散射场helmholtz积分公式
【doc】用光散射法测量表面粗糙度
用光散射法测量表面粗糙度计量与检测用光散射法测量表面粗糙度一,导害上海交通女学严慎张鄂随着新材料,新工艺的不断涌现,人们对精密机械的质量及结构小型化提出了更严格的要求,从而也提高了对工作表面功能的要求.例如:录像机中用金刚石刀具加工的导轮和经过抛光的录像头,和用来贮存信息的磁盘及光盘的表面质量等,这些表面的表面粗糙度必须控翩在见=0,01m左右.由于在精密加工过程中,刀具的磨损及偶然现象的产生乃不可避免,单靠控制加工工艺参数很难得到所要求的表面质量.所以表面粗糙度的在线或生产现场的测量及控耕也成为一项重要要求.传统的方法是采用触针式仪器来进行表面粗糙度测量.然而,触针式仪器的不足之处在于;1)触针和被测面相接触,造成表面划伤,触针磨损,2)调整与测量时间较长,尤其是测量小曲率半径曲面;8)仪器昂贵(~Talysurf一6型),对环境要求高,无法在生产现场进行测量,所以.一般认为,采用触针式仪器的测量方法是一种实验室技术.要克服上述不足,就必须发展无损,非接触式的快速检测方法.常用的方法有气动法,电容法,电感法和光学法.针对表面粗糙度测量来说,目前,最引人注目的是光学方法.光波的波长比较短原则上可以实现高精度测量.有三种典型的光学方法干涉法激光触针法和光散射法.干涉法主要用于测量光学表面及其它高反射率表面的表面轮廓(面形), 但要应用于机加工表面是困难的.激光触针法目前国内尚处于研究阶段该方法结构复杂要求仪器剐性好,运动精度高,对环境要求也很苛刻.这两种方法都能获得表面的轮廓,实验室精度都可达到纳米级.激光散射法是通过对散射场的统计来表征表面性质的,这种方法的主要特点是;结构简单,对环境要求低,操作方便,精度能满足工业检测的需要,适台于在生产现场作质量控制,是一种提有实际应用前途的测量方法.=,光在租髓襄看散射的基奉原曩从六十年代开始,人们提出了多种理论来描述光在粗糙表面的散射,但是,至今还没有一种理论能适用于整个工程表面粗植度范围.其主要原因是被测表面种类繁多,性质各异,很难找到统一的边界条件.目前比较常用的有两种描述方法,即衍射模型和微小镜面模型.前者适用于描述光在中等或比较光-滑表面的散射. 后者适用于光在较粗糙表面的散射.1.衍射模型衍射模型的基本思想是:当一束光入射到被测表面的一个区域上.由于表面是粗糙的, 反射光向空间各个方向散射,形成一个散射场,场中某点的场强是被测面上各面元波睁衍射积分在该点的迭加.Beekmann首先从Helmholtz积分出发,在Kirehhoff衍射近似条件下,确定了在镜反射方向上和偏离镜反射方向上的散射光的平均强度.他的结论为测量远场散射光来估算表面粗糙度的方法提供了理论根据.如图l所示,当一束单位强度准直单色光束入射到粗糙表面时.散射光向空间各个方向2ij\///b\椭一一4"//'W//f/fw//}f|玎了X圈1散射,如果表面的自相关函数为归一化的高斯函数,表面高度变化符合高斯分布,对这样的一维随机表面,散射光的分布为:I(02)=e-I【8inc￡+警em】(1)——..Ju其中:T为表面相干长度￡为表面被测区域长度,;旱(sin0一sin0);为入射光波长;旱(删l+c):F;[1+co8(0l+0:)l/cos01[c0E+co8O2]}Rq=[圭J:Z2()d].为均方根,粗糙度Z()为表面轮廓.当考虑高精度表面时,(R)《1I(1)可简化为:I(0z)=e-I[8inc￡+e.㈤当考虑较租糙表面时,(R).》1;有Ⅲe(-V棚(3)上述三式给出了散射光分布与月和的关系.它是目前应用最广泛的一种理论描述.2.微小镜面模型微小镜面模型是适用于描述光在较租糙表面的散射.它是基于担糙表面由一系勋微小镜面组成,光在每个镜面上的反射遵守几何光学中的平面反射定律.这样就可以在轮廓角6的分布尸(6)与散射光的分布(0.)之间建立起紧密的关系.=…tfX+—一X图2为了简化描述,假设图2中的表面是一维随机表面.图中,6为轮廓角,Ax为一个小镜面在轴上投影的宽度.L为入射平行光的宽度,中为入射光的光通量.如图2所示,照射到轮廓角为b≤6≤6.-I-△6的轮廓上的光通量是t △中=芈∑Axf(4)_t轮廓角6的概率密度分布定义为;尸(6)=1_,∑△/△6(△6足够小,LL足够大)P(b)Ab;∑△L△中=中尸(6)Ab(6)如果材料的反射系数为月,那么在反射角0≤0≤0:十△0范围内的反射光通量为:△中=R?△中(6)一8一但定入射光是垂矗入射的,青=.dO=6.将(6)式写成微分形式:6d/do=.RP(b)夸:K={?K,』()=dr/d0z有.f∞'(7)L0:=…(7)式建立了散射光空间分布,(0)与表面轮廓角分布之间的关系它适用于当表面起伏量远远大于入射光波长,衍射效应可以忽略下的条件.三,裹薯瞿I蠢度光散射法测量方案的具体实现根据光在粗糙表面的散射原理,内外已经研究开发了多种测量表面粗糙度的仪器和装置,但是已经报道的商品化仪器只有两种.即国内根据程路.桉环比原理研制的仪器,及国外Brodmann等人研制的仪器(由Rodens~ock公司生产).本文分析介绍镜反射率法. 核一环比法及Brodmanni去三种比较典型的仪器和装置t.镜反射率法镜反射率法是基于Beckmann理论的多种方法中的一种.当考虑高精度表面时,前面所述的(1)式可简化为(2)式,对镜反射光来说:=0J,V=0.V=苹e0s0I,F:1,AL》,这样可以得到镜反射光,:,.:I(O2):e一(B1)(8)在上面推导中.入射光强度假设为单位强度.如果入射光强为,.在不考虑吸收的情况下(0.=0=0,垂直入射):x[一(睾)】(.)其他漫散射光——4——,^{1-exp[一(睾娜(16)定义P=,./I为镜反射率,0为镜反射光与漫反射光之比,'0:』/Id=』/(i一,,)=P/(1一P)I"图3图3是利用镜反射率法来溯量高精度平面和球面粗糙度的装置简图.图中,为入射激光柬;LJ,L2.厶,厶为透镜;BS为半透半反板,S1.S:为小孔光栏;D,D为光电探测器.在图8中.入射到被铡面的光线都和被测面垂直,镜反射光』,原路返回.经S.后由D-接收,而D是用来探测入射光强, 的.这样.很容易获得镜反射率P.本文作者利用该法则量钢球表面粗糙度巳取得了一定成效.这种方法结构简单,对环境要求低,适合于在生产现场附近作快速质量控制:不足之处是见>lOOnm后灵敏度迅速下降.2.核环比"法用.核环比参数来表征表面租糙度的方法适台于铡量高精度研磨型表面.图4为核如圈,(f=1,2,…)为第i个光敏元接收K到的光能(共有个光敏元).取Sv与执作为统计特征参数:图4环比法测量装置的简图.图中,I为入射激光束,在被测表面发生散射.光核"部分(I)在远场由D接收.散射光环部分(,)由D:接收,核环比K=I,L.在使用该方法时,既要根据程路模型结合具体情况确定合适的光核与光环的尺寸,同时必须保证D,D:的灵敏度和线性是一致的.最新的核环比测量装置以半导体激光器作为光源,并采用了经过补偿的对数放大器,这样可以使精度稳定在1小级以上.该方法的测量范围为R<0.01gm~0.32gm.8.Brodmann法由Brodmann等人研制的仪器是一种带有专用计算机的较复杂的系统.这类仪器已经成功地应用于多种在线检测领域.图5为该系统的简图.L宙5发光管(LED)发出的光经L2准直后,再经半透半度板BS和透镜L投射到设测表面上.散射光径厶后再由Bs反射揖射到光电二级管阵列上,所刊得的光散射分布经计算机处理后,求得表征表面粗糙度的特征参数.;K.∑(i—i)P.(11)B=K∑『f—i『Pf(12)其中:=∑iP.P.=Iig/∑,心是一个与几何结构有关的常数,是信号修正权系数.使用适当的g(f=1,2,…,)有利于提高系统的动态范围,这是Brodmann 法的一大特点.S在Ro<0.O1m～】gm时和月.有很好的相关关系.这种仪器也可应用于曲面粗糙度测量.由于每次铡量只需40ms. 所以可应用于一般的在线测量.另外,该系统采用了特殊设计的镜头,测量值对测头与被测面之间的相对移动(<±2mm)不敏感.因而大大提高了其实用性.四,结柬语光散射法测量表面粗糙度的优点是非接触,无损,快速和可以实现在线检测.已经发展的装置和仪器都是通过对散射场的测量来获得表征表面粗糙度的统计参数,故又可称之为是特征参数法.另外这些方法都要经过标定.目前光散射法需要解决的问题主要有以下几点:1,引入适当的统计参数和散射场信号的处理,补偿技术,以提高测量的动恋范围和灵敏度,2,用计算机进行综翕分析,实现对不同材料,不同加工工艺的表面进行谭4量,3.为减小体积,提高光源的稳定性.应采用半导体激光器,高强度发光管取代He-Ne激光器等传统光源.可以设想随{旨研究的深入,光散射法将成为表面粗糙度在线测量的一种主要方法.一p一激光定位光栅检拍机的应用上海市计量技术研究所徐惠琴激光定位光栅检拍机是国内第一台用于检测计量长光栅和拍摄计量长光栅的精密仪器. 1982年获国家计量科学技术进步四等奖, 1985年被国家计量局定为全国光栅认证仪器. 1988年通过国家技术监督机构的检定.其应用范日较广,可以检测O～10O0毫米内不屈规格. 不同形状的精密玻璃光栅尺及光栅传感器的线值精度,该检拍机除了拥有仪器本体和专用电子计算机外,还配有多种附加装置,能开展多种测试服务.如光栅信号直流电平和相位变动最的测试;拍摄高精度的光栅只,高精度的感应同步器及感应同步器的母板等.以下作一简要介绍.一.计量嗣试1.检测计量长光栅目前,对计量长光栅的检测有两种方法;一是采用检测线纹尺的方法,亦即用光电显微镜动态瞄准光栅刻线的中心作为定位.得到被检光栅线纹间隔的相邻误差和积累误差.这种方法虽然简单但与实际应用不相符合.二是采用莫尔条纹法,就是将二块光栅作相对运动丽产生的黑自条纹,即奠尔条纹,由光敏元件接收并把它转换成电信号.一般用面积为10毫米×10毫米四等分的普通硅光电池作为接收元件.如图1所示.图1_安装于仪器像温罩外的6伏16瓦的自炽灯发出的自光.经准直透镜成平行光束,再由反射镜四次反射照明被光栅尺和指示光栅.调整光栅之间的夹角和间隙.以获得选定的宽度和对比度良好的莫尔条绞,并为四相硅光电池接收,送八差分放大器,从而得到相位差为90.的两路信号输入剜专用计算机中,对激光测长干涉条纹进行开门计数.这种检测方法适用于栅线长的光栅尺,对于目前宴际使用的大多为5毫米左右的光栅栅线,其检测精度不能得到保证.为此,要采用裂相法.即:将面积为2毫米x5毫米的硅光助.感谢陶正苏等同志为本文的撰写提供的帮参考文献[1]P.Beckma,{n.eta1..TheScatteringofE1ectromgneticWavesfromRough一6一Surfaces.4Loadon,Pergamon).4l9e3)[2]程路,物程,2749),41978),85l～663[3]RBrodmann,AnnalsoftheCIRP,33(1).(193j).j03一Oe[I]严礁,陶正苏,张鄂I全国机靖量诗试技术及仪器学术讨论会.论文集,最都,1钾8年9月.。
第十四章 掠入射x射线散射
第十四章 聚合物材料掠入射 x 射线衍射§14.1 引言1923 年 Compton 首先报道了当 X 射线以很小角度入射到具有理想光滑平整表面的样品上时, 可以出现全反射(亦称镜面反射)现象. 入射 X 射线在样品上产生全反射的条件是掠入射角 (Grazing incidence angle) c i αα≤ (c α临界角). 由于照射到样品上的入射角 i α 很小, 几乎与样品表面平行， 因此人们也将 X 射线全反射实验称为掠入射衍射(GID)实验. 当 X 射线以临界角 c α 入射到样品上时， 射线穿透样品深度仅为纳米级， 可以测定样品表面的结构信息; 由于常规的 X 射线衍射入射到样品表面的角度较大, 大部分射线透射到样品中的深度也较大, 是 Bragg 反射, 而表面或近表面的 X 射线衍射强度则很弱， 不能给出样品表面或近表面结构信息.随着科学技术的飞跃发展，对构成器件厚度为纳米级的聚合物薄膜已得到广泛的应用.例如, 在微电子器件中经常可见到多层聚合物薄膜的应用, 为了使用性能的要求, 这种多层薄膜不管它们的每层特性是否相同，彼此都必须有很好的粘合性；在医学上将聚合物材料植入人体中，有一点必须保证，那就是被植入人体中的聚合物材料表面一定要与人体中的血液相匹配；聚合物作为抗氧化，抗腐，抗磨的涂膜，在半导体装置的器件中已被广泛采用；有机多层复合膜用于生物传感器以及制作巨磁阻的磁性薄膜等等. 总之，在当今的生活中软物质薄膜已起到越耒越重要的作用. 因此，在原子, 分子水平上对这类薄膜的表面行为和界面行为的表征是极其重要的. 在此基础上, 对其结构和成型条件进行调控，以提高它们的性能和使用范围已日益显得重要.在过去30 多年中，由于表面散射理论的发展，先进实验及检测装置的开发和大功率辐射源的启用，使得应用 X 射线散射方法研究薄膜及界面的特性有了长足的进步. X 射线方法由于制样简单，测试后样品一般不被破坏且所得信息可靠，精确；同时被测样品从晶体到非晶体，可以是固体也可以是液体. 故 X 射线方法在单层和多层薄膜结构分析中是最被广泛应用的工具. 目前，对各种液体，聚合物，玻璃和固体表面，甚至是复合薄膜材料的表面和界面结构都可以从原子尺度到几十纳米尺度上获得可靠而精确的表征.将 X 射线全反射与高分辨电子显微镜(HREM)，原子力显微镜(AFM)，扫描隧道显微镜 (STM)，变角光谱椭圆仪(VASE)等相结合，用于探求表面和界面在实空间和倒易空间的结构信息，大大推动了材料表面科学的发展.§ 14.2 掠入射衍射几何分类及其特点§ 14.2.1 掠入射衍射几何分类掠射衍射几何分类主要有下述三种(图14.1):1. 共面极端非对称衍射(EAD)(图14.1(a))这种掠射衍射的几何特点是衍射面与样品表面之间构成近Bragg 角，入射 X 射线与出射 X 射线同样品表面之间都形成掠射角，衍射线与入射线及样品表面法线共面.2. 共面掠入射衍射(GID) (图14.1(b))此时掠入射衍射面与样品表面垂直， 且也是入射 X 射线与出射 X 射线同样品表面之间都形成掠射角，衍射线与入射线及样品表面法线共面.3. 非共面掠射 Bragg-Laue 衍射(GBL)(图14.1(c))这种条件下的掠射衍射几何，实际上是上述两种掠射几何的联合.它含有与样品表面法线倾斜成很小角度的原子平面的衍射，因此倒易矢量 s 与样品表面形成很小角度； 也可以是通过掠入射角度或掠出射角度微小改变形成的掠射 X 射线非对称衍射. 入射线，反射线和衍射线不共面，但均与样品表面间有很小夹角且反射面与样品表面几近垂直.图 14.1 掠入射和出射 X 射线衍射几何(a) EAD X 射线衍射几何(b) GID X 射线衍射几何(c) GBL X 射线衍射几何图中， s f i k k k ,,分别为入射波矢，镜面反射波矢，衍射波矢；s是相对于 Bragg 平面的倒易矢量.ϕααα,,,s f i 分别是 s f i k k k ,,s 与表面间夹角；B θ 为 Bragg 角.§ 14.2.2 掠入射衍射特点1. 在掠射衍射几何中，Bragg 衍射与全反射同时发生，它可以探测沿样品表面或界面内原子尺度的结构变化. 在 GBL 几何条件下，动量的传输是沿样品表面或界面进行；在 EAD 几何条件下，沿样品表面的动量传输也比较大.2. 全反射现象造成 Bragg 衍射偏离倒易点阵，产生临界掠射角 c α，反射强度的极大值位于临界掠射角 c α 附近.3. 当掠入射角 i α 稍大于 c α 时, 改变入射角可以探测样品表面内部由几纳米到几十纳米不同深度的结构，适宜研究表面，界面和外延生长膜的结构.4. 可以探测多层膜的层数、厚度和表面粗糙度等.§ 14.3 掠入射 X 射线衍射仪及实验方法简介§ 14.3.1 掠入射 X 射线衍射仪掠入射 X 射线衍射实验装置与通常 X 射线衍射实验设备的不同之处在于，它采用掠入射角进行样品表面的 X 射线衍射测量. 掠入射 X 射线衍射实验装置必需具有高的分辨率 (±0.0010) 和良好的准直系统. Philips 公司和 Bruker 公司等都有已商品化的掠入射 X 射线衍射实验装置. 图 14.2 是日本 Rigaku 公司生产的 ATX-G 型掠入射 X 射线衍射仪. ATX-G 带有全反射面内 (XZ 平面)三轴，18 KW 旋转阳极靶，多层镜与 4 晶单色器的高分辨及高准直系统. 在保证掠射条件下，探测器可在 1/4 球面范围内扫描. 该仪器上可采用其它测量方式进行薄膜的数据采集..图 14.2 ATX-G 掠入射 X 射线衍射仪图 14.3 是掠入射 X 射线衍射仪光学系统. 它是一种典型的全反射测量 X 射线仪.由高功率旋转阳极靶产生的辐射首先经过第一狭缝准直；根据对单色化和入射 X 射线强度的不同要求，单色器可采用石墨晶体，Si 单晶，Ge 单晶或切割晶体. 一般采用切割 Ge 晶体，并选用多层镜使射线经过多次反射以提高分辩能力；单色化后的射线再通过第二狭缝进一步准直，整个准直过程可通过计算机自动完成. 样品则被置于可控制入射角(i α)和出射角 (f α) 的 X 射线测角仪上. 为降低背底散射和出射 X 射线束的发散度，在探测器前放有狭缝 3 和狭缝 4.图 14.3 掠入射 X 射线衍射仪光学系统§ 14.3.2 掠入射 X 射线衍射实验方法简介在做掠入射 X 射线衍射实验时，为了提高测量厚度 d ，粗糙度 σ 的精确性，将样品置于带有高分辩测角仪的竖直样品架上(图14.4)； 样品表面的倾斜可通过转动 R X 和R Y ， 以达到样品表面法线与 Z 轴平行且使样品中心正好处于 χ 旋转轴与 ω 旋转轴交点上. 之后再调节样品位置使其与入射 X 射线对准，这一过程是通过反覆调节 Z 方向和转动 ω (或 θ)角位置，直到样品位置处于入射 X 射线束中心. 样品在这个位置时，仅有一半的入射 X 射线强度被检测到. 然后将探测器的 2θ 角设置在合宜的位置，再进一步调节 Z 方向和 ω，χ 角位置，直到探测器能测得其最大强度时，实验前样品位置的调节方为完成. 然后可按设定的采样条件进行测试记录.薄膜样品的制备方法有多种,如 LB 膜、电沉积和溶胶 - 凝胶法等;一般常用的方法是: 将已被事先溶好的待测试样的溶液，滴在 Si 或SiO 2 单晶衬底上，采用高速旋转涂膜法，制得不同厚度的样品.图 14.4 测角仪示意图图14.5是不同厚度的乙丙共聚物(PEP)薄膜 X 射线镜面反射强度与 Z 方向波矢关系曲线. 图中，)sin (sin ,,f i z f z k k k q z i αα+=-=图 14.5 不同厚度 PEP 反射强度与 q z 关系曲线§ 14.4 掠入射 X 射线衍射基本原理§ 14.4.1 掠入射 X 射线衍射全反射设具有平面波特征的电磁场，在点 r 处的电场强度为 )exp()(0r k i E r E i ⋅=. 该电场强度在介质中的传播特性可按 Helmholtz 方程表示:022=+)()()(r E r n k r E ∆ (14.1)这里，λπ2==k k ，k 是波矢；λ 是辐射线波长；n(r) 是位于 r 处的折射率， 对于均匀介质 n(r) 是与位置无关的常数.如果具有谐波振动的介质在单位体积内含有 N 个原子，谐振频率为 i ω，则 n(r) 为: ∑=--+=N i i i i i f m e N r n 12202221)(ωηωωε (14.2)式中，ω 是入射电磁波频率；e 和 m 分别为电子的电荷和质量；i η 为阻尼因子；i f 为每个原子的电子强迫振动强度, 通常为复数. 对 X 射线, ω>i ω，则式 (14.2) 可简化为:)()()(r i r r n βδ--=1 (14.3) 式中，∑='+=N i i i i A e E f Z A r N r r 12))(()(2)(ρπλδ (14.4) ∑=''=N i i i A e E f A r N r r 12)()(2)(ρπλβ (14.5))(r δ与色散有关；)(r β与吸收有关. 必须指出，除了少数材料(例如PE)在 X 射线吸收边缘外，一般材料的色散项 )(r δ 大于零；N A 为 Avogadro 常数；λ 为 X 射线波长； )(r i ρ 是位于 r 处， 原子量为 A i ，原子序数为 Z i 的第 i 个组分的电子密度；经典电子半径 r e (或称 Thomson 电子散射长) 的数值为: r e =2024mc e πε=2.814⨯10-5(Å)；f ' 和 f '' 是实的(色散项)和虚的(吸收项)反常因子.理论计算表明，吸收项 β 值一般要比色散项 δ 值小 2 ~ 3 个数量级；故在计算 折射率 n(r) 时，常把 β(r) 值略去，即式 (14.3) 成为:n(r)=1-δ(r) (14.6)但应当注意，对那些原子序数大的原子，β 的作用不可忽略；同时，随着 X 射线辐射波长的增加，X 射线与样品间的作用也增加，β 的作用亦不可忽略. 在这两种情况下，不论样品的化学结构如何，折射率 n(r) 成为复数.在掠入射条件下， X 射线由光密介质 (n 1) 入射到光疏介质 (n 2) 时，由于入射角 i α和出射角 f α 都很小，故波矢差i f K K q -=也非常小(图14.6). 当介质为均匀且介质波长远离 X 射线吸收边时，折射率可化为:图14.6 位于 XZ 平面内的电磁波在掠入射角为 i α 条件下，入射波矢 K i ，反射波矢 K f 和折射波矢 K t (图中 t α 为折射角) πλμπρλ4212i r n e --= (14.7)根据光学中的 Snell 定律，由图14.6可知:n 1cos i α=n 2cos t α (14.8)式中，n 1，n 2 是介质 1，2 的折射率. 由于真空或空气的 n 1=1，所以式 (14.8) 化为:cos t α=cos i α/n 2 (14.9) 式(14.9)表明，由光密介质进入到光疏介质中，若 n 2>1，由式(14.6)知，δ<0，则t α>i α， 此时对任何入射角 i α 的值，都有 t α 与之对应. 反之，如果 n 2<1，即 δ>0，则 t α<i α，由此可以看出，当 i α 小到某一值时，t α0→，则 cos t α=1. 把 t α=0 时对应的 i α 角度称为临界角并以 c α 表示. 上述结果说明，只有在 i α>c α 时，t α>0，有折射发生；当i α≤c α 时没有折射出现，称为全反射(或称镜面反射). 当然，由于吸收作用将有很小的反射损失. 在全反射下，X 射线不能深入到介质中. 全反射是研究薄膜表面结构的重要方法，它在研究表面和界面结构，吸附，相变，粗糙度中都得到了广泛地应用. 当入射 X 射线同样品表面夹角在 c α 附近时，伴随的 Bragg 衍射，其散射线的穿透深度仅为几纳米，可以测定样品表面原子排列，称为二维 X 射线散射.由式(14.9)可知，如果t α=0,此时的i α即为t α,则 cos c α=cos i α= n 2=1-δ，所以:c α=πρλδe r =2 (14.10)式(14.10)表明，临界角 c α 与 X 射线波长和介质的电子密度有关. 当介质一定时，c α∝λ.λ 越大，c α 也越大. 表14.1列出了部分材料的某些相关参数值.表 14.1 部分材料的 c ,,αμδρ和e r 值材料 )10(210-cm r e ρ )10(6-δ )(1-cm μ )/( c α真空 0 0 0 0PS(C 8H 8)n 9.5 3.5 4 0.153PMMA(C 5H 8Cl)n 10.6 4.0 7 0.162PVC(C 2H 3Cl)n 12.1 4.6 86 0.174PBrS(C 8H 7Br)n 13.2 5.0 97 0.181Quartz(SiO 2) 18.0-19.7 6.8-7.4 85 0.21-0.22Silicon(Si) 20.0 7.6 141 0.223Nickel(Ni) 72.6 27.4 407 0.424 Gold(Au) 131.5 49.6 4170 0.570表 14.1表明，c α 值很小，通常为一度的十分之几. 对 X 射线而言，δ的量级为 ~ 10-6，可见折射率 n 稍小于 1.当将通用的 PE 样品置于空气中时，由于它的 δ<0，所以它没有 c α 值，不存在全反射现象.上述讨论中，应用 X 射线研究聚合物薄膜时，入射线的偏振不是主要的，因此偏振效应不予考虑. 对一些小分子材料，由于这些材料具有较高的取向或具有一定的磁矩，在这种情况下，X 射线入射线的偏振不能忽略.§ 14.4.2 反射系数和透射系数设仅考虑具有平整光滑的真空/介质单层界面(图14.6).介质 1 (真空)中平面电磁波强度为 )exp()0,,0()(r k i A r E i i ⋅=，以波矢 )sin ,0,(cos i i i k k αα-= ，临界角为 c α 入射到具有折射率为 βδi n --=1 的介质 2 的表面上，在这一条件下产生的反射波强度为 )ex p()0,,0()(r k i B r E f f ⋅=，其中波矢 )sin ,0,(cos i i f k k αα= ;透射波强度为)exp()0,,0()(r k i C r E t t ⋅=，其中波矢 ),,(,,z t x t t k k k 0= . x t k ,，z t k , 可以根据折射定律确定.假定垂直于 XZ 平面在 Y 方向的电磁波呈线性偏振 (S-偏振)，在 Z=0 平面上电磁场的切向分量是连续的, 则反射系数和透射系数分别为: r s =B/A ，t s =C/A. 由 Fresnel 公式有: z t z i zt z i s k k k k r ,,,,+-= (14.11)z t z i zi s k k k t ,,,2+= (14.12)由图14.6可知，i z i k k αsin ,=，t z t nk k αsin ,=，再由式 (14.9)，经过简单运算可得， 2122,)cos (i z t n k k α-=，把上述 z i k ,，z t k , 代入式 (14.11) 和式 (14.12)，略去高阶小量，则有:21221222)(sin sin )(sin sin δααδαα-+--=i i i i s r (14.13) 212)2(sin sin sin 2δααα-+=i i is t (14.14)同理，位于 XZ 平面内，垂直于 Y 方向的电磁波偏振是线性的 (P-偏振)，则其反射系数和透射系数分别为:zt z i zt z i p k k n k k n r ,,2,,2+-= (14.15) z t z i zi p k k n k t ,,2,2+=(14.16)亦即，212212)2(sin sin )21()2(sin sin )21(δααδδααδ-+----=i i i i p r (14.17)2122212)(sin sin )(sin δααδα-+-=i i ip t (14.18)将式 (14.11) 和式 (14.12) 同式 (14.15) 和式 (14.16) 比较可知，X 射线在掠射情况下，n →1，所以 r p =r s ， t p =t s . 本文仅考虑 S-偏振现象.反射波的强度，即 Fresnel 反射率定义为: R f =2r .当 i α 较小时，可以得到 R f 为:R f =22212221)()(p p p p i i +++-αα (14.19)其中，P 1 和P 2 分别为折射角 21ip p t +=α 的实部和虚部:[])()(22222221421c i c i p ααβαα-++-= [])(4)(2122222222c i c i p ααβαα--+-=图 14.7 给出了 Fresnel 反射率 R f 与c i αα关系曲线.图14.7 在不同的 δβ 值下反射率 R f 与 c i αα 关系曲线 (图中采用CuK αX 射线，Si/真空界面， δ=7.56610-⨯，c α=0.220) 图14.7表明，对不同的δβ 值，当固定 δ 时，吸收作用仅在临界角 c α 附近(c i αα→1)，才有明显的作用；当 i α>c α 时， R f 值迅速下降. 由式 (14.19) 可知，当 i α>3c α 时，R f 可以简化为:R f ≈42)(ic αα (14.20)材料的反射率是重要的物理参数，由式 (14.19) 和式 (14.20) 可知，通过改变入射 X 射线波长或改变入射角 i α，这两种方法均可测得材料的 R f 值. 同时亦可知道，当 i α 很大时，R f ∝4-i α，这表明 R f 4i α→ 常值，与第十二章所述 Porod 定律相比可知，由于i α∝k i ，因此对于明锐的相界面，在较大 k 值下，小角散射强度 I(S)∝k –4.实际上，由于界面存在粗糙度，并非理想光滑，反射率 R f 随 i α 增大，其下降速度比 4-i α 关系更快些.图14.8是 Fresnel 透射率 T f =2t~ ciαα关系曲线. 从图中可以看出, 当i α≈c α时，对不同的δβ值下，T f 达到最大值. 同 β=0 (无吸收)情况相比，随着吸收 (β)增加，T f 值稍偏向小 c α 方法移动. 这是因为反射波和透射波的干涉造成了透射波振幅增加所致. 当 i α 较大时，T f →1, 此时入射波较容易的进入到介质中. 在i α~ c α 处，瞬逝波(波在 Z 方向的传播按指数衰减进行，透射到样品表面下的深度极小，X 射线衍射强度急剧衰减)的最大透射强度可用下述近似式计算:T f =cαβ214+(14.21)图 14.8 不同的 δβ 值下透射率 T f 与 c i αα 关系曲线(图中采用CuK α X 射线，Si/真空界面，δ=7.56610-⨯，c α=0.220，小图为 ciαα~ 1 情况)§ 14.4.3 X 射线穿透深度通常，由于吸收效应，入射 X 射线波在进入到样品中后，会不断衰减，将入射 X 射线强度衰减为原来强度的 1/e 时，X 射线达到的深度，定义为穿透深度. 由式(14.19)知，具有复数形式的折射角为: 21ip p t +=α，在介质表面下 (Z ≤0)，电场强度 t E的数值为:[])exp()(exp 21,kzp kzp x k i C E E x i t t -==(14.22)当i α≤c α时，p 2 很大，由式 (14.22) 可知，电场强度 E t 急速下降，波的传播按指数衰减进行 (又称瞬逝波)，此波波矢与介质表面几乎平行，其穿透深度 Λ 为:[]2122222242---+-=)()(c i c i ααβααπλΛ (14.23)式 (14.23) 说明，穿透深度 Λ 随掠入射角 i α 改变，因此测定不同深度的结构，可以通过调整 i α 来达到. 当 i α→0 时，ρππαλΛe c r 4120==(14.24) 可见此时穿透深度 0Λ 与 λ 无关. 对大多数材料 0Λ ~ 5nm. 从 0Λ 值也进一步说明，当入射 X 射线角度很小时，散射主要发自于靠近样品表面. 利用这一性质可以探测材料的表面结构. 图14.9表明，当c iαα>1 时，此时 X 射线仅受材料的吸收影响，穿透深度迅速增加. 理论上当 β=0，即无吸收作用时，具有无限大的穿透深度 Λ.图 14.9 在不同的 δβ 值下穿透深度 Λ 与 ciαα 关系曲线(图中采用CuK αX 射线，Si/真空界面，δ=7.56610-⨯，c α=0.220)从式 (14.23) 可以导出，最大穿透深度 Λmax :Λmax =βλ4=μπ(14.25) 对大多数材料，在 i α=2π时，Λmax ~ 104-105Å.§ 14.5 多层膜系统§ 14.5.1 双层膜系统实用器件中常采用多层膜结构以达到特殊使用要求，因此对多层膜表面结构的研究比单一表面层结构研究更为重要. 对于多层膜结构所有各个界面的散射都必须计及. 图 14.10 是双界面结构衍射几何图.图 14.10 双层界面结构衍射几何图将处于真空(或空气)的薄膜样品(介质1)置于衬底(介质2)之上.由图14.10可知，如果以 r 0,1 表示真空与样品间的反射系数；以 r 1,2 表示样品与衬底间的反射系数；d 为样品厚度.在此条件下的反射系数为: )2exp(1)2exp(,12,11,0,12,11,0d ik r r d ik r r r z z s ++==)exp()exp()(,,,,,,,d ik r r d ik r r r z z 12110121021102121+-+(14.26)由此可进一步得到反射率 R 0,z 为:R(k 0,z )=[][])2exp(Re 21)2exp(Re 2,12,11,022,11,0,12,11,022,121,02d ik r rr r d ik r r r r r zz s ++++=(14.27)取其实部:R(k 0,z )=)cos()cos(,,,,,,,,,,d k r r r r d k r r r r z z 121102212101211022121022122++++ (14.28)作为例子，图 14.11(a) 是厚度为 50nm ，置于光滑平整 Si 单晶片上的氘化聚苯乙烯(d-PS) 理想薄膜，它的反射率 R 与波矢 k z 关系曲线. 由图中可以看出，在 k 0,z >k c (临界波矢)后，由于薄膜厚度引起的一系列很明显的振动波. 根据波的宽度 z k ,0∆ 可以求得样品的厚度，即 zk d ,0∆=π(cm). 图中 z k ,0∆=6.28310-⨯，所以，≈d 50nm.图 14.11(b) 则给出了 40z z k k R ,)( 与 z k ,0 的关系曲线. 由图中可以看出，全部振动波的 4,0)(z z k k R 的平均值对 z k ,0 是一常数(图中虚线所示). 进一步验证了 4,0)(z z k k R → 常数这一结论.图 14.11(a) 置于 Si 单晶衬底上 d-PS 的 R(k 0，z ) ~ k z 关系曲线图 14.11(b) 4,0)(zz k k R ~ z k 的关系曲线 § 14.5.2 多层膜系统对于具有 n 层薄膜样品，令第 n+1 层是半无限长衬底，最上层为真空(或空气)，设第 j 层的折射率为 j j j i n βδ--=1，厚度为 d j (j=1，2，…n)，掠入射角 i α，反射角为 f α (图 14.12). 在这种多层膜结构中，每个界面用一个变换矩阵表征，将代表 n 个界面的变换矩阵相乘，则可求出反射率. Parratt 给出了具有 n 个界面的 X 射线反射率递推公式:()112112121221++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+++++++j j j j j j j j j i j j j r R r R d n i R ,,,,,cos exp αλπ (14.29)式中，1+j j r , 是 Fresnel 反射系数；2,1++j j R 是 1,+j j R 的下一层的反射率. 整个递推计算过程由衬底和第 n 层薄膜开始，逐渐一层一层往上推算，直到得到真空(或空气)/样品界面，图 14.12 多层膜掠入射几何获得 R 1,2 值为止. 应注意, 因为衬底为无限厚，故 R n ，n+1=0. 由 R R =22,1 给出样品表面总的反射强度.图 14.13 是置于 Si 单晶片上的厚度 d=80nm 的 PS 的计算结果. 整个计算中采用 λ=0.154nm ，i S δ=7.56610-⨯，401=Si Si δβ，PS δ= 3.5610-⨯，2001=PS PS δβ，由于最顶层是真空介质, 当入射角很小时, 其临界角 PS c ,α=PS δ2=0.150，Si c ,α=Si δ2=0.220.由图中可以看出，当掠入射角 Si c i ,αα> 时，反射率 R 按指数4)2(ic αα 迅速降低. 反射率 R 对2i α曲线中存在Bragg 衍射峰, 由 Bragg 衍射峰的位置可以确定多层膜的平均厚度.存在于 Bragg 衍射峰之间,宽度很窄的衰减振动条纹是真空/PS 和 PS/Si 单晶界面相互间干涉形成,称为 Kiessig 干涉条纹.由 Kiessig 干涉条纹的振动周期i α∆可以求得多层膜总的厚度, 即 ()i z 2/q /2d α∆λ≈∆π=,这里i z k q αsin 2=.图 14.13 反射率R ~ i α 振动条纹曲线 (PS/Si 界面)§ 14.6. 粗糙度前面所有对单层或多层膜的反射率，反射系数等的处理都视膜表面，衬底表面以及其间的界面为理想光滑平整，没有厚度起伏存在，界面是理想明锐的，即在数学上将由第 j 层到第 j+1 层的折射率 n j+1 作为常数. 然而，实际上表面和界面均存在厚度起伏，是粗糙的. 由于电子密度的连续改变，导致折射率也是连续的变化. 界面粗糙度分为两种:其一是几何粗糙度,本章仅讨论这种情况下的界面粗糙度;其二是由化学组成造成的界面粗糙度.表面(或界面)厚度起伏有两种情况，一种是表面(或界面)厚度起伏曲率与聚合物的相干长度 c l 相比较小，但从一个厚度的起伏到另一个厚度起伏，其平均长度比 c l 大；另一种情况恰好与上述情况相反，与聚合物相干长度 c l 相比，表面(或界面)存在较大曲率的厚度起伏(图14.14)，在 c l 的长度上可出现几个厚度起伏. 很明显，对于上述两种具有不同厚度起伏的表面(或界面)，表面(或界面)上密度的变化亦不同. 对第一种情况(a) (b)图 14.14 具有厚度起伏曲率较小的波浪形表面(a)具有厚度起伏曲率较大的粗糙表面(b)下，表面(或界面)各点的入射角 i α 不同，正如图 14.14(a) 所示. 由于表面存在较小的曲率，尽管如此, 1α，2α 也是不同的，但均在其平均i α值附近摆动. 这种条件下(粗糙度变化不明显)的表面对入射线造成的影响，类似于入射线照射到平板上的发散效应 (图14.14(a)下方). 表面法线方向密度改变是急剧的，存在不连续。
TM极化下金属圆柱包裹在介质圆柱中散射场的计算
TM 极化下金属圆柱包裹在介质圆柱中散射场的计算摘 要：本文从严格解研究散射场特性，介绍了在TM 极化下金属圆柱包裹在介质圆柱中散射场的计算,通过先求解空气和介质分界面的反射系数，进而得到RCS 随θ变化的函数。
1、引言近些年来，随着雷达遥感和目标检测技术的飞速发展，目标与环境电磁散射特性的研究越来越得到国内外学者的广泛关注。
当电磁波照射物体时，物体正负电子中心的相对位移形成电偶极矩，产生感应电流，物体上所有电偶极矩的辐射场相互干涉形成空间的散射场。
因此，散射场是电磁波与被照射物体相互作用的结果。
物体的散射回波中往往包含被照射物体的几何形状和电磁参数信息，为目标识别和特征提取提供了重要信息。
因此，目标电磁散射特性研究一直是遥感与监测等领域中十分重要且具有广泛应用价值的课题。
本文主要介绍一下TM 极化下金属圆柱包裹在介质圆柱中散射场的计算。
2、公式2.1 Helmholtz 方程在圆柱坐标下的解容易得到Helmholtz 方程在圆柱坐标下的形式为22(,,)(,,)0z k z ψρϕψρϕ∇+= （2-1）其中(,,)z ψρϕ 为一标量。
再将标量函数(,,)z ψρϕ的拉普拉斯运算的展开形式代入公式2-1可得：22222211+++0k ρψψψψρρρρϕϕ∂∂∂∂=∂∂∂∂（） （2-2） 假设标量函数(,,)z ψρϕ可以分解为()()()f g h z ψρϕ=则公式2-2将变成如下形式：22222211111+g++0f h k f g h zρρρρρϕ∂∂∂∂=∂∂∂∂（） （2-3） 通过解公式3可以得到柱面波方程为：(,,)[()()]()()zzjk z jk z jm jm m m m m m m A J k B Y k C e D e Ee Fe ϕϕρρψρθϕρρ---=+++（2-4） 其中()m J k ρρ 为第一类圆柱型的Bessel 函数，而()m Y k ρρ 为第二类圆柱型的Bessel 函数。
helmholtz定理
1.5 Helmholz定理自强●弘毅●求是●拓新1.5 矢量场的问题关于矢量场的三个基本问题：矢量场除有散和有旋外，是否有别的特性？ 是否存在不同于通量源和旋涡源的激励源？ 如何唯一的确定一个矢量场？1.5.1 Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且可以 表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即F r Fe r Fl r 其中 Fe r 为无散场，Fl r 为无旋场。
1.5.1 Helmholtz定理Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。
即任一矢 量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡 源激发；并且满足： Fe r 0另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： Fl r 01.5.1 Helmholtz定理例 证明: 一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。
Fl r r ＝eˆ x 2yz 2zyeˆ y 2zx 2xzeˆ x 2xy 2yx0 Fe r Ar xAz y Ay z y Ax z Az x zAy x Ax y 01.5.2 δ函数定义： 性质：( r )0 ( x ) dx 1 ( r 0 ) ( r 0 )a）偶函数： ( r ) ( r ) b）取样性： f ( x ) ( x a ) dx f ( a ) 1.5.2 δ函数例:( rr ')1421 r r '的证明证明：R 令 r r ' , R|rr ' |, 2 |r1 r ' |21 R 1 R 1 1 R RRR2R3 R1 R R1R3R3R33 R (3)1RR3 3RR 4 3R 0R3R51.5.2 δ函数将241 r r '在空间区域V上求积分，得到， V241 r r'dV V(41 r ) dV r'r2-r’r1-r’ r1r’r2 S14S(r1 r') dS14S( r r ') r r ' 3 dS 14S R R3 n R 2sindd当r’在积分区内部，则R与n的 方向相同，则积分为4pi 当r’在积分区外部，当角度都 一样时， 某个面元R与n的方向相同， 而另一个面元R与n的方向相 反，因此总积分为零。
《振动与声基础》第四章第五节
0 0
(r ) （2） R ( lim jk ( r )) r R 0 （辐射条件） R r 2 jkR ( r ) lim e ( jk ( r )) r R R sin d d 0 R r 0 0 （） 1 是无穷远声场的‘熄灭条件’ （2） （索末菲远场条件’） 第四章 声波的辐射
当rM V 时( M 点在V内） , 有下式成立： (记作1 2式） e e {(rs ) n ( rsM ) rsM S 4 (rM ); rM V 其中，rsM rs rM ;
第四章
jkrsM jkrsM
S
0
第四章 声波的辐射
S V S
(*式)
第五节 Helmholtz积分公式及其应用
取辅助函数 (r )为空间点M处的点声源辐射场，有： e e jkrrM (r ) ; 其中，rrM r rM r rM rrM 显然，此函数在r rM 处，满足H 方程
Z
S
V
Y
第四章 声波的辐射
X
如何获得此条件下的H-积分公式？
第五节 Helmholtz积分公式及其应用
取球心为M点，半径为R的大球面 R，包围V；在S 与大球面 R 之间的区域V '，利用结论1；得：
S R是声场中的闭曲面，所围区域为V '，在V '中速 度势函数 (r )满足H 方程；由H 积分公式（ ）有： 1
第五节 Helmholtz积分公式及其应用
V
第四章
声波的辐射
第五节 Helmholtz积分公式及其应用
根据奥 高公式： Adv A ds 得： {(r ) (r ) (r )(r )} ds 0 (r ) 又 (r ) ds (r ) n ds ds n (r ) (r ) ds ( r ) n ds ds n (r ) (r ) { ( r ) (r ) }ds 0 n n S 其中，n为S的外法线方向；
电磁散射问题的快速计算
vm S fm (r) Ei (r) (1 )n Hi (r) dS, m Tm. 14
球面的网格剖分相对简单
球面导体存在解析解，可 验证算法和程序的正确性
球面的三角网格剖分
RWG矢量基函数
rn
15
奇异积分
数值积分
f (r)dS
T
w n
i1 i
f
(ri ),
n 1, 4, 7
开用于求解无源不可压流的高阶边界元；
12
电磁场积分方程
EFIE MFIE
t L(J) t Ei (r) , r S,
L(J) jk I / k2 g(r,r') J(r')dS '; S
t J(r) / 2 t n K(J) t n Hi (r) ,
K(J) J(r')g(r,r')dS ' ;
CFIE
S
CFIE EFIE (1)MFIE
Green函数 g(r, r ') e jk|r-r '| / 4 | r - r ' |
13
矩量法（MOM）
N
RWG矢量基函数 J(r) ji fi (r), N # edges.
i 1
fi (r)
lliiρρii
(r) (r)
/ /
4
并行迭代方法
[Zij] [Ij]
向量运算(BLAS-1)
向量运算的并行
矩阵-向量乘积(BLAS-2)
结构矩阵对角化 (FFT) 稠密矩阵稀疏化 (FMM, 小波变换)
矩阵-向量乘积的并行
传统: 矩阵分块、区域分解 MLFMM: 树结构并行划分
提高并行效率
高效预条件子 (块对角、稀疏近似逆) 重排运算次序，让计算与通信的重叠 计算任务的划分尽可能保证负载平衡
几类常见媒质电磁散射问题的统一描述
几类常见媒质电磁散射问题的统一描述刘广东【摘要】工程实践中，经常遇到线性或非线性媒质、各向同性或各向异性媒质、色散或非色散媒质、无耗或有耗媒质、无磁或有磁媒质以及导体或介质等几类不同目标的电磁散射问题，却尚未形成统一的理论描述。
尝试利用体等效原理，由麦克斯韦方程组导出了这几类问题的一般形式，通过设定一些特定参数，即可得到前述的具体问题，以期为该领域的应用研究奠定理论基础。
几个散射算例初步证实了本文理论框架的普适性。
%The electromagnetic (EM) scattering problems concerning the object of interest (OI) of the media, either linear or nonlinear, either isotropic or anisotropic, either dispersive or nondispersive, either lossless or lossy, either nonmagnetic or mag-netic, and either conductive or dielectric, are often encountered in engineering practice. However, a general description of these problems has not been made. Based on the volume equivalence theorem, this task is tentatively performed in this paper by deriving from the Maxwell equations. After that, the aforementioned specific problems could be described through setting certain parameters. This work might lay theoretical foundation for the application research in this field. Several numerical examples preliminarily demon-strate the universality of the presented theoretical framework.【期刊名称】《阜阳师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】7页(P15-21)【关键词】电磁散射;体等效原理;麦克斯韦方程;本构关系【作者】刘广东【作者单位】阜阳师范学院物理与电子科学学院，安徽阜阳 236037【正文语种】中文【中图分类】O451电磁散射是电磁场和媒质相互作用的物理过程，其遵循的一般规律是麦克斯韦(Maxwell)方程组［1］。
基尔霍夫-亥姆霍兹散射场公式的远区近似
达式。 文章第 II 将部分给出这些结果（对于小孔） ，而第Ⅲ部分是其推 导。对于 S 是平面反射器的情况，相应的结论将在第 IV 部分给出。 第Ⅴ部分将讨论这些结果的运用。从亥姆霍兹积分到线积分的简 化非常重要， 因为在计算机上使用该线积分表达式可轻易地使计算开 销以数量级的形式下降。从理论的角度看，这些结果是引人注意的。 因为它们清楚地展示了基尔霍夫理论是怎样预言某些几何光学效应， 以及费马定理所隐含的那些边缘效应。 将亥姆霍兹积分的远区场近似简化为线积分很平常。事实上，如 果入射辐射是一平面波或球面波，根据以前 Maggi 和 Rubinowicz 和 得到的一些结论，亥姆霍兹积分本身可表示为一个线积分[1],[5]. 尽管基尔霍夫定理本身是一种物理上的近似， 只有当 S 的面积与入射 场的波长相比不至于太小时才有效，但 Maggi-Rubinowicz 表达式在 数学上却是精确的，其中不含有任何的远区场近似。Mayamcoto 和 Wolf[3]， 及 Rubinowcz[4],[5](另见[2])已经对 Maggi－Rubinowicz 结论对其他种类的入射场的普遍性作了讨论。
e ikR u p ik ( R 1 ) 4 R
ik w x e dx1dx 2 s
（2.4）
注意： 这些结果都是标准形式， 但一些作者将式中 i 改写为 i 也很 普遍。
B.对于小孔的结论的阐述 设 s 为平面 S 的边界，x x(t ) 为 s 的参数表达式。对于平面 S 上任 意矢量 a [a1，a2 ] ，设 a [a1，a2 ] ，是从 P 点或其他处在阴影一侧半个 空间的任意一点观察，把矢量 a 顺时针旋转 900 得到的矢量。注意到
Ⅳ 在平面反射器中的应用 假设一球面波照射到金属平面发射器 S 上。把 S 视为小孔，并将 真实源用其镜像（对称地处在平面 S 的反面）代替，就可以运用基尔