【名师推荐】高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案(含解析)新人教A版选修2-3(2021年整
河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.1 二项式定理学案（含解析）新人教A版选修2-3
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1.3.1 二项式定理
后记与
感悟：。
【高中数学2-3教案】1.3.1二项式定理
1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习． 教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rnC r n =L 叫二项式系数， ⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项；（2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅= 例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-L ，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）515328x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n与C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn . ( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案](1)√(2)×(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3)D．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图131[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.1．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值.【导学号：95032086】[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2018＝32 018.，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n x ＝y ＝1即可．＋－2，－－2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示] 对称性，因为C mn ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C rn 的图象中得到． 2．计算C knC k －1n ，并说明你得到的结论．[提示] C k n C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示] 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【导学号：95032087】[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有{ C r 53r≥C r －15·3r －1，r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[当堂达标·固双基]1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )A．11 B．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )【导学号：95032088】A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项A[因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.【导学号：95032089】1 64[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。
最新高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3(考试必备)
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2-3(2021年整理)
1．3.1 二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．错误!错误!我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1）两个计数原理的内容是什么?（2)排列的定义与排列数公式是什么？(3）组合的定义与组合数公式是什么？活动设计:学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：（板书)（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．A错误!＝n（n－1）（n－2)…(n－m＋1)＝错误!.(3）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m，n＝错误!＝错误!.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题:如何利用两个计数原理得到（a＋b）1,(a＋b)2，(a＋b）3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：（1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考,允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝（a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将（a＋b）2与（a＋b）3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的,并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．错误!(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)（a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1:(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？（2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗?（3）你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 3数学教案
1.3.3 二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝Cn －mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．【巩固练习】(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．【巩固练习】已知m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7，(1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．【巩固练习】 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．【巩固练习】已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. 【拓展实例】例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4 245D ．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r ＋1＝C r 6(x 13)r ＝C r 6x r3，r ＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k ＋1＝C k10(x －14)k ＝C k 10x －k 4，k ＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r 6x r 3C k10x －k 4＝C r 6C k 10x r 3－k 4，令r 3－k 4＝0，得4r ＝3k ，这样一来，(r ，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意本题中，常数项的位置有三处．【巩固练习】已知(1＋x ＋x 2)(x ＋1x 3)n 的展开式中没有．．常数项，n∈N *，且2≤n≤8，则n ＝______. 解析：依题意(x ＋1x 3)n ，对n∈N *，且2≤n≤8中，只有n ＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、x 2乘积为常数的项．故填5.答案：5 【变练演编】(1)对于9100你能编出什么样的整除问题？ 如9100被________整除的余数是________．(2)(2x 2－1x )6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x 的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．【达标检测】1)12展开式中的常数项为( )1．(x－3xA．－1 320 B．1 320 C．－220 D．2202．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( )A．－4 B．－3 C．3 D．43．若(1－2x)2 005＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 005x2 005(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷”)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣．设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习【基础练习】1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．已知(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由已知条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，则有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，故选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． 【拓展练习】5．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝____________. 6．设n∈N ，则C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )A ．14B ．12C ．13D ．15 2．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4nC.4n3－1 D .4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n ，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …( )A ．22nB ．3n C.3n －12 D.3n ＋12 6．若n 是正奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( ) A ．2 B ．5 C ．7 D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n an ＋1－r b r －1 9．3。
1.3.1二项式定理(学、教案)
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
2019高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3
1.3.1 二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为C k n a n－k b k，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C k n b n－k a k.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C r n.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )【导学号：95032072】A．9 B．10C．11 D．12B [由二项式定理的公式特征可知n ＝10.]3．(y －2x )8展开式中的第6项的二项式系数为( ) A ．C 68 B ．C 58(－2)5C ．C 58D ．C 68(－2)6C [由题意可知：T k ＋1＝C k 8y8－k(－2x )k＝C k8·(－2)k x k y8－k当k ＝5时，二项式系数为C 58.]4．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝________.【导学号：95032073】x 4 [(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝[(x －1)＋1]4＝x 4][合 作 探 究·攻 重 难](1)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 的展开式．(2)化简：C 0n (x ＋1)n－C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .[思路探究] (1)解答本题先将x 看成a ，－12x看成b ，利用二项式定理展开，也可以先将⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4化简后再展开．(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x .(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4的展开式；(2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2)．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 55(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x(1)求展开式第4项的二项式系数， (2)求展开式第4项的系数， (3)求第4项.【导学号：95032074】[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项[解] 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k 626－k (－1)k·x 6－3k2 (k ＝0,1,2，…，6) (1)展开式第4项的二项式系数为C 36＝20.(2)展开式第4项的系数为C 36·23·(－1)3＝－160. (3)展开式的第4项为T 4＝－160x －32.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．[解] (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k9x 9－3k 2，所以9－3k 2＝3，k＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.1．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．[提示] 利用二项展开式的通项C k 4x 4－k·1xk ＝C k 4x 4－2k求解，令4－2k ＝0，则k ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？[提示] (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？[提示] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x. 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】[思路探究] 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →求出n 值→修正通项公式→求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →写出有理项[解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3 (－3)r x －r3＝C r n (－3)rx n －2r 3. (1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x－2.即405x 2，－61 236,295 245x －2.3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．(1)207 (2)4 [(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k· (－a )k x－2k＝C k 6x6－3k(－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4.][当 堂 达 标·固 双 基]1．(x －2)10展开式中x 6项的二项式系数为( )A ．－C 410 B ．C 410 C ．－4C 410D ．4C 410B [含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.] 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )【导学号：95032076】A ．80B ．40C ．20D ．10B [(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r5(2x )r＝2r C r5·x r， 令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B.]3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．－160x 3[由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84 －212 [T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.]5．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项. 【导学号：95032077】[解] T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝⎛⎭⎫23x 2k＝⎝⎛⎭⎫23k·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎫23x 23＝8027.。
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1.3.1 二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为C k n a n－k b k，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C k n b n－k a k.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C r n.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )【导学号：95032072】A．9 B．10C．11 D．12B [由二项式定理的公式特征可知n ＝10.]3．(y －2x )8展开式中的第6项的二项式系数为( ) A ．C 68 B ．C 58(－2)5C ．C 58D ．C 68(－2)6C [由题意可知：T k ＋1＝C k 8y8－k(－2x )k＝C k8·(－2)k x k y8－k当k ＝5时，二项式系数为C 58.]4．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝________.【导学号：95032073】x 4 [(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝[(x －1)＋1]4＝x 4][合 作 探 究·攻 重 难](1)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 的展开式．(2)化简：C 0n (x ＋1)n－C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .[思路探究] (1)解答本题先将x 看成a ，－12x看成b ，利用二项式定理展开，也可以先将⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4化简后再展开．(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x .(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4的展开式；(2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2)．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 55(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x(1)求展开式第4项的二项式系数， (2)求展开式第4项的系数， (3)求第4项.【导学号：95032074】[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项[解] 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k 626－k (－1)k·x 6－3k2 (k ＝0,1,2，…，6) (1)展开式第4项的二项式系数为C 36＝20.(2)展开式第4项的系数为C 36·23·(－1)3＝－160. (3)展开式的第4项为T 4＝－160x －32.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．[解] (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k9x 9－3k 2，所以9－3k 2＝3，k＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.1．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．[提示] 利用二项展开式的通项C k 4x 4－k·1xk ＝C k 4x 4－2k求解，令4－2k ＝0，则k ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？[提示] (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？[提示] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x. 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】[思路探究] 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →求出n 值→修正通项公式→求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →写出有理项[解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3 (－3)r x －r3＝C r n (－3)rx n －2r 3. (1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x－2.即405x 2，－61 236,295 245x －2.3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．(1)207 (2)4 [(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k· (－a )k x－2k＝C k 6x6－3k(－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4.][当 堂 达 标·固 双 基]1．(x －2)10展开式中x 6项的二项式系数为( )A ．－C 410 B ．C 410 C ．－4C 410D ．4C 410B [含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.] 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )【导学号：95032076】A ．80B ．40C ．20D ．10B [(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r5(2x )r＝2r C r5·x r， 令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B.]3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．－160x 3[由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84 －212 [T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.]5．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项. 【导学号：95032077】[解] T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝⎛⎭⎫23x 2k＝⎝⎛⎭⎫23k·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎫23x 23＝8027.。