八年级下册1.1等腰三角形(第2课时)课件(数学)
随堂练习
及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, A • 求证:AE=CD
B D
E
C
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请 你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一 条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由. C C
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
1 1 (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 3 3 1 1 BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢? 4 4 由此，你能得到一个什么结论? 1 1 (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果 3 3 1 1 AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论? 4 4
E A
Fபைடு நூலகம்
E
B
C
A
F
B
A
F
B
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
小结
1 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC， n 1 ∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. n 1 （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， n 1 AE= AB，那么BD=CE. n
简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗? 作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
B
E
A
D
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
A
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
B C
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
B E 3 A
D 4 C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． 1 1 ∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4． 2 2 在△ABD和△ACE中， ∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高． 求证：BD=CE．
B E
A
D
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线． 求证：BD=CE．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
E
1
D
2
B
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 1 1 ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 2 2 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2019版八年级数学下册三角形的证明1.1等腰三角形(第2课时)一课一练基础闯关(新版)北师大版
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等腰三角形中相关线段的性质1.(2017·和县模拟)等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )A.42°B.60°C.36°D.46°【解析】选A.如图:△ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.∵∠A=84°,且AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-84°)÷2=48°;在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠C=48°;∴∠DBC=90°-48°=42°.2.(2017·崇州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为( )世纪金榜导学号10164004A.40°B.45°C.50°D.55°【解析】选A.∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°-70°×2=40°.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【解析】选A.∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°.4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和9cm,则它的周长为________. 【解析】①若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,底边长为15-×6=12,∵6+6=12,∴此时不能组成三角形;②若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,底边长为9-×10=4,能组成三角形,∴它的周长为10+10+4=24(cm).综上所述,该等腰三角形的周长是24cm.答案:24cm【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6B.22C.6或22D.10或18【解析】选A.设AD=x,则当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10,∴底边长为27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当2x+x=27时,x=9,即AB=AC=18,∴底边长为15-9=6(符合三角形的三边关系),综上可知,底边BC的长为6.5.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 世纪金榜导学号10164005(1)求证:OB=OC.(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB.∴∠DBC=∠ECB,BE=CD.在△BOE和△COD中,∵∠BOE=∠COD,BE=CD,∠BEC=∠BDC=90°,∴△BOE≌△COD,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°,∴∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.题组等边三角形的性质及应用1.(2017·南充中考)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A.(1,1)B.(,1)C.(,3)D.(1,)【解析】选D.如图所示,过点B作BC⊥AO于点C,∵△AOB是等边三角形,∴OC=AO=1,∴在Rt△BOC中,BC==,∴B(1,).2.如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为________.世纪金榜导学号10164006【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点,∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,∴C在线段OB的垂直平分线上,∴C点纵坐标为2.将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.所以点C′的坐标为(-1,2).答案:(-1,2)3.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=________度.【解析】∵△ABD,△ACE都是等边三角形,∴AD=AB,∠DAB=∠EAC=60°,AC=AE,∴∠DAC=∠EAB,∴△DAC≌△BAE(SAS),∴DC=BE,∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°.答案:120【变式训练】如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,则∠BOC的度数是________.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠OCB=∠ABO,∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°,∴在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°.答案:120°4.(2017·宁夏中考)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N分别为垂足.求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.【证明】连接AP,过C作CD⊥AB于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴AB·CD=AB·PM+AC·PN,∴PM+PN=CD,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.世纪金榜导学号10164007【解析】猜想:AP=CQ.证明:在△ABP与△CBQ中,∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=______.【解析】如图,作AG⊥BC于点G,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=AB=2,连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·DE+AC·DF=BC·AG,∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=2.答案:2【母题变式】[变式一](2017·唐河县期末)如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.8【解析】选D.从B向AC作垂线段BP,交AC于P,点P即为所求.设AP=x,则CP=5-x,在Rt△ABP中,BP2=AB2-AP2,在Rt△BCP中,BP2=BC2-CP2,∴AB2-AP2=BC2-CP2,∴52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4,在Rt△ABP中,BP==4.8,∴AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8.[变式二]已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( )A. B.C. D.不能确定【解析】选B.等边三角形的边长是3,所以等边三角形的高是.设点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则×3(h1+h2+h3)=×3×,所以h1+h2+h3=.[变式三]已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的距离是__________.【解析】如图,连接PA,PB,PC,作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,AH⊥BC于点H,则PD=1,PF=2,AH=4,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∵S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA,∴AH·BC=PD·AB+PE·BC+PF·AC,∴4=1+PE+2,∴PE=1,即点P到BC的距离为1.答案:1[变式四]等边三角形的边长为a,P是等边三角形内一点,则P到三边的距离之和是________.【解析】如图,∵等边三角形的边长为a,∴等边三角形的高为a,连接PA,PB,PC,设点P到AB,BC,AC边的距离分别为h1,h2,h3,则S△ABC=a·a=AB·h1+BC·h2+AC·h3,即a·a=a·h1+a·h2+a·h3, 整理得,h1+h2+h3=a,即P到三边的距离之和是 a.答案: a。
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
1.1 等腰三角形第2课时(课件)八年级数学下册(北师大版)
D
B
E
C
五、当堂达标检测
5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
B
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
C
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °-∠DBA) ÷2 = (180°-30°)÷2=75°.
两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.
你能证明你
的猜想吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：等腰三角形的重要线段的性质
猜想证明
1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
A
已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是
△ABC的角平分线．
D
E
求证:BD=CE.
B
1 2
C
二、自主合作，探究新知
D
C
二、自主合作，探究新知
(4)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
A
为什么？
E
解：（4）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= AC，AE= AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
6.已知:如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，
N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证:DM=DN.
证明: ∵AM=2MB,∴AM= AB.
八年级数学等腰三角形课件.
∴∠B＝∠C（等边对等角）
第十四页，共24页。
证法欣赏
方法一：作顶角∠BAC的平分线AD。
A ∵AD平分∠BAC
方法二：作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
A
∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中
1
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
2
在△ABD与△ACD中
AB＝AC（已知）
∠ADB ＝∠ADC＝90°
∠1＝∠2（已证） B
分？并指出重合的部分是什么？
（3）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
第四页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
第五页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2 x
∴∠A+∠ABC+∠C= x 2x 2x 1800
x 360
在△ABC中∠A=36度 ∠ABC=∠C=72度
第十八页，共24页。
基础训练
（1）已知等腰三形的一个顶角为36° ，则它的两个底角
分别为
72° 、72° .
（2）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角
A
B
C
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没
有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
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动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第2课时)优秀教学案例
3.鼓励学生提出自己的问题，培养学生的提问能力和批判性思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，每组成员共同讨论和探索等腰三角形的性质。
2.设计具有合作性的任务，如共同完成一个等腰三角形的拼图游戏，或者一起解决一个实际问题。
4.教师通过观察学生的学习行为和表现，了解学生的学习状况，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些生活中常见的等腰三角形形状的物体，如金字塔、梯子等，引发学生对等腰三角形的关注。
2.提出与等腰三角形相关的问题，如“你们观察过这些物体的形状吗？它们有什么特点？”等，激发学生的思考和探索兴趣。
2.问题导向的教学策略：通过设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养了学生的逻辑思维能力和问题解决能力。同时，教师还鼓励学生提出自己的问题，培养了学生的提问能力和批判性思维。
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够共同探索等腰三角形的性质，培养团队合作意识和沟通能力。同时，小组合作也能够激发学生的学习积极性和主动性，提高学习效果。
4.教师在课后与学生进行交流，了解学生在作业过程中遇到的问题，给予针对性的指导和建议。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入金字塔、梯子等实际生活中的等腰三角形形状的物体，激发了学生的学习兴趣，使学生能够更好地理解和应用所学的数学知识。这种生活情境的创设，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够让学生认识到数学与生活实际的联系，提高学生运用数学解决问题的能力。
本节课的教学目标是让学生掌握等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。同时，通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探索、发现和总结等腰三角形的性质，从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
北师版八年级数学下册等腰三角形的性质课件
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形(教案)
举例：在平面几何中，当一个三角形是等腰三角形时，可1）等腰三角形性质的理解与应用：学生需要理解并熟练掌握等腰三角形的性质，能将其应用于解决问题。
难点解析：学生可能会混淆等腰三角形底边中线、高、角的平分线的关系，需要通过实例和练习加深理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等腰三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次等腰三角形的教学中，我发现学生们对于等腰三角形的定义和性质掌握得相对较好，但在实际应用和判定方法上还存在一些问题。通过这次教学，我有以下几点思考：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是指有两边长度相等的三角形。它的重要性体现在其独特的性质和应用方面。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等腰三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如等腰三角形的判定方法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
5.教学过程中，我发现部分学生对等腰三角形在实际问题中的应用感到困惑。针对这个问题，我计划在今后的教学中增加一些与生活密切相关的实例，让学生更好地理解等腰三角形在实际生活中的应用。
6.总结回顾环节，我要求学生对所学知识进行梳理，并鼓励他们提出疑问。从学生的提问来看，他们在某些知识点上还存在盲点。在今后的教学中，我要更加关注学生的疑问，及时解答，帮助他们巩固所学知识。
13.3.1等腰三角形(第二课时)教案
等腰三角形教案（第二课时）一、内容和内容解析1、内容等腰三角形的判定。
2、内容解析本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形判定。
二、教学目标1、知识与技能（1）探索等腰三角形判定定理．（2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．（3）了解等腰三角形的尺规作图.2、过程与方法（1）探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；（2）通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。
3、情感态度价值观目标：（1）学生通过积极参与分析，体验到学习知识的乐趣，思考的魅力，增强应用数学的意识。
（2）经历运用等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高运用知识和解决问题的能力。
三、教学重点与难点1、重点：理解和运用等腰三角形的判定定理；2、难点：等腰三角形判定的利用作中线的证明方法。
四、教学方法和教学手段1、教学方法：师生问答探究教学法数形结合法2、教学手段：多媒体教学（PPT）、圆规直尺作图分析五、教学过程（一）、教学流程设计。
1、复习旧知，回顾思考: 通过对等腰三角形性质的复习提出问题，引发学生思考；2、讨论分析，论证性质: 通过探索，归纳等腰三角形的判定并予以证明；3、课堂练习，师演生学：在解题过程中加深对判定的理解，学会判定的运用及等腰三角形的画法；4、梳理反思，布置作业：回顾反思，从知识、方法、情感态度等方面谈收获。
（二）、教学过程设计。
问题与情境师生活动设计意图时间一、复习旧知，回顾思考：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？回顾：性质定理证明方法是什么？思考：一个三角形满足什么条件是等腰三角形？如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。