微积分提纲

第一章 函数1.N----自然数集 Z-----整数集 Q-----有理数集 R-----实数集 交换律： 结合律：分配律： 摩根律： 2.集合的笛卡儿乘积：A ×B={(x, y)| x ∈A, y ∈B} A ×B ×C={(x, y, z)| x ∈A, y ∈B, z ∈C}3.邻域：.}{)(δδδ+<<-=a x a x a U 点a 的去心邻域：.}0{)(δδ<-<=︒a x x a U4.函数的两要素：定义域与对应法则.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.5.若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，则称这种函数为单值函数（一对一或多对一），否则称为多值函数（一对多）．6.几个特殊的函数举例 符号函数：狄利克雷函数：取整函数：y=[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数取最值函数： 7.函数的特性：有界性；单调性；奇偶性；周期性.8.反函数：直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.9.复合函数：注意-----不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;判断两个函数能否构成复合函数的关键，就是D(f)∩Z(g)≠Φ.10.基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函. 11.初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数.第二章 极限与连续1. 数列极限的性质：有界性-----定理1 收敛的数列必定有界. 推论 无界数列必定发散. 唯一性-----定理2 每个收敛的数列只有一个极限.收敛数列的保号性-----定理3 ，那么存在或而且)0(0,lim <>=∞→a a a x n n ).0(0,0<>>>n n x x N n N 或时，有使得当推论 ,00}{）（或从某项起有若数列≤≥n n n x x x ).0(0,lim ≤≥=∞→a a a x n n 或则且子数列的收敛性------定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．2.函数的极限：两种情形:.10情形+∞→x A x f x =+∞→)(lim .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当.,,R Q Q Z Z N ⊂⊂⊂}|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=或即的并，记为与的集合，称为的所有元素构成和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=且即的交，记为与成的集合，称为的所有公共元素构和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∉∈=--且即的差，记为与构成的集合，称为的所有元素而不属于，属于和设有集合}|{,A ''A x U x x A A A U ∉∈=且即的补集，记为称为的元素构成的集合，中所有不属于全集AB B A AB B A ==)()()()(C B A C B A C B A C B A ==)()()()()()(C B C A C B A C B C A C B A =='''''')()(B A B A BA B A ==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y 当当当⎩⎨⎧==是无理数时当是有理数时当x x x D y 01)()}(),(max{x g x f y =)}(),(min{x g x f y =3.函数极限的性质：有界性；唯一性；局部保号性；子列收敛性.4.推论1 ,),(,0,)(lim 00时当且若δδx U x A x f x x ∈>∃=→).0(0),0)((0)(≤≥≤≥A A x f x f 或则或推论2 的某一则存在着若0),0()(lim 0x A A x f x x ≠=→有时当去心邻域,)(),(0000x U x x U ∈|2||)(|Ax f > 5.函数极限的统一定义：过程 ∞→n ∞→x +∞→x-∞→x时刻 N从此时刻以后N n >N x > N x >N x -<)(x fε<-A x f )(过程 0x x →+→0x x -→0x x 时刻 δ从此时刻以后δ<-<00x x δ<-<00x x00<-<-x x δ)(x f ε<-A x f )(6.无穷大与无穷小注意：无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 零是可以作为无穷小的唯一的数；无穷大是变量,不能与很大的数混淆;切勿将limy= ∞认为极限存在；无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 7.无穷小与函数极限的关系:定理1------变量y 以A 为极限的充分必要条件是：变量y 可以表示为A 与一个无穷小的和. 定理2------在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3------有界变量与无穷小的乘积是无穷小.定理4------在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 推论1------在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2------常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3------有限个无穷小的乘积也是无穷小 8.极限运算法则：则设,)(lim ,)(lim B x g A x f ==;)]()(lim[)1(B A x g x f ±=±;)]()(lim[)2(B A x g x f ⋅=⋅ 0,)()(lim)3(≠=B BAx g x f 其中 推论1------则为常数而存在如果,,)(lim c x f ).(lim )](lim[x f c x cf = 推论2------则是正整数而存在如果,,)(lim n x f .)]([lim )](lim[n n x f x f =结论1------为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 9.极限求法：①多项式与分式函数代入法求极限;②消去零因子法求极限; ③无穷小因子分出法求极限; ④利用无穷小运算性质求极限; ⑤利用左右极限求分段函数极限. 极限10.极限存在准则：夹逼准则；单调有界准则11.两个重要极限：1sin lim0=→x x x e x x x =+∞→)11(lim （e nn n =+∞→)11(lim ）12.无穷小的比较: .0,,≠αβα且穷小是同一过程中的两个无设αβαβ是比，则称若0lim)1(= ；记作)(αβo = 高阶的无穷小 αβαβ是比，则称若２∞=lim )(低阶的无穷小是与则称若αβαβ,0lim)3(≠=C 同阶的无穷小 是与则称若特殊地，αβαβ,1lim =；～记作αβ等价的无穷小 的是则称若αβαβ,0,0lim)4(>≠=k C kk 阶的无穷小 13. 常用等价无穷小: (,0时当→x ))1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x + )0(~1)1(,21~c o s 1,1~2≠-+--a ax x x x e x a x 14. 定理２(等价无穷小代换定理) .lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 15. 函数的连续性定理: 00)()(x x f x x f 在是函数处连续在函数⇔.处既左连续又右连续 16. :)(0条件处连续必须满足的三个在点函数x x f;)()1(0处有定义在点x x f ;)(l i m )2(0存在x f x x → ).()(lim )3(00x f x f x x =→17. 四则运算的连续性:定理1 ,)(),(0处连续在点若函数x x g x f )0)(()()(),()(),()(0≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 则.0处也连续在点x定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理3 ,连续a 在点f (u)函数a,(x)lim 若0x x =→ϕ(x)].lim f [f (a)(x)]f [lim 则有0x x x x ϕϕ→→==定理4 且连续在点设函数,)(0x x x u ==ϕ,)(,)(000连续在点而函数u u u f y u x ===ϕ.)]([0也连续在点则复合函数x x x f y ==ϕ定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. (初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;)18. 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.( 若区间是开区间,定理不一定成立;若区间内有间断点,定理不一定成立.) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定理3（零点定理）.0)())(),(0)()()()(],[)(=<<<⋅ξξξf b a x f b a b f a f b f a f b a x f ，使得（一点的一个零点，即至少有内至少有函数间），则在开区异号（即与上连续，且在闭区间设函数定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)＝B ，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b). 推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.第三章 导数与微分1. .)()()(000都存在且相等和右导数左导数处可导在点函数x f x f x x f +-''⇔上在闭区间都存在，则称和内可导，且在开区间若函数],[)()()(),()(b a x f a f b f b a x f +-''可导. 2. 定理 凡可导函数都是连续函数. (注意: 该定理的逆定理不成立.)3. (.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数x f x x f x f x f +-'≠'()(.)(,)()(lim lim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数x x f xx f x x f x yx x f x x ∞=∆-∆+=∆∆→∆→∆(.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数x x f(.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点反的两个单侧导数符号相且在点若x f x x x f ∞=' 4. 函数的和、差、积、商的求导法则:定理1: 且处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积、处可导在点若函数,)(,)(),(x x x v x u).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2≠'-'=''+'='⋅'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u推论: ;)(])([)1(11∑∑=='='ni in i ix f x f );(])([)2(x f C x Cf '=';)()()()()()()()(])([)3(1121211∑∏∏=≠=='='++'='n i nik k k i n n ni i x f x f x f x f x f x f x f x f x f定理2: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 5. 常数和基本初等函数的导数公式:0)(='C 1)(-='μμμx x x x cos )(sin =' x x 2s e c )(t a n =' x x xt a n s e c )(s e c =' x x s i n )(c o s -=' x x 2csc )(cot -=' x x xc o t c s c )(c s c -=' a a a x x ln )(=' xx 1)(l n =' xx e e =')( 211)(arcsin x x -=' 211)(a r c t an x x +=' 211)(a r c c o s xx --=' 211)c o t (x x a r c +-=' 6. 函数的和、差、积、商的求导法则: 均可导，则设)(),(x v v x u u ==:)0('')'()4(,'')'()3(,(')'()2(,'')'()1(2≠-=+==±=±v v uv v u v u uv v u uv C Cu Cu v u v u 是常数）7. 复合函数的求导法则:).()()()]([),(),(x u f x y dxdu du dy dx dy x f y x u u f y ϕϕϕ'⋅'='⋅====或的导数为则复合函数而设8. 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.9. 对数求导法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.(适用范围:多个函数相乘除或幂指函数情形) 10. 高阶导数求法-----直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.11. 可微的条件-----定理: ).(,)()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数 称为函数的微分的微分在任意点函数,)(x x f y = .)(),(x x f dy x df dy ∆'=即或记作 12. 基本初等函数的微分公式:0)(=C d x d x x d c o s )(s i n = x d x x d 2s e c )(t a n = xdx x x d tan sec )(sec =dx x x d 1)(-=μμμ x d x xd s i n )(c o s -= x d x x d 2c s c )(c o t -= xd x x x d c o t c s c )(c s c -= adx a a d x x ln )(= dxe e d x x =)( dx a x x d a ln 1)(log =dx xx d 1)(ln =dx x x d 211)(arcsin -=dx x x d 211)(arccos --= dx x x d 211)(arctan +=dx xx arc d 211)cot (+-= 13. 函数和、差、积、商的微分法则:dv du v u d ±=±)( Cdu Cu d =)( udv vdu uv d +=)( 2)(v udvvdu v ud -= 14. 导数与微分的区别:.,,,))((),()(00000它是无穷小实际上它的定义域是的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数R x x x x x f dy x f x x f --'='.))(,()())((,))(,()()(,00000000的纵坐标增量的切线方程在点处在点是曲线而微分处切线的斜率在点是曲线从几何意义上来看x x f x x f y x x x f dy x f x x f y x f =-'=='第四章 中值定理与导数的应用1. 罗尔(Rolle)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f ’(ξ)=0.2. 拉格朗日(Lagrange)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ3. 推论: .)(,)(上是一个常数在区间那么上的导数恒为零在区间如果函数I x f I x f4. 柯西(Cauchy)定理: 若函数f(x)及F(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）F(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =-- 5. 洛必达法则定理:.)()(lim )()(lim );()()(lim )3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(x F x f x F x f x F x f x F x F x f a x F x f a x a x a x a x ''=''≠'''→→→→则或为无穷大存在都存在且及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设6.洛必达法则型未定式解法型及:00∞∞; 型未定式解法00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞:先变化成⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒再用洛必达法则. 7. 单调性的判别定理: 内可导上连续，在设函数),(],[)(b a b a x f y =.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1上单调减少在，则函数内若在上单调增加；在，则函数内若在）（b a x f y x f b a b a x f y x f b a =<'=>'8. 定理1(必要条件): .0)()(000='x f x x x f 处取得极值，则处导数存在，且在在设 定理2(第一充分条件):处取得极大值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(1x x f x f x x x x f x x x <'+∈>'-∈δδ 处取得极小值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(2x x f x f x x x x f x x x >'+∈<'-∈δδ .)()(),(),(300000处无极值在符号相同，则时，及若）（x x f x f x x x x x x '+∈-∈δδ9. 求极值的步骤: );()1(x f '求导数;0)()2(的根求驻点，即方程='x f;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查x f '.)4(求极值10. 定理3(第二充分条件): ，则，处二阶可导，且在设0)(0)()(000≠''='x f x f x x f处取得极大值；在时，函数当00)(0)()1(x x f x f <''.)(0)()2(00处取得极小值在时，函数当x x f x f >''11. 定理1: 内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果),(,),(,],[)(b a b a b a x f上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(b a x f x f b a x f x f <''>''定理2: .0)())(,(),()(00000=''+-x f x f x x x x f 是拐点的必要条件是内存在二阶导数，则点在若δδ 12. 渐近线: 铅垂渐进线; 水平渐进线; 斜渐进线 13. 斜渐近线求法: ,)(lima xx f x =∞→.])([lim b ax x f x =-∞→.)(的一条斜渐近线就是曲线则x f y b ax y =+=14.函数图形的作法: ①确定函数的定义域;②确定曲线的对称性;③讨论函数的单调性和极值;④讨论函数的凹向与拐点;⑤确定曲线的渐进线;⑥由曲线的方程计算出一些点的坐标,特别是曲线与坐标轴的交点坐标. 15. 需求函数 Qd= f (p) = -ap+ b （a,b 为正常数） 供给函数 Qs=g (p ) = cp - d （c,d 为正常数）均衡价格 （1）当市场价格p > 均衡价格p*时， Qs ↑ Qd ↓； （2）当市场价格p < 均衡价格p*时， Qs ↓ Qd ↑。