17学年高中数学专题2.1.2演绎推理练习(含解析)新人教A版选修1_2
新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理达标练 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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2。
1。
2 演绎推理1。
“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等。
"以上推理的大前提是( ) A。
正方形都是对角线相等的四边形B。
矩形都是对角线相等的四边形C。
等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B。
大前提为矩形都是对角线相等的四边形.2。
“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P）,某奇数(S)是9的倍数（M）,故某奇数(S）是3的倍数(P)。
"上述推理是( ）A.小前提错B。
结论错C。
正确的D。
大前提错【解析】选C.由三段论推理概念知推理正确.3.在求函数y=的定义域时，第一步推理中大前提是“当有意义时，a≥0”；小前提是“有意义”；结论是.【解析】由log2x—2≥0得x≥4。
答案：“y=的定义域是[4，+）”4.“不能被2整除的整数是奇数，35不能被2整除，所以35是奇数.”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：小前提：结论:【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为:不能被2整除的整数是奇数;35不能被2整除;35是奇数.答案：不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数5。
已知a，b，m均为正实数，且b<a,求证：〈。
高中数学人选修1-2第二章2.1.2演绎推理课件
概念辨析
分析下面两个推理是否正确？
(1)因为指数函数 y a x 是增函数，
而 y ( 1 ) x 是指数函数
2
所以
y
(
1 2
)
x
是增函数
大前提不正确
(2) 因为无理数是无限小数
1 是无限小数
3
所以
1
是无理数
3
推理形式错误
亚三里段士 论多的德创（始前人3。84—前322年），欧 （几 约里 公得 元前330年—前275年），几何原本
所以，EF//BD
省略大前提：三角形的 中位线平行于第三边
又因为,EF 平面BCD,BD 平面BCD
省略大前提：如果平面外一条
所以 EF//平面BCD
直线和这个平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平 面平行
概念应用
例3:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1）上是增函数.
合情推理与演绎推理的区别与联系
张三是高二20班的, ---小前提张三（S)是20班的（M）
所以他学习也很努力.---结论 张三（S）也很努力（P）
若集合M的所有元素都具有性演质绎P推,S理是的M结论的一 个子集,那么S中所有元素也都具一定有正性确质吗？P.
MS P
你能列举一个用 “三段论”推理的例子吗？
M是P， S是M， 所以，S是P。
温故知新
由个别到一般的推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
温故知新
由特殊到特殊 由两类对象具有某些类似特征 和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
人教新课标版数学高二-(人教A)选修2-2试题 2.1.2演绎推理
第二章 2.1 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．下列推理过程属于演绎推理的有()①数列{a n}为等比数列，所以数列{a n}的各项不为0；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；④通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由演绎推理的定义知①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理．故选C.答案： C3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：由三段论的一般模式知应选B.答案： B4．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析： 使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列推理过程：因为2和3都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以2＋3也是无理数，这个推理过程________(填“正确”或“不正确”)．解析： 结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．答案： 不正确6．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________. 小前提：___________________________________________________. 结论：____________________________________________________.解析： 本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y ＝2x ＋5为一次函数．结论为：函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线．答案： ①一次函数的图象是一条直线 ②y ＝2x ＋5是一次函数 ③函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线三、解答题(每小题10分，共20分)7．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列． 解析： (1)所有的循环小数是有理数， (大前提) 0．332·是循环小数， (小前提) 所以，0.332·是有理数．(结论) (2)因为每一个矩形的对角线相等， (大前提) 而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等． (结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列， (大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)， (小前提) 所以，通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列为等差数列． (结论)8．已知在梯形ABCD 中，如图，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明： ∵等腰三角形的两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3. (结论) ∵等于同一个角的两个角相等， (大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1， (小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD . (结论) 同理可证DB 平分∠CBA . 尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m.证明： 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b <a ，m >0， (小前提) 所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mb <ma ， (小前提) 所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )． (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提) 所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m . (结论)。
高中数学人教A版选修2-2课件2-1-2演绎推理2
是否正确．
• 2．在应用三段论推理中，最常见的错误是偷换概念的错误， 即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同；其次是推理 形式错误，大前提“所有M都是P”，则小前应是“S是M”， 而非“S是P”．
跟踪练习
下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于 360°. 证明：设四边形 ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角， 有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以，四 边形的内角和等于 360°. (2)已知 2和 3都是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数． 证明：依题设， 2和 3都是无理数，而无理数与无理数的 和是无理数，所以 2＋ 3也必是无理数．
• 3．三段论
• (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
• ①大前提——已知的一_般__原__理___； • ②小前提——所研究的特_殊__情__况___； • ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判__断______． • 其一般推理形式为
• 大前提：M是P.
• 小前提：S是M.
• 结 论：________. S是P
• [解析] (1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， • 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， • 结论：水会沸腾． • (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， • 小前提：2100＋1是奇数， • 结论：2100＋1不能被2整除．
• (3)大前提：两条直线平行，同旁内角互补， • 小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角， • 结论：∠A＋∠B＝180°. • (4)大前提：一次函数都是单调函数； • 小前提：函数y＝2x－1是一次函数； • 结论：y＝2x－1是单调函数． • (5)大前提：各位数字的和能被3整除的整数，能被3整除； • 小前提：711的各位数字的和能被3整除； • 结论：711能被3整除．
人教A版高中数学选修一第2章2.1.2.docx
高中数学学习材料唐玲出品2.1.2演绎推理课时目标 1.通过生活中的实例和已学过的数学中的实例，体会演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．1．演绎推理由__________的命题推演出____________命题的推理方法，通常称为演绎推理．演绎推理是根据______________和______________(包括________、________、________等)，按照严格的______________得到新结论的推理过程．________________是演绎推理的主要形式．2．三段论(1)三段论的组成①大前提——提供了一个________________．②小前提——指出了一个______________．③结论——揭示了____________与______________的内在联系．(2)三段论的常用格式为M－P(________)S－M(________)S－P(________)3．演绎推理的特点(1)演绎的前提是________________，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的________、______________，结论完全蕴涵于________之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在________的联系．(3)演绎推理是一种__________的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的__________和__________．一、填空题1．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；③由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1 (n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式． 2．“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提________________________________________________________________________．3．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是________．4．有一段演绎推理是这样的，“整数都是有理数，0.5是有理数，则0.5是整数”． 这个演绎推理的结论显然是错误的，是因为_____________________________________．5．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2 (x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是__________________________________．6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12，求证：f (x )是偶函数． 证明：f (x )＝x ·2x ＋12(2x －1)，其定义域为{x |x ≠0}， 又f (－x )＝(－x )2－x ＋12(2－x －1)＝(－x )1＋2x2(1－2x ) ＝x ·2x ＋12(2x －1)＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．此题省略了__________．8．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.(2)因为________，又因为e＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e是无理数．二、解答题9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF ∥平面BCD.能力提升11．在数列{a n}中，已知a1＝1，S n，S n＋1,2S1成等差数列(S n表示{a n}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________________，由此猜想S n＝__________.12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．2．应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．有时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．2．1.2演绎推理答案知识梳理1．一般性特殊性已有的事实正确的结论定义公理定理逻辑法则三段式推理2．(1)①一般性的原理②特殊对象③一般原理特殊对象(2)大前提小前提结论3．(1)一般性原理个别特殊事实前提(2)必然(3)收敛性理论化系统化作业设计1．①解析①为演绎推理，②④为归纳推理，③为类比推理．2．矩形都是对角线相等的四边形3．②解析①是大前提，②是小前提，③是结论．4．推理形式错误5．②③6．②解析 ①是大前提，②是小前提，③是结论．7．大前提解析 此处省略了“偶函数的定义”这一大前提．8．(1)a ＝－8(2)无限不循环小数是无理数9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提 在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y ＝tan α是三角函数，小前提y ＝tan α是周期函数．结论10．证明 三角形的中位线平行于底边大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点小前提所以EF ∥BD 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD 小前提EF ∥平面BCD .结论11.32，74，158 2n －12n －1 12．证明 设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1)＝(x 32－x 31)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1. 因为⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．于是根据“三段论”，得函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．。
人教版高中数学选修1-2第一章2.1.2演绎推理
新课导入（1）所有的金属都能够导电，观察铀是金属，所以铀能导电.（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. （3）一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.（5）两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°.（4）三角函数都是周期函数,α因为tan 三角函数, α 所以是tan周期函数. 观察 这些说法有什么共同点？探究思考都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？这些说法的共同点是：教学目标【知识与能力】1.了解演绎推理的含义.2.能运用“三段论”进行简单的推理.【过程与方法】通过已学过的数学实例和生活中的实例，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，使学生更好的掌握这种思维方法.【情感态度与价值观】使学生掌握这种思维方法，并能在今后的学习中有意识的使用它，以培养言之有理、论证有据的习惯.教学重难点重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单地推理.难点用“三段论”进行简单的推理.知识要点若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.所有的金属都能导电因为铜是金属,所以铜能够导电.大前提小前提结论（一般原理）（特殊情况）（所得结论）下面请同学们自己说出其余例子的“三段”. （2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；大前提 小前提 结论（3）一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 大前提小前提所以(2100+1)不能被2整除.结论 （4）三角函数都是周期函数, α因为tan 三角函数, α所以是tan 周期函数. 大前提 小前提 结论（5）两条直线平行，同旁内角互补. 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°. 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为大前提：M是P.小前提：S是M.结论： S是P.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.例题1 如图：在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.A DE C M B证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=900 大前提小前提所以△ABD 是直角三角形. 结论 同理△ABE 是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM= AB 12结论 同理 EM= AB 12所以 DM = EM.归纳由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.自己试试看！如图：D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD= ∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF. 练一练A B D C EF (1)同位角相等,两直线平行, ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD= ∠A ,证明：所以, DF ∥EA. 大前提小前提 结论(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, DE ∥BA 且DF ∥EA, 所以,四边形AFDE 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等,ED 和AF 为平行四边形的对边, 所以,ED=AF. 大前提 小前提 结论大前提 小前提 结论 AB D CE F例题2分析证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果 y= ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.f(x)证明：根据“三段论”得，函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1）上是增函数.小前提是f(x)=-x 2+2x 的导数在区间(-∞,1）内满足 >0，这是证明本题的关键. 'f (x) =-2x+2.当x ∈(-∞，1)时，有1-x>0，所以=-2x+2=2（1-x ）>0.于是，f (x)'f (x)'还有其他的证明方法吗？ 证明函数f(x)=-x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.提示根据增函数的定义进行证明.继续解答……任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2)因为x1<x2所以 x2-x1>0因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)证明:满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.大前提小前提所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.结论在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？想一想注意演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例题3 因为指数函数y=a x 是增函数,而y=a x 是指数函数,所以是增函数. 结论大前提 小前提 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？解：上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0<a<1时，指数函数y=a x是减函数），所以所得的结论是错误的.记住反思通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.知识要点至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？自己总结归纳一下吧！区别：1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.联系：1.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.课堂小结1.演绎推理的概念：若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：(1)大前提---已知的一般原理；(2)小前提---所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.4.合情推理和演绎推理的联系与区别：总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.随堂练习1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,大前提不正确.-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,(3) 凡金属都是导电的，水是导电的，所以，水是金属. 1(=0.333)3是无限小数, 是无理数.13大前提不正确,无理数是无限不循环小数. 小前提不正确,水不是金属.已知a,b,m均为正实数,b<a,求证: b b+m <.a a+m证:⎫⎬⎭b amb ma ab+mb ab+mam0<⇒<⇒<>⎫⎬⎭b(a+m)a(b+m)a(a+m)0b(a+m)a(b+m)a(a+m)a(a+m)b b+ma a+m⇒<>⇒<⇒<又2.习题答案 2.因为通项公式为 的数列{ }，若 其中p 是非零常数，则{ }是等比数列.‥‥‥‥大前提 又因为cq≠0,则q≠0,且 n a n+1n a =p a n+1n+1n n a cq ==q.a cq练习（第81页）1.答案课上已给出.n a n a ‥‥‥‥小前提3.由AD>BD ，得到∠ACD>∠BCD 的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.‥‥‥‥结论n n a =cq cq 0（） n a。
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演绎推理
1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
2． “三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈－π2，π2是三角函数，所以y＝tanx，x∈－π2，π2是周期
函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )
A．推理完全正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．推理形式不正确
[答案] D
3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[答案] A
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，
则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理
形式．
5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )
大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.
小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.
结论：A1B1∥AD.
A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误
2
C．小前提出错导致推理错误 D．仅结论错误
[答案] B
[解析] 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．
6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，
这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[答案] C
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，
因此此推理不符合演绎推理规则．
7．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( )
A．省略了大前提 B．省略了小前提
C．是完整的三段论 D．推理形式错误
[答案] A
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
8．下面是一段演绎推理：
大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；
小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；
结论：所以直线b∥直线a.
在这个推理中( )
A．大前提正确，结论错误
B．小前提与结论都是错误的
C．大、小前提正确，只有结论错误
D．大前提错误，结论错误
[答案] D
9．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数
为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，„„，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数
为( )
A．76 B．80
C．86 D．92
[答案] B
3
10．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，
他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，„，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素
数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式
[答案] A
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为
类比推理，选项C、D都是归纳推理．