3-3函数极限存在的条件

数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U xTh 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。

所以的极限归结为数列的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。

由此，这个定理把函数数学分析第3.3节注２．从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x 0lim n n x x →∞=lim ()n n f x →∞，使得不存在；”0x {}{},n n x x '''或“找到两个都以为极限的数列使lim (),lim ()n n n n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则lim ()x x f x →不存在.证明：必要性已证。

数学分析第3.3节0x x →)(x f A 00>∃ε0>∀δ充分性，如果不然，即时，不以为极限，则，，δδδ<-<∈∃0000)(x x x U x 0)(εδ≥-A x f ，使得.),2,1(1==n nδnx x x U x n n 10,)(000<-<∈∃令，则，0)(ε≥-A x f n }{n x 0x x n →)(00x U x n ∈0)(ε≥-A x f n A x f n n =∞→)(lim 使得.对于序列，，，但显然与条件矛盾。

，，数学分析第3.3节例1.1sin lim 0不存在证明xx →证xy 1sin={},1⎭⎬⎫⎩⎨⎧π=n x n 取,0lim =∞→n n x ;0≠n x 且{},2141⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+='n x n 取,0lim ='∞→n n x ;0≠'n x 且πn x n n n sin lim 1sin lim ∞→∞→=而π214sin lim 1sin lim +='∞→∞→n x n nn 而1lim ∞→=n ,1=二者不相等,.1sin lim 0不存在故xx →数学分析第3.3节00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞x x +→注３．对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式。

如当时有：f 0x 00()U x +lim ()x x f x A+→=⇔0x {}00()n x Ux +⊂lim ()n n f x A→∞=定理3.9设函数在的某空心邻域内有定义，对任何以为极限的递减数列，有.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。

现以0x x +→这种类型为例叙述如下:Th3.10f 00()U x +0lim ()x xf x +→设为定义在上的单调存在.有界函数，则右极限注：Th ３.10可更具体地叙述如下：f 00()U x +为定义在上的函数，若f 00()U x +0lim ()xf x +→0()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=在上递增（减）有下（上）界，则存在，且；0()(lim ()sup ())x x x U x f x f x ++→∈=下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.)(x f )(00x U -)(x f )(lim 00x f x x -→)(sup)(00x f x U x -∈定理设在上定义，且单调上升，则存在且等于.E +∞=E sup E-∞=E inf 无上界, 规定, 无下界, 规定.注极限存在性数学分析第3.3节)(sup )(00x f x U x -∈)}(|)({00x U x x f -∈+∞<A +∞=A 证令A=, 当集合有上界时, ，当它无上界时，.+∞<A 0>∀ε∈'∃x )(00x U -ε->'A x f )(1), 由上确界定义，, 使得, 取00>'-=x x δδ<-<x x 00ε->'≥A x f x f )()(，则当时，由函数单调上升得, 再由上确界定义εε->>+A x f A )(ε<-A x f )(, 或,即)(sup )(lim )(0000x f A x f x U x x x -∈-→==。

+∞=A 0>∀M ∈'∃x )(00x U -Mx f >')(00>'-=x x δδ<-<x x 00Mx f x f >'≥)()(2)因集合无上界，对,使得.取，则当时, 有, 即，)(sup)(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=+∞=.)(x f )(00x U -)(x f )(inf )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=类似地我们有:在定义，且单调下降,则关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表.三Cauchy 准则:)(x f 0x 0(,)U x δ')(lim 0x f xx →∈'''∀'<>∃>∀⇔x x , ),(0 ,0 δδδε0(,)U x δ.)()( ε<''-'⇒x f x f Th 3.11( Cauchy 准则) 设函数在点的某空心邻域内有定义. 则存在,)⇒)⇐证( 利用Heine 归结原则)( 利用极限的定义)证明：（必要性）,)(lim 0A x f xx =→);(,0,000δδεx U x ∈∀>∃>∀.2/|)(|ε<-A x f ),;(",'00δx U x x ∈∀.|)"(||)'(||)"()'(|ε<-+-≤-A x f A x f x f x f 设则有所以，有（充分性）)';(}{00δx U x n ⊂.lim 0x x n n =∞→,+∈N N ,,N m n >∀).;(,00δx U x x m n ∈设数列且则存在使有.|)()(|ε<-m n x f x f 由条件有)}({n x f 由数列Cauchy 收敛准则知，数列收敛，.)(lim A x f n n =∞→设);(}{00δx U y n ⊂.lim 0x y n n =∞→)}({n y f 又设有另一数列且则同理可证数列收敛，设.)(lim B y f n n =∞→ ,,,,,,,,,:332211n n n y x y x y x y x z );(}{00δx U z n ⊂.lim 0x z n n =∞→)}({n z f )}({n x f )}({n y f )}({n z f 记则且同样用上述方法可证明数列而和是的两个子数列，收敛.)}({n x f )}({n y f 所以和必有相同极限.);(}{00δx U x n ⊂,lim 0x x n n =∞→,)(lim A x f n n =∞→.)(lim 0A x f x x =→即对任意的数列且有由归结原则可得lim ()xxf x →0ε>(0)δ>00,(;)x x U x δ'''∈|()()|f x f x ε'''-≥01lim sin x x→注：按照Cauchy 准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.例：用Cauchy 准则说明综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说不存在.取.21 ,1πππ+=''='n x n x作业P55 2，4.小结一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理三Cauchy 准则:数学与信息科学学院罗仕乐。