高中数学选修练习题及答案A组
高中数学选修2-3答案
高中数学选修2-3答案【篇一：高中数学选修2-3所有试卷含答案】每章分三个等级：[基础训练a组]， [综合训练b组]， [提高训练c 组] 建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。
(数学选修2--3) 第一章计数原理[基础训练a组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）a．81 b．64c．12d．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）a．140种 b.84种 c.70种 d.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（） a．a3 b．4a3 c．a5?a3a3 d．a2a3?a2a3a3 4．a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）a.20 b．16 c．10 d．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（） a．男生2人，女生6人 b．男生3人，女生5人 c．男生5人，女生3人 d．男生6人，女生2人. ?x6．在??的展开式中的常数项是（） ?283352323113a.7 b．?7 c．28 d．?287．(1?2x)(2?x)的展开式中x3的项的系数是（） a.120 b．?120 c．100 d．?100 ?8．??2??2?展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（） x?n5a．180 b．90 c．45 d．360二、填空题1．从甲、乙，??，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x?的展开式中，x的系数是1062205．在(1?x)展开式中，如果第4r项和第r?2项的二项式系数相等，则r?，t4r?6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x. 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。
人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)
选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)一、单选题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．(]0,1D ．⎛ ⎝⎦2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A B C ．1316D二、多选题3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160A AB DAB A AD ∠=∠=∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．线段1AC 的长度为B ．异面直线11BD B C ，夹角的余弦值为13C ．对角面11BBD D 的面积为D．平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列说法正确的是（ ） A ．平面1PAC ⊥平面11AB D B ．//DP 平面11AB DC ．异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎦⎝D ．三棱锥11D APB -的体积不变5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，则（ ）A ．三棱锥11P AC D -的体积为定值B ．异面直线AP 与1A D 所成的角的取值范围为45,90⎡⎤⎣⎦C ．直线1C P 与平面11ACD D ．过P 作直线1//l AD ，则l DP ⊥6．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -(如图2).下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ．顶点S 在面AEF 上的射影为AEF 的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、双空题7．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M 、N 分别为11A B 、1DD 中点，且AP AM AN λμ=+（λ，R μ∈）． （1）若111D P tDC =（t R ∈），则t =______． （2）若11A P k AC =（k ∈R ），则三棱锥11A PD C -体积为______．四、填空题8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面α，使得AP α⊥且垂足为E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为__________．9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形AA B B ''是矩形，平面AA B B ''⊥平面ABCD .若1AA '=，则直线AB 到面DA C '的距离为___________.10．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =，则点P 到直线BD 的距离为___________.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为___________.12．已知正四面体A BCD -的外接球半径为3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体A BCD -表面上任意一点，则PM PN ⋅的最小值为___________．五、解答题13．如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面互相垂直，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l .（1）求l 与AC 所成角的大小； （2）求二面角A CE D --的余弦值.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，24AB AD CD ===，平面PBC ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，且12CE PB =.（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若直线PA 与平面ABCD P AC E --的余弦值. 15．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的正弦值.16．如图，正三棱锥P ABC -中，PA 与底面ABC ．（1）证明：PA ⊥面PBC ；（2）设O 为ABC 的中心，延长AO 到点E 使得3AE AO =，求二面角A PC E --的平面角的大小． 17．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2P A ＝2，对角线AC 与BD 交于O 点，连接PO .（1）求证：AC ⊥PB ；（2）过B 点作一直线l 平行于PC ，设Q 为直线l 上除B 外的任意点，设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.18．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.（1）证明：AB ⊥平面EFG ；（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =证明：1AC ⊥平面11BB D D .20．如图是矩形ABCD 和边AB 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面，若点E 是折后图形中半圆O 上异于,A B 的点．（1）证明：EA EC ⊥；（2）若22AB AD ==，且异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值．21．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长度为2，且⊥A 1AB =⊥A 1AD =120°.求：（1）AC 1的长；（2）直线BD 1与AC 所成角的余弦值.22．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E 是AD 的中点．（1）求证：BE ⊥平面PAD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB ⊥AD ，CD =PD =P A =AD =12AB =2.（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ； （2）求二面角D —PC —B 的正弦值.24．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =．（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//PD QA ，M 为PC 中点，222PD QA AB ===.（1）证明：//QM 平面ABCD ； （2）求二面角Q BP A --的余弦值.26．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．27．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，（1）过D B E ''､､三点作正方体的截面α； （2）半平面B BE '与平面α所成的二面角的大小；28．如图⊥所示，在边长为12的正方形'11'AA A A 中，点B ，C 在线段'AA 上，且3AB =，4BC =．作11//BB AA ．分别交'11A A ，'1AA 于点1B ，P ；作11//CC AA ，分别交'11A A ，'1AA 于点1C ，Q ．现将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得'1'A A 与1AA 重合，构成如图⊥所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：⊥AP BC ； （2）求平面PAQ 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．29．如图，在三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 的中点,M 为棱DP 的中点，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点，2PA PC AB BC ====，AB BC ⊥.（1）若点H 在线段BD 的延长线上，且DB DH =，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？请说明理由；（2）求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是PC ，PD 上的动点，且PE FD PF EC ⋅=⋅．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）若13PE PC =，且PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为35，求二面角C AE D --的余弦值． 31．如图，菱形ABCD 与正三角形DEF 所在平面互相垂直，60BCD ∠=︒，E ，G 分别是线段AB ，CF 的中点．（1）求证：//BG 平面DEF ；（2）求直线BC 与平面DEG 所成角的正弦值．32．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，A ，D ，B 分别在x ，y ，z 轴的正半轴上，C 在平面BOD 内.（1）若OE CD ⊥，证明：CD AE ⊥.（2）已知3OA OD ==，2OB =，C 的坐标为()0,2,4，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，PD 的中点为F .（1）求证：//PB 平面ACF .（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.⊥四棱锥P ABCD -，⊥FC 与平面ABCD 所成的角为6π，⊥BD =若___________，求二面角F AC D --的余弦值.34．某直四棱柱被平面AEFG 所截几何体如图所示，底面ABCD 为菱形，（1）若⊥BG GF ，求证：BG ⊥平面ACE ；（2）若1BE =，2AB =，60DAB ∠=︒，直线AF 与底面ABCD 所成角为30º，求直线GF 与平面ABF 所成角的正弦值.35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AB CD ，3PD BC CD ===，4AB =．过点D 做四棱锥P ABCD -的截面DEFG ，分别交PA ，PB ，PC 于点E ，F ，G ，已知14AE AP =，13CG CP =．(1) 求直线CP 与平面DEFG 所成的角；(2) 求证：F 为线段PB 的中点．36．如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示．（1）在图2中，证明：AC BD ⊥；（2）若图2中BD =点P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ），求二面角P AC D --的余弦值． 37．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD是菱形，2,AE BD ==（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ；（2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.38．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，2PA AB ==．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）当12AC CB =时，求二面角C PB A --的余弦值．39．如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．（1）证明：1CC ⊥平面11AC P ；（2）求平面1ABC 与平面11AC P 所成锐二面角的余弦值．40．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱,,PC AC AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，（1）求证：平面BDE⊥平面ABC；--的平面角的余弦值；（2）求二面角A PC B-分为两个几何体，则他（3）延展平面DEF与棱PB交于H点，则四边形EFHD把三棱锥P ABCV V=_____．（此问仅写结果，不需写出过程）们的体积比:PAEFHD BCEFHD41．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，ABC为正三角形，AB=AA1=2，E是BB1的中点.（1）求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；（2）求二面角B﹣AC1﹣E的余弦值.-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，42．如图，在四棱锥A BCDEM，N分别为AE，AC的中点.MN平面BCDE；（1）求证：//43．如图所示，已知长方形ABCD 中，2AB AD ==M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥．（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）若E 点满足23BE BD =，求二面角E AM D --的大小？ 44．如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD ⊥DC ，AD =2DC =2BC ，（1）求证：点D 不在平面CEF 内；（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，求二面角A ﹣CF ﹣D 的余弦值．45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 为棱AB 的中点．（1）证明：AC PE ⊥；（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，求二面角E PC B --的余弦值．46．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．47．如图，在四棱锥РABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，//AD BC ，90ADC ∠=︒，112BC AD ==，CD =Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，（1）求证：Q ，P ，C ，B 四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB 与平面PDC 的交线（不需要写画法）．（3）设平面PAB 与平面PDC 的交线为l ，直线l 与平面ABCD 求平面MQB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小．48．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,,AC AA AB BC D ===为AC 的中点.（1）证明：1DC ⊥平面1A BD .（2）若1BD =，求二面角11B DB C --的余弦值.49．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．50．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形SD ⊥底面,2ABCD DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，AD =（1）求异面直线CD 与BM 所成角的大小；（2）求二面角S AM B --的正弦值.【答案与解析】1．C【解析】向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅ 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得λ≤≤01,0λλ<≤∴<≤可得||||2(0,1]PA AP λ==∈.故选：C.2．D【解析】以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，(0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ， 又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===， 设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=，θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．3．AD【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，求得2222,4a b a b c ⋅====，根据1AC a b c =++，求得1AC 的值，可判定A 正确；由110BD BC ⋅=，可判定B 错误；由ABD △为正三角形，根据10DD DB ⋅=，得到对角面11BDD B 为矩形，可判定C 错误；由16A ABD V V -=，可判定D 正确.设1,,AB a AD b AA c ===，则22222cos 602,4a c b c a b a b c ⋅=⋅=⋅=⨯====， 对于A 中，因为1AC a b c =++，可得2221=22224AC a b c a b c a b a c b c =+++++⋅+⋅+⋅== 所以A 正确；对于B 中，因为2211()()0BD B C b c a b c c b a c a b ⋅=+-⋅-=-++⋅-⋅=， 可得异面直线1BD 与1B C 夹角的余弦值为0，所以B 错误；对于C 中，因为2,60AB AD DAB ==∠=，所以ABD △为正三角形，可得2BD =， 因为1()0DD DB c a b c a c b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以1DD BD ⊥，所以对角面11BDD B 为矩形，其面积为22=4⨯≠C 错误； 对于D 中，设AC 与BD 交于点O ，连接1OA ，取1AA 的中点M ，连接OM ，可得11116622232A ABD AA OV V SBD -==⨯⋅=⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.4．ABD 【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，因为点P 在线段1BC 上运动，设(),1,1P t t -，[]0,1t ∈，则(),1,1DP t t =-， 所以()10,1,1AB =，()11,0,1AD =-，()11,1,1CA =-，所以()110111110AB CA ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()110111110AD CA ⋅=⨯-+⨯-+⨯=，所以11AB CA ⊥，11AD CA ⊥，因为11AB AD A ⋂=，11,AB AD ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为1AC ⊂平面1PA C ，所以平面1PAC ⊥平面11AB D ，故A 正确；显然()11,1,1CA =-可以作为平面11AB D 的法向量，因为()1111110CA DP t t ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以1CA DP ⊥，因为DP ⊄平面11AB D ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确；因为11//AB D C 且11=AB D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以直线DP 与1BC 所成角即为异面直线DP 与1AD 所成角，显然当P 在1BC 的两端点时所成的角为3π，当P 在1BC 的中点时所成的角为2π，故异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 因为11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1//B C 平面11AB D ，所以1B C 到平面11AB D 距离即为P 到平面11AB D 的距离，故P 到平面11AB D 的距离为一定值，设P 到平面11AB D 的距离为h ， 则11111113D APB P D AB D AB V V Sh --==⋅为定值，故D 正确；故选：ABD5．ACD 【解析】对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项A ，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项C ，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 如图，对于选项A ，1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故A 正确； 对于选项B ，当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒, 故B 错误； 对于选项C ，因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,1111cos C B C BD BD ∠===,故C 正确; 对于选项D ，连接1B D ,由正方体可得11BC B C ⊥,且DC ⊥平面11B C CB ,则1DC BC ⊥,所以1BC ⊥平面1CDB ,故1BC DP ⊥，过P 作直线1//l AD ，则1//l BC ,所以l DP ⊥；故D 正确.故选：ACD 6．ACD 【解析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量.选项A ：说明SA ､SE ､SF 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题； 选项B ：由于SA ､SE ､SF 两两垂直，可证S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心； 选项C ：线面角的定义法求解；选项D ：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.对于A 项，易知SA ､SE ､SF两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长l ，外接球半径R =，故外接球体积为34π3V ==⎝⎭， 故A 项正确；对于B 项，由于SA ､SE ､SF 两两垂直，故S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心， 理由如下:如图，过点S 作SO ⊥平面AEF ，交平面AEF 于点O ， 因为SO ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以SO EF ⊥，又因为SA SE ⊥，SA SF ⊥，SE ，SF 都在平面SEF 内，且相交于点S ， 所以SA ⊥平面SEF ，又EF ⊂平面SEF ，所以SA EF ⊥，又SO SA A =，所以EF ⊥平面SAO ，又AO ⊂平面SAO ，所以AO ⊥EF . 同理可证EO AF ⊥，FO AE ⊥，所以S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心.故B 项错误；对于C 项，设M 为EF 中点，则EF SM ⊥，AM EF ⊥，SM AM M ⋂=，故EF ⊥平面SAM ，故平面AEF ⊥平面SAM ，所以SA 在平面AEF 上的射影为AM ，SA 与平面AEF 所成角为SAM ∠，2SA =，2SM =，π2ASM ∠=，tan SAM ∠=故C 项正确；对于D 项，设O 为四面体S AEF -的外接球球心，OM ⊥平面SEF ，连接MG ，OG ，当过点G 的截面经过球心O 时截面圆面积最大，面积为3π2；当OG 垂直截面圆时，截面圆面积最小，此时1122GM SF ==，1OM =，OG ==12r ===，截面圆面积为π4， 得截面圆面积取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故D 项正确. 故选：ACD.方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解. (2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解. 7．14 47【解析】（1）以AB ，AD ，1AA 为基底，把向量1D P ，11DC 分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；（2）由11A P k AC =得，1A ，P ，C 三点共线，利用（1）把k 求出来，再利用等体积法1111A PD C P AD C V V --=算出P 到面11AD C 的距离，三角形11AD C 的面积，即可算出体积. 如图，（1）111()D P D A AP AM A DD AN D λμ=+=-+++111()()AA AD AA AM AD DN λμ++-+=-+ 11111()()22AA AA AB AD AD AA λμ=-+-+++ 1111112(()1)2A AB u u AA tD C t A D B λλ=+-+-=+=, 所以12101102t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩，所以14t =.（2）11111(11(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-111)22(1AD AB u u AA λλ=+++-， 111AC A A AB BC AB AD AA =++=+-， 因为11A P k AC =，所以11111)(22()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，所以12112k u k u kλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩，所以27k =，如图，连接1A D ，1A C ，分别与1AD ，1AC 交于点E ，O ， 连接EO ，过点P 作1//PG A E ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1A E ⊥面11AD C ， 所以PG ⊥面11AD C ，因为1112A E A D = 因为1112477A P AC AO ==，所以137OP AO =，所以137PG A E ==1111111222AD C S AD D C =⋅=⋅=△，所以1111111143377A PD C P AD C AD C V V S PG --==⋅⋅=⋅=，故答案为：（1）14；（2）47.8．【解析】由P BCE P ABC E ABC V V V ---=-，可得当E ABC V -最大时，P BCE V -最小，建立空间直角坐标系求E 到底面距离的最大值，则答案可求．解：设BC 中点为O ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，得(6A ，0，0)，设(E x ，0，)z ，则(6,0,)AE x z =-，(,0,)OE x z =，AP α⊥，∴AE OE ⊥，得2(6)00x x z -++=，则z当3x =时，3max z =， 又1(4)3P BCE P ABC E ABC ABCV V V Sz ---=-=⋅-，∴三棱锥P BCE -体积的最小值为116132V =⨯⨯⨯=故答案为：9【解析】建立空间直角坐标系，设(11,)DA a '=-，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.如图建立空间坐标系A xyz -，设(11,)DA a '=-，，(010)DC =，，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，则有1100DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，得1(01)n a =，，， 直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，也等于向量AD 在面DA C '的法向量上的投影的绝对11||22||AD nd n ⋅==. 故答案为：2. 10．135【解析】求出BP 在BD 上的射影长再利用勾股定理可得答案.因为，，⊥⊥⊥BA BC AP BC AP BA ， 所以00=0，，⋅⋅=⋅=BA BC AP BC AP BA ， ()()⋅=+⋅+BP BD BA AP BC BA()229=⋅++⋅+⋅==BA BC BA AP BC AP BA AB ，22225=+=BD BC CD ，22210=+=BP BA AP ，所以5BD =，210=AP ，因为·95=PB BD BD，所以BP 在BD 上的射影长为95， 所以点P 到直线BD 的距离22·13105=-==PB BD d AP BD .故答案为：135. 11【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2A，0，0)，(0B ，2，0)，(1M ，1，2)，(1N ，0，2).∴(1AN =-，0，2)，(1BM =，1-，2)，cos AN ∴<，1||||5AN BM BM AN BM ⋅->==⋅12．8- 【解析】设正四面体外接球球心为O ，把,PM PN 用,,PO OM ON 表示并计算数量积后可得． 设正四面体外接球球心为O ， 正四面体A BCD -的外接球半径为3，设正四面体A BCD -内切球半径为r ，一个面的面积为S ，高为h ，则11433ABCD V Sr Sh =⨯=，所以4h r =，显然34r h r +==，所以1r =，即min 1PO =．22()()9198PM PN PO OM PO ON PO OM ON PO ⋅=+⋅+=+⋅=--=-．故答案为：8-． 13．（1）45°；（2）57.【解析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得//AB CD ，再由线面平行的判定定理可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，由45BAC ∠=︒可得l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ，可得OA 、OE 、OF 两两垂直，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值解：（1）⊥四边形ABCD 为正方形，⊥//AB CD ， ⊥AB ∉平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，⊥//AB 平面CDE ， 又⊥AB平面ABE ，且平面ABE 平面CDE =直线l ，⊥//l AB ，⊥四边形ABCD 为正方形，⊥45BAC ∠=︒， 故l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ， 由ABE △为等边三角形，可知EO AB ⊥， 由四边形ABCD 为正方形，知FO AB ⊥，⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =， 且FO ⊂平面ABCD ，⊥FO ⊥平面ABE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()1,0,0A ，()1,0,2C -，()E ，()1,0,2D ， 于是()2,0,2AC =-，()1,2CE =-，()2,0,0CD =， 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由20220m CE x z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，可得(3,1,m =；设平面CDE 的一个法向量为()111,,n x y z =，由11112020n CE x z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取12y =，可得(0,2,3n =.⊥025cos ,77m n m n m n⋅+===⨯⋅. 由图可知，二面角A CE D --为锐二面角，则其余弦值为57.14．（1）证明见解析；（2【解析】（1）依题意可得PCB 为直角三角形，即可得到PC BC ⊥，根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）可知PAC ∠即为直线PA 与平面ABCD所成角，即可得到PC PA =求出PC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：（1）在PCB 中，因为E 是PB 的中点， 且12CE PB =，所以CE EB PE ==， 所以PCB 为直角三角形，所以PC BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD（2）因为PC ⊥平面ABCD ，所以直线PA 与平面ABCD 所成角为PAC ∠，所以sin PC PAC PA ∠==又222AC AD DC =+，4=AD ，2DC =，所以AC =在Rt PAC △中，设PC x =，则PA =，所以222PA PC AC =+，即)(222x =+，解得2x =，即2PC =，作//CF DA 交AB 于点F ，因为AB AD ⊥，所以AB CF ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,2,0A ，()4,2,0B -，()002P ,,，()2,1,1E -，()4,2,0CA =，()2,1,1CE =-，()0,0,2CP =，设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以42020n CA x y n CP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1x =，则2y =-，0z =，所以()1,2,0n =-，设面EAC 的法向量为()111,,m x y z =，所以1111142020m CA x y m CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则12y =-，14z =-，所以()1,2,4m =--，设二面角P AC E --为θ，显然二面角为锐二面角，所以5cos 5n m n mθ⋅===⨯⋅；15．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，证明出AE ⊥平面POB ，进而可得出AE PB ⊥； （2）证明出PO ⊥平面ABCE ，然后以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. （1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，翻折前，因为1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 的中点，则1AD DE ==， //AB CE 且1AB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，则BC AE =，故AD DE AE ==，所以，ADE 为等边三角形， O 为AE 的中点，则OD AE ⊥，因为//AB CD ，则3BAE AED π∠=∠=，翻折后，则有OP AE ⊥，在ABO 中，1AB =，12AO =，3BAO π∠=， 由余弦定理可得22232cos34OB AB AO AB AO π=+-⋅=，222AO OB AB ∴+=， 所以，OB AE ⊥，OP OB O =，AE ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥；（2）在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ， AE平面POB ，PQ ⊂平面POB ，所以，PQ AE ⊥，PQ OB ⊥，AE OB O =，PQ ∴⊥平面ABCE ，所以，直线PB 与平面ABCE 所成角为4PBO π∠=，因为，OP OB =，则4OPB π∠=，所以，OP OB ⊥，故O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,0,2PE ⎛= ⎝⎭，12EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令x =()13,1,1n =-，易知平面PAE 的一个法向量为()20,1,0n =，所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-=⋅212122sin ,1cos ,5n n n n <>=-<>=. 因此，二面角A PE C --16．（1）证明见解析；（2）3π4.【解析】（1）取底面中心O ，不妨设2AO =，根据线面角可得AC =PA PB ⊥，根据正棱锥的性质可得PA PC ⊥，进而可得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，易得面PAC 的法向量，求出面PCE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果.（1）由题意知：取底面中心O ，则有PO ⊥面ABCD ， 所以PAO ∠即为PA 与底面ABC 所成角， 不妨设2AO =，则有PO=PA 在正ABC 中，因为2AO =，所以AC =在PAB △中，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥⊥ 又因为正三棱锥，所以PA PC ⊥⊥所以PA PB PA PCPA PB PC P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩面PBC ． （2）因为ABC 为等边三角形，取BC 中点D ，则AD BC ⊥， 作//l PO ，则l ⊥面ABC ．以D 为原点，DB ，DE ，l 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有：()0,0,0D，)B，(0,P -，()0,3,0A -，()C ，()0,1,0O -，所以()30,6,0AE AO ==，所以()0,3,0E ． 因为PB ⊥面PAC，所以(13,1,n =为面PAC 的法向量，设面PCE 的法向量为()2,,n x y z =，所以由(2032,0n PC n n PE ⎧⋅=⇒=-⎨⋅=⎩．所以12121236cos ,2n n n n nn ⋅===⋅，所以二面角的大小为3π4．17．（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】（1）延长BA 、CD 交于一点R ，根据平面几何知识得CA ⊥BA ，根据线面垂直的判定和性质可得证； （2）由（1）得，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设PQ PB tPC =+，其中,0t t ∈≠R ，根据线面角的向量求解方法表示sin θ=，再由二次函数的性质可求得范围.（1）延长BA 、CD 交于一点R ，因为AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2，所以RBC △为正三角形，且AD 为三角形RBC 的中位线，即A 为BR 边的中点，所以CA ⊥BA ，因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 因为 AB P A ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，PB ⊥平面P AB ， 所以AC ⊥PB ；（2）由（1）得，AP ，AB ，AC 两两垂直，故以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，则平面P AC 的法向量为1(1,0,0)n =，P （0，0，1），C （00），B （1，0，0），所以PC ＝（01），PB ＝（1，0，－1），因为l ⊥PC ，所以可设(1,0,1)1),(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+，其中,0t t ∈≠R ，2||sin ||||1n PQ n PQ θ⋅===⋅因为,0t t ∈≠R ，所以27422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭，所以sin θ⎛=⎝⎦，当且仅当14t =-时，sin θ=18．(1) 证明见解析； (2) 79. 【解析】(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ； (2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. (1) 连接BG ，FG ，因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，所以1122CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，由余弦定理得222232cos604BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，由222223144CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥， 又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角， 设2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF = 由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =，GM =EM =，EG =.在BEG 和EFG 中，由余弦定理得2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，所以BGE EGF ∠=∠则27cos cos 22cos 19BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9BGF ∠= . 立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角. 19．证明见解析 【解析】以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.⊥OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，⊥1AB AA =⊥11OA OB OA ===，⊥(100)A ，，､(010)B ，，､(100)C -，，､(010)D -，，､1(001)A ，，， 由11AB A B =易得1(101)B -，，，⊥1(101)AC =--，，､(020)BD =-，，､1(101)BB =-，，， ⊥10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，⊥1AC BD ⊥，11AC BB ⊥， 又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，⊥1AC ⊥平面11BB D D .20．（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）由面面垂直的性质得BC ⊥圆O ，由线面垂直的性质得BC EA ⊥，根据线面垂直的判定可得EA ⊥面EBC ，再由线面垂直的性质可证EA EC ⊥.（2）法一：以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，首先求得1,0)2E ，再分别求平面DCE 和平面AEB 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出两个平面的交线，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.（1）⊥平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，⊥BC 垂直于圆O 所在的平面．又EA 在圆O 所在的平面内，⊥BC EA ⊥． ⊥AEB ∠是直角，⊥BE EA ⊥．而BE BC B =，⊥EA ⊥平面EBC ． 又⊥EC ⊂平面EBC ，⊥EA EC ⊥． （2）法1（向量法）：如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，⊥3BOE π∠=，⊥1,0)2E ． 由题设可知(0,1,1)C ，(0,1,1)D -，⊥33(,1)2DE =-，31(,1)2CE =--． 设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=000000302102x y z x y z +-=--= 得00z =，00y =，取02x =，得0z⊥p =．又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，⊥21cos ,7p q p q p q ⋅<>==．故平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7法2（几何法）：如图，过点E 作直线//m DC ， 则m 是平面DCE 与平面AEB 的交线． 再过点B 作BP m ⊥，P 为垂足，连接CP ，则BPC ∠是平面DCE 与平面AEB 所成锐二面角的平面角．在直角三角形AEB 中，6BAE π∠=，2AB =，所以 1.BE =在直角三角形PEB 中，,13BEP BE π∠==，所以BP =．在直角三角形PBC 中，BP PC BPC PC =∠==故平面DCE 与平面AEB ．21．（1）1AC （2 【解析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出1AC 的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 解：（1）111111AC AA A B BC =++，()22222111111111111111111111222AC AA A B B C AA A B B C AA A B AA B A C B B C ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos120212cos120211cos902=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1AC ∴=（2）AC AB BC =+222222()21102AC AB BC AB BC AB BC ∴=+=++⋅=++=2AC ∴=111111BD BB B A A D =++()22222111111111111111111111222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos60212cos120211cos906=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=16BD ∴=()()1111112AC BD AB BC BB B A A D ∴⋅=+⋅++=-111cos ,2AC BD AC BD ACBD ⋅∴===⋅所以直线BD 1与AC 22．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由面面垂直的性质定理得PE ⊥平面ABCD ，故PE BE ⊥，再结合菱形的性质得BE AD ⊥，进而得BE ⊥平面PAD ；（2）由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，故以E 为原点，EA EB EP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.解：（1）证明：由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，又因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， 所以BE AD ⊥， 又PEAD E =，且PE ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD ；()2解：由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，。
人教A版高中数学选修1-1习题精选(含答案)
习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
人教A版2019学年高中数学选修2-1优化练习：第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程_含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或 x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为 y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0， 则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ， 即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p2|a 2＋b2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方 程为x 2＝16y .故选D. 答案：D5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：依题意得，直线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p 2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1， ∴|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. ∴|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12， 故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2， ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线 x 2a －y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________．解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8， ∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又∵A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a ，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b .又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，解得ba ＝2＋1.答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎨⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10，∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？ 解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学选修2-3习题及答案
[基础训练A 组] 一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ）A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用145,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ 2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人， （5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
人教版高中数学选修 练习题及参考答案
人教版高中数学选修-练习题及参考答案(附参考答案)一、选择题1．命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A．如果x<a2+b2,那么x<2abB．如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C．如果x<2ab,那么x<a2+b2D．如果x≥a2+b2,那么x<2ab2．三角形全等是三角形面积相等的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列四个命题中，真命题是( )A．是偶数且是无理数B．8≥10C．有些梯形内接于圆D．xR,x2x+1≠04．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数二、填空题5．命题“若a=1,则a2=1”的逆否命题是______________________．?? 6．b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的______________________．7．全称命题“aZ,a有一个正因数”的否定是________________________．??8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________．条件．的______ ___，则非p是非q9．设p：|5x1|>4；?三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x23x+2=0}，B={x|x2mx+2=0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m范围．??12．给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中求实数的取值范围．有且仅有一个为真命题，常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤a=0或012．解：P真：对任意实数都有恒成立??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤或0．解：12P真：对任意实数都有恒成立a=0??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???圆锥曲线练习题一．选择题若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（） 1.1A.B. C. D.4y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，过抛物线B两点，若线段AB中点的横坐标2.为3，则|AB|等于（）A.10B.8C.6D.4若双曲线＋＝1的离心率，则k的取值范围是（） 3.A. B. C. D.与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（）4. B. A. C. D.过点M(2,0)的直线L与椭圆交于两点，设线段的中点为P，若直线l的斜率为，5.的斜率为，则等于（）直线OP?1－A. B. C. D.2．如果方程＋＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）6. A. B. C. D.二．填空题椭圆＋＝1的焦点分别是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的7.倍．椭圆＋＝1的焦点分别是，过原点O做直线与椭圆交于A，B两点，若ABF2的面积8.是20，则直线AB的方程是．?与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是9.已知直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支相交于不同的两点，则k的取值范围10.是．三．解答题?抛物线y=－x2与过点M(0,1)的直线L相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB11.的斜率之和为１，求直线L的方程．?已知中心在原点，一焦点为F(0,)的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此12.椭圆的方程．13．是椭圆＋＝1的两个焦点，为椭圆上一点，且AF1F2=45，求的面积．???圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD二．填空题：7. 7倍8.y=x 9. －＝1 10.－,3)<k<－1?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得11.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则1解：设所求的椭圆为＋＝12.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．圆锥曲线练习题答案CBCADD 一．选择题：二．填空题：1,3)<k<－－＝7. 7倍8.y=x 9. 1 10.－?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得13.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则解：设所求的椭圆为＋＝114.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABCA1B1C1中，若＝,=,=,则=( )?→→+++D．+B．+C．A．b?c????2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与A，B，C一定共面的是( )→→→A．=++C．=2OA?OB?OC1→C．=++D．=++OC 33．若向量同时垂直向量和,向量=+(,R, ,≠0)，则（）???????A．∥B．C.与不平行也不垂直D．以上均有可能?4．以下四个命题中，正确的是( )A．若=+,则P，A，B三点共线B．若{,,}为空间一个基底，则{+,+,+}构成空间的另一个基底C．|()|=||||||???D．ABC为直角三角形的充要条件是＝0??5．已知=(+1,0,2),=(6,21,2),∥,则和的值分别为( )??????A．,B．5,2C．,D．5,2????二．填空题6．若=(2,3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则(+)=________.??7．已知G是ABC的重心，O是空间任一点，若++＝，则的值为_______.??? 8．已知||=1,||=2,<,>=60,则|(+2)|=________.??三．解答题9．若向量(+3)(75)，(4)(72)，求与的夹角．?????10．设，试求实数，使成立．求与侧面所成的角．正三棱柱的底面边长为，11．侧棱长为，小大的角面二，时值何于等问，动移上棱在点，，，中体方长在．12．为．空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 83 7．二．填空题6．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．=(2x,1,2)可求得平面的法向量为?．．（舍去）空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 8二．填空题6．3 7．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．可求得平面的法向量为=(2x,1,2)?．．（舍去）。
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选修2-3A 组练习题
郑中钧中学 易安 一、 选择题
1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A ．81
B ．64
C ．12
D ．14
2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A ．33A
B ．334A
C ．523533A A A -
D ．2311323233A A A A A +
3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、
物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A ．男生2人，女生6人
B ．男生3人，女生5人
C ．男生5人，女生3人
D ．男生6人，女生2人.
4．在832x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-
5．5(12)(2)x x -+的展开式中3
x 的项的系数是（ ）
A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 6．22n x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360
7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )
A ．1260
B ．120
C ．240
D ．720
8．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个
9．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为,4
3,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路, 在如右图的电路中，电路不发生故
障的概率是（ ）
A ．3215
B ．329
C ． 327
D ． 32
17
x 则随机变量ξ的数学期望是（ ）
A ．
B ．0.52
C ．
D ．条件不足
二、填空题
11．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？
12．若9a x ⎛ ⎝
的展开式中3x 的系数为94，则常数a 的值为 . 13．从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数2
y ax bx c =++的系数,,a b c 则可组成不同的函数_______个,其中以y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.
14．已知772127(12)o x a a a x a x -=++++L ,那么127a a a +++L 等于
三、解答题 15.解方程 432(1)140;x x A A =
16（1）在n
（1+x ）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？
（2）
n ⎛ ⎝
的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。
（3）已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算
220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L
17.6个人坐在一排10个座位上,问：(1)空位不相邻的坐法有多少种? (2)
4个空位只有3 个相邻的坐法有多少种? (3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
18.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，
数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
19.如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通.求线路信息
畅通的概率；
（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
20.已知正四面体A —BCD ，有一只小虫自顶点A 沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B 、C 、
D ，然后又从B 、C 、D 中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点，依次进行下去。
记P n 为第n 次到顶点A 的概率。
⑴ 求P n 的通项公式；
⑵ 求2006次爬到顶点A 的概率.
参考答案：
一、 选择题
1~5 B C B A B 6~10 A DDAC
二、填空题
11、9
12、4
13、180,30
14、-2
三、解答题
15、
得3x =
16、（1）由已知得257n n C C n =⇒=
（2）由已知得1351...128,2
128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式
系数最大项是444418(70T C x +== （3
）解：设50()(2)f x =-，令1x =
，得5001250(2a a a a ++++=L
令1x =-
，得5001250(2a a a a -+-+=L
17、解：6个人排有66A 种, 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有4735C =种插法，
故空位不相邻的坐法有646725200A C =g
种。
(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插
有27A 种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有626730240A A =种。
(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有47C 种坐法;
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法;
③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有2
7C 种坐法.
综合上述,应有6412267767()118080A C C C C ++=种坐法。
18、解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为,,A B C ，
则()0.9,()0.8,()0.85P A P B P C ===
（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003
（Ⅱ）（()P A B C A B C A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅）
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329
19、解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ
（II ）20
3)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望 答：（I ）线路信息畅通的概率是
43. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5 20、解：⑴由于第n 次到顶点A 是从B 、C 、D 三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点达到A 的概率都是13
，而第n －1次在顶点A 与小虫在顶点B 、C 、D 是对立事件。
因此，11(1)3n n P P -=-，∴1111()434
n n P P --=-- ∴1311()(3)434
n n P n -=⋅-+≥ ⑵ P 2006=43(－31)2005+41。