复习题12

1. 在R 22⨯中求矩阵
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=3021A 在基123111111,,,111000E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41000E ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦下的坐标。

2. 试证：在R 22⨯中矩阵
123411111110,,,11011011αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关，并求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。

3. 在R 22⨯空间中，线性变换T ：
()221240,2114T X X X R ⨯-⎡⎤⎡⎤
=∈⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
， 求T 在基123101111,,,000010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41111α⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦下的矩阵表示。

4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示； （2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。

5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----21
1212112 , （2）⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-200
1200
1020101
2
. 6. 已知矩阵
310121013A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。

7. 已知3阶矩阵
1114335A x y -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 （1）求,x y ；
（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵； （3）求A 的谱分解表达式。

8. 已知矩阵
011101110A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。

9. 已知矩阵
024********
2
A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。

10. 设
000a a A a a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
问a 取何值时，有lim 0k k A →∞
=。

11. 判断矩阵幂级数01
16
3
413
6k
k ∞=⎡⎤
-⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑的敛散性。

12. 已知 1
35
5315
5A ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
（1）求证：矩阵幂级数
2
1k k k
A ∞
=∑收敛。

（2）求矩阵幂级数
2
1
k k k
A ∞
=∑的收敛和。

13. 已知A 为一个n 阶矩阵，且()1A ρ<，求
k k kA ∞
=∑。

14. 已知矩阵A 的某种范数1A <,求
1
1
k k kA
∞
-=∑。

15. 已知1
0001
10001100
01
1A ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求tA e ，sin A ,cos A ,ln A .
16. 已知矩阵A ，求矩阵函数的()f A 多项式表示，并计算
A e ，tA e ，sin A π，cos A π
（1）221261004A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2) 210100212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦ 17. 求解线性常系数奇次微分方程
()
()(0)[1,1,0]T dx t Ax t dt x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

18. 求解线性常系数非奇次微分方程
()
()()(0)[1,1,0]
T dx t Ax t f t dt x ⎧=+⎪
⎨
⎪=⎩ 其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，2()[0,0,]t T
f t e =。

19. 求解线性常系数非奇次微分方程
()
()()(0)[1,1,1]
T dx t Ax t f t dt x ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩
其中
211
031
213
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=-
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，22
()[,0,]
t t T
f t e te
=。