用定义求卷积和例
有限序列卷积和排表法
有限序列卷积和排表法什么是有限序列卷积和排表法？有限序列卷积和排表法是一种数学算法，用于计算两个有限序列的卷积结果，并将结果以表格的形式呈现出来。
在信号处理、图像处理以及其他领域中，有限序列卷积和排表法被广泛应用。
有限序列卷积的定义假设我们有两个有限序列，分别为序列A和序列B，表示为：A = [a₀, a₁, a₂, …, aₙ]B = [b₀, b₁, b₂, …, bₙ]则有限序列卷积的定义如下：C = A∗B C = [c₀, c₁, c₂, …, cₙ] 其中，k = m + n -1，ci为序列AB的第i个元素。
有限序列卷积的计算步骤如下：1.创建一个大小为k的结果序列C，初始值为0。
2.对于序列A和序列B的每一个元素ai和bj，计算ci = ai * bj，并将结果累加到序列C对应位置上。
3.返回序列C作为有限序列卷积的结果。
有限序列排表法的定义有限序列排表法是一种将两个有限序列转换为表格形式的算法。
通过将序列A的每个元素与序列B的每个元素进行相乘，并将结果按照表格的形式排列，可以更直观地展示序列的卷积结果。
有限序列排表法的步骤如下：1.创建一个大小为m×n的表格，其中m为序列A的长度，n为序列B的长度。
2.将表格的每个单元格初始化为0。
3.遍历序列A的每个元素ai和序列B的每个元素bj，将ai * bj的结果填入对应的表格单元格中。
4.返回填充后的表格作为有限序列排表法的结果。
举例说明假设有两个序列A = [1, 2, 3]和B = [4, 5]，我们可以通过有限序列卷积和排表法来计算它们的卷积结果。
首先，我们可以使用有限序列卷积的方法计算卷积结果：C = A∗B = [1, 9, 22, 15]然后，我们可以使用有限序列排表法将序列A和序列B转换为表格形式：| 4 | 5 |---|---|---|1 | 4 | 5 |2 | 8 |10 |3 |12 |15 |通过填充表格，我们可以将卷积结果以表格的形式展示出来。
冲激函数卷积任意函数
冲激函数卷积任意函数一、引言在信号处理领域，卷积是一种重要的运算。
卷积可以用于信号的滤波、特征提取等方面。
其中，冲激函数卷积任意函数是一种常见的卷积方式。
本文将介绍如何编写一个函数来实现冲激函数卷积任意函数。
二、什么是冲激函数在信号处理中，冲激函数是一种特殊的信号。
它在时间为0时取值为无穷大，其它时间点取值都为0。
冲激函数可以用数学公式表示为：delta(t) = {+∞, t=00, t!=0}三、什么是卷积在数学中，两个函数f和g的卷积定义为：(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，*表示卷积运算符，t表示时间变量，τ表示一个虚拟变量。
四、如何计算冲激函数卷积任意函数计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积可以分成以下步骤：1. 将f(t)反转得到f(-t)2. 将f(-t)与delta(t)进行卷积得到g(t)3. 将g(t)再次反转得到g(-t)其中，g(t)就是冲激函数与f(t)的卷积结果。
五、函数实现下面是一个Python函数，用于计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积：```pythonimport numpy as npdef impulse_convolve(f, t):"""计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积Args:f: 任意函数，可以是一个数组或者一个函数t: 时间变量，可以是一个数组或者一个数值范围Returns:g: 冲激函数与f(t)的卷积结果"""# 将f(t)转换为一个可调用的函数if isinstance(f, (list, tuple, np.ndarray)):f = lambda x: np.interp(x, t, f)# 反转f(-t)f_reversed = lambda x: f(-x)# 计算g(t)=delta(t)*f_reversed(-t)g = np.convolve(np.array([1]), f_reversed(t), mode='same')# 反转g(-t)g_reversed = lambda x: g[-x]return g_reversed(t)```六、使用示例下面是一个使用示例：```pythonimport matplotlib.pyplot as plt# 定义任意函数f(t)def f(x):return np.sin(x)**2 + np.cos(2*x)# 定义时间变量范围t = np.linspace(0, 10*np.pi, 1000)# 计算冲激函数与f(t)的卷积g = impulse_convolve(f, t)# 绘制f(t)和g(t)的图像plt.plot(t, f(t), label='f(t)')plt.plot(t, g, label='g(t)')plt.legend()plt.show()```运行以上代码，将会得到一个图像，其中包含了任意函数f(t)和冲激函数与f(t)的卷积结果g(t)的图像。
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
任意函数和tδ(t)函数的卷积
任意函数和tδ(t)函数的卷积卷积是数学中非常重要的一种运算方式。
它将两个函数合并，得到新的函数，描述了两个函数之间的关系。
在信号与系统、物理、工程等领域中都得到广泛的应用。
其中，任意函数和tδ(t)函数的卷积是一种非常特殊的情况，值得我们探究。
首先，我们需要了解一些基本知识。
卷积的数学定义是：$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ 其中，f(t)和g(t)是待卷积的函数，t是卷积结果的自变量。
这个式子可以解释为，在时刻t处，f(t)和g(t)的重叠部分所占面积的大小。
重叠部分越大，则卷积结果越大。
现在，我们考虑任意函数f(t)和tδ(t)函数的卷积。
首先，tδ(t)的定义是：$t\delta(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ t, & t\geq0\end{cases}$根据卷积的定义，我们有：$(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)t\delta(t-\tau)d\tau$接下来，我们分别讨论t为正数和负数的情况。
当t为正数时，上述积分可以转换为：$(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)t d\tau$因为tδ(t)函数在t=0处的值是0，所以我们可以从负无穷积分到t。
此时，卷积的结果就是f(t)乘以t的积分。
这里有一个非常重要的性质，即t的积分可以看成是对f(t)进行加权。
当f(t)很大的时候，加权就越重，卷积结果也越大。
而当f(t)较小时，加权就较轻，卷积结果也较小。
当t为负数时，由于tδ(t)函数在t=0处不连续，所以我们需要将卷积式子拆开来处理：$(f*t\delta)(t)=\int_{-\infty}^{0}f(\tau)td\tau+\int_{0}^{\infty}f(\tau)t d\tau$第一个积分中，tδ(t)的值为0，所以积分结果也为0。
卷积定义式
卷积定义式卷积定义式，也叫卷积运算，是一种把两个函数作为输入，而将它们的乘积和作为输出的数学运算。
它在形式上可以表述如下：$$Y(t) =∫_{-∞}^∞ x(s)w(t-s)ds $$其中，Y(t)是卷积的输出函数，x(s)是一个输入函数，w(t-s)是另一个输入函数，ds它们之间的乘积。
卷积定义式可以用来表达复杂的物理问题，以及在信号处理领域的实用问题的解决方案。
它被广泛用于物理学，数学，工程学，以及信号处理领域。
它也可以用于描绘物理系统的行为，特别是多变量问题。
例如，卷积可以用来描述一个悬挂系统中质点的运动，以及受力状态。
这涉及到两个函数：力场函数，以及质点的位置。
卷积可以用来表示两个函数的乘积，并得出质点的新位置。
卷积可以使用数值分析方法进行计算，也可以使用解析方法进行计算。
在数值分析方法中，卷积可以使用卷积核进行计算，而卷积核对应于一组参数，可以用来描述不同的卷积操作。
卷积核可以用于表示复杂函数，以及用于表示图像处理中的仿射变换。
卷积也可以用于表示复杂的概率分布，如带袋卷积，也可以用于表示非线性函数的转换，如卷积神经网络。
此外，卷积运算也被广泛用于音频信号处理中，以及数据压缩和图像处理中。
卷积定义式有不同的应用形式，如一维卷积、二维卷积和多维卷积。
每种形式都有特定的公式，用于表示卷积的概念，以及用于实现特定的类型的卷积计算。
一维卷积是指在一个函数上进行卷积；二维卷积是指在两个函数上进行卷积；多维卷积是指在多个函数上进行卷积。
卷积运算在许多领域都有广泛的应用，从物理学到数学，从工程学到图像处理，从数据压缩到信号处理。
卷积定义式的基本概念可以用于实现各种高效的卷积计算，实现各种复杂的物理系统的描述，以及实现广泛的数学问题的解决方案。
简而言之，卷积定义式是一种将两个函数作为输入，而将它们的乘积和作为输出的数学运算，为解决各种复杂的物理和信号处理问题提供了高效的解决方案。
它具有广泛的应用，可以用来描述复杂的物理系统，以及图像处理中的仿射变换。
卷积及其性质
f1 ( ) f 2 (t )d
（） 1 分 配 律 ： f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物 理 意 义 ： 几 个 系 统 并 联 ， 可 等 效 为 一 个 冲 激 响 应 h(t) h1(t) h2(t) （ 2） 结 合 律 ： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)] 物 理 意 义 ： 若 冲 击 响 应 为 h1(t)， h2(t)的 两 个 系 统 相 串 联 ， 此 两 系 统 的 组 合 可 等 效 唯 一 个 冲 击 响 应 h(t) h1(t)h2(t)的 系 统 。
x(n),x(m)
……
n,(m)
N-1
n,(m)
h(-m)
h(n-m)
…… n 0
……
n,(m)
n,(m)
…… n
……
n,(m)
n
n,(m)
所以
0, n 1 ( n 1) n 1 a y (n) a ,0 n N 1 1 1 a n 1 aN ,n N 1 a 1 1 a
(3) 交 换 律 ： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物 理 意 义 ： 串 联 的 子 系 统 可 以 任 意 交 换 位 置 。 （ 4） 卷 积 的 微 分 ： df2(t) df1(t) d f2(t) f1(t) f2(t) f1(t) dt dt dt （） 5 卷 积 的 积 分
m
x1 ( m ) x 2 ( n m )
例 ， 已 知 两 个 序 列 a n (0 a 1), n 0 1, 0 n N 1 x(n) , h(n) 0 , o t h e r s 0,n 0 求 卷 积 和 y (n ) x(n ) h (n ) 解 ： （1） 当 （ 2） 当 n 1 时 ，y ( n ) 0 ； 0 n N 1 时
卷积的定义和证明
卷积的定义和证明卷积是一种数学运算方法，用于处理信号和系统。
它被广泛应用于图像处理、语音处理、信号处理等领域。
本文将介绍卷积的定义和证明。
一、卷积的定义假设有两个函数f和g，它们的卷积定义为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau)d\tau$$其中，t表示时间，∈R，τ表示卷积核或滤波器的延迟时间。
卷积核或滤波器可以看作是g函数，它的作用是对f函数进行滤波或卷积运算。
卷积的结果是一个新的函数，称为卷积函数。
卷积函数的物理意义是：在t时刻，输入f和g的卷积值就是f 时刻和g时刻的“重叠部分”的积分。
因此，卷积运算可以理解为对函数f进行滤波和融合，从而得到更有用的信息。
二、卷积的证明要证明卷积的定义，首先需要理解积分的基本性质和变量代换法则。
假设有函数h(t)=f(t-τ)g(τ)，那么卷积的定义可以表示为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau$$步骤1：将函数h(t)按照时间τ进行反转，并将τ替换为t-τ，得到：$$h(-\tau)=f(-\tau+t)g(-\tau)=f(t-\tau)g(\tau)=h(\tau)$$步骤2：将h(t)拆分成两个部分，一个是h(t)当τ≥0时的值，一个是h(t)当τ<0时的值，即：$$h(t)=\begin{cases} h(\tau), & \tau \geq 0 \\ 0, & \tau < 0\end{cases}$$步骤3：将卷积积分转化为关于h(t)的积分，得到：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty h(t) d\tau=\int_{0}^\infty h(t) d\tau$$步骤4：将h(t)表示成两个部分，即：$$h(t)=h(t)\cdot u(\tau)+h(t)\cdot u(-\tau)$$其中，u(\tau)表示单位阶跃函数。