎩的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i -项，前1i -项都取为0．试找到数列(){}i n t ，使得(){}{}{}innint a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c --=-+．【答案】（1）12c =，28c =，322c =，452c =（2）()1,0,n i n i t n i=⎧=⎨≠⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列{}n c 的定义求出1c ，2c ，3c ，4c .（2）通过特例(1)n t 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般.（3）思路一：由卷积运算的交换律，得()11nkn k n k bc =+-=∑，记{}n b 的前n 项和为n S ，再利用n S 求n b .思路二：记{}n b 的前n 项和为n S ，(){}int 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列为{}nT ，易证卷积关于数列加法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得{}{}{}*n n n T b S =，1nn ii c S==∑，再利用n S 求n b .【小问1详解】因为n a n =，2nn b =，所以11a =，12b =；22a =，24b =；33a =，38b =；44a =，416b =.因为{}{}{}*n n n a b c =，()11N n n k n k k c a bn +-+==∈∑，所以12c =，28c =，322c =，452c =.【小问2详解】(1)1,10,2n n t n =⎧=⎨≥⎩，对一般的N i +∈，()1,0,n i n i t n i =⎧=⎨≠⎩.【小问3详解】方法一：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11n k n k n k b c =+-=∑,故()11n n k n k n S kbc =+-=∑，因此()()111121n n k n n k n S kb n bc +++=+--+=∑，②②－①得11n n n S c c ++=-，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．方法二：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1N n T n +∈=∀，注意（Ⅰ）易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意（Ⅱ）注意{}n T 是(){}i nt 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*n n i t T 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1n n i i c S==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中n n n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111n n i j i j i n n n n n n n j i j i i a b t t b t t b S ∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫*=**=**= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题.1、解决数列新概念问题时需注意:（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；（2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解.2、卷积运算具有的性质（1）交换律：{}{}{}{}**n n n n a b b a =.（2）结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=.（3）分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+.。
浙江省高考数学模拟试卷(含答案)
浙江省高考数学模拟试卷（10）（4月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|log2x<0}，则A∪B=()A. (−∞,1)B. (0,1)C. (−1,0)D. (−1,1)【答案】D【解析】解：集合A={x|x2<1}=(−1,1)，B={x|log2x<0}=(0,1)，则A∪B=(−1,1)，故选：D．化简集合，再求并集．考查集合的并集运算，基础题．2.已知tanα=2，则1+sin2α+cos2αsin2α−2cos2α=()A. 32B. 52C. 4D. 5【答案】D【解析】解：∵tanα=2，∴1+sin2α+cos2αsin2α−2cos2α=sin2α+2sinαcosα+2cos2αsin2α−2cos2α=tan2α+2tanα+2tan2α−2=22+2×2+222−2=5．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.圆x2+y2−mx+y+m=0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m的值是()A. −6−2√10B. −6+2√10C. −3−√10D. −3+√10【答案】A【解析】解：对于x2+y2−mx+y+m=0，令x=0得：y2+y+m=0，设与y轴交点的纵坐标为y1，y2，且1−4m>0，得m<14①.则y1+y2=−1，y1y2=m，故与y轴相交的弦长为：|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√1−4m．同理，令y=0可得：x2−mx+m=0，设与x轴交点的横坐标为x1，x2，且m2−4m>0，得m>4，或m<0②．则x1+x2=m，x1x2=m，故与x轴相交的弦长为：|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√m2−4m．由题意得：√m2−4m=2√1−4m，解得：m=−6±2√10，结合①②得：m=−6−2√10符合题意．故选：A．分别令x=0与y=0，可求出与y轴和x轴的两个交点的纵坐标或横坐标，即可分别求出与y轴相交和与x轴相交的弦长，再结合题意列出m的方程即可．本题考查直线与圆的位置关系以及学生的运算能力，属于中档题．4.已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()A. 若l//m，则必有α//βB. 若l⊥m，则必有α⊥βC. 若l⊥β，则必有α⊥βD. 若α⊥β，则必有m⊥α【答案】C【解析】【分析】本题考查空间中线面、面面之间的关系，属于基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：A.如图所示，设α∩β=c，l//c，m//c满足条件l//m，但是α与β不平行，因此不正确；B.假设α//β，l⊂α，n⊂β，n//l，n⊥m，则满足条件l⊥m，但是α与β不垂直，因此不正确；C.若l⊂α，l⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；D.设α∩β=c，若l//c，m//c，虽然α⊥β，但是可有m//α，因此，不正确．综上可知：只有C 正确． 故选C ．5. 在等比数列{a n }中，若a 2a 5=−34，a 2+a 3+a 4+a 5=94，则1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=( ) A. 1B. −34C. −3D. 13【答案】C【解析】解：根据题意，在等比数列{a n }中，若a 2a 5=−34，则a 3a 4=−34， 若a 2+a 3+a 4+a 5=94，则a 2a 2a 5+a 3a3a 4+a 4a3a 4+a 5a2a 5=94−34=−3，即1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=−3， 故选：C ．根据题意，由等比数列的性质可得a 3a 4=−34，由a 2+a 3+a 4+a 5=94及a 2a 5=a 3a 4=−34，变形可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等式的恒等变形，属于基础题．6. 设a ，b ∈R 且ab ≠0，则“ab <1成立”是“ba >1成立”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：“ab <1成立”⇔(a−b)b<0，⇔{a−b>0b<0，或{a−b<0b>0，“ba >1成立”⇔a(a−b)<0⇔{a−b>0a<0，或{a−b<0a>0⇔0>a>b，或0<a<b．∴由“ba >1成立”可得“ab<1成立”，反之不成立，例如：取a=2，b=−1．∴“ab <1成立”是“ba>1成立”的必要非充分条件．故选：B．利用不等式的基本性质及其不等式的解法分别化简：“ab <1成立“，“ba>1成立”，即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为()A. 60B. 65C. 70D. 75【答案】B【解析】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3=81种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2=16种情况，故西站十字一定要有人去有81−16=65种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65种；故选：B．根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算西站十字没人去的情况数目，分析可得西站十字一定要有人去的游览方案数目，即可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论．8.已知圆O：x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为()A. x24+y2=1 B. x2+y24=1 C. x216+y24=1 D. x24+y216=1【答案】A【解析】解：设线段MN的中点P(x,y)，M(x0,y0)，则N(x0,0)，则有{x=x0y=y0+02，解得{x0=xy0=2y，又点M在圆O：x2+y2=4上，所以有x2+(2y)2=4，即x24+y2=1，所以线段MN的中点P的轨迹方程为x24+y2=1．故选：A．设动点P(x,y)，设M(x0,y0)，则利用中点坐标公式可得M与P坐标之间的关系，再利用点M在圆上，即可得到x和y的关系，即为点P的轨迹方程．本题考查了动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．9.如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=3，SE=14SB.，异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. √222B. √53C. 1316D. √113【答案】D【解析】解：如图，过点S作SF//OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF即为异面直线SC与OE所成的角，∵SE=14SB，∴SE=13BE，又OB=3，∴OF=13OB=1，SO⊥OC，SO=OC=3，∴SC=3√2；SO⊥OF，SO=3，OF =1，∴SF =√10；OC ⊥OF ，OC =3，OF =1，∴CF =√10， ∴等腰△SCF 中，tan∠CSF =√(√10)2−(3√22)23√22=√113． 故选：D ．可过点S 作SF//OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF 为异面直线SC 与OE 所成的角，根据条件即可求出SC =3√2,SF =CF =√10，这样即可得出tan∠CSF 的值． 本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，正切函数的定义，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题．10. 已知函数f(x)=x −e2+ln exe−x ，若f(e2020)+f(2e2020)+⋯…+f(2018e2020)+f(2019e2020)=20192(a +b)，其中b >0，则12|a|+|a|b的最小值为( )A. 34B. 54C. √2D. √22【答案】A【解析】解：∵f(x)=x −e 2+ln exe−x ，∴f(x)+f(e −x)=x −e 2+ln ex e −x +e −x −e 2+lne(e −x)x=ln exe−x +lne(e−x)x=ln[ex e−x ⋅e(e−x)x]=lne 2=2．令S =f(e2020)+f(2e2020)+⋯…+f(2018e2020)+f(2019e2020)， 则S =f(2019e2020)+f(2018e2020)+⋯…+f(2e2020)+f(e2020)， ∴2S =[f(e 2020)+f(2019e 2020)]+[f(2e 2020)+f(2018e 2020)]+⋯+[f(2019e 2020)+f(e2020)] =2×2019， 即S =2019， ∴20192(a +b)=2019，得a +b =2，其中b >0，则a =2−b ．当a >0时，12|a|+|a|b=12a +2−b b=12a +2b −1=12(12a +2b )(a +b)−1=12(52+b2a +2ab)−1≥12(52+2√b2a ⋅2ab)−1=54， 当且仅当b2a =2ab，即a =23，b =43时等号成立； 当a <0时，12|a|+|a|b=1−2a +−a b=1−2a +b−2b=1−2a +−2b+1=12(1−2a +−2b )(a +b)+1=12(−52+b −2a +−2ab)+1≥12(−52+2√b−2a⋅−2a b)+1=34，当且仅当b−2a =−2a b，即a =−2，b =4时等号成立．∵34<54，∴12|a|+|a|b的最小值为34． 故选：A ．先推得f(x)+f(e −x)=2，再利用倒序相加法求得f(e 2020)+f(2e2020)+⋯…+f(2018e 2020)+f(2019e 2020)，得到a +b 的值，然后对a 分类讨论利用基本不等式求最值，则答案可求．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用倒序相加法求和，考查利用基本不等式求最值，属难题．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z 满足(1−i)z =1+2i ，则z 的虚部为______ ，|z|= ______ ．【答案】 √10【解析】解：由已知可得：z =1+2i 1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i 2=−12+3i2，所以z 的虚部为32，|z|=√(−12)2+(32)2=√102，故答案为：32,√102．利用复数的运算性质以及复数的模的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质以及复数的模，考查了运算能力，属于基础题．12. 已知sin(π5−α)=14，则cos(2α+3π5)= ______ ．【答案】−78【解析】解：因为sin(π5−α)=14， 所以cos(2α+3π5)=cos[π−(2π5−2α)] =−cos(2π−2α)=−[1−2sin 2(π−α)]=−(1−2×116)=−78． 故答案为：−78．由已知利用诱导公式，二倍角公式化简cos(2α+3π5)，再根据sin(π5−α)=14，得到结果．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.若(2−x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a16(1+x)16+a17(1+x)17，则：(1)a0+a1+a2+⋯+a16=______ ；(2)a1+2a2+3a3+⋯+16a16=______ ．【答案】217+117(1−216)【解析】解：(1)∵(2−x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a16(1+x)16+a17(1+x)17，故a17即为x17的系数，故它等于−1．令x=0，可得a0+a1+a2+⋯+a16−1=217，∴a0+a1+a2+⋯+a16=217+1．(2)对于等式(2−x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a16(1+x)16+a17(1+x)17，两边同时对x求导数，可得−17(2−x)16=a1+2a2(1+x)+⋯+16a16(1+x)15+17a17(1+x)16，即−17(2−x)16=a1+2a2(1+x)+⋯+16a16(1+x)15−17(1+x)16，再令x=0，可得a1+2a2+3a3+⋯+16a16=17(1−216)，故答案为：(1)217+1；(2)17(1−216).(1)由题意，a17即为x17的系数，故它等于−1.再令x=0，可得a0+a1+a2+⋯+a16的值．(2)对于等式两边同时对x求导数，再令x=0，可得a1+2a2+3a3+⋯+16a16=17(1−216)，由此求得a1+2a2+3a3+⋯+16a16的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．14.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______ cm3，表面积为______cm2．【答案】7 19+2√2【解析】解：由三视图，可知该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱， 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，高为2，则该几何体的体积V =2×2×2−12×1×1×2=7； 表面积S =5×2×2−2×12×1×1+2×√2=19+2√2． 故答案为：7；19+2√2．由三视图可得该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，再由柱体体积公式求体积，由矩形与三角形面积公式求表面积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图得到直观图，是中档题．15. 某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p = ______ ，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为______ ．【答案】23 2312【解析】解：对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ． ∵教师甲恰好答对3个问题的概率是14， ∴34×12×p =14， 解得p =23．设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=(1−34)(1−12)(1−23)=124，P(X =1)=34×(1−12)×(1−23)+(1−34)×12×(1−23)+(1−34)×(1−12)×23=624，P(X =2)=34×12×(1−23)+34×(1−12)×23+(1−34)×12×23=1124， P(X =3)=34×12×23=624，∴E(X)=0×124+1×624+2×1124+3×624=2312． 故答案为：23，2312．由教师甲恰好答对3个问题的概率是14，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出p 的值．X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)． 本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 已知实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =3，则S =x 2y 2−4xy 的最大值为______ ．【答案】5【解析】解∵x 2+y 2−xy =3，∴x 2+y 2=xy +3， 又∵x 2+y 2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy| ∴xy +3≥2|xy|①若xy ≥0时，xy +3≥2xy ，∴xy ≤3， ②xy <0时，xy +3≥−2xy ，∴xy ≥−1 ∴−1≤xy ≤3设t =xy ，则S =t 2−4t =(t −2)2−4，t ∈[−1,3]， ∴当t =−1时，S max =9−4=5， ∴S 的最大值为5．故答案5．由x 2+y 2−xy =3，x 2+y 2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|得出xy 的范围，再用换元法转化为二次函数，利用二次函数求最值．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．17. △QAB 是边长为6的正三角形，点C 满足QC⃗⃗⃗⃗⃗ =m QA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且m >0，n >0，m +n =2，则|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 【答案】[6√3,12)【解析】解：设QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且m >0，n >0，m +n =2， ∴A ，B ，D 三点共线，且D 点在A ，B 两点之间，如图：当D 点为边AB 的中点时，|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值6√3；D 点越接近A 或B 点时，|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值越接近12，∴|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是：[6√3,12)． 故答案为：[6√3,12)．可设QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据m >0，n >0，m +n =2可得出A ，B ，D 三点共线，且D 点在A ，B 两点之间，然后画出图形，结合图形即可求出|QC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．本题考查了向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，当OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+μ=1时，三点A ，B ，C 共线，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinB +bcosA =c ．(1)求B ；(2)设a =√2c ，b =2，求c ．【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAsinB=sinAcosB，又因为sinA≠0，cosB≠0，所以tanB=1，又0<B<π，．所以B=π4(2)由余弦定理b2=c2+a2−2accosB，a=√2c，，解得c=2．可得4=c2+2c2−2√2c2×√22【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1，结合0<B<π，可求B的值．(2)由已知利用余弦定理即可解得c的值．19.如图，在直三棱柱ABC−DEF中，正方形ACFD边长为3，BC=4，AC⊥BC，M是线段BC上一点，设MC=λBC．(Ⅰ)若λ=1，证明：BD//平面AMF；2(Ⅱ)若二面角M−AF−E的余弦值为√6，求λ的值．3【答案】(Ⅰ)证明：交AF于点N，连结MN，则M，N分别为BC和CD的中点，∴MN//BD，∵BD⊄平面AMF，MN⊆平面AMF，∴BD//平面AMF；(Ⅱ)解：以C为原点，CA，CB，CF分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(3,0，0)，E(0,4，3)，F(0,0，3)，设M(0,4λ,0)，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4λ,0)， 设平面AEF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则有{n ⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +4y +3z =0，令x =1，则z =1，所以n⃗ =(1,0,1)， 同理求出平面AMF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(4λ,3,4λ)， 所以|cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√32λ2+9=√63，解得λ=34．【解析】(Ⅰ)连结CD 交AF 于点N ，连结MN ，则M ，N 分别为BC 和CD 的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设M(0,4λ,0)，求出平面AEF 与平面MAF 的法向量，利用向量的夹角公式列出等式求出λ即可．本题考查了线面平行的判定定理的应用以及二面角的应用，对于空间角问题，常见的解法是建立空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20. 已知正整数数列{a n }满足：a 1=a ，a 2=b ，a n+2=a n +2026a n+1+1(n ≥1)．(1)已知a 5=2，a 6=1013，求a 和b 的值； (2)若a =1，求证：|a n+2−a n |≤12n−1|2026−b b+1|；(3)求a +b 的取值范围．【答案】解：(1)a 1=a ，a 2=b ，a n+2=a n +2026a n+1+1(n ≥1)．∵a 5=2，a 6=1013， ∴1013=a 4+20262+1，解得a 4=1013，同理可得，a 3=2，a 2=1013，a 1=2， ∴a =2，b =1013；(2)证明：由题意可得a n+2a n+1+a n+2=a n +2026， 则{a n+2a n+1+a n+2=a n +2026a n+3a n+2+a n+3=a n+1+2026， 两式相减可得(a n+3−a n+1)(a n+2+1)=a n+2−a n ，即a n+3−a n+1=a n+2−a n a n+2+1，∵{a n }是正整数数列，∴a n+2+1≥2，于是|a n+2−a n |≤12|a n+1−a n−1|≤⋯≤12|a 3−a 1| =12n−1|a+2026b+1−a|=12n−1|2026−b b+1|；(3)由(2)知(a n+3−a n+1)(a n+2+1)=a n+2−a n ，①若a n+2−a n =0，即{a n }是周期为2的周期数列， 则有a n =a n +2026a n+1+1，即a n+1=2026a n，由{a n }是正整数数列，∴a n+1=1，2，1013，2026，经验证，{a =1b =2026，{a =2026b =1，{a =2b =1013，{a =1013b =2均符合题意；②若a n+2−a n ≠0，当n =1时，有(a 4−a 2)(a 3+1)=a 3−a 1， 当n =2时，有(a 5−a 3)(a 4+1)=a 4−a 2， 两式相除可得a 3+1=a 3−1(a5−a 3)(a 4+1)(∗)，∵{a n }是正整数数列，∴(∗)不可能成立． 理由如下：若a 5−a 3≥1，则a 3−1(a 5−a 3)(a 4+1)<a 3<a 3+1；若a 5−a 3<0，则a 3−1(a5−a 3)(a 4+1)≤0<a 3+1．综上，必有{a n }是周期为2的周期数列，且有{a =1b =2026，{a =2026b =1，{a =2b =1013，{a =1013b =2， 因此a +b ∈{1015,2027}．【解析】(1)由已知数列递推式，结合a 5=2，a 6=1013，依次求得a 4，a 3，a 2，a 1的值，即可求得a 与b 的值；(2)由题意可得：a n+2a n+1+a n+2=a n +2026，进一步得到(a n+3−a n+1)(a n+2+1)=a n+2−a n ，即a n+3−a n+1=a n+2−a n a n+2+1，结合a n+2+1≥2，利用放缩法证明结论；(3)由(2)知(a n+3−a n+1)(a n+2+1)=a n+2−a n ，可知若a n+2−a n =0，则{a n }是周期为2的周期数列，由a n =a n +2026a n+1+1，求得a n+1=1，2，1013，2026，可得a 与b 的值；若a n+2−a n ≠0，不合题意，从而求得a +b 的取值范围．本题考查数列递推式，训练了利用放缩法证明数列不等式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)若直线1与圆O ：x 2+y 2=19相切，求直线l 的方程；(2)若直线1与y 轴的交点为D ，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】解：(1)由抛物线的方程可得焦点F(1,0)， 显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +1， 联立{x =my +1x 2+y 2=19，整理得(1+m 2)y 2+2my +89=0， △=4m 2−4(1+m 2)⋅89=0，整理得m 29=89，解得m =±2√2，所以直线AB 的方程为x =±2√2y +1；(2)由直线l 与y 轴交于D 可得直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为：y =k(x −1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题意可得D(0,−k)，联立{y =k(x −1)y 2=4x ，整理得ky 2−4y −4k =0，所以y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4， 由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D(0,−k)， 可得(x 1,y 1+k)=λ(1−x 1,−y 1)， 所以y 1+k =−λy 1，所以λ=−1−ky 1，同理可得μ=−1−ky 2，所以λ+μ=−2−k y 1−k y 2=−2−k ⋅y 1+y 2y 1y 2=−2−k ⋅4k−4==−1，所以可得λ+μ为定值−1．【解析】(1)由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，设直线l 的方程，与圆联立，由判别式为0可得参数的值，进而求出直线l 的方程；(2)设直线AB 的方程，由题意可得D 的坐标，将直线AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，再由向量的关系，求出λ，μ的表达式，进而求出λ+μ为定值． 本题考查直线与圆相切的应用及直线与抛物线的综合，考查了方程思想，属于中档题．22. 函数f(x)=e x cosx ．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x ≥0时，不等式f′(x)≤e 2x (e 2x −2ax)恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得f′(x)=e x (cosx −sinx)=√2e x cos(x +π4)， 令f′(x)≥0，解得：2kπ−π2≤x +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)， 故2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4(k ∈Z)，∴f(x)的递增区间是[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z)，令f′(x)≤0，解得：2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)，∴f(x)的递减区间是[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)，综上：f(x)的递增区间是[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z)，递减区间是[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)；(2)由f′(x)≤e2x(e2x−2ax)恒成立，得sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0，构造函数ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax，则ℎ′(x)=2cosxe x+2e2x−2a，设φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=4e3x−2√2sin(x+π4 )e x，当x∈[0,+∞)时，4e3x≥4，2√2sin(x+π4)≤2√2，所以φ′(x)>0，所以φ(x)即ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a，若a≤2，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a≥0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ(xa>2)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意，若，则ℎ′(0)=4−2a<0，必存在正实数x0，满足：当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上所述，a的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)利用三角函数的性质，解关于f(x)导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)由已知可得，sinx−cosxe x +e2x−2ax≥0.构造函数ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax，对其求导后，对a进行分类讨论，结合函数的性质即可求解．本题主要考查了利用导数求解函数的值域及不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．。
2022届浙江省高考仿真卷 数学试题(二) (解析版)
2022年高考仿真模拟卷二（浙江）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合U =R ，2{|20}A x x x =--<，{|ln 0}B x x =>，则()U A B ⋂=（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x <≤ C ．{|11}x x -<≤D ．{|12}x x <<2．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示）1z =()111cos sin r i θθ+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos si i n z z rr θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，已知17πcos13z =πi cos 26+，215π11πcos isin 1313z =+，则12z z 在复平面内所表示的点位于（ ） A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限3．已知函数22(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ）A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列4．在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角α为某一范围内变动，ππ63α≤≤，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4⎤⎥⎣⎦ C ．2⎤⎥⎣⎦D ．423⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．“耐尽推排趾未颠，莫嗤身价不多钱”是清代诗人叶际唐的诗句，诗句赞颂了不倒翁自强自立﹑坚韧不拔的精神.图()1是一些不倒翁模型，假设图()2是图()1中一不倒翁的三视图，其中r 是给定的正实数，则该不倒翁的表面积为（ ）A ．(222r π B 22r πC ．222r πD ．(222r π6．已知平面非零向量,,,a b c d 满足{}()(){},{||},0a b u u du d c v v a v b ⊆-=⋅∈-⋅-=∣∣，则对于任意的d 使得()()//a d b d --（ ）A ．()()0dc d ⋅≤恒有解B ．()()10d c d -⋅≤恒有解 C ．()()20d c d -⋅≤恒无解D ．()()30d c d -⋅≤恒无解7．已知定义在()()–1,00,1上的函数2221,01()1,10x x x f x x x ⎧⎪-<<=⎨--<<⎪⎩，给出下列四个结论：①存在0x 使得()00f x =； ②有且只有两个0x 使得()00f x x =；③不存在0x 使得()()()000f f x f x x ==；④有且只有两个0x 使得()()()00f f x f x =，其中所有错误结论的序号是（ ） A ．①③B ．①②C ．①②④D ．③④8．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x xe e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()1sin cos cos 22f x x x x ωωωα=--，且过点10,0,,222ππωα⎛⎫⎛⎫⎛⎫->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．0α=B ．若1ω=-时，将()f x 的图象向右平移8π个单位长度得到的图象关于原点对称 C ．若282f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 最小正周期取最大值时，3ω=D ．若()f x 在[]0,2π上单调递增，则10,4ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦10．由于疫情防控需要，电影院观影实行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四个人结伴前往观影，已知目前只剩同一排的8个空位，甲、乙必须在丁的同侧，则不同的坐法种数是（ ） A ．16B ．40C ．80D ．120二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
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D. 23 24
x y 1 5、（15 年海宁月考改编）设变量 x, y 满足约束条件 x y 4 ，目标函数 z 3x 2 y 的
y a
最小值为 4 ，则 a 的值是( )
A． 1
B． 0
C．1
D． 1 2
6、（改编）单位向量 ai ，（ i 1,2,3,4 ）满足 ai ai1 0 ,则 a1 a2 a3 a4 可能值有
()
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．.5 个
7、（改编）如图，F1,F2 分别是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
（a,b＞0）
的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别 交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若
|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )
16、（改编）抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|＋4|BF| 的最小值为________．
17 ． 已 知 f x { 2x1, x 1
3x 2, x 1
，若不等式
f
cos2
sin
1 4
1 2
0
对任意的
0,
2
恒成立，则整数
的最小值为______________．
则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[3, 5] 2
B． (,3] [ 5 ,) 2
C． (3, 5 ] 2
D． (,3] ( 5 ,) 2
10、（改编）已知 f (x) x2 2x c, f1 (x) f (x), fn (x) f ( fn1(x))(n 2, n N * ) ，若
2
2
g(x) 1 f (x) ,求函数 g(x) 在[ ,0] 上的解析式. 2
19、（东阳市模拟卷 17 题改编）（本题满分 15 分）如图所示，已知圆 O 的直径 AB 长度为 4， 点 D 为线段 AB 上一点，且 AD 1 DB ，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC ．点 P 在
A. 2 3 3
B. 6 2
C. 2
D. 3
8、（引用余高月考卷）如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线 AD∩l＝D，A，B，C 三点确定的平面为 γ，则平面 γ、β 的交线必过（ ）
A.点 A
B.点 B
C.点 C，但不过点 D
D.点 C 和点 D
9、若正实数 x，y 满足 x 2 y 4 4xy ，且不等式 (x 2 y)a2 2a 2xy 34 0 恒成立，
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn k Cnk pk 1 k nk ,k 0,1, 2, , n
球的表面积公式 S 4 R2
球的体积公式 V 4 R3 3
其中 R 表示球的半径
棱柱的体积公式 V Sh 其中 S 表示棱柱的底面积， h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
高考模拟试卷 数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共 40 分）
参考公式：
如果事件 A ， B 互斥，那么
P A B P A PB
如果事件 A ， B 相互独立，那么
P A B P A PB
3 圆 O 所在平面上的正投影为点 D ， PD BD ．
函数 y fn (x) x 不存在零点，则 c 的取值范围是( )
A. c 1 4
B. c 3 4
C. c 9 4
D. c 9 4
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：（ 本大题共 7 小题, 单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分。）
2
11、（原创） eln 3 0.1253
14、（原创）已知函数 f(x) x - 2lnx ,则曲线 y f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程是
_________,函数 f (x) 的极值___________。
15、（原创）已知 (1 2x)5 a0 a1(1 x) a2 (1 x)2 a5 (1 x)5 ，则 a3 a4 =______
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、（改编）（本题满分 14 分）设函数 f (x) 2 cos(2x ) sin2 x
2
4
(I)求函数 f (x) 的最小正周期.
(II) 设 函 数 g(x) 对 任 意 x R , 有 g(x ) g(x) , 且 当 x [0, ] 时 ,
V 1 Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高
棱台的体积公式
1
V
h 3
S1
S1S2 S2
其中 S1, S2 分别表示棱台的上底、下底面积， h 表示棱台的高
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
1、（原创）已知集合U R ，集合 M {y y 2x , x R} ，集合 N {x y lg(3 x)}，
1
． log2.5 6.25 ln e (0.064) 3
．
12、（原创）已知离散型随机变量 的分布列为
0
1
2
则变量 的数学期望
_________，方差
____________.
13、（原创）函数
f
(x)
2
x
,
x
2
则 f f 2 =
x2 2x 1, x 2
；方程 f f x 2 解是
则 CU M N （ ）
A．y y 3 B. y y 0
C. y 0 y 3
D.
2、（原创）已知实数 x, y, 则“ xy 2 ”是“ x 2 y 2 4 ”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3、（引用十二校联考题）某几何体的三视图如图所示，
其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A． 3π 3 2
C． 3π 2
B． π 3 D． 5π 3
2
4、（改编）袋中标号为 1，2，3，4 的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取 1 号球，
乙不取 2 号球，丙不取 3 号球，丁不取 4 号球的概率为（ ）
A. 1
B. 3
C. 11
4
8
24